文档文本内容
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微专题五 碰撞中的临界问题及多次碰撞问题
目录
01 考情解码•命题预警..........................................................................................................2
02 体系构建•思维可视..........................................................................................................3
03 核心突破•靶向攻坚..........................................................................................................5
考点一 碰撞中的临界问题及多次碰撞问题 ........................................................................5
知识点1 碰撞中的临界极值问题.............................................................................................5
知识点2 多次碰撞问题..............................................................................................................5
考向1 碰撞中的临界极值问题
............................................................................................5
考向2 多次碰撞问题
.............................................................................................................7
04 真题溯源•考向感知.......................................................................................................10
1
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考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
碰撞中
的临界
问题及
多次碰
撞问题
综合应用
中频
2025•江苏
2024•湖南、2024•浙
江、2024•重庆、
2024•河北
2023•全国乙卷、2023•河北
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：历年高考物理中， 临界问题常以“恰好”“刚好”“最大”“最小”等关键词为突破口，
考查学生对物理过程转折点的分析能力，多次碰撞问题则侧重考查数学归纳与逻辑推演能力，命题规律可
概括为：以动量守恒为核心，结合能量守恒、运动学规律，通过临界条件或递推关系构建复杂物理情境，
重点考察学生建模能力、数学推导能力及对物理规律的深度理解。。
3.备考建议：本讲内容备考时候，理解临界问题的本质（如速度相等时弹簧弹性势能最大、两物体恰好不
相撞时共速），通过典型例题总结临界条件的一般表述。针对多次碰撞问题，训练数学归纳法：先通过前
两次碰撞推导速度递推公式，再归纳第n 次碰撞的通式。
4.命题情境：
①生活实践类：小球撞击木块、车辆缓冲碰撞、台球碰撞、安全气囊缓冲、打桩机锤击过程；
②学习探究类：乒乓球弹跳高度衰减分析、保龄球撞击球瓶的连锁反应。
5.常用方法：动力学观点，能量观，功能关系，整体观与局部观
复习目标：
1.会用动力学和能量观点分析解碰撞中的临界问题及多次碰撞问题。
2
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3
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考点一 碰撞中的临界问题及多次碰撞问题
知识点1 碰撞中的临界极值问题
碰撞中的临界极值问题，指的是相互作用中的物体“恰好不相撞”“相距最近”“相距最远”或“恰
上升到最高点”等，求解的关键是速度相等。常见类型有
1. 当小物块到达最高点时，两物体速度相同。
4
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2. 弹簧最短或最长时，两物体速度相同，此时弹簧弹性势能最大。
3. 两物体刚好不相撞，两物体速度相同。
4. 滑块恰好不滑出长木板，滑块滑到长木板末端时与长木板速度相同。
知识点2 多次碰撞问题
多次碰撞问题的处理方法是数学归纳法，先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺、分析透彻。根据前
几次数据利用数学归纳法，可写出之后碰撞过程中对应规律或结果，然后可以计算全程的路程或发生碰撞
的总次数等数据。多次碰撞问题涉及的主要模型有:(1)两个物体之间或物体与挡板之间发生多次碰撞;(2)多
个物体发生连续碰撞。
考向1 碰撞中的临界极值问题
例1（2025·河北·模拟预测）如图是一项在长江边举办的大型户外水上游乐活动的简化图。活动场地设在
一个高h=1.8m 的倾斜山坡上，一质量m=50kg、长L=1.8m 的浮板靠在平滑山坡底部。质量m=50kg 的游客
从山坡顶端静止滑下，经过山坡底端后，浮板沿上表面从左端水平滑上浮板，若游客恰好不会脱离浮板，
安全到达目的地。不计游客与山坡间的摩擦力、空气阻力以及水对浮板的阻力，不考虑游客通过山坡和浮
板连接处的动能损失，游客可视为质点，重力加速度大小取g=10m/s²。则游客与浮板之间的动摩擦因数为
（ ）
A．0.8
B．0.75
C．0.5
D．0.4
【答案】C
【详解】对游客，从山坡滑下的过程有
解得
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游客恰好不会脱离浮板，根据动量守恒有
能量守恒因有
解得
故选C。
【变式训练1·变情境】（2025·山东·模拟预测）如图所示，长木板静止在光滑水平地面上，一木块（可视
为质点）放置在长木板的最右端，一轻质弹簧固定在长木板左侧的竖直墙壁上。某一时刻子弹（可视为质
点）以水平速度
射中木块并在极短时间内嵌入其中，之后二者一起运动，当木块与长木板达到共同速度
时，长木板左端刚好与弹簧接触，之后长木板开始压缩弹簧，弹簧压缩至最短时，弹簧自锁
（即不再压缩也不恢复形变），此时木块恰好停留在长木板的最左端。已知子弹的质量
，木块的
质量
，长木板的质量
，木块与长木板间的动摩擦因数
，长木板的长度
，
取
。求：
(1)子弹射入木块前的速度大小；
(2)开始时长木板左端与弹簧右端之间的距离；
(3)弹簧的最大弹性势能。
【答案】(1)600m/s
(2)2.25m
(3)5J
【详解】（1）对子弹、木块和长木板三者组成的系统，根据动量守恒定律，有
解得
（2）子弹射中木块的极短时间内，根据动量守恒定律，有
解得
长木板未接触弹簧前，木块在长木板上滑行时，对木块（含子弹），根据牛顿第二定律有
解得
对长木板，根据牛顿第二定律有
解得
设长木板未接触弹簧前，木块与长木板发生相对滑行的时间为t，则根据运动规律有
解得
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此段时间内，木块的位移大小
长木板的位移大小
（3）长木板未接触弹簧前，木块相对于长木板的位移大小
长木板接触弹簧时，木块与长木板左端的距离
长木板压缩弹簧的过程，对木块（含子弹）、长木板与弹簧组成的系统，根据能量守恒定律有
解得
考向2 多次碰撞问题
例2
（2025·山西·二模）火车车厢是通过詹式挂钩连接在一起的，其过程可以理解为：车头向第
一节静止的空车厢运动，通过挂钩发生完全非弹性碰撞并连为一体；随后，这个组合体继续滑向下一节静
止的空车厢，依次连接，直到所有车厢全部挂接完成。现在要研究车厢连接到一起的过程，其模型可简化
为下图：编号为0 的物块代表车头，其质量为
，编号为
的物块代表车厢，每个质量也为
，各物块
之间的距离均为
，各物块与水平面间的动摩擦因数均相同，重力加速度为
。求：
(1)先测量物块与水平面间的动摩擦因数：给物块0 一个水平向右的初速度
，恰好与物块2 相碰，求物块
与水平面间的动摩擦因数
；
(2)研究车厢连在一起的过程：给物块0 施加水平向右的恒力，使物块0 从静止开始水平向右运动，为使所
有车厢连接在一起，求施加恒力的最小值
。[可能用到的数学公式：
]
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）物块0 向物块1 运动：
物块0 与物块1 发生完全非弹性碰撞：
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物块0、1 向物块2 运动：
联立解得
（2）物块0 向物块1 运动：
物块0 与物块1 碰撞：
计算第二次碰前的速度：
计算第二次碰后的速度：
总结规律，依次递推：
第
次碰后的速度为：
第
次碰前的速度为：
联立上式可得
利用数学知识，累加可解得
由题干信息知：
可解得
代入第（1）问中的结果，可得
【变式训练2·变情境】
（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，在倾角
的斜面上固定一
个长直圆管，管内有一质量为m 的薄圆盘静止在管内，圆管的长度为60L。一直径略小于圆管内径的光滑
小球以初速度
进入圆管，与圆盘发生碰撞，小球的质量也为m。圆盘受到撞击后向下滑动，下
滑过程中受到圆管对它的滑动摩擦力大小等于圆盘重力的0.6 倍，圆盘始终垂直管壁。小球与圆盘发生的
碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计其他阻力，重力加速度大小为g，
，
。求：
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(1)第一次碰撞后瞬间，小球和圆盘的速度大小；
(2)第二次碰撞前瞬间，小球重力的功率；
(3)小球在管中运动的过程中，小球与圆管碰撞的次数。
【答案】(1)0，
(2)
(3)19 次
【详解】（1）设第一次碰撞后瞬间小球的速度为
，圆盘的速度为
，弹性碰撞，由系统动量守恒，
有
根据机械能守恒，有
解得
，
（2）设从第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为
，小球的加速度为
，对小球，有
对圆盘，有
，做匀速直线运动
第二次碰撞前瞬间，位移关系为
解得
第二次碰撞前瞬间，小球的速度
小球重力的瞬时功率
得
。
（3）第一次碰撞到第二次碰撞之间，圆盘的位移
设第二次碰后小球的速度为
，圆盘的速度为
，由速度交换有
，
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第二次碰撞到第三次碰撞之间，圆盘的位移
第三次碰撞前小球的速度
，圆盘的速度
第三次碰撞后小球的速度
，圆盘的速度
第三次碰撞到第四次碰撞之间，圆盘的位移
以此类推，第
次碰撞到第
次碰撞之间，圆盘的位移
次碰撞圆盘的总位移
解得
（次），故一共碰撞19 次。
1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有
n 个。在两列钢球之间，一质量为m 的玻璃球以初速度
向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞
均视为弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2)若钢球质量为
，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小
；
(3)若钢球质量为
，求玻璃球经历
次碰撞后的动能
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能
守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的
初速度为
。
（2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
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解得
，
负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为
（3）根据题意结合小问2 分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的
，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与
左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的
，综
上所述，玻璃球碰撞
次后速度大小为
则玻璃球碰撞
次后最终动能大小
2．（2024·重庆·高考真题）如图所示，M、N 两个钉子固定于相距a 的两点，M 的正下方有不可伸长的轻
质细绳，一端固定在M 上，另一端连接位于M 正下方放置于水平地面质量为m 的小木块B，绳长与M 到
地面的距离均为10a，质量为2m 的小木块A，沿水平方向于B 发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A 与地面间
摩擦因数为
，重力加速度为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损失。
(1)若碰后，B 在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B 碰后瞬间速度的最小值；
(2)若改变A 碰前瞬间的速度，碰后A 运动到P 点停止，B 在竖直面圆周运动旋转2 圈，经过M 正下方时
细绳子断开，B 也来到P 点，求B 碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg 细绳会断，上下移动N 的位置，保持N 在M 正上方，B 碰后瞬间的速度与（2）问中
的相同，使B 旋转n 圈。经过M 正下的时细绳断开，求MN 之间距离的范围，及在n 的所有取值中，B 落
在地面时水平位移的最小值和最大值。
【答案】(1)
(2)
(3)
（n = 1，2，3，…），
，
【详解】（1）碰后B 能在竖直面内做圆周运动，轨迹半径为10a，设碰后B 的最小速度大小为v0，最
高点速度大小为v，在最高点时由牛顿第二足定律有
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B 从最低点到最高点由动能定理可得
解得
（2）A 和B 碰撞过程中动量守恒，设碰前A 的速度大小为v1碰后A 的速度大小为v2。碰后B 的速度大
小为v3，则有
2mv1 = 2mv2＋mv3
碰后A 减速到0，有
碰后B 做两周圆周运动，绳子在MN 间缠绕2 圈，缩短4a，在M 点正下方时，离M 点6a，离地面
4a，此时速度大小为v4，由功能关系得
B 随后做平抛运动，有
L = v4t
解得
（3）设MN 间距离为h，B 转n 圈后到达M 正下方速度大小为v5，绳缩短2nh，绳断开时，以M 为圆
心，由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
以N 为圆心，由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
从碰后到B 转n 圈后到达M 正下方，由功能关系得
（n = 1，2，3，…）
解得
（n = 1，2，3，…）
绳断后，B 做平抛运动，有
（n = 1，2，3，…）
s = v5t
可得
（n = 1，2，3，…）
由于
（n = 1，2，3，…）
则由数学分析可得
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当
时，
当n = 1 时，
，
3．（2024·湖南·高考真题）如图，半径为R 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A 和
B（mA>mB）。初始时小球A 以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B 发生碰撞。不计小球与圆
环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小；
（2）若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量
比
。
（3）若小球A 与B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e 倍
（0<e<1） ，求第1 次碰撞到第2n+1 次碰撞之间小球B 通过的路程。
【答案】（1）
，
；（2）
或
；
（3）
【详解】（1）有题意可知A、B 系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，则根据动量
守恒有
可得
碰撞后根据牛顿第二定律有
可得
（2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有
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联立解得
，
因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图
①若第二次碰撞发生在图中的b 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程之比为
，则有
联立解得
由于两质量均为正数，故k1=0，即
对第二次碰撞，设A、B 碰撞后的速度大小分别为
，
，则同样有
联立解得
，
，故第三次碰撞发生在b 点、第四次碰撞发生在c 点，以此类推，满足题意。
②若第二次碰撞发生在图中的c 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程之比为
；所以
联立可得
因为两质量均为正数，故k2=0，即
根据①的分析可证
，
，满足题意。
综上可知
或
。
（3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为
，第一次碰后与第二次相
碰前B 球比A 球多运动一圈，即B 球相对A 球运动一圈，有
第一次碰撞动量守恒有
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且
联立解得
B 球运动的路程
第二次碰撞的相对速度大小为
第二次碰撞有
且
联立可得
所以B 球运动的路程
一共碰了2n 次，有
4．（2023·河北·高考真题）如图，质量为
的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为
的竖直光滑
圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成
角．质量为
的小
物块
以
的初速度从木板左端水平向右滑行，
与木板间的动摩擦因数为0.5．当
到达木板右端时，
木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时
沿圆弧切线方向滑上轨道．待
离开轨道后，可随时解除木板
锁定，解除锁定时木板的速度与碰撞前瞬间大小相等、方向相反．已知木板长度为
取
取
．
（1）求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块
和木板的速度大小；
（2）求物块
到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距地面的最大高度；
（3）物块
运动到最大高度时会炸裂成质量比为
的物块
和物块
，总质量不变，同时系统动能增加
，其中一块沿原速度方向运动．为保证
之一落在木板上，求从物块
离开轨道到解除木板锁定的
时间范围．
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【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
或
【详解】（1）设物块
的初速度为
，木板与轨道底部碰撞前，物块
和木板的速度分别为
和
，
物块
和木板的质量分别为
和
，物块
与木板间的动摩擦因数为
，木板长度为
，由动量守恒
定律和功能关系有
由题意分析
，联立式得
（2）设圆弧轨道半径为
，物块
到圆弧轨道最高点时斜抛速度为
，轨道对物块的弹力为
．物块
从轨道最低点到最高点，根据动能定理有
物块
到达圆弧轨道最高点时，根据牛顿第二定律有
联立式，得
设物块
拋出时速度
的水平和竖直分量分别为
和
斜抛过程物块
上升时间
该段时间物块
向左运动距离为
．
物块
距离地面最大高度
．
（3）物块
从最高点落地时间
设向左为正方向，物块
在最高点炸裂为
，设质量和速度分别为
和
、
，设
，系统动能增加
．根据动量守恒定律和能量守恒定律得
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解得
或
．
设从物块
离开轨道到解除木板锁定的时间范围
：
（a）若
，炸裂后
落地过程中的水平位移为
炸裂后
落地过程中的水平位移为
木板右端到轨道底端的距离为
运动轨迹分析如下
为了保证
之一落在木板上，需要满足下列条件之一
Ⅰ．若仅
落在木板上，应满足
且
解得
Ⅱ．若仅
落在木板上，应满足
且
不等式无解；
（b）若
，炸裂后
落地过程中水平位移为0，炸裂后
落地过程中水平位移为
木板右端到轨道底端的距离为
运动轨迹分析如下
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为了保证
之一落在木板上，需要满足下列条件之一
Ⅲ．若仅
落在木板上，应满足
且
解得
Ⅳ．若仅
落在木板上，应满足
且
解得
．
综合分析（a）（b）两种情况，为保证
之一一定落在木板上，
满足的条件为
或
18
