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06 圆周运动
[-考点-04-] 竖直面内圆周运动的临界问题
两类模型对比
轻绳模型
(最高点无支撑)
轻杆模型
(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿
内轨道运动的“过山车”
等
球与杆连接、球在光滑管道中运
动等
图示
受力
示意
图
F 弹向下或等于零
F 弹向下、等于零或向上
力学
方程
mg＋F 弹＝m
mg±F 弹＝m
临界
特征
F 弹＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F 向＝0
F 弹＝mg
讨论
分析
(1)最高点，若v≥，F 弹＋
mg＝m，绳或轨道对球产
生弹力F 弹
(2)若v<，则不能到达最高
点，即到达最高点前小球
已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0 时，F 弹＝mg，F 弹背
离圆心
(2)当0<v<时，mg－F 弹＝m，F 弹
背离圆心并随v 的增大而减小
(3)当v＝时，F 弹＝0
(4)当v>时，mg＋F 弹＝m，F 弹指
向圆心并随v 的增大而增大
解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第
二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再
根据牛顿第三定律求出压力．
典例1 (轻绳模型)(2023·陕西延安市黄陵中学)如图所示，一质量为m
＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内
做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是( )
A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B．当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力为15 N
C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大
速度不能超过4 m/s
D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大
速度不能超过4 m/s
典例2 (轻杆模型)(多选)(2023·四川·期末)如图所
示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴
上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下
列说法正确的是( )
A.v 的最小值为
B.v 由零逐渐增大，向心力也增大
C.当v 由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D.当v 由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
典例3 (轻绳与FT－v 2图像)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为
m 的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最
高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－
v
2图像如图乙所示，则( )
A．数据a 与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c 时，轻质绳的拉力大
小为＋a
D．当v2＝2b 时，小球受到的拉
力与重力大小相等
典例4 (轻杆与F－v 2图像)(2023·长春市·期末)如图甲所示，轻杆的
一端固定一小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O 上，O 轴
的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小
v，O 轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O 轴受到的杆
的作用力F，若取竖直向下为F 的正方向，在最低点时给小球不同的
初速度，得到的F－v2(v 为小球在最高点处的速度)图像如图乙所示，
取g＝10 m/s2，则( )
A．小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s
B．小球在最高点的速度大小为
m/s 时，杆对球的作用力为支持力
C．小球的质量为3 kg
D．O 轴到小球的距离为0.5 m
1.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面
头朝下，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对
座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的
速度大小为( )
A.0
B. C.
D.
2.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的
一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg 的大小不计的盛水容器，以绳
的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”
通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g
取10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受
到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
3.如图所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．
圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离
圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是(重力加速度为g)( )
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
4.(多选)(2023·河北高二学业考试)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O
上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小
球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力( )
A．方向一定竖直向上
B．方向可能竖直向下
C．大小可能为0
D．大小不可能为0
5.如图所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，
在竖直面内绕杆的另一端O 做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速
度大小为v＝，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是( )
A.mg 的拉力
B.mg 的压力
C.零
D.mg 的压力
6.(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于
竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半
径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过
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最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是( )
A.若v0＝，则小球对管内壁无压力
B.若v0>，则小球对管内上壁有压力
C.若0 <v0<，则小球对管内下壁有压力
D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
7.(2023·山东省·期中)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆
心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，
如
图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
8．(2023·四川绵阳市诊断)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质
量均为m 的球A 和B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L
处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运
动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为
g，则球B 在最高点时( )
A．球B 的速度为零
B．球A 的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
9.(多选)如图甲所示，一长为R 的轻绳，一端系在过O 点的水平转轴上，
另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动，小球
通过最高点时，绳对小球的拉力
F
与其速度平方v2的关系图像如
图乙所示，图线与纵轴的交点坐
标为a，下列判断正确的是(
)
A.利用该装置可以得出重力加速
度，且g＝
B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大
C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标不变
10.(多选)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动．
当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小
球的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)．MN 为通过圆心
的一条水平线．不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g.则下列说
法中正确的是( )
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
11.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球(大
小不计)，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动.小球运动到
最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为
v，其F－v2图像如图乙所示.则(
)
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2＝c 时，小球对杆的弹力方向向
上
D.v2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等
12.(多选)(2023·四川省·三模)如图所示，两段长均为L 的轻绳共同系
住一质量为m 的小球，另一端固定在等高的两点O1、O2，两点的距
离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初速度v0，小球恰能在竖
直面内做圆周运动，重力加速度为g，则( )
A．小球运动到最高点的速度v＝
B．小球运动到最高点的速度v＝
C．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
D．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
13．(2022·浙江安吉县高级中学高一开学考试)如图甲所示为一种叫
“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示．质量为M、半径为
R 的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均
可以旋转．陀螺的质量为m，其余部分质量不计．陀螺磁芯对轨道的
吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg.不计摩擦和空气阻力，
重力加速度为g.
(1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺
的弹力大小；
(2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最
低点时的最大速度；
(3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支
架对轨道的作用力大小；
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