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专题强化十八 动态圆
目标要求 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.会用“平移圆”
“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹.3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型．
题型一 “平移圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的
同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相
同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线
与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方
法叫“平移圆”法
例1 如图所示，在xOy 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆形匀强磁
场，线状粒子源从y 轴左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为
v0的带正电粒子．磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy 向里．不考虑粒子间的相互
作用，不计粒子受到的重力．所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长
为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场
中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆
心角α 最大，FE 最长，经分析可知，当粒子从y 轴上的D′点射入、从x 轴上的E′点射出磁
场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在
磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故选C.
1
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题型二 “旋转圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀
强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入
射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点
P 为圆心、半径R＝的圆上
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出
临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 (2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy 平面直角坐标系，
第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B 未知)．坐标原
点O 处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为
m、电荷量为q 的正离子．在y 轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M 点坐标为(0，a)，N
点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N 点，最近到M
点．不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：
2
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(1)恰好打到M 点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例．
答案 (1)或 (2)
解析 (1)由题意可知，沿x 轴正方向出射的离子，经半圆到达N 点，
由此可得r＝a，可知通过M 点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为
60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子做匀速圆周运动，周期T
＝，即T＝，解得t1＝，t2＝
(2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x 轴正
方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数
的比例为＝.
题型三 “放缩圆”模型
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强
磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随
速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动
半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨
3
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迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨
迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例3 (2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴
圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v 的电子从圆心沿半径
方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图
中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径
为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联立
解得B＝，故选C.
例4 (多选)如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的
中点．若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的某一速度射入正
方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成
30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
4
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C．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
答案 AD
解析 带电粒子以垂直于cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场，
则知带电粒子的运动周期T＝2t0.该粒子从O 点以与Od 成30°角的方向射入磁场，随着粒子
速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围
分别为OG、FE、DC、BA 之间，不可能从四个顶点射出，故A 正确．由上述分析知粒子运
动周期为2t0，由图分析可知，从ab 边射出的粒子所用时间不可能为t0，从bc 边射出的粒子
所用时间不超过T＝，所有从cd 边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为＝，故B、C 错
误，D 正确．
题型四 “磁聚焦”与“磁发散”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹
圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量
为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒
子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行
四边形，O1A、O2B、O3C 均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
5
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例5 (2021·湖南卷·13)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一．带
电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v 垂直进入磁场，不计重力及带电粒
子之间的相互作用．对处在xOy 平面内的粒子，求解以下问题．
(1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x 轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀
强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，－r2)．在虚线框内设计
一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并
沿x 轴正方向射出．求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写
出面积最小的证明过程)；
(3)如图(b)，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方
形．在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子
流沿x 轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x 轴正
方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束．求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和
Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)．
答案 (1) (2) 垂直于纸面向里 πr2
2
(3) (π－1)r3
2 (π－1)r4
2
解析 (1)粒子垂直y 轴进入圆形磁场，在坐标原点O 汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在
磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，qvB1
＝m
解得B1＝
(2)粒子从O 点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O 点飞入然后沿x 轴正方向飞出，为磁发
散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图
甲中所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域
磁场半径为r2，根据qvB2＝m，
可知磁感应强度为B2＝
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根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2＝πr2
2
(3)画出磁场区域面积最小时的情形，如图乙所示．
在Ⅰ、Ⅱ区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径R3＝r3，由洛伦兹力提供
向心力有qvB3＝，解得B3＝，Ⅱ中磁场区域的面积S1＝2×＝r3
2.
在Ⅲ、Ⅳ区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径R4＝r4，由洛伦兹力提供
向心力有qvB4＝，解得B4＝，Ⅳ中磁场区域的面积S4＝2×＝r4
2.
课时精练
1.(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，磁场方向
分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC 与边界MN 平行，
Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AD 上的不同点射入，入射速度垂
直AD 且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案 CD
解析 带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A 错误；设从某处E 进入磁场的粒子，
其轨迹恰好与AC 相切(如图所示)，则E 点与A 点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距
A 点0.5d 处射入，会进入Ⅱ区域，选项B 错误；粒子在距A 点1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区
域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C 正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦
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长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间
为tmin＝＝，选项D 正确．
2.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大
量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入
速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相
应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为(
)
A.∶2
B.∶1
C.∶1
D．3∶
答案 C
解析 根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P
点最远，则粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，
粒子运动的轨迹半径为r1＝Rcos 60°＝R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几
何知识可知，粒子运动的轨迹半径为r2＝Rcos 30°＝R；根据轨迹半径公式r＝可知，v2∶v1
＝r2∶r1＝∶1，故选项C 正确．
甲 乙
3.(多选)如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m、电荷量
为－q(q>0)、速率为v0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，
可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度
可以是下列选项中的(其中B0＝，A、C、D 选项中曲线均为半径为L 的圆弧，B 选项中曲线
为半径为的圆)( )
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答案 AB
4.如图所示，在x 轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大
小为B.在原点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q 的正离
子，速率都为v.对那些在xOy 平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x 轴及y 轴
最远距离分别为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 若让沿x 轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O 点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y 轴
最远为|x|＝2r＝，离x 轴最远为y＝2r＝，所以A 项正确．
5.(多选)如图所示，平行线MN、PQ 间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小
为B，MN、PQ 间的距离为L.在MN 上的a 点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射
入质量为m、电荷量为q 的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等．这些粒子经磁场偏
转后，穿过PQ 边界线的最低点为b 点．已知c 是PQ 上的一点，ac 垂直于PQ，c、b 间的
距离为L，则下列说法正确的是( )
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A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B．粒子在磁场中运动的速度大小为
C．粒子从PQ 边射出的区域长为L
D．沿斜向下与MN 夹角为30°方向射入的粒子恰好从c 点射出磁场
答案 BC
解析 作出一些粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系有R2＝(L－R)2＋()2，求得R＝L，
A 项错误；由qvB＝m 得粒子做圆周运动的速度大小v＝＝，B 项正确；设粒子从PQ 射出区
域的上端d 点到c 点的距离为s，根据几何关系有R2＝(L－R)2＋s2，求得s＝，因此bd＝L，
C 项正确；从c 点射出磁场的粒子，在a 点时速度与MN 的夹角θ 满足2Rcos θ＝L，可得
cos θ＝0.8，则θ≠30°，D 项错误．
6．(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如
图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径．一束质量
为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速
率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．
设轨迹交半圆ab于e 点，ce 中垂线交bc 于O 点，则O 点为轨迹圆的圆心，如图所示．圆心
角θ＝π＋2β，当β 最大时，θ 有最大值，由几何知识分析可知，当ce 与ab相切时，β 最大，
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此时β＝30°，可得θ＝π，则t＝T＝，故选C.
7.如图所示，真空中垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边
界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O.一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P 点沿PO
方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°.当将该带电粒子从P
点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1∶v2
至少为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得r1＝＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛
顿第二定律得qv1B＝m，解得v1＝，粒子竖直向上射入磁场，恰好不能进入小圆区域时粒子
的轨迹半径r2＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv2B＝m，解得v2＝，则
v1∶v2＝，B 项正确．
8．(2023·广东佛山市模拟)如图所示，宽为d 的混合粒子束由速率为3v、4v、5v 的三种带正
电的离子组成．所有离子的电荷量均为q、质量均为m，当三种速率的离子水平向右进入匀
强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在入口处，紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为2d
的薄吞噬板MN.忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都能打到吞噬板MN 上，则
磁感应强度大小的取值范围是( )
A.<B<
B.<B<
C.<B<
D.<B<
答案 C
解析 由分析可知，粒子束上边缘进入速率为v1＝3v 的离子到达吞噬板上边缘时，半径最
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小，磁感应强度最大，根据qv1B1＝m，由几何关系得R1＝，可得B1＝；粒子束下边缘进入
速率为v2＝5v 的离子到达吞噬板下边缘时，半径最大，磁感应强度最小，此时qv2B2＝m，
R2＝d，得B2＝，所以磁感应强度大小的取值范围为<B<，故C 正确，A、B、D 错误．
9．(多选)(2023·湖南省模拟)在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制
带电粒子的运动．如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场
(图中未画出)，PQ、EF 是两条相互垂直的直径，圆形区域左侧有一平行EF、关于PQ 对称
放置的线状粒子源，可以沿平行于PQ 的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v0的带
正电的粒子，粒子源的长度为R，从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从F 点射出磁场．
不计粒子重力及粒子间的相互作用．下列说法正确的是( )
A．匀强磁场的方向垂直纸面向里
B．粒子源发射的粒子均从F 点射出磁场
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．粒子在磁场中运动的最短时间为
答案 BD
解析 带正电的粒子向下偏转，根据左手定则可知匀强磁场的方向垂直纸面向外，故A 错
误；如图甲所示，设粒子的运动半径为r，根据几何关系可得CF＝，2＋()2＝r2，解得r＝
R，根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，解得B＝，故C 错误；所有粒子在磁场中运动
半径都相等，运动的圆弧越短，在磁场中运动的时间越短，如图乙所示，
由几何关系可得sin∠HO2F＝，解得∠HO2F＝30°，粒子在磁场中运动的周期T＝，则粒子在
磁场中运动的最短时间tmin＝T＝，故D 正确；
任意一点射入磁场，粒子的运动半径等于R，如图丙所示，由几何关系可知四边形OIJF 恒
为一个菱形，OF∥IJ，所以所有的粒子都从F 点射出，故B 正确．
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10.如图所示，正方形区域abcd 内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，
大量带正电的粒子从O 点沿与ab 边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子
重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小
为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad 边离开磁场，求v0的取值范围．
答案 (1) (2)<v0≤
解析 (1)粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，
有qBv0＝，又T＝，解得T＝；
又由几何关系得θ＝74°，
则粒子在磁场中运动的最长时间
t＝T＝
(2)当粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，
设此时初速度为v01，轨道半径为R1，
由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l
又qBv01＝，解得v01＝
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当粒子运动轨迹与cd 边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨道半径为R2，
由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l，
又qBv02＝，解得v02＝
综上可得<v0≤.
11.(2023·湖北省襄阳五中模拟)如图所示，在竖直边界MN 左侧有磁感应强度大小为B、方向
垂直纸面向里的匀强磁场，竖直边界O 处有一小孔，大量带正电的相同粒子从各种不同方
向沿纸面以相同速率从小孔射入磁场．紧贴小孔的下方有一可绕O 转动的足够长挡板OA(忽
略小孔的大小，认为小孔与转动轴在同一位置)，射入磁场的带电粒子能全部打在挡板上．
不计粒子重力及其相互作用，当挡板和边界MN 的夹角θ 由0 增大到180°的过程中，
从小孔射入的带电粒子击中挡板区域的长度将( )
A．不断增大
B．先增大，后减小，其长度变化情况先后对称
C．先增大，后减小，其长度变化情况先后不对称
D．先增大，后不变
答案 D
解析 由题意知带正电的粒子进入磁场后，由左手定则得轨迹如图，则当挡板和边界MN 的
夹角θ 由0 增大到180°的过程中，在位置1 时，粒子打在板上长度比直径小，从位置2 开始
粒子打在板上区域的长度等于直径，此后维持不变，直到增大到180°，故选D.
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