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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块四：曲线运动模块大招
第06 讲 水平圆中圆锥摆及圆锥斗、圆碗模型
（解析版）
目录
【内容一】 基础1 圆锥摆模型...........................................................................................................................1
【内容二】 基础2 圆锥摆模型...........................................................................................................................2
【内容三】 圆锥摆变形模型..............................................................................................................................3
【内容四】 其它特殊模型...................................................................................................................................4
【内容五】 圆锥筒模型.......................................................................................................................................5
【内容六】 圆碗模型...........................................................................................................................................6
技巧总结
圆锥摆模型
内容一：基础模型1：圆锥摆
Ⅰ：结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为
质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
Ⅱ：受力特点：摆球质量为m ，只受两个力即竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉
力FT 。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力
，如图所示（也可以理解为
拉力
的竖直分力与摆球的重力平衡，
的水平分力提供向心力）。
Ⅲ：运动特点：摆长为l ，摆线与竖直方向的夹角为θ 的圆锥摆，摆球做圆周运动的
圆心是
，圆周运动的轨道半径是r=lsinθ
向心力 F合=mg tanθ=ma n=mω2lsinθ=mv 2/(lsinθ)
摆线的拉力 FT=mg /cosθ
1
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【讨论】：①当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运
动时，据cosθ=g/(ω2l)可知，若角速度ω 越大，则θ 越大，摆线拉力
FT=mg /cosθ 也越大，向心加速度an=gtanθ 也越大，线速度v=ωr =
√glsinθtanθ 也越大。
结论：同一圆锥摆，在同一地点，若θ 越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心
加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
②当
为定值时（lcosθ=h 为摆球的轨道面到悬点的距离
，即圆锥摆的高
度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆
线拉力FT=mg /cosθ ，向心力F合=mg tanθ ，向心加速度an=gtanθ ，角速度
ω=√g/h ，线速度v=ωr=√gh tanθ 。
结论：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相
等，但θ 角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
周期：
只要
不变，则周期
将不会改变.
内容二：基础模型2：圆锥摆
当
一定时，
2
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内容三：基础模型3：圆锥摆变形
临界：
倾角仍为
.
内容四：其它模型：
圆锥
筒、
圆碗模型
内容五：圆锥筒
①结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点
的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
②受力特点：小球质量为m ，受两个力即竖直向下的重力mg 和垂直内壁沿斜向上方
向的支持力F N 。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力
，如图所示
③运动特点：轴线与圆锥的母线夹角θ ，小球的轨道面距地面高度h ，圆周轨道的圆
心是O，轨道半径是r=htanθ , 则有
向心力
Fn=mg /tanθ=man=mω2htanθ=mv 2/(htanθ)
.
3
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支持力
FN=mg /sinθ
.
由此得
a
n=g/tanθ
，
ω=√
g
h(tanθ)2
，v=√gh 。
结论：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小
球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动
的越慢，而运动的越快。
内容六：：圆碗
受力分析运动分析： 正交分解
轴指向心：
列方程求解：
;
结论：
①同角同向心加速度（B 和C）
②同高同角速度（A 和C）
例题演练
例1．如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A 两点连接有
两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA=OB=AB，现通过转动竖直杆，
使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程
OB、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是（ ）
4
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A．OB 绳的拉力范围为0~mg B．OB 绳的拉力范围为
mg~
mg
C．AB 绳的拉力范围为
mg~
mg D．AB 绳的拉力范围为0~
mg
解：转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时二者的值相同，
设为T1，则：2T1cos30°=mg 解得
增大转动的角速度，两绳始终没有弯曲，所以当AB 绳的拉力刚好为零时，OB 绳的拉
力最大，设这时OB 绳的拉力为T2，则：T2cos30°=mg，
因此OB 绳的拉力范围
mg~
mg，AB 绳的拉力范围0~
mg。故选BD。
例2、如图所示，一根长为0.5m 的轻质细线，一端系着一个质量为0.8kg 的小球（可
视为质点），另一端固定在光滑圆锥体顶端，圆锥顶角的一半
（
，
），g 取
。求：
（1）整个系统静止时，小球受到绳子的拉力与圆锥体支持力的大小；
（2）当小球随圆锥体围绕其中心轴线一起以
做匀速圆周运动时，小球受到
绳子的拉力与圆锥体的支持力。
5
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解：（1）静止时，小球受力平衡，设绳子对小球的拉力为
，圆锥体对小球的支持力
为
，由平衡条件得
，
解得
，
（2）当小球与圆锥体之间的作用力为零时有
由牛顿第二定律有
解得
此时
例3、图甲为游乐场的悬空旋转椅，我们把这种情况抽象为图乙的模型：一质量m=4.0
kg 的球通过长L=12.5 m 的轻绳悬于竖直面内的直角杆上，水平杆长L′=7.5 m。整个装
置绕竖直杆转动，绳子与竖直方向成θ 角。当θ=37°时，（g 取10m/s2，sin 37°=0.6，
cos 37°=0.8）求：
（1）绳子的拉力大小；
（2）该装置转动的角速度。
解：小球受重力和拉力作用，两力的合力指向圆心提供向心力，如图所示。
（1）绳子的拉力大小
（2）根据牛顿第二定律mgtanθ=mω2R 其中R=L′+Lsin θ 解得
例4、如图所示，水平杆固定在竖直杆上，二者互相垂直，水平杆上O、A 两点连接有
两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，
= ，现通过转动竖直
杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形
始终在竖直面内，g 为重力加
速度，不计空气阻力。（1）若转动的角速度
，求OB、AB 两绳的拉力大小；
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（2）若转动的角速度
，求OB、AB 两绳的拉力大小。
解：（1）当AB 绳的拉力刚好为零时
，
因为
，所以两绳均有拉力，对小球进行受力分析，正交分解，得
，
，
（2）因为
，所以OB 绳与竖直方向夹角大于
，设OB 绳与竖直方向夹角为
，
AB 绳已松。对小球进行受力分析，由牛顿第二定律得
解得
；
例5、如图所示，质量之比为
的甲、乙两球通过轻绳相连，再通过轻绳与竖直杆相
连，两球随竖直杆一起做匀速圆周运动，绳
长为
，
、
长均为
，
绳
水平，
绳竖直。重力加速度大小为
。求：（1）
绳与
绳的弹力大小之比
；
（2）两球绕竖直杆做匀速圆周运动的角速度大小
。
解：(1)设
绳与竖直方向的夹角为
，根据几何关系有
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设甲球的质量为
，对甲球，在水平方向有
对乙球，在水平方向有
解得
(2)设
绳的弹力大小为
，对甲球，在竖直方向有
对乙球，在竖直方向有
又
解得
例6、如图甲所示为游乐场的悬空旋转椅，可抽象为图乙所示的模型，两球通过长L 的
轻绳悬于竖直平面内的直角杆上，整个装置绕竖直杆稳定转动，悬点A、B 绳子与竖
直方向夹角分别为θ1=37°、θ2=45°。已知sin 53°=0.8， cos53°=0.6，重力加速度为g，
不计空气阻力，求：（1）两根绳子的拉力大小之比
，则质量
为多少；
（2）若水平杆OA 长L0，则该装置转动的角速度为多少。
解：（1）设A、m 间绳子拉力为T1，B、M 间绳子拉力为T2，m 圆周运动半径为r1，
向心加速度为a1，M 圆周运动半径为r2， 向心加速度为a2，则有
，
联立得
所以
（2）分析m 球受力有
，
，
联立得
例7、如图所示，AB 为竖直转轴，细绳AC 和BC 的结点C 系一质量为m 的小球，两绳
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能承担的最大拉力均为2mg，当AC 和BC 均拉直时
，
ABC 能绕竖直轴AB 匀速转动，因而C 球在水平面内做匀速圆周运动，当小球的线速
度增大时，两绳均会被拉断，求：（1）哪根绳最先被拉断，被拉断时线速度
的大小；
（2）另一根绳被拉断时小球的线速度
的大小。（已知
，
）
解：(1) 当小球线速度增大时，BC 逐渐被拉直，当BC 被拉直后，设细绳AC、BC 的
拉力分别为TA、TB，根据牛顿第二定律得
对小球有
可求得AC 绳中的拉力
当线速度再增大些，TA不变而TB增大，所以BC 绳先断，当BC 绳刚要断时，拉力为
TB=2mg，代入解得
(2) 当BC 线断后，AC 与竖直方向夹角设为α，当小球角速度再增大时，角α 随小球速
度增大而增大，当TA=2mg 时，此时AC 也断开，则有
，
又因为
代入数据解得α=60°，v2=5m/s
例8、如图所示，一质量为m 的小球用两根不可伸长的轻绳a、b 连接，两轻绳的另一
端分别系在竖直杆的A、B 两点上，当两轻绳伸直时，a 绳与杆的夹角为30°，b 绳水平。
已知a 绳长为L，当竖直杆以自己为轴转动，在角速度ω 从零开始缓慢增大过程中，
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则下列说法正确的是（ ）
A．从开始至b 绳刚要伸直时，绳a 对小球不做功 B．当
时，b 绳未伸直
C．角速度ω 从零开始缓慢增大过程中绳a 对小球的拉力一直增大
D．当b 绳刚要伸直时，小球的向心加速度大小为
解：A．从开始至b 绳刚好伸直时，小球的动能增加，重力对小球做负功，则绳a 对小
球做正功，故A 错误；
BD．当b 绳刚好伸直时，由牛顿第二定律和竖直方向平衡得
联立解得
，
由于
可得此时b 绳未伸直，故BD 正确；
C．当角速度
从零开始缓慢增大的过程中绳a 对小球的拉力
即
则当角速度增大时，在
的过程中，绳子a 的拉力变大，当
时，根据
可知绳子a 拉力在
后不变，故C 错误。故选BD。
例9、质量为
的小球
由相同材质的轻绳
和
分别系于一轻质细杆的
点和
点.
如图所示，当轻杆铙轴
以角速度
匀速转动时，
绳与水平方向成
角，
绳在水
平方向上且长为，下列说法正确的是（ ）
A．
绳的张力可能为零 B．
绳的张力随角速度的增大而增大
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C．当角速度
时，
绳中存在张力
D．当两根绳都伸直时，继续增大角速度，则
绳先断
解：A．
绳的张力不可能为零，因为小球做匀速圆周运动其合外力提供向心力，则竖
直方向的合力为0，则a 绳在竖直方向的分力与重力大小相等方向相反，所以A 错误；
B．当b 绳伸直时，
绳的张力为
有
解得此时角速度为
但是角速度
时，
绳与水平方向夹角不变，则
绳的张力随角速度的增大
保持不变，所以B 错误；
C．当角速度
时，
绳中存在张力，所以C 错误；
D．当两根绳都伸直时，继续增大角速度，
绳的张力保持不变，则
绳张力越来越大
则ｂ绳先断，所以D 正确；故选D。
例10、如图所示装置可绕竖直轴
转动，可视为质点的小球A 与两细线连接后分别
系于B、C 两点，当细线AB 沿水平方向绷直时，细线AC 与竖直方向的夹角37°。已知
小球的质量m＝1kg，细线AC 长L＝1m，（重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6）
（1）若装置匀速转动时，细线AB 刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1。
（2）若装置匀速转动的角速度ω2＝
rad/s，求细线AB 和AC 上的张力大小TAB、
TAC。
解：(1)当细线AB 刚好被拉直，则AB 的拉力为零，靠AC 的拉力和重力的合力提供向
心力，据牛顿第二定律有
解得ω1＝
rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝
rad/s，对小球正交分解，在水平、竖直方向分别
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满足
，TACcos37°＝mg 代入数据解得TAB=
，TAC=12.5N
例11．如图所示，一细线两端固定在竖直轴上，光滑的圆环穿过细线，在水平面内绕
竖直轴上的O 点做匀速圆周运动，细线的上部分1 与竖直轴的夹角为
，下部分2 与
竖直轴的夹角为
，重力加速度g 取
，下列说法正确的是（ ）
A．细线的上部分1 与下部分2 对圆环的拉力大小不相等B．夹角
一定小于夹角
C．若
、
（
，
），则圆环的加速度大小为
D．若
、
，圆环到O 点的距离为0.7m，则圆环的周期为
解：A．光滑圆环所在位置为绳的“活结”，则细线的倾斜部分1 与倾斜部分2 对圆环
的拉力大小一定相等，故A 错误；
B．设圆环的质量为m，细线的拉力为T，对圆环受力分析，把细线的倾斜部分1 与倾
斜部分2 对圆环的拉力分别沿水平方向竖直方向分解，圆环在水平面内做匀速圆周运
动，则竖直方向受力平衡
可得
即
则
B 正确；
C．在水平方向由牛顿第二定律可得
结合
、
，
，综合解得
故C 错误；
D．由
结合
、
，可得
故D 正确。故选BD。
例12．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在水平地面上，其轴线处于竖直方向，
A、B 两个小球紧贴着筒内壁分别在不同的两个水平面上做匀速圆周运动（A 做圆周运
动的半径大于B，即RA>RB）。分析A、B 两球的运动，可知它们具有相同的（ ）
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A．线速度
B．角速度
C．向心加速度
D．周期
解：小球的受力情况如图所示
其所受合力提供（向心力），即
又
结合
可知，
、
两球的运动，它们具有相同的向心加速度。故选C。
例13．如图，完全相同的可视为质点的甲、乙两个金属小球，在置于水平地面的内壁
光滑的碗形容器内，先后沿着不同半径在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．甲运动时所需向心力大，甲运动时碗对地面的压力会大于乙运动时碗对地面的压
力
B．甲运动时所需向心力大，两种情况下碗对地面的压力一样大
C．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，甲运动时碗对地面的压力小于乙运动时碗对
地面的压力D．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，两种情况下碗对地面的压力一
样大
解：金属小球受重力和支持力作用，两者的合力提供向心力，由几何关系可知，向心
力为
由图可知
所以甲运动时所需向心力大，碗对球的支持力为
其竖直分力为
所以两种情况下碗对地面的压力一样大，都是碗的重力加小球的重力，故ACD 错误，
B 正确。故选B。
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例14．如图所示，一内壁光滑的圆锥面，顶点O 在下方，顶角为
，OO′是竖直轴线，
若有A、B 两小球，质量
（可视为质点），在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道做
匀速圆周运动，以O 点为势能零点，则（ ）
A．它们的线速度大小相同 B．它们的周期相同
C．它们的动能相同 D．它们的动能与重力势能之比相同
解：AC．小球做匀速圆周运动，由支持力与重力的合力作为向心力，由牛顿第二定律
可得
解得
，
A 球做圆周运动的轨道半径r 较大，故线速度v 较大，又由于A 球质量较大，故A 球
动能较大，AC 错误；
B．由向心力公式可得
解得
由于r 不同，故T 不同，B 错
误；
D．小球的动能与重力势能之比为
故它们的动能与重力势能
之比相同，D 正确。故选D。
例15．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的
两个小球A 和B 贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A 的运动半径较大，则（
）
A．A 球的角速度必小于B 球的角速度 B．A 球的线速度必小于B 球的线速度
C．A 球运动的周期必小于B 球运动的周期D．A 球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的
压力
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解：以小球为研究对象，其受力分析，由牛顿第二定律得
解得
则
，
由图示可知，对于AB 两个球来说，重力加速度g 与角
相同。
A．A 的转动半径大，B 的半径小，因此A 的角速度小于B 的角速度，故A 正确；
B．A 的线速度大于B 的线速度，故B 错误；
C．A 的周期大于B 的周期，故C 错误；
D．由受力分析图可知，球受到的支持力
由于两球的质量m 与角度
相同，则桶壁对AB 两球的支持力相等，由牛顿第三定律
可知，两球对桶壁的压力相等，故D 错误。故选A。
例16．如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀
速圆周运动，甲在乙的上方。则它们运动的（ ）
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
解：AB．对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持
力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有
解得
，
球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于
球乙的线速度，故A 错误，B 正确；
C．根据
因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大
于球乙的运动周期，故C 错误；
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D．因为支持力
结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁
的压力，故D 错误。故选B。
例17．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两
个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则
（ ）
A．球A 的线速度必定小于球B 的线速度B．球A 的角速度必定大于球B 的角速度
C．球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期
D．球A 对筒壁的压力必定等于球B 对筒壁的压力
解：A．对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图，
设支持力N 与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律，有
解得
由于A 球的转动半径较大，A 的线速度较大，故A 错误；
B．根据
由于A 球的转动半径较大，则A 的角速度较小，故B 错误；
C．根据
可知A 的周期大，故C 错误；
D．圆锥筒对小球的支持力
与轨道半径无关，则由牛顿第三定律得知，小球
对圆锥筒的压力也与半径无关，即球A 对圆锥筒壁的压力等于球B 对筒壁的压力，故
D 正确。
故选D。
例18．在杯子内有质量不同的A、B 两个光滑小球，它们分别在如图所示的水平面内
做匀速圆周运动，则（ ）
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A．A 物体的线速度必定小于B 物体的线速度
B．A 物体角速度必定小于 B 物体角速度
C．A 物体运动所需的向心力必定小于 B 物体运动的向心力
D．A 物体对筒壁的压力必定大于 B 物体对筒壁的压力
解：对小球受力分析如图：
小球在竖直方向上受力平衡：
水平方向上小球做匀速圆周运动：
AB．根据向心力公式有：
由图可知
所以可知
，
故A 正确，B 错误；
C．由前面分析可知：
因为A 的质量与B 的质量关系不确定，故AB 所需的向心力关系不确定，故C 错误；
D．因为：
因为A 的质量与B 的质量关系不确定，故AB 物体对筒壁的压
力关系不能确定，故D 错误。故选A。
例19．如图是一个半球形碗，内壁光滑，两个质量相等的小球A、B 在碗内不同水平
面做匀速圆周运动，F 代表碗面对球的支持力，、
、
分别代表线速度、加速度、
角速度。以下说法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
解：以任意一球为研究对象，受力情况如图，
由图得到轨道对小球的支持力
对于两球θA＞θB，所以FA＞FB
小球受重力mg 和内壁的支持力F，由两力合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
得
对于两球θA＞θB，则ωA＞ωB
根据
对于两球θA＞θB，知vA＞vB向心加速度an=gtanθ
对于两球θA＞θB，则向心加速度aA＞aB故选D。
例20．如图所示，质量相同的两个小球A、B 在固定的半球形碗的内表面做匀速圆周
运动，圆周平面都是水平面的，不计一切阻力，则
A．小球A 所受弹力小于B 所受弹力 B．小球A 的向心力小于B 的向心力
C．小球A 的周期大于B 的周期 D．小球A 的线速度大于B 的线速度
解：以任意一球为研究对象，受力情况如图，由图得到轨道对小球的支持力为：
，对于两球θa＞θb，所以Na＞Nb，故A 错误．
小球的向心力为：Fn=mgtanθ，两球θa＞θb，则小球A 的向心力大于B 的向心力，故B
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错误．根据牛顿第二定律得：
，解得：
，由于r=Rsinθ，
则有：
，因为θa＞θb，所以Ta＜Tb，故C 错误．根据
得：
，因为θa＞θb，rA＞rB，所以va＞vb，故D 正确．
例21．如图所示，内表面为半球型且光滑的碗固定在水平桌面上，球半径为R，球心
为O。现让可视为质点的小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，小球与球心O
的连线与竖直线的夹角为
，重力加速度为g，则（ ）
A．小球的转速为
B．小球的向心加速度为
C．碗内壁对小球的支持力为
D．小球运动的速度为
解：B．小球受到重力和球面的支持力，所受的合力为F 合=mgtanθ
小球做圆周运动的轨道半径为r=Rsinθ 根据F 合=ma=mgtanθ 得a=gtanθ 故B 正确。
C．根据平行四边形定则知，支持力
故C 错误；
D．根据
得
故D 错误；
A．根据转速与速度关系
故A 错误；故选B。
对应题型精炼
一、单选题
1．如图所示，质量相等的A，B 两个小球悬于同一悬点O，且在O 点下方垂直距离加
1m 处的同一水平面内做匀速圆周运动，悬线长
，
，则A、B 两小球
19
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（ ）
A．周期之比
B．角速度之比
C．线速度之比
D．向心加速度之比
【答案】C
【详解】AB．小球做圆周运动所需要的向心力由重力mg 和悬线拉力F 的合力提供，
设悬线与竖直方向的夹角为θ。对任意一球受力分析，由牛顿第二定律有：在竖直方
向有
…①
在水平方向有
…②
由①②得
分析题意可知，连接两小球的悬线的悬点距两小球运动平面的距离均为
所以周期相等
角速度
则角速度之比
20
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故AB 错误；
C．根据合力提供向心力得
解得
根据几何关系可知
故线速度之比
故C 正确；
D．向心加速度
则向心加速度之比等于线速度之比为
故D 错误。
故选C。
2．如图所示，两根长度不同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于
点。设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动。已知
跟竖直方向的夹角
为
跟竖直方向的夹角为
，下列说法正确的是（ ）
A．小球
和
的角速度大小之比为
B．细线
和细线
所受的拉力大小之比
为
21
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C．小球
利
的向心力大小之比为
D．小球
和
的线速度大小之比为
【答案】C
【详解】A．对圆锥摆的小球分析，设摆线与竖直方向夹角为
，则有
解得
则小球
和
的角速度大小之比为
故A 错误；
B．对圆锥摆的小球分析，设摆线与竖直方向夹角为
，则有
则细线
和细线
所受的拉力大小之比为
故B 错误；
C．对圆锥摆的小球分析，设摆线与竖直方向夹角为
，则有
则小球
和
的向心力大小之比为
故C 正确；
D．对圆锥摆的小球分析，设摆线与竖直方向夹角为
，则有
解得
22
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则小球
和
的线速度大小之比为
故D 错误。
故选C。
3．如图所示，质量为m 的小球用长为l 的细线悬于B 点，现使小球在水平面内做匀速
圆周运动，若小球稳定转动时绳子跟竖直方向的夹角为
，重力加速度为g，则
（ ）
A．小球受到的合外力为零
B．小球受到的合外力为
C．小球做匀速圆周运动需要的向心力为
D．小球做匀速圆周运动的向心加速度为
【答案】D
【详解】A．小球在水平面内做匀速圆周运动，小球加速度不为零，根据牛顿第二定
律可知小球受到的合外力不为零，故A 错误；
B．根据共点力平衡可得小球受到的合外力为
故B 错误；
C．小球受到重力与绳子的拉力的合力提供向心力，故小球做匀速圆周运动需要的向心
力为
，故C 错误；
D．根据牛顿第二定律有
23
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小球做匀速圆周运动的向心加速度为
故D 正确。
故选D。
4．一个质量为m 的小球在内壁光滑的半球形容器内的某一高度上做匀速圆周运动，小
球与半球形容器的球心的连线与竖直方向成
角，已知球形容器的半径为R，重力加速
度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球合外力恒定不变
B．
越大，小球运动的周期T 也越大
C．若小球运动的角速度为
，则其对碗的压力大小为
D．若小球运动的线速度为v，则其向心加速度大小为
【答案】C
【详解】A．根据题意，对小球受力分析，受重力和碗的支持力，由几何关系可得
小球合外力大小不变，方向不断变化，选项A 错误；
B．小球做圆周运动由牛顿第二定律有
可得
24
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可知，
越大，小球运动的周期T 越小，故B 错误；
C．由牛顿第二定律有
可得
则碗对小球的支持力为
由牛顿第三定律可知，小球对碗的压力
故C 正确；
D．由向心加速度公式有
可得
故D 错误。
故选C。
二、多选题
5．如图所示，质量均为m 的a、b 两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小
球a 在竖直平面内来回摆动，小球b 在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b 的绳子
与竖直方向的夹角和小球a 摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为
g，则下列说法正确的是（ ）
A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力
25
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B．a、b 两小球圆周运动的半径之比为
C．b 小球受到的绳子拉力为
D．a 小球运动到最高点时受到的绳子拉力为
【答案】CD
【详解】A．分析可知，a 小球在最低点时由重力与绳子拉力的合力提供向心力，而在
下落或上升过程中均由重力沿着与绳中拉力方向相反的分力和绳中拉力的合力提供向
心力，而b 小球运动过程中，向心力由重力与绳中拉力的合力提供，故A 错误；
B．将小球看成质点，则a 小球做圆周运动的半径为绳长，b 小球做圆周运动的半径
为
，则可得
故B 错误；
C．对b 小球受力分析如图所示
由此可得
故C 正确；
D．对a 小球在最高点受力分析如图所示
当小球运动至最高点时速度为零，沿着绳子的方向合力为零，此时有
26
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故D 正确。
故选CD。
6．如图所示，半径为
的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，
转台转轴与过陶罐球心
的对称轴
重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为
的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，小物块与陶罐内壁间的动摩擦因数为
，且它和
点的连线与
之间的夹角
为
，关于陶罐转动的不同角速度
对应的情景说法正确的有（当地重力加速度
）（ ）
A．若
则物块不可能稳定在如图位置
B．若
则物块一定稳定在如图位置
C．若
则物块不可能稳定在如图位置
D．当
则物块有可能稳定在如图位置
【答案】BD
【详解】A．若
，若满足
物块能稳定在如图位置。故A 错误；
B．设小物块以角速度
转动时，所受静摩擦力为零。以小物块为对象，根据牛顿第
二定律可得
解得
故B 正确；
C．若
，物块受到斜向下的摩擦力，物块仍可能稳定在如图位置。故C 错误；
D．当
，物块受到斜向上的摩擦力，则物块有可能稳定在如图位置。故D 正
27
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确。
故选BD。
7．如图所示，一个不对称的锥形容器固定在水平转台上，转台绕过锥形容器顶点的竖
直轴线以角速度ω 匀速转动，质量不同的小物块、随容器转动且相对器壁静止，A、B
距离水平转台的高度均为h，A、B 和顶点的连线与竖直方向的夹角分别为α 和β，
，则下列说法正确的是（ ）
A．小物块A 的向心加速度大小等于小物块B 的向心加速度大小
B．A、B 受到的摩擦力不可能同时为零
C．若A 不受摩擦力，则B 受沿容器壁向上的摩擦力
D．若B 不受摩擦力，则A 受沿容器壁向上的摩擦力
【答案】BD
【详解】A．小物块 A 、B 随容器转动且相对容器壁静止，则两者具有相同的角速度，
根据向心加速度公式可知
由于
则
得
故A 错误；
B．若A 不受摩擦力时，角速度为
，则有
28
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若B 不受摩擦力时，角速度为
，则有
得
由于
则
得
A、B 受到的摩擦力不可能同时为零。故B 正确；
C．由B 项分析可知，A 的临界角速度大于B 的临界角速度，若A 不受摩擦力，则B
受沿容器壁向下的摩擦力。故C 错误；
D．由B 项分析可知，A 的临界角速度大于B 的临界角速度，若B 不受摩擦力，则A
受沿容器壁向上的摩擦力。故D 正确。
故选BD。
8．如图所示，轻杆的一端用铰链固定在竖直转轴OOʹ 上的O 端，另一端固定一小球，
轻杆可在竖直平面内自由转动，当转轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做
匀速圆周运动，此时轻杆与竖直转轴OOʹ 的夹角为37°，已知转轴O 端距离水平地面
的高度为h，轻杆长度为L，小球的质量为m，重力加速度为g，取sin37°=0.6，
cos37°=0.8，下列说法正确的是（ ）
A．小球做匀速圆周运动的线速度为
B．轻杆对小球的作用力为mg
29
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C．小球做匀速圆周运动的周期为
D．若某时刻小球从轻杆上脱落，小球落地点到转轴的水平距离为
【答案】AC
【详解】A．合力提供向心力，由牛顿运动定律，有
解得
故A 正确；
B．设轻杆对小球的作用力为F，由
解得
故B 错误；
C．小球做匀速圆周运动的周期
故C 正确；
D．根据平抛运动规律，有
，
解得
落地点到转轴的水平距离
故D 错误。
故选AC。
9．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球
，细线的上端固定在金属块
上，
放
在带小孔小孔光滑的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。
30
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现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中
位置），两次金属块
都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（
）
A．小球
运动的周期变大
B．小球
运动的角速度变小
C．小球
运动的线速度变大
D．金属块
受到桌面的摩擦力变大
【答案】CD
【详解】ABC．设细线与竖直方向的夹角为
，细线的拉力大小为
，细线的长度为
，P 球做匀速圆周运动时，重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图
则有
解得周期
角速度
线速度
使小球改到一个更高一些的水平面上作匀速圆周运动时，
增大，
减小，
和
31
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增大，则得到周期减小，角速度增大，线速度增大，故AB 错误，C 正确；
D．对
球，绳子拉力
增大，则
减小，绳子拉力变大，对
球，由平衡条件得知，拉力变大，则
受
到桌面的静摩擦力变大，故D 正确。
故选CD。
10．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球 P，细线的上端固定在金属块 Q 上，Q
放在带小孔的水平桌面上，小球 P 在某一水平面内做匀速圆周运动。现使小球 P 改
到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），金属块 Q 在桌面上始
终保持静止。后一种情况与原来相比较， 下面的判断中正确的是（ ）
A．细线张力变小
B．金属块 Q 受到桌面的静摩擦力变大
C．小球 P 运动的线速度变小
D．金属块 Q 受到桌面的支持力变大
【答案】AC
【详解】A．令细线与竖直方向的夹角为
，对P 进行分析有
解得
当球 P 改到一个更低一些的水平面上时，
减小，可知，细线张力变小，故A 正确；
B．金属块 Q 在桌面上始终保持静止，对Q 进行分析有
结合上述可知，金属块 Q 受到桌面的静摩擦力变小，故B 错误；
C．对P 进行分析有
解得
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减小，可知，小球 P 运动的线速度变小，故C 正确；
D．金属块 Q 在桌面上始终保持静止，对Q 进行分析有
可知，金属块 Q 受到桌面的支持力不变，故D 错误。
故选AC。
11．如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为L，质量为m 的带孔小球穿于环
上，同时有一长为L 的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度
绕竖直直径转动时（ ）
A．金属圆环对小球的弹力可能小于小球的重力
B．细绳对小球的拉力可能小于小球的重力
C．细绳对小球拉力与金属圆环对小球弹力可能相等
D．当
时，金属圆环对小球的作用力为零
【答案】AD
【详解】圆环光滑，小球受到重力、环对球的弹力和绳子的拉力，根据几何关系可知，
此时细绳与竖直方向的夹角为
，圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，当环对球
的弹力背离圆心时，则有
解得
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当
时，金属圆环对小球的作用力
。当环对球的弹力指向圆心时，
解得
绳子拉力始终大于重力；当
时，环对球的弹力小于重力，
时环对球
的弹力大于重力。
故选AD。
12．如图所示，AB 为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为
m1=5 kg 的小球（可视为质点），另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C 处共同连着
一质量为m2的小球（可视为质点），长细绳能承受的最大拉力为60 N，细绳BC 能承
受的最大拉力为27.6 N。圆筒顶端A 到C 点的距离l1=1.5 m，细绳BC 刚好被水平拉直
时长l2=0.9 m，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC 绳被拉直之前，用手拿着m1，
保证其位置不变，在BC 绳被拉直之后，放开m1，重力加速度g 取10 m/s2，下列说法
正确的是（ ）
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A．在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大
B．当角速度ω=
rad/s 时，BC 绳刚好被拉直
C．当角速度ω=3 rad/s 时，AC 绳刚好被拉断
D．当角速度ω=4 rad/s 时，BC 绳刚好被拉断
【答案】ABD
【详解】A．转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC 绳与竖直方向的夹角θ 逐
渐增大，m2竖直方向处于平衡，由
FTAcos θ＝m2g
可知在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大，故A 正确；
B．BC 绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC 绳与竖直方向的夹角的正弦值
sin θ＝
对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知
m2gtan θ＝m2ω1
2l2
解得
ω1＝
rad/s
故B 正确；
C．当
ω＝3 rad/s>
rad/s
BC 绳被拉直且放开了m1，m1就一直处于平衡状态，AC 绳中拉力不变且为50 N，小于
AC 绳承受的最大拉力，AC 未被拉断，故C 错误；
D．对小球m2，竖直方向有
m1gcos θ＝m2g
可得
m2＝4 kg
当BC 被拉断时有
m1gsin θ＋FTBC＝m2ω2
2l2
解得
ω2＝4 rad/s
故D 正确。
故选ABD。
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13．质量为m 的小球（视为质点）由轻绳a 和b 分别系于一轻质细杆的A 点和B 点，
如图所示，当轻杆绕轴
以角速度
匀速转动时，a 绳与水平方向成θ 角，b 绳在水
平方向上且长为l。下列说法正确的是（ ）
A．a 绳的弹力随角速度的增大而增大
B．当角速度
时，b 绳中产生弹力
C．当b 绳中产生弹力后，角速度再增大时a 绳的弹力不变
D．当b 绳突然被剪断时，a 绳的弹力一定发生变化
【答案】BC
【详解】B．当b 绳的弹力为零时，小球受重力和a 绳的弹力，合力提供向心力，有
解得
可知当角速度
时，b 绳出现弹力，故B 正确；
AC．根据竖直方向上受力平衡得
解得
可知a 绳的弹力不变，故A 错误，C 正确；
D．由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断时a 绳的弹力可能不变，故D 错误。
故选BC。
36
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14．如图所示，此装置为一种圆锥筒状转筒，在其顶端处（可视为同一点）左右各系
着一长一短的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒带着两小球
绕中心轴开始缓慢加速转动的过程中，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．角速度慢慢增大，线长的球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值时两球同时离开圆锥筒
C．两球都离开圆锥筒后，它们在同一水平面上
D．两球都离开圆锥筒时两绳中的拉力大小相同
【答案】AC
【详解】AB．设绳子与竖直方向的夹角为 θ， 小球刚好离开圆锥筒时，圆锥筒的支
持力为0，有
mgtan θ=mω2lsin θ
解得
绳子越长的其角速度的临界值越小，越容易离开圆锥筒， 故A 正确，B 错误；
C．两小球都离开圆锥筒后，小球都只受重力与绳子的拉力，两小球都随圆锥筒一起转
动，有相同的角速度，小球离圆锥筒顶点距离为
h=lcosθ
代入数据解得
故C 正确；
D．由以上分析可知，绳长的小球先离开圆锥筒，绳短的小球离开圆锥筒时，两绳与
竖直方向的夹角不同，绳中拉力大小不同，故D 错误。
故选AC。
三、解答题
37
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15．如图所示，AB 为竖直转轴，细绳AC 和BC 的结点C 系一质量为m 的小球，两绳
能承担的最大拉力均为2mg。当AC 和BC 均拉直时
，
，
。ABC 能绕竖直轴AB 匀速转动，因而C 球在水平面内做匀速圆周运动。当小
球的线速度增大时，两绳均会被拉断，求：
（1）哪根绳最先被拉断，被拉断时的线速度v1；
（2）另一根绳被拉断时的速度v2。（已知
，
，
）
【答案】（1）BC 先断，
；（2）
【详解】（1）当绳子拉直时，线速度再增大时，
不变，而
增大，所以BC 绳先断，
当
时，根据向心力公式得
解得
(2)当BC 线断后，小球线速度继续增大，当
时，AC 绳也断。设此时AC 线与竖直方向夹角
，则有
38
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代入数据解得
16．水平转台AB 上固定一侧面光滑的圆锥，圆锥的高
，轴截面如图所示，轴截
面顶角的一半
。一根长为
的细线，一端系一质量为
的小球，另
一端固定在圆锥顶端。平台绕圆锥轴线OO′匀速转动，小球随平台一起转动。已知
，
，重力加速度大小取
。
（1）若小球恰好对锥面无压力，求平台转动的角速度
；
（2）若平台的角速度
，求小球受到的拉力和支持力；
（3）若平台的角速度
，小球突然从绳上脱落，求小球的落地点到圆锥
底面圆心的距离s。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）小球恰好对锥面无压力，则小球只受到重力和拉力，其做圆周运动的向
39
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心力由重力与拉力的合力提供，由牛顿第二定律有
解得
（2）由于
则此时小球未离开锥面，设小球受到的支持力为FN，细线张力为F1，沿竖直方向有
沿水平方向有
代入数据解得
，
（3）由于
则此时小球离开锥面，设细线与轴线的夹角为α 由牛顿第二定律有
解得
小球脱落瞬间的线速度
小球到地面的高度
设小球落到平台所用时间为t，则
小球平抛的水平位移
小球的落地点到圆锥底面圆心的距离
40
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代入数据解得
17．如图所示，质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质细杆的A 点和B 点。当
轻杆绕轴OO′以角速度ω 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a 绳与水平方
向成θ 角，b 绳沿水平方向且长为l，重力加速度为g。求：
（1）
绳的拉力
；
（2）当角速度
时，求
绳的拉力
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提
供向心力，所以a 绳在竖直方向上的分力与重力相等，根据竖直方向上平衡得
解得
（2）当b 绳拉力为零时，有
解得
可知当角速度
时，b 绳出现弹力，所以此时b 绳有拉力，故
41
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解得
18．如图所示，AC、BC 两绳系一质量为
的小球，AC 绳长
，两绳的另
一端分别固定于轴的A、B 两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为
和
。小球
在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，求小球的角速度的取值范围。
【答案】
【详解】当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如图
由牛顿第二定律得
又
解得
当下绳绷紧，上绳恰好伸直无张力时，小球受力如图
42
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由牛顿第二定律得
解得
综上所述，当
时，两绳始终有张力。
19．如图甲，游乐场内有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，示意图如图乙所示．在半
径为
的水平转盘的边缘固定着数条长为
的钢绳，钢绳的另一端连接着
座椅（图乙中只画出2 个），转盘在电动机带动下可绕穿过其中心的竖直轴
缓慢
地边转动边升高，人和座椅也从静止开始随着转盘转动、升高．最终，转盘升高了
，所有人都达到稳定状态并以某一角速度
在同一水平面上匀速转动，此时钢
绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为
．设在每个座椅内坐着质量
相同的人，人和座椅的总质量为
，可将人和座椅看成是一个质点，不计钢绳的
重力及空气的阻力．（
，
，重力加速度
）求：
（1）稳定时一个座椅受钢绳拉力F 的大小；
（2）稳定时人和座椅转动的角速度
的大小；
（3）人和座椅从静止到稳定转动的过程中，一个座椅的钢绳拉力做的功．
43
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）人和座椅受到绳子的拉力和重力作用，在竖直方向上
解得
（2）在水平方向上
其中
解得
（3）人和座椅从静止到稳定转动的过程中，由动能定理可知
解得
20．如图，内表面粗糙的锥桶可以绕其竖直轴线
转动，圆锥顶角为
，在锥桶底
部有一质量为m 的小物块．现使锥桶绕其轴线以某一角速度
匀速旋转，小物块在锥
桶带动下，经过一段时间，小物块随锥桶一起转动且相对锥桶内表面静止，此时小物
块受到的摩擦力恰好为零，小物块与其在锥桶底部位置间的距离为L，重力加速度为
g。
（1）求角速度
；
（2）求锥桶对物块所做的功W；
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（3）若锥桶绕轴线旋转的角速度突然由
增大到
，且
，物块相对锥
桶的位置不变，求物块受到的摩擦力大小和方向。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向沿桶
壁向下
【详解】（1）使锥桶绕其轴线以某一角速度
匀速旋转，此时小物块受到的摩擦力
恰好为零，小物块与其在锥桶底部位置间的距离为L；以小物块为对象，根据牛顿第
二定律可得
又
联立解得
（2）此时小物块的线速度大小为
根据动能定理可得
解得锥桶对物块所做的功为
（3）若锥桶绕轴线旋转的角速度突然由
增大到
，则物块相对桶壁有向上的
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运动趋势，小物块受到沿桶壁向下的静摩擦力，以小物块为对象，竖直方向根据受力
平衡可得
水平方向根据牛顿第二定律可得
联立解得物块受到的摩擦力大小为
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