文档文本内容
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微专题一 动态平衡 平衡中的临界与极值问题
目录
01 考情解码•命题预警..........................................................................................................2
02 体系构建•思维可视..........................................................................................................3
03 核心突破•靶向攻坚..........................................................................................................5
考点一 动态平衡 ......................................................................................................................5
知识点1 动态平衡问题综述...................................................................................................5
知识点2 动态平衡问题的解题方法.......................................................................................5
考向1 图解法解决动态平衡问题
........................................................................................7
考向2 解析法解决动态平衡问题
........................................................................................8
考向3 相似三角形法解决动态平衡问题................................................................................8
考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题
............................................................9
【思维建模】 动态平衡模型分析方法.................................10
考点二 平衡中的临界与极值问题 ........................................................................................11
知识点1 临界问题与极值问题综述......................................................................................11
知识点2 临界问题与极值问题的解题方法..........................................................................12
考向1 物理分析法求极值问题
..........................................................................................12
考向2 数学分析法求极值问题
..........................................................................................13
考向3 极限法求极值问题.......................................................................................................15
04 真题溯源•考向感知.......................................................................................................15
1
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考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
动态平
衡
综合应用
中频
2025•广东
\
2023•海南
平衡中
的临界
与极值
问题
综合应用
低频
2025•河北
\
\
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：本讲内容是高考综合应用问题，考查方式以选择题为主，作为共点力平衡的提升，是共点力
平衡问题中的重点考查内容，以轻绳、杆、弹簧为模型,以连接体、叠加体为载体,结合实际生活进行受力
分析,试题中常有“缓慢”、“轻轻地”、“刚好”、“刚能”、“恰好”等关键词。命题趋势呈以下变
化：①生活化情境占比提升；②多力平衡与电磁学交叉考查成为新热点；③临界条件分析难度加大，常作
为选择题压轴题出现。
3.备考建议：解答本讲内容的关键首先在进行正确的受力分析，在连接体问题和动态平衡问题中体会优选
研究对象(整体和隔离)的便捷，体会临界极值法、函数法、图像法、整体法、隔离法等解题方法,多联系生
活中的平衡现象,提高应用物理知识解决实际问题的能力。
4.命题情境：
①生活实践类： 可调节晾衣架、折叠梯/人字梯、窗帘/遮阳棚、秋千/吊床、蹦极/高空索降、车辆拖
挂、斜坡运输、人体骨骼/肌肉受力；
②学习探究类：观察秋千绳长与摆角的关系、分析绳拉力与摆角的关系（动态平衡）、塔吊配重平
衡、绳长调节导致晾衣杆倾斜、梯子张开角度变化（人踩梯子时）、绳索调节导致遮阳棚倾斜。
5.常用方法：整体隔离法、正交分解法、、矢量三角形法、相似三角形法、矢量圆法、临界极值法、函数
法、图像法、
复习目标：
1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。
2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。
2
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4
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考点一 动态平衡
知识点1 动态平衡问题综述
动态平衡是指研究对象的某些参量在变化，如速度、受力状态等，但是非常缓慢，_______
________
，
因此题目中有关键词“缓慢”、“轻轻地”等
知识点2 动态平衡问题的解题方法
1.图解法的适用情况：适用于“一力恒定，另一力方向不变”
用图解法分析物体动态平衡问题时, 一般物体_______
_______
, 且_______
_______
, 即
_____________________
______________
_______
,_______
______________
______________
_______
. 由三
角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。
2.解析法：如果物体受到_______
_______
，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，可进行正交分解，
利用解析法，根据_______
______________
_______
，得到_______
______________
______________
______
，
最后根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
3. 相似三角形法: 适用于“一力恒定，另两力方向均变化”
物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作_______
______________
_______与空间的某个_______
______________
_______
总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计
得分速记
：
图解法的一般步骤
①对研究的对象进行受力分析
②画出受力分析的平行四边形或者头尾相连的三角形
③找出一个大小方向都不变的力，找出一个方向不变的力，结合平行四边形各边或者角度的变化确定
力的大小及方向的变化情况
2.用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律:
①若已知F 合的方向、大小及一个分力F1的方向,则另一个分力F2取最小值的条件为F2⊥F1;
②若已知F 合的方向及一个分力F1的大小、方向,则另一个分力F2取最小值的条件为F2⊥F 合.
5
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算。
6. 矢量圆法(正弦定理法):适用于“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变”
①矢量圆: 如图所示，物体受三_______
______________
_______
，其中__________
___________
_______，另外_______
______________
_______
，但_______
______________
_______
，作出不同状态的矢
量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据
不同位置判断各力的大小变化。
②正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另
外两个力的夹角的正弦成正比，即
。
考向1 图解法解决动态平衡问题
得分速记
：
相似三角形法的一般步骤
1）对物体受力分析
2）若处于平衡状态且受三个力，构成首尾相接的力学三角形
3）寻找与力学三角形相似的几何三角形，如图三力构成的矢量三角形与△ACO 相似，则对应边比值相
等。基本矢量图，如图所示。基本关系式：mg
H = F N
R+r = FT
L 。
4）根据几何三角形长度及夹角的变化判断力的大小和方向的变化
6
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例1（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，一个质量为m 的均匀光滑球放在倾角为
的固定
斜面上，并被斜面上一竖直方向的挡板挡住，处于静止状态。已知重力加速度为g，设球对挡板的压力大
小为F1，球对斜面的压力大小F2，则（ ）
A．
B．F2=mgcosθ
C．当挡板顺时针缓慢转动到水平位置的过程中，F2一直减小
D．当挡板顺时针缓慢转动到水平位置的过程中，F1一直减小
【变式训练1·变情境】
（2025·黑龙江·二模）如图所示，一辆静止在水平地面的卡车利用缆绳，
沿固定斜面向上缓慢拉动轿车，忽略轿车与斜面的摩擦，不计缆绳质量，则在轿车向上运动的过程中（
）
A．轿车所受合外力变大 B．缆绳的拉力变大
C．斜面对轿车的支持力变大 D．地面所受的摩擦力变大
考向2 解析法解决动态平衡问题
例2（2025·河南·三模）蜘蛛通过两根蛛丝（OA 和OB）悬挂在树枝上保持平衡。初始时，蛛丝OA 与竖直
方向的夹角为θ，蛛丝OB 水平，如图所示。若猎物在A 点被蛛丝缠住并向右侧移动，蛛丝OB 仍保持水平。
蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说法正确的是（ ）
得分速记
：
“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。
若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min=F1sin θ，如图乙。
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A．蛛丝OA 的拉力逐渐减小，蛛丝OB 的拉力逐渐增大
B．蛛丝OA 的拉力逐渐增大，蛛丝OB 的拉力逐渐减小
C．蛛丝OA 和OB 的拉力均逐渐增大
D．蛛丝OA 和OB 的拉力均逐渐减小
【变式训练2·变情境】（2025·江西九江·三模）（多选）图为高层安装空调时吊运外机的场景简化图。一
名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工
人在缓慢后退时缓慢放绳，空调外机M 缓慢竖直上升，绳子Q 与竖直方向的夹角β 保持不变，绳子质量忽
略不计，则（ ）
A．绳子P 上的拉力不断变大
B．绳子Q 上的拉力先变小后变大
C．地面工人所受的支持力不断变小
D．地面工人所受的摩擦力先变大后变小
考向3 相似三角形法解决动态平衡问题
例3
（2025·山东聊城·二模）警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为
握柄。现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a 套在半圆环上，小球b 套在竖直杆上，两者之间用
一轻弹簧连接。初始时小球b 在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a 静止在离半圆环最低点较近处，
如图所示。现使小球b 缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹
性限度内，则半圆环对小球a 的弹力（ ）
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
【变式训练3·变情境】（2025·辽宁·模拟预测）如图甲所示，一攀岩爱好者正在进行攀岩运动，由于前期
攀爬体力消耗过大，所以借助攀岩绳停在图示位置做短暂休息调整。攀岩绳可视为轻绳，一端固定在竖直
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崖壁上的B 点，另一端拴在人的腰间O 点（重心处），人的两脚并拢，踩在崖壁上的A 点，该过程可以简
化为如图乙所示的模型，轻绳为拉直状态，OA 也视为直线。已知图乙中三角形三条边的长度比OA：
OB：AB=4：5：6，则攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为（ ）
A．4:5
B．5:4
C．5:6
D．6:5
【变式训练4·变考法】
（2025·四川达州·二模）如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮
O，一轻质弹簧一端固定在定滑轮的正下方N 处，另一端与小球P 连接，同时一轻绳跨过定滑轮与小球P
相连。开始时在外力F 作用下系统在图示位置静止。改变F 大小使小球P 缓慢移动，在小球P 到达N 点正
上方前，下列说法正确的是（ ）
A．外力F 大小不变
B．外力F 逐渐变大
C．弹簧弹力逐渐变小
D．小球运动轨迹是圆弧
考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题
例4
（2025·湖南怀化·三模）（多选）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示
的模型，
，叉车臂AC 与水平方向夹角为
。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相
对静止，在叉车匀速运动的过程中，若
从
缓慢增加为
，叉车臂对石墩的作用力
和车把对石墩
的作用力
的大小变化为（ ）
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A．
一直增加
B．
先增加后减小
C．
先减小后增加
D．
一直在减小
【变式训练5·变情境】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，半径为R 的半圆形容器固定在水平面上，容器
内壁光滑，一个质量为m、可视为质点的小球静止在容器的底部，现用一个大小等于
的外力F 作用在
小球上，使小球向右沿容器内壁缓慢上移。已知重力加速度大小为g，则在小球运动过程中，下列说法正
确的是（ ）
A．容器内壁对小球的作用力一定越来越小
B．通过改变F 的方向，可以使小球运动到B 点
C．外力
的方向一定沿顺时针方向转动
D．小球能上升的最大高度为
【思维建模】 动态平衡模型分析方法
1. 矢量三角形法:其中一个力大小方向固定，另一个力方向固定，第三个力大小方向均不固定
水平拉力F 逐渐增大，绳的拉力也逐渐增大
挡板对球的作用力F1先减小后增大，斜面对球的支持力F2逐渐减小
2. 相似三角形法:矢量三角形与几何三角形相似
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OA
G =OB
F N
= AB
F
3. 辅助圆法:
1)一个力大小、方向固定，另两个力间的夹角固定。
2)一个力大小、方向固定，另一个力大小固定，第三个力大小、方向均不固定
正弦定理
G
sin(π −α )=
F1
sin β =
F2
sin γ
考点二 平衡中的临界与极值问题
知识点1 临界问题与极值问题综述
1.临界问题
当某物理量变化时, 会引起其他几个物理量的变化, 从而使物体所处的平衡状态_______
______________
______________
____
,在问题的描述中常用_______
______________
_______
等语言叙述.
临界问题常见的种类：
①由静止到运动，摩擦力达到_______
_______
．
②绳子恰好绷紧，_______
_______
.
③刚好离开接触面，支持力_______
_______
.
2.极值问题
平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
知识点2 临界问题与极值问题的解题方法
1.物理分析法:根据物体的平衡条件, _______
______________
_______
,通过对物理过程的分析,利用平行
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四边形定则进行_______
_______
,确定最大值与最小值.
2.数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的_______
_______
(画出函数图
像),用数学方法_______
_______
(如求二次函数极值、三角函数极值).
3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析, _______
______________
_______
;临界条件必须在
变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量_______
______________
_______
.
4.利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值:
如图所示，物体在拉力F 作用下做匀速直线运动，改变θ 大小，求拉力的最小值时，可以用_______
_______代替支持力与摩擦力，FN 与Ff 的合力F'方向一定，即“摩擦角”α 满足tan α=
F f
F N
=μ，则
Fmin=mgsin α，此时θ=α。
考向1 物理分析法求极值问题
例1（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，四分之一光滑圆弧轨道ABC 固定在水平面上，一质量为m 的小球
（视为质点）处于圆弧AB 之间的中点，在推力F 的作用下处于静止，则推力F 的大小不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1·变情境】（2025·河北邯郸·模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中
提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，
若斜面的倾角为
，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为
，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m 的
矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
考向2 数学分析法求极值问题
例2
（2025·江西赣州·二模）如图为某科普博主带领同学们做实验的情景，有顶角不同的圆锥
放在桌面上，现让同学们挑战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为
0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥，有可能被拿起的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2·变情境】
（2024•宁海市模拟）如图所示，战士在水平地面上进行拉轮胎的负荷训
练。设战士拉着轮胎匀速向前，运动过程中双肩与绳的接触点A、B 等高，两绳间的夹角为θ，所构成的平
面与水平面间的夹角为α，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.若α 保持不变，θ 越小两绳上的拉力越大
B.若θ 保持不变，α 变化时两绳上的拉力存在最小值
C.无论α、θ 取何值，地面对轮胎的支持力始终不变
D.无论α、θ 取何值，轮胎对地面的压力不可能为0
【变式训练3】
如图所示，质量m=5.2 kg 的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉
力F 作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g
取10 m/s2。求所需拉力F 的最小值。
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考向3 极限法求极值问题
例3 小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，
截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上
后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2 倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形
积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形
积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（ ）
A.√2 R
2
B.R
C.√2R
D.√3R
1．（2025·广东·高考真题）（多选）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变
化的拉力。无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。
已知拉力与水平面成30°角，其大小F 随时间t 的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k 均为大于0 的常
量），无人机的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0 到T 时间段内（T 是满足F > 0 的任一时
刻），下列说法正确的有（ ）
A．受到空气作用力的方向会变化
B．受到拉力的冲量大小为
C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为
D．T 时刻受到空气作用力的大小为
2．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面
内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对
其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F 的最大
值为（ ）
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A．
B．
C．G
D．
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