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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块9 电磁感应各模块大招
第06 讲 恒
杆及恒
杆模型
（解析版）
目录
【内容一】 恒
杆（时间、能量、加速度）模型.........................................................................................1
【内容二】 恒
杆（时间、能量、速度、加速度）模型.............................................................................3
【内容三】 经典模型具体操作步骤模型..........................................................................................................5
技巧总结
恒
杆
模型
技巧总结
模型：
1、运动：匀加速
2、考点：
①
的表达式：牛顿第二定律
注意：给
推
,给定
推
或
或
,形如
.
1
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②求：利用两大图象
③能量：求
，
形如：
已知
杆做匀加速直线运动
图象如图所示：
问题：
①求
②
破
解
：
①
则
②
.
恒
杆
模型
技巧总结
模型：恒
1、运动过程：
的加速，最终匀速
2
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2、考点：
①求
：
②能量：
③求：能量守恒
形如：
已知
杆做恒功率为
,作用
时，匀速
问题：
①求
②
破解：①
,
②
3
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例题演练
例1．如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上
端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B。将质量为m 的导体
棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下
的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒最终以2v 的速度匀速运动。导体棒始终与
导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g。下列选项正确的
是（ ）
A．P=2mgvsinθ B．P=3mgvsinθ
C．当导体棒速度达到
时加速度大小为gsinθ
D．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功
解：AB．当导体棒的速度达到v 时，对导体棒进行受力分析如下图所示
则
，
所以
当导体棒的速度达到2v 时，对导体棒进行受力分析如下图所示
则
联立解得
功率
故A 正确，B
错误；
C．当导体棒速度达到
时，对导体棒受力分析如下图所示
4
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联立解得
故C 错误；
D．当导体棒的速度达到2v 时，安培力等于拉力和重力沿下面向下的分力之和。根据
功和能量的关系，以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力和重力做功之
和，故D 错误。故选A。
例2．如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为
，上
端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面。将质量为m 的导体棒由静止释放，当
速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉
力的功率恒为P，导体棒最终以2v 的速度匀速运动，导体棒始终与导轨垂直且接触良
好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g。下列选项正确的是（ ）
A．磁感应强度大小为
B．拉力的功率
C．当导体棒速度达到1.5v 时加速度大小为
D．在导体棒速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的
功
解：A．当导体棒的速度达到v 时，对导体棒进行受力分析如下图所示
5
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则
，
所以
解得
A 错误；
B．当导体棒的速度达到2v 时，对导体棒进行受力分析如下图所示
则
联立解得
功率
B 正确；
C．当导体棒速度达到
时，对导体棒受力分析
，
联立解得
C 正确；
D．当导体棒的速度达到2v 时，安培力等于拉力和重力沿下面向下的分力之和。根据
功和能量的关系，以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力和重力做功之
和，故D 错误。故选BC。
例3．如图所示，间距为
的光滑足够长平行金属导轨
、
所在平面与水
平面夹角为
，M、P 两端接一阻值为
的定值电阻，质量为
、电
阻不计的金属棒
垂直导轨放置且棒两端始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，重力
加速度g 取
。整个装置处在磁感应强度大小为
、方向垂直导轨平面向上
的匀强磁场中。
时对金属棒施加一平行于导轨向上的拉力F，拉力F 的功率恒为
，使金属棒由静止开始沿导轨向上运动，经过足够长时间，达到稳定状态后，
下列说法正确的是（ ）
A．导体棒运动的速度为10m/s
B．单位时间内通过电阻R 的电荷量为
10C
C．电阻R 的热功率为15W
D．拉力F 的大小为10N
6
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解：A．金属棒达到稳定状态后，做匀速直线运动，受平衡力，则
又
，
，
解得
故A 正确；
B．由
，
，
解得间内通过电阻R 的电荷量为
故B 正确；
C．由
，
，
解得电阻R 的热功率为
故C 错误；
D．力F 的大小为
故D 错误。故选AB。
例4．如图所示，相距L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端
接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B，将质量为m 电阻为R
的导体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导
轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒最终以3v 的速度匀速运动。导体棒
始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻，重力加速度为g。下列选项正确的是
（ ）
A．P=3mgvsinθ B．P=6mgvsinθ
C．以3v 匀速运动过程中，定值电阻R 消耗的电功率为4.5mgvsinθ
D．当导体棒速度为
时加速度大小为
解：AB．当导体棒以v 匀速运动时受力平衡，可得
当导体棒以2v 匀速运动时受力平衡，则有
联立解得F=2mgsinθ
拉力的功率为P=F•3v=6mgvsinθ 故A 错误，B 正确；
7
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C．以3v 匀速运动过程中，产生的电动势为
回路的电流为
定值电阻R 消耗的电功率为
联立以上可得
D．当导体棒速度为
时，由牛顿第二定律有
联立解得
故D 正确。故选BD。
例5．平行导轨固定在水平桌面上，左侧接有阻值为R 的电阻，导体棒ab 与导轨垂直
且接触良好，ab 棒质量为m，在导轨间的阻值为r,长度为l ．输出功率恒为P 的电动
机通过水平绳向右拉动ab 棒，使ab 棒从静止开始运动． 整个区域存在竖直向上的大
小为B 的匀强磁场．若导轨足够长，且不计其电阻和摩擦．则
A．导体棒一直做匀加速运动 B．导体棒的最大速度为
C．电阻R 消耗的最大功率为
D．若经过时间t，导体棒的速度为v，则电阻R 上产生的热量为pt-
mv2
解：导体棒在细线的拉力作用下向右加速，随着速度的增加，切割电动势增加，电流
增加，安培力增加，加速度逐渐减小，最终稳定时导体棒做匀速直线运动，拉力和安
培力平衡，则选项A 错误；电阻R 消耗的电功率最大时，回路的电流最大，导体棒以
最大速度做匀速直线运动，受拉力和安培力平衡；拉力的功率为P，故克服安培力做
功的功率也为P，产生的电功率为P；即
又
，解得
，
选项B 正确；根据P=I2R，有：
，故
；选项C 正确；若经过时
间t，导体棒的速度为v，则整个电路上产生的总热量为pt-
mv2，电阻R 上产生的热
8
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量：
(Pt-
mv2)，故D 错误．
例6．如图所示，ef、gh 为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距为
m，导
轨左端连接一个
Ω 的电阻，将一根质量为0.2kg 的金属棒cd 垂直地放置在导轨上，
且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计，整个装置放在磁感应强度为
T
的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下，现对金属棒施加一水平向右的拉力F，
使棒从静止开始向右运动。
（1）若施加的水平外力恒为
N，则金属棒达到的稳定速度
是多少？
（2）若施加的水平外力的功率恒为
W，则金属棒达到的稳定速度
是多少？
解：（1）当金属棒达到稳定速度
时，金属棒产生的感应电动势为
①
通过金属棒的感应电流为
②金属棒所受安培力大小为
③
根据平衡条件有
④联立①②③④解得
⑤
（2）当金属棒达到稳定速度
时，金属棒产生的感应电动势为
⑥
根据功能关系可知此时水平外力的功率等于电阻R 的电功率，所以
⑦
联立⑥⑦解得
⑧
例7．如图所示，MN、PQ 为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L 为
0.5m，导轨左端连接一个阻值为2Ω 的定值电阻R，将一根质量为0.2kg 的金属棒cd 垂
直放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒cd 的电阻
，导轨电阻不计，整个
装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为
T。若棒以1m/s 的初速
度向右运动，同时对棒施加水平向右的拉力F 作用，并保持拉力的功率恒为4W，从此
时开始计时，经过2s 金属棒的速度稳定不变，试求：
（1）金属棒的最大速度；
（2）金属棒速度为3m/s 时的加速度。
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解：（1）金属棒匀速时，拉力等于安培力，根据安培力公式
闭合电路欧姆定
律
法拉第电磁感应定律
功率与速度关系式
联立解得
（2）当速度3m/s 时，由牛顿第二定律有
功率与速度关系式
安培力公式
闭合电路欧姆定律
法拉第电磁感应定律
解得
例8．如图，ef、gh 为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距为L = 1m，导轨
左端连接一个R = 2Ω 的电阻，将一根质量为0.2kg、电阻r = 1Ω 的金属棒cd 垂直地
放置导轨上，且与导轨接触良好，导轨的电阻不计，整个装置放在磁感应强度为B =
2T 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现对金属棒施加一水平向右的拉力
F，使棒从静止开始向右运动。求：
（1）若施加的水平外力恒为F = 8N，则金属棒达到的稳定速度v1是多少？
（2）若施加的水平外力的功率恒为P = 12W，则金属棒达到的稳定速度v2是多少？
（3）若施加的水平外力的功率恒为P = 12W，则金属棒从开始运动到速度v3 = 2m/s
的过程中电阻R 产生的热量为6.4J，则该过程所需的时间是多少？
解：（1）稳定时金属棒做匀速直线运动，外力与安培力平衡，则有F = BI1L
又
联立得
代入数据解得v1 = 6m/s
（2）稳定时金属棒做匀速直线运动，外力与安培力平衡，则有
又P = F2v2
联立解得v2 = 3m/s
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（3）已知电阻R 产生的热量为QR = 6.4J
则回路中产生的总热量为
根据动能定理得
又W 安 = Q 联立解得
例9．如图所示，两根足够长、且电阻不计的光滑平行金属导轨，固定在同一水平面
上。磁感应强度为
的匀强磁场，方向垂直于两根导轨所在的水平面竖直向下。两根
质量均为
的金属杆甲和乙跨放在导轨上，两根金属杆始终与导轨垂直。已知两根导
轨的间距为
，两根金属杆的长度也都为
，两根金属杆的电阻之和为
。现在在金
属杆甲的中点加一个与金属杆甲垂直、且水平向右的恒定拉力
，使金属杆甲由静止
开始沿导轨向右运动。与此同时，在金属杆乙的中点加上另外一个与金属杆乙垂直、
且水平向左的拉力，该拉力的功率恒为
，使金属杆乙由静止开始沿导轨向左运动。
已知经过时间，甲杆的位移为
，两金属杆上产生的焦耳热之和为
，此时甲杆向右
加速运动的加速度刚好为0，乙杆向左加速运动的加速度还没有达到0。则：
（1）在时刻末，金属杆乙的速度大小为多少？
（2）在时刻末，金属杆乙所受的拉力大小为多少？
解：(1)(2)设时刻甲、乙的速度大小分别为
、
，在时间内，对甲、乙整体，由
功能关系得
在时刻，设回路感应电动势为
，回路感应电流为
，乙所受拉力大小为
，对甲，
因为甲加速度为0，有
对乙有
对闭合电路有
由闭合电路欧姆定律得
联立整理可得
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解得
代入乙的功率表达式可得
例10．如图所示，两根固定在水平面上的平行金属导轨MN 和PQ，导轨间的距离为
L=1.0m，一端接有阻值为R=1.5Ω 的电阻，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度
B=1.0T，在导轨上垂直跨放质量为m=1.0kg，电阻为r=0.5Ω 的金属杆，金属杆与导轨
接触良好，导轨足够长且电阻不计，已知金属杆与导轨间的动摩擦因数为μ=0.1，如果
金属杆在功率恒为P=1.5W 的垂直于杆的水平外力作用下从静止开始向右运动，且金
属杆始终保持与导轨垂直，开关处于断开，电压表为理想电表。试求：
(1)电压表的最大读数是多少？
(2)当电压表的读数为最大时，闭合开关，试求闭合开关后的瞬时，金属杆的加速度。
(3)闭合开关后电压表的最终读数是多少？
(4)请证明闭合开关后的任意时间内，克服安培力所做的功等于电路中消耗的电能。
解：(1)电压表读数最大时金属棒的速度最大，速度最大时加速度为0，则有
金属杆的最大速度
电压表的最大读数
由上几式解得
(2) 当电压表的读数为最大时，闭合开关后的瞬时，通过金属棒的电流为
金属杆的加速度
解得
(3)闭合开关后，金属棒的速度最大时，加速度为0，则有
闭合开关后，金属杆的最大速度
解得
代入数据解得
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闭合开关后电压表的电压为
，
代入数据解得
(4)设闭合开关后的任意时间
内，
时间内金属棒的运动可认为是匀速运动则有
，
，
解得
电路中消耗的电能
所以有
例11．如图所示，光滑平行金属导轨
、
放置在同一水平面内，M、P 之间接一
定值电阻R，金属棒
垂直导轨放置，金属棒和导轨的电阻均不计，整个装置处在竖
直向上的匀强磁场中。
时对金属棒施加水平向右的外力F，使金属棒由静止开始
做匀加速直线运动，下列关于通过金属棒的电流i、通过电阻R 的电荷量q、拉力F 和
拉力的功率P 随时间变化的图象，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A．金属棒由静止开始做匀加速直线运动，设金属棒的加速度为
，则有
，
由匀变速直线运动规律可得
联立解得
因此
图像是过原点的倾斜直线，
A 错误；
B．根据电流的定义式可得
由A 选项可得
通过电阻R 的电荷量q 随时间的变化图像是过原点的抛物线，B 错误；
C．由牛顿第二定律可得
由A 选项可得
.C 正确；
D．拉力的功率为
由C 选项可得
拉力的功率P 随时间变化的
图象为抛物线，D 错误；故选C。
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例12．如图所示“U"形光滑金属导轨水平放置，导轨间距为L=1m，匀强磁场竖直向
下，磁感应强度为B=1T；有一质量为m=1kg、长度为L=1m、电阻为
的金属棒
MN 垂直导轨静止放置，现给金属棒一水平向右的力F，使金属棒从静止开始向右做加
速度为a=2m/s2的匀加速直线运动，若导轨电阻不计，g=10m/s2，则（ ）
A．1s 末通过金属棒的电流强度大小为4A B．1s 末金属棒受到的拉力大小为4N
C．前1s 内通过金属棒的电荷量为2C D．前1s 内拉力F 做功为4J
解：A．1s 末金属棒的速度为
则感应电流为
故A 错误；
B．由左手定则可知1s 末金属棒受到的安培力向左，大小为
由牛顿第二定律有
解得
故B 正确；
C．由
，
，
代入数据联立可得
故C 错误；
D．由
，
，
，
代入数据联立可得
前1s 内的位移为
第1s 末的力F=4N，因力F 是变力，则力F 前1s 内拉力
做的功不等于4J,故D 错误。故选B。
例13．如图所示，水平面内两光滑的平行金属导轨，左端与电阻R 相连接，匀强磁场
B 竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直于导轨并与导轨接触良
好．今对金属棒施加一个水平向右的外力F，使金属棒从a 位置开始向右做初速度为
零的匀加速运动，依次通过位置b 和c．若导轨与金属棒的电阻不计，ab 与bc 的距离
相等，关于金属棒在运动过程中的有关说法正确的是（ ）
A．金属棒通过b、c 两位置时，外力F 的大小之比为：1：
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B．金属棒通过b、c 两位置时，电阻R 的电功率之比为1：2
C．从a 到b 和从b 到c 的两个过程中，通过金属棒横截面的电荷量之比为2：1
D．从a 到b 和从b 到c 的两个过程中，电阻R 上产生的热量之比为1：1
解：B、金属棒从a 位置由静止开始向右做匀加速运动，根据v2=2ax 知，通过b、c 两
个位置的速度比为
，根据E=BLv 知，金属棒经过b、c 两个位置产生的感应电动
势之比为
，根据
知，电阻R 的电功率之比为1：2；故B 正确.
A、金属棒经过b、c 两个位置电动势之比为
，所以电流之比为
，由F=BIL
知金属棒所受安培力之比为
，根据牛顿第二定律，有F-FA=ma，FA=F-ma，所以
外力F 的大小之比不等于
；故A 错误.
C、由q = Δφ
R ，△Φab=△Φbc，则qab=qbc，通过金属棒横截面的电荷量之比为1:1；故C
错误.
D、根据能量守恒定律，热量为：
;同
理Qbc=Fxbc-maxbc，加速度相等，ab、bc 的位移相等，但F 不等，所以产生的热量不等；
故D 错误.故选B.
对应题型精炼
1．如图所示，上端接有R＝1.5Ω 的定值电阻的两平行粗糙导轨，间距为L＝0.25m，
足够长的倾斜部分和水平部分圆滑连接，倾斜部分与水平面的夹角
，倾斜部分
有一垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝4T，水平部分没有磁场。垂直
于导轨的质量为m＝0.5kg、电阻为r＝0.5Ω 的金属棒ab，从斜面上足够高的某处由静
止释放，运动中与导轨有良好接触。已知金属棒与轨道间的动摩擦因数
，其余
电阻不计，重力加速度g 取10m/s2，sin37°＝0.6。cos37°＝0.8。求：
（1）金属棒ab 在倾斜轨道上的最大速率；
（2）金属棒ab 在水平轨道的运行路程；
（3）若金属棒从高度h＝0.9m 处滑下（进入水平轨道前已处于平衡状态），电阻R 上
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产生的热量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知，金属棒到达水平面之前已开始匀速运动，设最大速度为
，由法拉第电磁感应定律有
感应电流为
对导体棒受力分析，有
联立解得
（2）金属棒在水平轨道上，由动能定理有
解得
（3）金属棒在倾斜轨道上运动时，由能量守恒有
解得
电阻
上产生的热量
2．如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜地固定在水平面上，倾角为
，两导
轨之间的间距为L＝0.5m，导轨的上端与阻值为R＝0.8Ω 的定值电阻连接，虚线ab 的
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下侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝1T。现将一质量为m
＝0.5kg 的导体棒PQ 由ab 右上侧x＝2m 处垂直导轨静止释放，导体棒与导轨之间的
动摩擦因数为
，已知导体棒的电阻值为r＝0.2Ω，整个过程中导体棒始终与导
轨保持垂直且接触良好，忽略导轨的电阻。重力加速度取
，
，
。求：
（1）导体棒稳定下滑时的速度大小；
（2）若从释放到导体棒的速度为v＝5m/s 时，流过定值电阻的电荷量为q＝2.0C，则
该过程中定值电阻上产生的焦耳热。
【答案】（1）8m/s；（2）4.6J
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律得，导体棒上产生的感应电动势
又由欧姆定律得
导体棒所受的安培力为
，沿斜面向上
导体棒稳定下滑时，导体棒受平衡力的作用，则有
解得
（2）设导体棒刚到达虚线ab 的速度为
，则有
设导体棒进入磁场后下滑距离为s 时速度为5m/s，由法拉第电磁感应定律得
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又
整理得
解得
由能量守恒定律得
解得
定值电阻上产生的焦耳热为
3．如图所示，两根等高的四分之一光滑圆弧轨道半径为r、间距为L，Oa 水平、Oc 竖
直，在轨道顶端连有一阻值为R 的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁
感应强度为B。现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻也为R 的金属棒从轨道的顶端
ab 处由静止开始下滑，到达轨道底端cd 时受到轨道的支持力为2mg。全程中金属棒与
导轨接触良好，轨道电阻不计，求：
（1）金属棒到达轨道底端cd 时通过电阻R 的电流；
（2）金属棒从ab 下滑到cd 过程中电阻R 中产生的焦耳热；
（3）若金属棒在拉力作用下，从cd 开始以速度v0向右沿轨道做匀速圆周运动，则在
到达ab 的过程中拉力做的功为多少?
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）金属棒到达轨道底端
时
解得
感应电流
=
解得
（2）由能量守恒定律得
电阻R 中产生的焦耳热
（3）金属棒中产生的电动势
是正弦式交变电流
在四分之一周期内产生的热量
由功能关系得
解得拉力做的功
4．如图甲所示，竖直放置的光滑平行金属导轨MN、PQ 相距L，在M 点和P 点间接
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有一个阻值为
的电阻，在两导轨间的矩形区域
内有垂直导轨平面向里、宽
为d 的匀强磁场，磁感应强度为
。一质量为m、电阻为r 的导体棒ab 垂直地搁在导
轨上，与磁场的上边界相距
。现使ab 棒由静止开始释放，棒ab 在离开磁场前已经
做匀速直线运动（棒ab 与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的
电阻不计）。
（1）求棒ab 离开磁场的下边界时的速度大小：
（2）讨论棒ab 可能出现的运动情况，并作出对应的
图像；
（3）求金属杆自下落至穿出磁场所用的时间t；
（4）如图乙所示，当在导轨的PM 端通过导线将电容为C、击穿电压为
的平行板电
容器连接，在
时在磁场中无初速度地释放金属棒ab、不考虑电磁辐射，且磁场足
够大，当金属棒电阻
时，求电容器达到击穿电压所用的时间。
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
；（4）
【详解】（1）根据题意，设棒
离开磁场的边界前做匀速运动的速度为，感应电动
势为
电路中的电流
对棒
，由平衡条件得
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解得
（2）
棒进入磁场区域时，速度
①当
，即
时，棒进入磁场后做匀速直线运动；
②当
，即
时，棒进入磁场后先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动；
③当
，即
时，棒进入磁场后先做加速度减小的减速运动，后做匀速直线运动。离开磁场后都做
自由落体运动。三种情况下，对应的
图分别为
（3）金属棒自由落体的时间
将金属棒穿越磁场的过程划分成很多小段，可认为在每个小段中感应电动势几乎不变，
设每小段的时间为
。则安培力的冲量
每个小段中通过电路的电量
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则
设金属棒穿越磁场所用的时间为
，由动量定理得
。
将
，
，
代入得
则金属棒自下落至穿出磁场的时间
（4）在电容器达到击穿电压前，设任意时刻，流过金属棒的电流为，由牛顿第二定
律
①
设在
时间内，金属棒的速度由
，电容器两端电压
，
带电量
，则有
代入①得
可见，金属棒做初速度为0 的匀加速直线运动，当电容器达到击穿电压时，金属棒的
速度为
所以，电容器达到击穿电压所用的时间为
5．如图所示，固定在水平面上的半径为d=1m 的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感
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应强度大小为B=1T 的匀强磁场，在外力作用下长为d=1m 的金属棒CD 可绕着圆环圆
心匀速转动。从圆环边缘和圆心所在竖直轴
用细导线连接足够长的两固定平行金
属导轨MN、PQ，导轨与水平面的夹角为α=37°，空间内存在垂直导轨平面向上的磁
感应强度大小为B=1T 的匀强磁场。质量m=1kg 的金属棒ab 垂直于导轨处于静止状态，
导轨的宽度和金属棒ab 的长度均为L=2m，金属棒ab 与导轨之间的动摩擦因数为
μ=0.8，金属棒CD 的电阻r=1Ω，金属棒ab 的电阻为R=4Ω，其余电阻不计，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度
。
（1）闭合开关S，若金属棒CD 以
的角速度顺时针（俯视）匀速转动，求
流过金属棒CD 的电流方向和金属棒CD 两端的电压；
（2）要使金属棒ab 与导轨保持相对静止，求金属棒CD 转动的角速度应满足的条件；
（3）若金属棒CD 以
的角速度逆时针（俯视）匀速转动，求金属棒ab 恰
好匀速时的速度大小。
【答案】（1）4V，电流由
流向
，电流由
流向
；（2）顺时针转动时
，逆时针转动时
；（3）
【详解】（1）假设金属棒
静止，对金属棒
，由法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路欧姆定律，有
解得
对金属棒
，因为
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故假设成立
金属棒
两端的电压为
解得
由右手定则，可知电流由
流向
（2）若金属棒
以
顺时针转动，且金属棒
刚好没滑动时，有
解得
且
解得
若金属棒
以
逆时针转动，且金属棒
刚好没滑动时，有
解得
且
解得
故要使金属棒
保持静止，角速度应满足：顺时针转动时
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逆时针转动时
（3）设金属棒
恰好匀速时的速度为，则有
解得
由闭合电路欧姆定律得
回路的电动势
解得
6．电磁感应现象的发现，给电磁的应用开辟了广阔的道路，其中发电机就是电磁感应
最重要的应用成果之一。某种直流发电机的工作原理可以简化为如图所示的情景。在
竖直向下的磁感应强度B = 0.5T 的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道MN 和PQ 固
定在水平面上，轨道间距L= 0.2m。质量m= 0.1kg 的金属杆ab 置于轨道上，与轨道垂
直。现用F=2N 的水平向右的恒力拉ab 杆，其使由静止开始运动。电阻R=0.04Ω，ab
杆的电阻 r =0.01Ω，其余电阻不计。求：
（1）判断流过电阻R 的电流方向；
（2）ab 杆的速度达到5m/s 时，ab 杆的加速度多大；
（3）ab 杆可以达到的最大速度vm多大；
（4）当 ab 杆达到最大速度后撤去外力F，此后电阻 R 上产生的焦耳热。
【答案】（1）方向为
；（2）
；（3）10m/s；（4）
【详解】（1）根据右手定则可知流过
的电流方向为
。
（2）当
杆速度为
时，感应电动势为
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回路感应电流为
根据牛顿第二定律可得
解得ab 杆的加速度为
（3）金属杆ab 做加速度减小的加速运动，当ab 杆速度最大时，加速度为0，根据受
力平衡可得
又
，
联立解得
（4）当 ab 杆达到最大速度后撤去外力 F，ab 杆在安培力的作用下减速至0，根据能
量守恒定律得全电路的焦耳热为
则电阻R 上产生的焦耳热为
7．如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨MN、PQ 间距L＝
0.8m，其下端接有阻值R＝2Ω 的电阻，导轨平面与水平面间的夹角θ＝30°。整个装置
处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。一质量m＝0.2kg、阻值r＝1Ω 的金属棒垂
直导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量M＝0.8kg 的重物相连，左端细线连
接金属棒中点且沿NM 方向。棒由静止释放后，沿NM 方向位移x 与时间t 之间的关系
如图乙所示，其中ab 为直线．已知棒在0～0.3s 内通过的电荷量是0.3～0.4s 内通过电
荷量的2 倍，取g＝10m/s2，求：
（1）刚释放时导体棒的加速度a；
（2）0～0.3s 内棒通过的位移x1的大小；
（3）磁感应强度的大小B 和整个回路在0～0.4s 内产生的热量Q。
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【答案】（1）
；（2）0.6m；（3）
；1.8J
【详解】（1）对M 和m 组成的系统，根据牛顿第二定律有
解得
（2）棒在0～0.3s 内通过的电荷量
平均感应电流
回路中平均感应电动势
得
同理，棒在0.3～0.4s 内通过的电荷量
由题图乙读出0.4s 时刻位移大小
x2＝0.9m
又
q1＝2q2
联立解得
x1＝0.6m
（3）由题图乙知棒在0.3～0.4s 内做匀速直线运动，棒的速度大小
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0.3s 后棒受力平衡
，
根据闭合电路欧姆定律得
解得
0～0.4s 内，对整个系统，根据能量守恒定律得
代入数据解得
Q＝1.8J
8．如图所示，PQ、MN 为足够长的两平行金属导轨，它们之间连接一个阻值
的电阻，导轨间距为
；有一质量
，电阻
，长
的金属杆ab
水平放置在导轨上，它与导轨间的滑动摩擦因数
，导轨平面与水平面间的倾角
为
，在垂直导轨平面的方向上有匀强磁场，且磁感应强度的大小
，若现
让金属杆ab 由静止开始下滑，已知当杆ab 由静止开始到恰好做匀速运动的所用时间
，试求：
（1）ab 下滑速度大小为2m/s 时，其加速度的大小；
（2）杆ab 下滑的最大速率；
（3）杆ab 从静止开始到匀速运动通过导体棒的电荷量；
（4）杆ab 从静止开始到恰好做匀速运动的过程中R 上产生的热量。
【答案】（1）1.2m/s2；（2）5m/s；（3）
；（4）1J
【详解】（1）取ab 杆为研究对象其受力如图示，建立如图所示坐标系
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且
摩擦力
联立上面解得
当
时解得
（2）由上问可知
故ab 做加速度减小的加速运动当
速度最大，则
解得
（3）从静止开始到匀速运动过程中，根据动量定理
又
联立解得
（4）又
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解得
设两电阻发热和为Q 由能量守恒可知
联立解得
9．两根足够长水平金属直轨道平行放置，右侧平滑连接半径为r=0.5m 的
光滑圆轨
道，圆弧轨道处于竖直平面内，轨道间距为L=0.5m，整个装置处于竖直向上的匀强磁
场中，磁感应强度为B=2T。现将质量均为m=0.5kg，长为L，电阻为R=0.5Ω 的金属棒
a、b 垂直轨道放置，运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒与直轨
道间动摩擦因数为μ=0.4，导轨电阻不计，g=10m/s2。
（1）外力使棒b 保持静止，对棒a 施加水平恒力F=6N，求棒a 运动的最大速度vm及
此时棒a 两端的电势差U 的大小；
（2）在（1）问中，当棒a 匀速运动时，撤去固定棒b 的外力，此时作为零时刻，
t1=3s 时棒b 的速度
时，求从撤去固定棒b 的外力到t1时刻通过棒b 的电荷
量q，经过一段时间后， a、b 运动保持稳定状态，此时棒b 的加速度ab的大小；
（3）棒a 到达圆弧轨道的底端时
，重新固定棒b，改变F 使棒a 匀速通过
光滑圆轨道，求此过程F 做的功。（结果保留π）
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【答案】（1）
；2V；（2）
；（3）
【详解】（1）当a=0 时，棒a 的速度最大，此时有
又
F=μmg+BIL
解得
I=4A
则导体棒切割磁感线产生电动势为
棒a 两端的电势差的大小为
U=IR=2V
（2）从撤去固定棒b 的外力到 t1时刻，对棒b 使用动量定理
又
联立，解得
q=7C
撤去固定棒b 的外力后，对两棒，由牛顿第二定律可得
当
，时达到稳定状态，有
（3）棒a 匀速通过圆轨道产生正弦式交流电，有
其中
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此过程F 做的功为
10．如图所示，平行长直光滑固定的金属导轨
、
平面与水平面的夹角
，
导轨间距为
，上端接有
的电阻，在导轨中间加一垂直轨道平面向下的
匀强磁场，磁场区域为
，磁感应强度大小为
，磁场区域宽度为
，放在导轨上的一金属杆
质量为
、电阻为
，从距磁场上
边缘
处由静止释放，金属杆进入磁场上边缘的速度
。导轨的电阻可忽略不
计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度大小为
，求：
（1）金属杆距磁场上边缘的距离
；
（2）杆通过磁场区域的过程中所用的时间；
（3）金属杆通过磁场区域的过程中电阻
上产生的焦耳热
。
【答案】（1）0.4m；（2）0.2s；（3）0.096J
【详解】（1）由机械能守恒可得
解得金属杆距磁场上边缘的距离为
（2）由法拉第电磁感应定律，金属杆刚进入磁场时，电动势为
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由闭合电路欧姆定律得
金属杆受到的安培力为
金属杆重力沿轨道平面向下的分力为
所以金属杆进入磁场后做匀速直线运动，则金属杆通过磁场区域的过程中所用的时间
（3）由能量守恒定律得，回路中产生的焦耳热为
金属杆通过磁场区域的过程中，在电阻
上产生的热量为
联立解得
11．如图所示，两根间距为L＝1.0m，电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面
夹角
＝30°，导轨底端接入一阻值为 R＝2.0Ω 的定值电阻，所在区域内存在磁感应强
度为B＝1.0T 的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上。在导轨上垂直于导轨放置
一质量为m＝0.2kg、电阻为 r＝1.0Ω 的金属杆ab，开始时使金属杆ab 保持静止，某
时刻开始给金属杆一个沿斜面向上F＝2.0N 的恒力，金属杆由静止开始运动了1.2m 达
到最大速度，重力加速度g＝10m/s2。金属杆从静止到运动1.2m 的过程中，求：
（1）金属杆能获得的最大速度；
（2）通过电阻R 的电荷量q；
（3）电阻R 产生的热量Q；
（4）金属杆运动位移达1.2m 时刻，两端的电势差Uab
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【答案】（1）3m/s； （2）0.4C； （3）0.2J； （4）
【详解】（1）金属杆速度最大时，根据平衡条件有
金属杆中的电流为
解得金属杆能获得的最大速度为
（2）通过电阻R 的电荷量为
（3）根据动能定理有
解得
电阻R 产生的热量为
（4）金属杆运动位移达1.2m 时刻，金属杆产生的电动势为
根据右手定则可知，金属杆内电流方向为
，根据闭合电路得欧姆定律可知金属
杆两端的电势差为
12．如图，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B=1T。在匀强磁场区域内，
将质量为m=4kg、长为L=1m、电阻为2
的金属棒ab 垂直导轨放置在足够长的水平
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光滑U 形导轨上，且与导轨接触良好，导轨间距为L=1m，导轨电阻忽略不计。金属
棒在垂直于棒的水平拉力F 的作用下，由静止开始（t=0 时）做匀加速直线运动，2s 时
运动的位移为8m。2s 后保持拉力的功率不变，直到棒ab 以最大速度做匀速直线运动
再撤去拉力F。求：
（1）2s 时F 的大小；
（2）棒ab 的最大速度vmax；
（3）撤去拉力后，棒ab 产生的热量Q 及运动的距离x。
【答案】（1）20N；（2）
；（3）640J，
【详解】（1）设棒的加速度大小为
，
内的位移为
，根据位移时间关系可得
解得
则可得
时的速度
根据牛顿第二定律有
其中
解得2s 时F 的大小为
（2）2s 时拉力的功率为
保持拉力的功率不变，当导体棒做匀速运动时有
，
则有
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解得
（3）撤去拉力后，棒ab 将在安培力的作用下做减速运动，根据能量守恒有
而根据
以及
可得
13．如图，足够长的两平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨间的正方形区域abcd
有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0. 5T，该区域边长为L＝1m。导轨的
水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。质量为
的金属棒P 从离水平面高度
h＝0. 8m 处静止释放，穿过磁场区域后，与另一根静置在导轨上质量为
的金属棒Q
发生完全弹性碰撞。两棒的电阻值均为R＝0. 5Ω，g 取
，感应电流产生的磁场及
导轨的电阻忽略不计，两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。求：
（1）P 棒刚进入磁场时产生的感应电动势大小E；
（2）P 棒第一次从cd 边穿出磁场时的速度大小
；
（3）若P 棒与Q 棒只发生一次碰撞，则Q 棒质量
的取值范围。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设P 刚进入磁场时的速度为
，由机械能守恒可得
P 刚进入磁场时产生的感应电动势大小
解得
（2）P 穿过磁场时的平均感应电动势和平均感应电流为
以向右为正方向，设P 穿过磁场时的速度为
，由动量定理可得
得
（3）设P 与Q 发生一次碰撞后的速度分别为为
、
，由动量守恒和能量守恒可得
P 棒每次穿越整个磁场区域，速度变化的大小为
，有
设P 棒再次从cd 边穿出磁场速度大小为
，有
若P 与Q 只发生一次碰撞，则临界条件为
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得
则Q 质量的取值范围为
。
14．如图所示，宽度L＝1m 的足够长的U 形金属框架水平放置并固定，框架处在竖直
向上的匀强磁场中，磁感应强度
，U 形框架两平行导轨上放一根质量为m＝
0.2kg、接入导轨间电阻R＝1.0Ω 的金属棒ab，棒ab 与导轨间的动摩擦因数为μ＝
0.5。现用大小变化的牵引力F 使棒从静止开始运动，当金属棒ab 的电阻R 产生的热量
Q＝5.8J 时获得稳定速度，此时牵引力的大小为F＝3N，此过程中通过金属棒ab 的电
荷量
，框架电阻不计，重力加速度g＝10m/s2，在金属棒ab 从静止开始运动到
刚好达到稳定速度这一过程中，求：
（1）ab 棒稳定速度大小v；
（2）若牵引力的功率恒为P＝6W，则这个过程中ab 棒经历的时间t；
（3）ab 棒牵引力F 的冲量IF。
【答案】（1）2m/s；（2）1.5s；（3）4.7N•s
【详解】（1）棒稳定时，受到安培力为
FA＝BIL
根据平衡条件可知
F＝FA+μmg
根据法拉第电磁感应定律有
E＝BLv
根据闭合电路欧姆定律有
代入数据解得
v＝2m/s
（2）设此过程中金属棒ab 的位移为x，根据能量守恒定律有
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电荷量
根据法拉第电磁感应定律结合闭合电路欧姆定律有
解得
t＝1.5s
（3）设该过程安培力的冲量为I，则有
规定向右为正方向，根据动量定理有
解得
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