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模型20、导体棒切割模型
【模型概述】
一、电磁感应中点动力学问题分析
1.
导体的平衡态一静止状态或匀速直线运动状态.
处理方法:根据平衡条件(合外力等于零)列式分析.
2. 导体的非平衡态-加速度不为零.
处理方法:根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析.
二、电磁感应中能量问题分析
1.
过程分析
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程.
(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必
须有“外力”克服安培力做功,将其他形式的能转化为电能.“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其
他形式的能转化为电能.
(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能，安培力做功的过程，或通过电阻发热的过
程，是电能转化为其他形式能的过程.安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能.
三、“导轨+杆”模型
对杆在导轨上运动组成的系统，杆在运动中切割磁感线产生感应电动势，并受到安培力的作用改变运动状
态最终达到稳定的运动状态，该系统称为“导轨+杆”模型.
【模型解题】
一、电磁感应与动力学问题的解题策略
此类问题中力现象和电磁现象相互联系、相互制约,解决问题前首先要建立“动一电一动”的思维顺序，
可概括为:
(1)找准主动运动者，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解感应电动势的大小和方向.(2)根据等效电路
图，求解回路中感应电流的大小及方向.
(3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的影响，从而推理得出对电路中的感应电流有什么影响，最后
定性分析导体棒的最终运动情况..
(4)列牛顿第二定律或平衡方程求解.
二、电磁感应中能量问题求解思路
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W=UIt 或Q=PRt 直接进行计算.
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(2)若电流变化，则:①利用安培力做的功求解:电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功;②利用能
量守恒求解:若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能.
三、“导轨+杆”模型分析
根据杆的数目，对于“导轨+杆”模型题目，又常分为单杆模型和双杆模型.
(1)单杆模型是电磁感应中常见的物理模型，此类问题所给的物理情景一般是 导体棒垂直切割磁感线，
在安培力、重力、拉力作用下的变加速直线运动或匀速直线运动，所涉及的知识有牛顿运动定律、功能关
系、能量守恒定律等.此类问题的分析要抓住三点:①杆的稳定状态一般是匀速运动(达到最大速度或最小
速度，此时合力为零).②整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功.③电磁感应现象遵从能量守恒定
律.
(2)双杆类问题可分为两种情况:一是“假双杆”，甲杆静止不动，乙杆运动.其实质是单杆问题，不过要
注意问题包含着一个条件:甲杆静止、受力平衡.另-种情况是两杆都在运动,对于这种情况，要注意两杆切
割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减.线框进入磁场和离开磁场的过程和单杆的运动情况相同,在磁
场中运动的过程与双杆的运动情况相同.
【模型训练】
【例1】如图所示，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN 在平行金属导轨ab
和cd 上，以速度v 向右滑动，MN 中产生的感应电动势为E1；若金属杆速度改为2v，其他条件不变，MN
中产生的感应电动势变为E2。则关于通过电阻R 的电流方向及E1 E2的判断，下列说法正确的是（ ）
A．c→a，2 1
B．a→c，2 1
C．a→c，1 2
D．c→a，1 2
【答案】C
【详解】由右手定则判断可知，MN 中产生的感应电流方向为N→M，则通过电阻R 的电流方向为a→c；
根据公式E＝BLv 得
故C 正确，ABD 错误。
故选C。
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变式1.1 如图所示，在光滑水平金属框架上有一导体棒ab。第一次以速度v 匀速向右平动，第二次以速度
匀速向右平动，两次移动的距离相同，则两种情况下回路中产生的感应电动势和通过R 的电荷量之比分
别为（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
；
【答案】B
【详解】根据法拉第电磁感应定律
可知两种情况下回路中产生的感应电动势之比
根据
结合
联立可得
可得
故B 正确，ACD 错误。
故选B。
变式1.2 如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为，左端连接一阻值为
的电阻。导轨所在空
间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为
。导体棒
置于导轨上，其电阻为，长度恰好等于导轨间
距，与导轨接触良好。不计导轨的电阻、导体棒与导轨间的摩擦。在大小为
的水平拉力作用下，导体棒
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沿导轨向右匀速运动，速度大小为。在导体棒向右匀速移动
的过程中（ ）
A．导体棒中感应电流的方向为
B．导体棒两端的电势差大小为
C．电阻
消耗的电能为
D．拉力对导体棒做功的功率为
【答案】C
【详解】A．导体棒沿导轨向右匀速运动时，由右手定则可知导体棒切割产生的感应电动势由b 指向a，则
导体棒中的电流方向由b 指向a，故A 错误；
B．导体棒切割产生的感应电动势大小为
对应的感应电流为
故导体棒两端的电势差大小为
故B 错误；
C．导体R 消耗的电能为
而物体运动的时间为
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又因为导体棒受力平衡，故
解得
故C 正确；
D．拉力对导体棒做的功率为
结合前述式子可解得
故D 错误。
故选C。
【例2】如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，长为L 的金属杆MN 在平
行金属导轨上以速度v 向右匀速滑动。金属导轨电阻不计，金属杆与导轨的夹角为θ，电阻为2R，ab 间电
阻为R，M、N 两点间电势差为U，则M、N 两点电势的高低及U 的大小分别为（ ）
A．M 点电势高，U=
B．M 点电势高，U=
C．N 点电势高，U=
D．N 点电势高，U=
【答案】B
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【详解】由右手定则可以判定导体棒中电流的方向为由N 到M，因此M 点电势高；
导体棒切割磁感线的有效长度是Lsin θ，根据法拉第电磁感应定律有
E=BLvsin θ
再根据闭合电路欧姆定律可知M、N 两点间电势差
故选B。
变式2.1 如图所示，
为水平放置的平行光滑金属导轨，间距为，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁
场，磁感应强度大小为
，导轨电阻不计。已知金属杆
倾斜放置，与导轨成
角，单位长度的电阻为
，保持金属杆以速度沿平行于
的方向滑动（金属杆滑动过程中与导轨接触良好）。则（ ）
A．电路中感应电流的大小为
B．金属杆的热功率为
C．电路中感应电动势的大小为
D．金属杆所受安培力的大小为
【答案】B
【详解】AC．根据公式，可得导体棒切割磁感线产生感应电动势为
电路中感应电流的大小为
选项AC 错误；
B．金属杆的热功率为
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B 正确；
D．根据安培力公式，可得棒所受的安培力为
D 错误；
故选B。
变式2.2 如图所示，
、
为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒
斜放
在两导轨之间，与导轨接触良好，
。磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导
轨间夹角为
，以速度v 水平向右匀速运动，不计导轨和金属棒的电阻，则流过金属棒中的电流为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】金属棒的感应电动势为
流过金属棒中的电流为
所以A 正确；BCD 错误；
故选A。
【例3】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道 MN、
PQ 固定在水平面内，相距为L。一质量为m 的导体棒 ab 垂直于 MN、PQ 放在轨道上，与轨道接触良
好。轨道左端MP 间接一电动势为E、内阻为r 的电源，并联电阻的阻值为 R。不计轨道和导体棒的电
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阻，闭合开关S 后导体棒从静止开始，经t 秒以v 匀速率运动， 则下列判断正确的是（ ）
A．速率
B．从
秒电源消耗的电能
C．t 秒后通过电阻R 的电流为零
D．t 秒末导体棒 ab 两端的电压为E
【答案】A
【详解】ACD．闭合开关S 后导体棒从静止开始，经t 秒以v 匀速率运动，可知此时导体棒不受安培力作
用，导体棒中的电流为0，导体棒ab 产生的电动势与电阻
两端电压相等，则有
此时通过电阻R 的电流为
则有
联立可得
t 秒末导体棒 ab 两端的电压为
故A 正确，CD 错误；
B．从
秒，根据能量守恒可知，电源消耗的电能转化为导体棒的动能，电阻
和内阻的焦耳热，且
通过电阻
并不是一直为
，所以
故B 错误。
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故选A。
变式3.1 如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨ab、cd 与水平面成θ=30°固定，导轨间距离为l＝1m，
电阻不计，一个阻值为R0的定值电阻与可变电阻并联接在两金属导轨的上端，整个系统置于匀强磁场中，
磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B＝1T。 现将一质量为m、不计电阻的金属棒
MN 从图示位置由静止开始释放，金属棒下滑过程中与导轨接触良好，且始终与导轨保持垂直，改变可变
电阻的阻值R，测定金属棒的最大速度vm，得到
的关系如图乙所示，g 取10m／s2。 则下列说法正
确的是（ ）
A．金属棒的质量m＝1kg
B．金属棒的质量m＝2kg
C．定值电阻R0＝2Ω
D．定值电阻R0＝4Ω
【答案】C
【详解】金属棒以速度vm下滑时，由法拉第电磁感应定律得
E＝Blvm
由闭合电路欧姆定律得
当金属棒以最大速度vm下滑时，由平衡条件得
BIl－mgsin θ＝0
联立解得
由
图象可得
＝1
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解得
m＝0.2kg，R0＝2Ω
故选C。
变式3.2 如图，金属棒
垂直放在两水平放置的光滑金属导轨上，导轨间距为
，导轨左端接有电阻
和
电容器
，空间有竖直向下的匀强磁场
，使金属棒
以速度向右匀速运动，稳定时（ ）
A．导体棒
点比
点电势低
B．电容器上极板带正电
C．电阻
上有顺时针方向的电流
D．电路中没有电流产生
【答案】B
【详解】A．根据右手定则可知，导体棒
产生由
到
的感应电流，由于
相当于电源，电
流由负极流向正极，故 C 端为电源正极，导体棒
点比
点电势高，故 A 错误；
B．由于电容器上极板与电源的正极相连，故电容器上极板带正电，故 B 正确；
CD．根据
中判断的电流方向可知，电阻
上有逆时针方向的电流，故 CD 错误。
故选B。
【例4】如图所示，导体棒在金属框架上向右做匀加速运动，在此过程中（ ）
A．电容器上电荷量越来越多
B．电容器上电荷量越来越少
C．电容器上电荷量保持不变
D．电阻R 上电流越来越大
【答案】A
【详解】导体棒匀加速运动，产生电动势
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即为电容器两端的电压，由
时间充电电荷量
随时间越来越长，充电电流
不变。
故选A。
变式4.1 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨倾斜固定，导轨宽度，倾角为
，上端连接一电容器
，垂直导轨平面向上的匀强磁场穿过导轨所在平面．现让一根质量为
的导体棒从静止开始滑下，已知导
体棒的质量
，所有电阻均不计，重力加速度大小为
，当导体棒下滑的距离为
时，下列说法正
确的是（ ）
A．导体棒做变加速运动
B．导体棒做匀加速运动，加速度大小为
C．导体棒的速度大小为
D．电容器所带的电荷量为
【答案】D
【详解】AB．电容器两端电势差U 等于导体棒切割磁感线产生的感应电动势，当导体棒的速度大小为v
时，有
U=Blv
ΔU=BlΔv
ΔQ=CΔU
ΔQ=IΔt
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根据加速度定义式可得
根据牛顿第二定律可得
mgsin30°-BIl=ma
解得
因
，可得
即导体棒做匀加速运动，故AB 错误；
C．当导体棒下滑的距离为
时，导体棒的速度大小为
选项C 错误；
D．电容器所带的电荷量为
选项D 正确。
故选D。
变式4.2 如图所示，竖直放置的两根足够长的平行金属导轨相距L，导轨电阻不计，导轨间接有一定值电
阻R，质量为m、电阻为r 的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁
场中，磁场方向与导轨平面垂直，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h 时开始
做匀速运动，在此过程中（ ）
A．金属棒的最大速度为
B．通过电阻R 的电荷量为
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C．金属棒克服安培力做的功等于电阻R 上产生的热量
D．安培力对金属棒做的功等于金属棒动能的增加量
【答案】B
【详解】A．金属棒匀速运动时速度最大，根据功能关系
可知最大速度
故 A 错误；
B．通过电阻R 的电荷量为
q=
故B 正确；
C．由功能关系可知，金属棒克服安培力做的功等于电阻R 与r 上产生的热量之和，故C 错误；
D．根据动能定理可知，重力和安培力对金属棒做功之和等于金属棒动能的增加量，故D 错误。
故选B。
【例5】如图，在匀强磁场中竖直、平行地放置一对光滑的金属导轨 MN 和 PQ。另有一对相距一定距离
的金属杆ab 和cd，同时从某一高度由静止开始释放它们，若两杆与 MN 和PQ 接触良好，那么（ ）
A．ab 先加速运动后匀速运动
B．cd 做自由落体运动
C．感应电流方向为 abdca
D．cd 两端电势差为零
【答案】B
【详解】由于光滑，则ab 会向下运动，就会切割磁感线，产生感应电动势，a 端低电势，b 端高电势；而
cd 也会向下运动，也会切割磁感线，也产生感应电动势，c 端低电势，d 端高电势；假设速度相等，这两
个感应电动势会抵消，整个回路中电流为0，则ab 和cd 的安培力就为0，即ab 和cd 做自由落体运动，假
设成立。
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故选B。
变式5.1 如图所示，水平面上固定着两根相距L 且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直
向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中。相同的铜棒a、b 平行地静止在导轨上且与导轨接触良好，每根铜棒
的长度等于两导轨的间距、电阻为R、质量为m。现给铜棒a 一个平行于导轨向右的瞬时冲量I，关于此后
的过程，下列说法正确的是（ ）
A．铜棒b 获得的最大速度为
B．铜棒b 的最大加速度为
C．铜棒b 中的最大电流为
D．铜棒b 中产生的最大焦耳热为
【答案】A
【详解】A．两铜棒在任意时刻所受安培力等大反向，所以系统动量守恒，共速时b 有最大速度
铜棒b 的最大速度
故A 正确；
C．选取水平向右为正方向，根据动量定理求解a 开始时速度
根据左手定则判断安培力，可知此后a 导体棒做减速运动，b 导体棒做加速运动，所以回路中的感应电动
势最大值
铜棒b 中的最大电流为
故C 错误；
B．根据牛顿第二定律，铜棒b 的最大加速度
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故B 错误；
D．两铜棒共速后，回路中不再产生感应电流，则根据能量守恒定律，系统产生的热量
铜棒b 中产生的最大焦耳热为
故D 错误。
故选A。
变式5.2 如图所示，一水平面内固定两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨上面横放着两根完全相同的铜
棒ab 和cd，构成矩形回路，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场B。开始时，棒cd 静止，棒ab 有
一个向左的初速度
。从开始到最终稳定的全过程中，下列说法正确的是（ ）
A．ab 棒做匀减速直线运动，cd 棒做匀加速直线运动，最终都做匀速运动
B．ab 棒减小的动量等于cd 棒增加的动量
C．ab 棒减小的动能等于cd 棒增加的动能
D．安培力对ab 棒和cd 棒分别做负功和正功，做功总和为零
【答案】B
【详解】A．初始时ab 棒向左运动受到向右的安培力，cd 棒受到向左的安培力，所以ab 棒减速，cd 棒加
速，设ab 棒速度为
，cd 棒速度为
，开始时
＞
，随着运动两棒的相对速度
v=
-
逐渐减小至0，
两棒切割磁场产生的感应电动势为
，E 也逐渐减小最终为0，感应电流逐渐减小到0，安培力逐
渐减到0，所以ab 棒做加速度逐渐减小的变减速直线运动，cd 棒做加速度逐渐减小的变加速直线运动，故
A 错误；
B．两棒组成的系统受安培力的合力为零，故系统的动量守恒，所以ab 棒减小的动量等于cd 棒增加的动
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量，故B 正确；
C．回路中有产生电磁感应现象，有电流做功产生电热，所以根据能量守恒可知，ab 棒减小的动能等于cd
棒增加的动能与两棒产生电热之和，故C 错误；
D．安培力对ab 棒和cd 棒分别做负功和正功，但是由于两棒的位移不同，则做功总和不为零，故D 错
误。
故选B。
【例6】如图所示，两足够长的光滑平行导轨固定在同一水平面上，虚线 MN 与导轨垂直，其左、右侧的
导轨间距分别为L2和L1且
整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。MN 左、右两侧的磁感应强度大小
分别为B2和B1，且
在 MN 两侧导轨上分别垂直放置两根接入阻值为r1和r2的平行金属棒 ab 和cd，
系统静止。某时刻对 ab 棒施加一个水平向右的恒力 F，两金属棒在向右运动的过程中，始终与导轨垂直
且接触良好， cd 棒始终未到达MN 处，则下列判断正确的是（ ）
A．最终两棒以不同的速度匀速运动
B．最终两棒以相同的速度匀速运动
C．安培力对cd 棒所做的功大于 cd 棒的动能增加量
D．外力 F 做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热
【答案】D
【详解】AB. ab 棒在外F 作用下向右加速，但由于受到向左的安培力，所以做加速度减小的加速运动，
cd 棒在向右的安培力作用下，向右加速。两者达到稳定状态应该是有共同的加速度，即为
所以最终两棒以相同的加速度一起向右做加速运动，故AB 错误；
C.cd 棒受的合力为受到的安培力，由动能定理可知安培力对cd 棒所做的功等于 cd 棒的动能增加量，故
C 错误；
D.由能量守恒可知外力 F 做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热，故D 正确。
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故选D。
变式6.1 如图，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD，直宽轨EF、GH 和连接直轨BE、GD 构成，
整个导轨处于同一水平面内，
，BE 和GD 共线且与AB 垂直，窄轨间距为
，宽轨
间距为L。空间有方向竖直向上的匀强磁场，宽轨所在区域的磁感应强度大小为B，窄轨所在区域的磁感
应强度大小为2B。棒长均为L、质量均为m、电阻均为R 的均匀金属直棒a、b 始终与导轨垂直且接触良
好。初始时刻，b 棒静止在宽轨上，a 棒从窄轨上某位置以平行于AB 的初速度
向右运动。a 棒距窄轨右
端足够远，宽轨EF、GH 足够长。则（ ）
A．a 棒刚开始运动时，b 棒的加速度大小为
B．经过足够长的时间后，a 棒的速度大小为
C．整个过程中，a 棒克服安培力做的功等于ab 两棒上的发热量
D．整个过程中，b 棒产生的焦耳热为
【答案】D
【详解】A．a 棒刚开始运动时，产生的动生电动势为
回路中的总电阻
则回路中的感应电流为
在此瞬间对b 棒由牛顿第二定律可得
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解得
故A 错误；
B．分析可知，a 棒、b 棒分别向右做速度减小的减速运动和速度增大的加速运动，回路中的感应电动势为
当
时，感应电动势为零，两棒将均做匀速直线运动，对两棒组成的系统合外力
则可知两棒组成的系统动量守恒，有
解得
可知，经过足够长的时间后，a 棒的速度大小为
，故B 错误；
C．根据能量守恒可知，整个过程中，a 棒克服安培力做的功等于ab 两棒上的发热量与b 棒所获得的动能
之和，故C 错误；
D．根据能量守恒，可得在整个过程中产生得总热量为
而b 棒产生得热量为
故D 正确。
故选D。
变式6.2 如图所示，间距分别为
和
的两组平行光滑导轨
、
和
、
用导线连接，它们处于磁感
应强度大小为
、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，质量为
、单位长度阻值为
的两相同导体棒
和
垂直导轨分别置于导轨
、
和
、
上，现导体棒
以初速度
向右运动，不计导轨及导线电阻，
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两导轨足够长且导体棒
始终在导轨
、
上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．当导体棒
刚开始运动时，导体棒
的加速度大小为
B．当导体棒
刚开始运动时，导体棒
的加速度大小为
C．当两导体棒速度达到稳定时，导体棒
的速度为
D．当两导体棒速度达到稳定时，导体棒
的速度为
【答案】B
【详解】AB．当导体棒
刚开始运动时，回路产生的感应电动势
回路的电流
导体棒
的加速度大小
导体棒
的加速度大小
A 错误，B 正确；
CD．由于两个导体棒中电流始终相等，因此安培力大小之比为2：1，对于导体棒ab，根据动量定理
对于导体棒cd，根据动量定理
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又由于最终回路中没有感应电流，即两个导体棒产生的感应电动势大小相等
各式联立得
，
CD 错误。
故选B。
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