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模型19、电磁感应模型
【模型解题】
一、法拉第电磁感应定律的应用
1. 感应电动势大小的决定因素
(1)感应电动势的大小由穿过闭合电路的磁通量的变化率
和线圈的匝数共同决定，而与磁通量
、磁
通量的变化量
的大小没有必然联系.
(2)当
仅由B 引起时，则
;当
仅由S 引起时，则
;当
由B、S 的变化同时
引起，则
2. 磁通量的变化率
，是图象
-t 上某点切线的斜率。
3. 应用法拉第电磁感应定律解题的一般步骤
(1)分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况;
(2) 利用楞次定律确定感应电流的方向
(3)灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解.
4. 几点注意
(1)公式
是求解回路某段时间内平均电动势的最佳选择.
(2)用公式
求感应电动势时，S 为线圈在磁场范围内的有效面积.
1
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(3)通过回路截面的电荷量q 仅与n、
和回路总电阻
有关，与时间长短无关.
推导如下:
二、导体切割磁感线产生感应电动势的计算
1.公式
的使用条件
(1)匀强磁场.
(2)B、l、v 三者相互垂直.
(3)如不垂直，用公式
求解，
为B 与v 方向间的夹角.
2.“瞬时性”的理解
若v 为瞬时速度，则E 为瞬时感应电动势.
若v 为平均速度，则E 为平均感应电动势，即
3.切割的“有效长度”
公式中的l 为有效切割长度，即导体在与D 垂直的方向上的投影长度.图中有效长度分别为:
甲图:
;
乙图:沿
方向运动时，
;沿
方向运动时，
.
丙图:沿
方向运动时，
;沿
方向运动时，
;沿
方向运动时，
.
4.“相对性”的理解
中的速度v 是相对于磁场的速度，若磁场也运动，应注意速度间的相对关系.
三、电磁感应中的电路问题
2
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1．电磁感应中的电路问题分类.
(1)以部分电路欧姆定律为中心，包括六个基本物理量(电压、电流、电阻、电功、电功率、电热)，
三条定律(部分电路欧姆定律、电阻定律和焦耳定律)，以及若干基本规律(串、并联电路特点等).
(2 以闭合电路欧姆定律为中心，讨论电动势概念，闭合电路中的电流、路端电压以及闭合电路中能量
的转化.
2．对电磁感应电路的理解
(1)在电磁感应电路中，相当于电源的部分把其他形式的能通过电流做功转化为电能.(2)“电源”两
端的电压为路端电压，而不是感应电动势.
3. 解决电磁感应中的电路问题三步曲
(1)确定电源.切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于
电源，利用
或
求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向.
(2)分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图。
(3)利用电路规律求解.主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解.
四、电磁感应中的图像问题
1、解决图象问题的一-般步骤
(1)明确图象的种类，即是B-t 图象还是
-t 图象，或者是E-t 图象、I-t 图象等;
(2)分析电磁感应的具体过程;
(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系;
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式;
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等.
(6)画出图象或判断图象.
2.对图象的认识，应注意以下几方面
(1)明确图象所描述的物理意义;
(2)必须明确各种“十”、“一” 的含义;
(3)必须明确斜率的含义;
(4)必须建立图象和电磁感应过程之间的对应关系;
(5)注意三个相似关系及其各自的物理意义:
,
,
3
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2.电磁感应中图象类选择题的两个常见解法
(1)排除法:定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是
非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项.
(2)函数法:根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象作出分
析和判断，这未必是最简捷的方法，但却是最有效的方法.
【模型训练】
【例1】（多选）如图甲所示，一个匝数
的圆形导体线圈，面积
，电阻
。在线圈中
存在面积
的垂直线圈平面向外的匀强磁场区域，磁感应强度B 随时间t 变化的关系如图乙所示。
有一个
的电阻，将其两端a、b 分别与图甲中的圆形线圈相连接，b 端接地，则下列说法正确的有
（ ）
A．圆形线圈中产生的感应电动势
B．在
时间内通过电阻R 的电荷量
C．设b 端电势为零，则a 端的电势
D．在
时间内电阻R 上产生的焦耳热
【答案】BC
【详解】A．由图乙可以得到磁感应强的变化率为
根据法拉第电磁感应定律可得线圈中产生的感应电动势为
故A 错误；
B．根据闭合电路的欧姆定律可得线圈中的电流为
所以在
时间内通过电阻R 的电荷量为
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故B 正确；
C．根据楞次定律可以判断出线圈中的电流方向为顺时针方向，在电源内部电流是从低电势
流向高电势，所以a 点的电势低于b 点的电势，b、a 两端的电势差即为R 两端的电压
即
，根据
因为b 端接地，所以
，解得
故C 正确；
D．在
时间内电阻R 上产生的焦耳热为
故D 错误。
故选BC。
变式1.1 如图甲所示，单匝线圈电阻
，线圈内部存在垂直纸面向外的磁场，磁场面积为
，
有一个阻值为
的电阻两端分别与线圈两端a、b 相连，电阻的一端b 接地。磁感应强度B 随时间t 变
化的规律如图乙所示，不考虑圆形线圈缺口对感应电动势的影响，则（ ）
A．在
时间内，a 点电势高于b 点电势
B．当
时穿过线圈的磁通量为
C．在
时间内，通过电阻R 的电荷量大小为
D．在
时间内，a、b 两点间电压大小为
【答案】C
【详解】A．在
时间内，穿过线圈的磁通量增加，根据楞次定律可知，R 中有电流从b 流向a，b 点
电势高于a 点电势，A 错误；
B．由图可知
时，
，则此时穿过线圈的磁通量为
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B 错误；
D．根据法拉第电磁感应定律可得
由闭合电路欧姆定律得
R 两端电压为
D 错误；
C．
内通过电阻R 的电荷量大小为
C 正确。
故选C。
变式1.2 一线圈匝数为n=10 匝，线圈电阻不计，在线圈外接一个阻值R=2.0Ω 的电阻，如图甲所示．线圈
内有垂直纸面向里的磁场，线圈内磁通量φ 随时间t 变化的规律如图乙所示．下列说法正确的是（ ）
A．线圈中产生的感应电动势为10V
B．R 两端电压为0.5V
C．a 点电势高于b 点电势
D．通过R 的电流大小为2.5A
【答案】D
【详解】穿过线圈的磁通量变化率为
，感应电动势为E=n
=
=5V，由闭合电路殴姆定律
可得：
，那么R 两端的电压为U=IR=2.5×2=5V；再由楞次定律可得：感应电流的方向为
逆时针，流过电阻R 的电流方向由b→a，即a 点电势低于b 点电势，故D 正确，ABC 错误；故选D．
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【例2】如图所示，在磁感应强度大小为0.2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN 在宽度为
0.2m 的平行金属导轨上以5m/s 的速度沿导轨向右匀速滑动，电阻R 的阻值为2Ω，其他电阻不计。金属杆
始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（ ）
A．通过电阻R 的电流方向为c→a
B．通过电阻R 的电流为0.2A
C．1s 内，电阻R 产生的热量为4×10-3J
D．若磁感应强度为0.4T，其他条件不变，MN 中产生的感应电动势变为0.4V
【答案】D
【详解】A．根据右手定则，通过电阻R 的电流方向为a→c，故A 错误；
B．金属杆产生的电动势为
通过电阻R 的电流为
故B 错误；
C．1s 内，电阻R 产生的热量为
故C 错误；
D．MN 中产生的感应电动势变为
故D 正确。
故选D。
变式2.1 如图所示，导体棒ab 跨接在金属框架MNPQ 上与框架围成一个边长为L 的正方形回路，空间有
垂直框架平面的匀强磁场，磁感应强度为
，方向如图。电路中除ab 棒以外其余电阻均不计。若磁感应
强度保持
不变，让ab 棒以恒定速度v 向右运动时，导体棒中的电流大小为I；若保持ab 棒在初始位置不
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动，让磁感应强度B 随时间t 均匀变化，要使通过导体棒的电流仍为I，磁感应强度的变化率
应为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】让ab 棒以恒定速度v 向右运动时，导体棒中的电流大小为
，设ab 棒电阻为
，则有
，
若保持ab 棒在初始位置不动，让磁感应强度B 随时间t 均匀变化，要使通过导体棒的电流仍为
，则有
，
联立可得
解得磁感应强度的变化率为
故选B。
变式2.2 如图所示，固定于水平面上的金属架
处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒
沿框架以速
度向右做匀速运动。
时，磁感应强度为
，此时
到达的位置恰好使
构成一个边长为的
正方形。为使
棒中不产生感应电流，从
开始，磁感应强度
应该怎样随时间变化，下列关系式
中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【详解】当通过闭合回路的磁通量不变，则MN 棒中不产生感应电流，有
整理得：
故选A。
【例3】半径分别为r 和2r 的同心半圆导轨MN、PQ 固定在同一水平面内，一长为r、电阻为R、质量为m
且质量分布均匀的导体棒AB 置于半圆轨道上面，BA 的延长线通过导轨的圆心O，装置的俯视图如图所
示。整个装置位于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。在N、Q 之间接有一阻值也为R 的
电阻。导体棒AB 在水平外力作用下，以角速度ω 绕O 顺时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良
好接触。导轨电阻不计，不计一切摩擦，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒A 端相当于电源正极
B．导体棒AB 两端的电压大小为
C．流过R 的电流大小为
D．外力的功率为
【答案】D
【详解】A．导体棒AB 旋转时切割磁感线产生感应电动势，AB 相当于电源，根据右手定则可知，导体棒
AB 中感应电流的方向是A→B，即A 端相当于电源负极，B 端相当于电源正极，故A 错误；
B．AB 棒产生的感应电动势为
导体棒AB 两端的电压为路端电压，则
故B 错误；
C．流过R 的电流大小为
故C 错误；
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D．外力的功率大小为
故D 正确。
故选D。
变式3.1 如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R（指拉直时两端的电阻），磁感应强度
为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A 用铰链连接长度为2a、电阻为R 的导体棒AB，AB 由水
平位置紧贴环面摆下（与环接触良好），当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v，则此时AB 两端的电压为
（ ）
A．2Bav
B．Bav
C．
D．
【答案】D
【详解】导体棒摆到竖直位置时，产生的电动势大小为
分析可知此时电路相当于金属环左半边和右半边并联后与导体棒串联，两边金属环并联后的电阻为
两端的电压为路端电压，有
故选D。
变式3.2 半径为a 右端开小口的导体圆环和长为
的导体直杆，单位长度电阻均为
。圆环水平固定放
置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v 平行于直径
向右
做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O 开始，杆的位置由
确定，如图所示。则
（ ）
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A．
时，杆产生的电动势为
B．
时，杆产生的电动势为
C．
时，杆受的安培力大小为
D．
时，杆受的安培力大小为
【答案】D
【详解】A．由题意可知，当
时，杆产生的电动势为
A 错误；
B．当
时，由几何关系可知，导体直杆在磁场中切割磁感线的长度为a，杆产生的电动势为
B 错误；
C．当
时，单位长度电阻为
，则回路中的总电阻为
回路中的电流为
由安培力计算公式，可得杆受的安培力大小为
C 错误；
D．
时，则回路中的总电阻为
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杆受的安培力大小为
D 正确；
故选D。
【例4】如图所示，矩形导体框abcd 的ab 边长为l、bc 边长为2l，在外力作用下以速度v 向右匀速进入有
界匀强磁场，第一次ab 边与磁场边界平行、第二次bc 边与磁场边界平行。则先后两次进入磁场过程中，
ab 两点间的电势差绝对值之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
边的电阻为，则
边的电阻也为，
、
边的电阻均为
，线圈总电阻为
。第一次
ab 边与磁场边界平行进入磁场过程中，根据法拉第电磁感应定律结合闭合电路欧姆定律，可得ab 两点间
的电势差为
bc 边与磁场边界平行进入磁场过程中，ab 两点间的电势差的绝对值为
则可得二者的绝对值之比为
。
故选B。
变式4.1 如图所示，先后以速度
和
匀速把一矩形线圈水平拉出有界匀强磁场区域，
，则在先后
两种情况下（ ）
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A．线圈中的感应电动势之比为
B．线圈中的感应电流之比为
C．线圈中产生的焦耳热之比
D．通过线圈某截面的电荷量之比
【答案】C
【详解】A．感应电动势为
由于
则感应电动势之比为
故A 错误；
B．感应电流为
由于
则感应电流之比为
故B 错误；
C．线框穿出磁场的时间为
由于
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则有
产生的焦耳热为
则焦耳热之比
故C 正确；
D．通过线圈某截面的电荷量为
由于B、S、R 都相等，则通过某截面的电荷量之比为
，故D 错误。
故选C。
变式4.2 如图所示，一边长为L 的均质正方形金属线框abcd，以恒定的速率v 水平向右通过宽度为2L 的垂
直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，则金属线框从距磁场左边界L 处到穿出磁场过程，若以顺时针
电流为正方向，则线框中的电流随位移图像的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【详解】位移在
之间时，ab 边切割磁感线，相当于电源，电源电动势大小为Blv，其电流大小为
根据右手定制可知方向为逆时针；
位移在
之间时，ab、cd 边切割磁感线，相当于电源，电源电动势大小均为Blv，产生的感应电动势
相互叠加，根据右手定制可知方向均为顺时针，其电流大小为
位移在
之间时，ab、cd 边切割磁感线，产生的感应电动势相互抵消，回路无感应电流；
位移在
之间时，cd 边切割磁感线，相当于电源，电源电动势大小为Blv，其电流大小为
根据右手定制可知方向为逆时针。
故选B。
【例5】如下图，
为“日”字形导线框，其中
和
均为边长为的正方形，导线
、
的电阻相等，其余部分电阻不计。导线框右侧存在着宽度略小于的匀强磁场，磁感应强度为
，导线框
以速度匀速穿过磁场区域，运动过程中线框始终和磁场垂直且无转动。线框穿越磁场的过程中，
两点
电势差
随位移变化的图像正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于匀强磁场的宽度略小于，导线
在磁场内时
在磁场外时，导线
充当电源，
表
示路端电压
导线
在磁场内时
在磁场外时，导线
充当电源，
是外电路并联电压，路端电压
导线
在磁场内时
在磁场外时，导线
充当电源，
是外电路并联电压，路端电压
故选A。
变式5.1 如图所示，等腰直角三角形闭合导线框abc 的斜边bc 的长度为d，线框右侧有一宽度为d 的匀强
磁场，磁场方向垂直纸面向里，bc 与磁场边界垂直。现让线框以速度v 沿bc 方向匀速向右运动并穿过磁
场，线框中电流方向以abca 流向为正，以c 点刚进入磁场为计时起点，则线框中电流i 随时间t 变化的图
像正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】以c 点刚进入磁场为计时起点，开始ac 边切割磁感线产生感应电动势，从而产生感应电流，由几
何知识可知ac 边切割磁感线的有效长度为
根据法拉第电磁感应定律，可得产生的感应电动势大小为
即感应电动势与时间按正比例规律变化，且产生感应电动势的最大值为
设线圈的总电阻为
，根据
可知感应电流也与时间成正比例变化，最大值为
根据楞次定律可判断知感应电流方向为abca，方向为正；当bc 边的中垂线进入磁场后，线圈切割磁感线
的有效长度逐渐变小，由几何知识结合法拉第电磁感应定律可知，产生的感应电流大小与前面的对称，根
据楞次定律知，感应电流方向仍然为abca；当ac 边出磁场时，可知线圈切割磁感线的有效长度又逐渐增
大，且按线性规律变化，产生感应电流的最大值与前面的相等，由楞次定律可判断知感应电流的方向为
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acba，为负方向；接着当bc 边的中垂线出磁场时，线圈的有效切割长度又均匀减小，感应电流逐渐减小，
方向仍然为acba，为负方向，直到线圈完全出磁场，不再产生感应电流。结合选项图像，故选A。
变式5.2 边长为l 的正方形线框以初速度
水平抛出，在其正下方有一宽度为
、水平足够长的垂直于纸
面向里的匀强磁场区域，如图所示。cd 边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动。以cd 边刚离开磁场
时为计时起点，此后线框的加速度与其竖直方向位移的关系图像可能正确的是（忽略空气阻力，线框在此
过程中不发生转动，取竖直向下为正方向）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AB．线框完全离开磁场后的运动为
的匀加速运动，由题意可知，加速度恒为+g，AB 错
误；
C．cd 边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，所受安培力等于重力，线框完全进入磁场后的运动为
的匀加速运动，故cd 边刚离开磁场时竖直方向的分速度大于cd 边刚进入磁场时竖直方向的分速度，
所受安培力大于重力，可知cd 边离开磁场时的过程中做加速度减小的减速运动，根据C 选项的图像，ab
边出磁场时，加速度为零，安培力等于重力，即此时的速度刚好等于cd 边进入磁场时的速度；而从ab 边
刚进入磁场到cd 边刚出磁场，物体的加速度为g，位移为l；接下来再运动位移为l 时，加速度均小于g，
ab 边刚出磁场时速度肯定大于ab 刚进入磁场时的速度，所以加速度不可能为零，C 错误；
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D．cd 边刚出磁场时的速度大小不确定，线框的加速度大于g、等于g 和小于g 均有可能，D 正确。
故选D。
【例6】如图甲所示，边长为
、粗细均匀的等边三角形金属线框
固定在绝缘水平面上，空间中存在
垂直于水平面向里的匀强磁场。已知磁场的磁感应强度大小
随时间的变化关系如图乙所示，时刻，磁
感应强度大小为
，曲线的切线与纵轴的交点对应的磁感应强度大小为
，金属线框
的总电阻为
。求：
（1）时刻，通过金属框
的感应电流
；
（2）
时间内，通过金属框
截面的电荷量
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）金属框
围成的面积
时刻，金属框
的感应电动势
又
解得
（2）
时间内，金属框
的平均感应电动势
金属框
内的平均电流为
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通过金属框
截面的电荷量为
解得
变式6.1 如图甲所示，虚线
左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧磁场的方向垂直纸
面向外，磁感应强度大小恒为
；左侧磁场的磁感应强度
随时间变化的规律如图乙所示，规定垂直纸
面向外为磁场的正方向。一硬质细导线做成半径为的圆环固定在纸面内，电阻为
，圆心
在
上。
求：
（1）
时，圆环中的电流大小和方向；
（2）
时，圆环受到的安培力大小和方向。
【答案】（1）
，方向顺时针；（2）
，方向垂直
向左
【详解】（1）
时间内，磁感应强度
不断减小，方向垂直纸面向内，根据楞次定律可知，圆环中的
感应电流方向为顺时针，感应电动势大小为
感应电流大小为
（2）根据左手定则可知，圆环受到的安培力方向向左，大小为
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得
变式6.2 如图1 所示，
是两条相距为
的长
的光滑金属导轨，两导轨右侧接有阻
值为
的定值电阻，导轨电阻不计。导轨最左侧放置一质量为
，电阻为
的导体
棒，导体棒被固定。
内匀强磁场的磁感应强度随时间的变化如图2 所示，
后磁场保持不变，导体
棒以初速度
向右运动，求：
（1）
内电阻R 产生的热量；
（2）
后流过电阻R 的总电荷量。
【答案】（1）
；（2）0.5C
【详解】（1）
内产生的感应电动势
回路电流
电阻R 产生的热量
（2）导体棒以初速度
向右运动，假设棒没有脱离轨道，根据动量定理
解得
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且根据
解得
所以假设成立
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