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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块四：曲线运动模块大招
第04 讲 平抛运动临界及对着墙壁平抛模型
（解析版）
目录
【内容一】 平抛运动中的临界速度问题模型..................................................................................................1
【内容二】 既擦网又压线的双临界问题模型..................................................................................................2
【内容三】 对着竖直墙壁的平抛
模型
..............................................................................................................3
技巧总结
生活中平抛运动的临界模型
内容一：平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
出界的临界速度
内容二：既擦网又压线的双临界问题
根据
，可得比值：
内容三：对着竖直墙壁的平抛模型
1.如图所示，水平初速度
不同时，虽然落点不同，但水平位移
相同，
.
2.撞墙平抛运动的时间的计算
1
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若已知
和
，根据水平方向匀速运动，可求得时间
。，则竖直速度为
、
高度为
.
3.撞墙平抛运动的推论
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一
样，如图。
例题演练
例1．如图所示，球网高出桌面H，网到桌边的距离为L，某人在乒乓球训练中，从左
侧
处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧边缘，设乒
乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是（ ）
A．击球点的高度与网高度之比为4 1∶
B．乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为1 2∶
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1 3∶
D．乒乓球在网左、右两侧运动动量变化量之比为1 3∶
解：AB．因为水平方向做匀速运动，网右侧的水平位移是左侧水平位移的两倍，所以
网右侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动，根据h=
gt2
可知，击球点的高度与网高之比为
故A 错误，B 正
确；
2
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C．球恰好通过网的上沿的时间为落到右侧桌边缘的时间的
，竖直方向做自由落体
运动，根据v=gt
可知，球恰好通过网的上沿的竖直分速度与落到右侧桌边缘的竖直分速度之比为1 3∶，
则乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比不是1 3∶，故C 错误；
D．网右侧运动时间是左侧的两倍Δv=gt
所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1 2∶，故D 错误。故选B。
例2．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的
影响）。速度较小的球越过球网落在另一方球台上，速度较大的球越过球网没有落在
另一方球台上。关于这两个乒乓球的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．速度较大的球竖直下降相同距离所用的时间较长
B．速度较小的球通过同一水平距离所用的时间较长
C．速度较大的球在下降相同距离时沿竖直方向的速度较大
D．速度较小的球在相同时间间隔内竖直下降的距离较大
解：ACD．小球在竖直方向上做自由落体运动，与水平的初速度大小无关系，则球竖
直下降相同距离所用的时间相同，球在下降相同距离时沿竖直方向的速度相同，球在
相同时间间隔内竖直下降的距离相同，ACD 错误；
B．根据
竖直高度相等，时间相等，根据
水平距离相等，则速度较小的球通过同一水平距离所用的时间较长，B 正确。故选
B。
例3．一带有发射机的乒乓球台如图甲所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间
球网高度为h（图丙）。发射机安装于台面左侧边缘的中点（图乙），能以不同速率
向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为4h，不计空气的作用，不考虑
乒乓球旋转，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速在某范围内，通过选择合适的
方向，就能使乒乓球落到网右侧的台面上，则速度的范围是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
解：当速度最小时，球沿中线刚好过网，根据平抛运动规律
，
联立解得
当速度最大时，球斜向右端台面的对角线发射，根据平抛运动规律
联立解得
因此球的速度应为
故选D。
例4．一带有发射机的乒乓球台如图甲所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间
球网高度为h（图丙）。发射机安装于台面左侧边缘的中点（图乙），能以不同速率
向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为4h，不计空气的作用，不考虑
乒乓球旋转，重力加速度大小为g。乒乓球从发射点到台面上，运动的时间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
解：乒乓球做平抛运动，则竖直方向是自由落体运动，则
可得乒乓球从发射点到台面上，运动的时间为
故选D。
例5．2020 年7 月，中国女排在宁波北仑基地进行第二阶段集训，目标是在东京奥运
4
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会上完成卫冕。如图所示，排球运动员在发球线正对球网跳起发球，在距地面高度为
处使质量
的排球（可视为质点）以
的初速度水平飞出，
不考虑空气阻力，重力加速度
取
，则排球即将着地时的速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：排球飞出后做平抛运动，竖直方向的分运动为自由落体运动，由
代入数据解得
即将着地的竖直速度
即将着地的水平速度
排球即将着地时的速率
故选B。
例6．如图，某学校的排球场长为18m，球网高度为2m。一同学站在离网3m 线上：
（虚线所示）正对网竖直跳起，并在离地高2.5m 处将球向正前方水平击出。不计球飞
行过程中受到的阻力，欲使球既不触网又不出界，则击球速度可能是（ ）
A．6m/s
B．9m/s
C．12m/s
D．18m/s
解：速度最小时，恰好触网，根据平抛运动规律
，
代入数据解得
速度最大时，恰好打到边界处，根据平抛运动规律
，
代入数据解得
因此击球的速度
故选C。
例7．如图，乒乓球从水平桌面上P1点弹起后，刚好能以水平速度v 越过高为h 的球网，
落到桌面上P2点。乒乓球可看成质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则乒乓球（
5
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）
A．从P1点弹起时的速度大小为
B．从P1点运动至P2点的过程其速度变化量为0
C．从P1点运动至P2点的过程其速度变化量大小为
D．P1点与P2点的距离为
解：A．从P1点弹起时的竖直分速度大小为
则从P1点弹起时的速度大小未
A 错误；
BC．从P1点运动至P2点的过程水平分速度不变，竖直分速度从竖直向上变成竖直向
下，故速度的变化量为
B 错误，C 正确；
D．从P1点与P2点的时间为
故P1点与P2点的距离为
D 错误。故选C。
例8．如图所示，球网高出桌面H，网到两边的距离为L，某人在乒乓球训练中，从左
侧
处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧边缘，设乒
乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是（ ）
A．击球点的高度与网高度之比为4：3 B．乒乓球在网左右两侧运动时间之比为2：1
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1：2
D．乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1：2
解：AB．设乒乓球到网的时间为t1，水平距离为x1，击球点的高度为h，网的高度为
h1，乒乓球到右侧边缘的水平距离为x，根据平抛运动规律，则
，
6
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，
联立得
则乒乓球在网左右两侧运动时间之比为
击球点的高度与网高度之比
所以AB 错误；
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为
所以C 错误；
D．因乒乓球在网左右两侧运动时间之比为
所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为
所以D 正确。故
选D。
例9．如图所示，运动员将排球从底线A 点的正上方以速度v 沿垂直球网的方向水平击
出，排球刚好越过球网上边缘落在对方底线的B 点上，且AB 平行于边界CD。已知网
高为h，球场的长度为s，不计空气阻力，排球可看成质点，重力加速度为g，则，（
）
A．球从击出点至落地点的位移大小等于s B．球从击出点至落地点的位移与球的质量
有关
C．击出点距地面的高度H 等于
D．球的初速度v 大小等于
解：C．球落至B 点时满足
，
球刚好擦网时满足
，
联立解得
，
C 正确；
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AB．球从击出点至落地点的位移大小为
该位移与球质量无关，AB 错
误；
D．球的初速度v 大小为
D 错误。故选C。
例10．如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H 处，将
球以速度v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到球网的距离为L，
重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列说法正确的是（ ）
A．球从击球点至落地点的位移等于L B．球从击出至落地所用的时间为
C．球的击出速度v 等于
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
解：B．球做平抛运动，从击出至落地所用时间为
选项B 正确；
C．球刚好落在底线上，则球的速度
选项C 错误；
AD．球从击球点至落地点的位移为
这个位移与球的质量无关，选项AD
错误。
故选B。
例11．如图所示，网球发球机水平放置在水平地面上方某处，正对着竖直墙面发射网
球，两次发射的两球分别在墙上留下A、B 两点印迹，测得OA = AB = h，OP 为水
平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则（ ）
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A．两球碰到墙面时的动量可能相同 B．两球碰到墙面时的动能可能相等
C．两球发射的初速度之比
D．两球从发射到碰到墙面瞬间运动的时间之比
解：A．动量为矢量，由图可知，二者与墙碰撞时其速度方向不相同，故二者碰到墙
面时的动量不可能相同，A 错误；
B．从拋出到与墙碰撞的过程中，根据平抛运动规律可知，A 的水平速度大，竖直速度
小，B 的水平速度小，竖直速度大，则两球速度大小可能相同，动能可能相同，故B
正确；
D．忽略网球在空中受到的阻力，则可将网球做的运动视为平抛运动，在竖直方向有
h =
gtA
2，2h =
gtB
2解得tA：tB = 1：
D 错误；
C．在水平方向有x = vOAtA，x = vOBtB根据D 选项知vOA：vOB =
：1C 错误。故选
B。
例12．如图所示，某次训练时将乒乓球发球机置于地面上方某一合适位置，正对竖直
墙面水平发射乒乓球。现有两个乒乓球a 和b 以不同速度水平射出，初速度之比为3：
2，不计阻力，则乒乓球a 和b（ ）
A．下落高度之比为4：9
B．下落高度之比为9：4
C．下落高度之比为2：3
D．下落高度之比为3：2
解：乒乓球做平抛运动，两球水平位移相同，由
可得下落高度之比为
故A 正确，BCD 错误。故选A。
例13．飞镖游戏是一种非常有趣味性的娱乐活动，如图所示，某次飞镖比赛，某选手
在距地面某相同的高度，向竖直墙面发射飞镖。每次飞镖均水平射出，且发射点与墙
壁距离相同，某两次射出的飞镖插入墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°，若
不考虑所受的空气阻力，则飞镖插到墙面前在空中运动时间之比为（ ）
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A．
B．
C．
D．
解：飞镖碰到墙时，有
，
联立可得
可得
故ABD 错误，C 正确。故选C。
例14．如图所示，某人从同一位置O 以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后
都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为
是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足vA0>vB0>vC0
B．三只飞镖击中墙面的速度满足vA>vB>vC
C．三只飞镖击中墙面的速度一定满足vA＝vB＝vC
D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点
解：A．飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有：x=v0t．飞镖击中墙面的
速度与竖直方向夹角的正切值为：tanα=
，联立解得：
α 越大，v0越
大，故有vA0>vB0>vC0，故A 正确；
BC．根据平行四边形定则并结合几何关系，有：飞镖击中墙面的速度
故vA=vC＞vB，故BC 错误；
D．飞镖做平抛运动，速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分
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位移的中点相同，故插在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点，故D 错误；
故选A。
例15．如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达一竖直墙面时，速度与
水平方向的夹角为θ。不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球水平抛出时的初速度大小为gtcotθ B．小球到达竖直墙时的速度大小为gtcosθ
C．小球在时间t 内的位移大小为
D．小球在时间t 内的位移方向与水平方向的夹角为
解：AB．小球做平抛运动，将其分解为水平方向的匀速直线运动，和竖直方向的自由
落体运动，则水平方向有x = v0t 竖直方向有y =
gt2，vy = gt
将小球到达竖直墙面时的速度进行分解，如图所示
由图可知v0 =
=
= gtcotθ，v =
=
A 正确、B 错误；
C．由选项AB 知x = v0t，y =
gt2
则小球的位移L 为L =
=
C 错误；
D．设小球在时间t 内的位移方向与水平方向的夹角为α，则
D
错误。
例16．如图所示，空中P 点与墙角Q 的连线与水平地面的夹角为
，P 点到竖直墙
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面间的距离为L，在P 点沿垂直墙的方向以初速度
水平抛出一个球，小球恰好落在
M 点，若以初速度
水平拋出球，小球恰好打在竖直墙上的N 点，
，
则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由于PQ 与水平方向的夹角为
，因此P 点到地面的距离也为L，当小球以
拋
出落到M 点时
，
当小球以
水平抛出落到N 点时
，
解得
故D 正确，ABC 错误。故选D。
对应题型精炼
一、多选题
1．如图所示，一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在图中
位置（不计空气阻力），相关数据如图，下列说法中正确的是（ ）
A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1 =1.8h2
B．若保持击球高度不变，球的初速度
，一定落在对方界内
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C．若保持击球高度不变，球的初速度
，一定落在对方界内
D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
【答案】AD
【详解】A．球到网过程做平抛运动，则有
，
球落地过程有
，
解得
h1=1.8h2
故A 正确。
BC．若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既要不能出界，又不能触网，根据
解得
则平抛运动的最大速度
根据
解得
则平抛运动的最小速度
可知要想球落在对方界内，既要不能出界，又不能触网，则有
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故BC 错误；
D．由于高度为
时，恰好过网落在图中位置，可知增加击球高度，只要速度合适，
球一定能发到对方界内。故D 正确。
故选AD
2．2023 年WTT 世界乒联新加坡大满贯赛于3 月19 日晩落下帷幕，中国乒乓队再次创
造了包揽5 金的辉煌，孙颖莎成就了三冠王。如图所示，球网位于球台的中间位置，
球台的左、右边界分别记为
、
，边界
中点
正上方处为
点。某次孙颖
莎将球从
点垂直于
水平向右击出，恰好经过网上边沿的点后落在球台上
点，
不计空气阻力。已知网高为
，
、
之间的距离为
，重力加速度为
。以下
说法正确的是（ ）
A．乒乓球被击出时的初速度大小为
B．球的落点
与击出点
之间的水平距离为
C．球在落点
处的速度方向与水平方向夹角的正切值为
D．若只限定在b 点水平击出，球的初速度只有不大于
，才会落在对方台面
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上
【答案】AB
【详解】AB．设乒乓球被击出时的初速度大小为
，乒乓球被击出后做平抛运动，恰
好经过网上边沿的点，设所用时间为，则有
解得
设球整个落在球台上的时间为
，落点与击出点之间的水平距离为，则有
解得
故AB 正确；
C．球在竖直方向做自由落体运动，这在落点
处竖直方向的速度为
，落点
处速度
方向与水平方向的夹角为
，则有
解得
故C 错误；
D．若保持击球高度不变，且垂直MN 击打乒乓球，要想球落在对方界内，要既不能出
界，又不能触网，则平抛运动的速度为
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但若只限定在b 点水平击出，则水平位移的最大值应该是
点与P 或Q 的连线，明显
大于
，因此最大速度应该大于，而平抛运动的最小速度为
故D 错误。
故选AB。
3．为了增强广大学生体质，提高学生身心健康水平。青岛二中的体育节正如火如荼的
展开。其中，乒乓球赛深受学生喜爱。如图所示，整个乒乓球台长为2L，某同学在乒
乓球训练中，从距左侧球台边缘
处，将球沿垂直于球网的方向水平击出，球恰好通
过球网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是
（ ）
A．乒乓球过网时与落到台面边缘时竖直方向速率之比为
B．乒乓球过网时与落到台面边缘时竖直方向速率之比为
C．击球点的高度与球网的高度之比为
D．击球点的高度与球网的高度之比为
【答案】AD
【详解】从击球点到球网，有
从击球点到右侧边缘，有
乒乓球过网时与落到台面边缘时时间之比为
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根据
乒乓球过网时与落到台面边缘时竖直方向速率之比为
击球点的高度与球网的高度之比为
故选AD。
4．如图所示，某次排球比赛中，球员A 在离水平地面3 m 的高处将排球以30 m/s 的速
度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为9 m。球网的高度为2 m，对方的
球员B 站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3 m 的排球，起跳拦网可拦
到离地高度为2.75 m 的排球，取重力加速度大小
。已知球员A、B 的连线与
球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B 拦排球的说法，正确的是（ ）
A．排球运动到球网正上方的时间为0.3 s
B．球员B 站在球网前直立伸直手臂可拦到排球
C．若球员B 未拦到排球则排球将出界
D．若球员B 未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为2.6 m
【答案】AC
【详解】A．排球运动到球员B 位置的时间
A 正确；
B．该段时间排球下落的高度
此时排球离地高度
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故球员B 在球网前直立伸直手臂拦不到排球，B 错误；
CD．由
解得排球从被击出到落地的时间
排球运动的水平距离
排球将出界，C 正确，D 错误。
故选AC。
二、单选题
5．如图所示，某次排球训练中，小武同学在离水平地面高
处将排球（可视
为质点）垫起，排球离手时初速度方向与水平方向的夹角
，一段时间后排球刚
好能水平飞过离水平地面高
的球网，不计空气阻力，取重力加速度大小
，
，则（ ）
A．排球从离手到刚好飞过球网的时间
B．排球飞过球网时的速度大小
C．排球离手时与球网的水平距离
D．排球离手时的初速度大小
【答案】B
【详解】A．排球在竖直方向上做匀减速直线运动，过球网时竖直分速度恰好为0，有
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解得
故A 错误；
B．排球离手时竖直方向上的分速度大小
根据
解得
故B 正确；
C．排球在水平方向上做匀速直线运动，有
故C 错误；
D．排球离手时的初速度大小
故D 错误。
故选B。
6．如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面
处，将球以
速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为
，重力加
速度取
，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是（ ）
A．由于没有空气阻力，所以球的速度始终保持不变
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于
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D．球从击球点至落地点的位移与球的质量是无关的
【答案】D
【详解】A．球做平抛运动，球水平方向的速度不变，竖直方向的速度变大，根据运
动的合成可知球的速度变大，A 错误；
B．竖直方向，根据
了的球从击出至落地所用时间为
B 错误；
CD．球从击球点至落地点的位移为
这个位移与球的质量无关，D 正确，C 错误。
故选D。
7．如图所示为一乒乓球台的纵截面，
是台面的两个端点位置，
是球网位置，
D、E 两点满足
，且E、M、N 在同一竖直线上。第一次在M 点将球击
出，轨迹最高点恰好过球网最高点P，同时落到A 点；第二次在N 点将同一乒乓球水
平击出，轨迹同样恰好过球网最高点P，同时落到D 点。乒乓球可看做质点，不计空
气阻力作用，则两次击球位置到桌面的高度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
高为H，M 点距离台面的高度为
，N 点距离台面的高度为
，取M
关于
的对称点Q，由几何关系可知，Q 的高度与M 的高度相等，且Q 点位于D 点
上方．只看第一次从P 点到A 的平抛过程，可知P 到Q 的水平距离为P 到A 的水平距
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离的
，则有P 到Q 的时间为P 到A 时间的
，根据
可知，P 到Q 的竖直运动的距离为P 到A 的
，所以有
解得
同理，对第二次平抛运动有
解得
可得
故选C。
8．如图所示，球网高出桌面
，网到桌边的距离为
；某人在乒乓球训练中，从左侧
处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘，设乒
乓球运动为平抛运动，则（ ）
A．乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为：
B．乒乓球在网左右两侧运动时间之比为
：
C．乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比为：
D．击球点的高度与网高度之比为：
【答案】D
【详解】AB．乒乓球做的是平抛运动，水平方向做匀速运动，网左侧的水平位移与右
侧水平位移之比是1：2，由
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知，乒乓球在网左右两侧运动时间之比为1：2，根据
v = gt
可得乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1：2；AB 错误；
C．球恰好通过网的上沿的时间为落到右侧桌边缘的时间的
，竖直方向做自由落体运
动，根据
可知，球恰好通过网的上沿的竖直分速度与落到右侧桌边缘的竖直分速度之比为1：
3，根据
可知，乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比不是1：3，C 错误；
D．网右侧运动时间是左侧的两倍，球在竖直方向做自由落体运动，根据
可得
在网左侧下落的高度和整个高度之比为1：9，所以击球点的高度与网高之比为9：8，
D 正确；
故选D。
9．如图所示，排球运动员在发球线正对球网跳起发球，在距地面高度
处将排
球（可视为质点）以
的初速度水平击出，排球会越过球网落在地面上。不考
虑空气阻力，重力加速度
，则排球从被击出到着地的水平位移和排球即将
着地时的速率分别为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，排球做平抛运动，竖直方向上有
解得
则落地时竖直分速度为
则落地速度为
水平方向上有
故选B。
10．乒乓球被称为中国的国球，是一种流行的球类项目。如图所示，从球台左侧边缘
的同一点先后发出A、B 两球，两球都在同一竖直面内运动，最后落在球台右侧边缘
的同一点时的速度分别为
和
，乒乓球的运动轨迹均为抛物线，最高点都在球网的
正上方。不计空气阻力，两球均可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 两球的运动时间相同
B．在最高点时，A、B 两球中B 球速度较大
C．一定有
D．A 球的发球速度一定大于
【答案】B
【详解】A．设A、B 两球的发球速度分别为
、
，两球在最高点距球台的高度分
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别为
、
，由题意可知
A、B 两球都做斜抛运动，根据斜抛运动规律可得运动时间分别为
故
故A 错误；
B．在最高点时，球的竖直方向的分速度为零，因此球在最高点的速度即为发球速度的
水平分速度。设球桌长度为L，则两球在水平方向上有
而
因此
即在最高点时，B 球速度大于A 球，故B 正确；
D．由机械能守恒可得
故D 错误；
C．由A 选项分析可得
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联合解得
由于
、
与L 的关系未知，因此无法判断
、
大小，故C 错误。
故选B。
11．2019 年女排世界杯，中国女排以十一连胜夺冠，如图为排球比赛场地示意图．其
长度为L，宽度s，球网高度为h．现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发
球点高度为1.5h，排球做平抛运动（排球可看做质点，忽略空气阻力），重力加速度
为g．则关于排球的运动下列说法正确的是（ ）
A．能过网的最小初速度为
B．能落在界内的最大位移为
C．能过网面不出界的最大初速度为
D．能落在界内的最大末速度为
【答案】D
【详解】A．排球做平抛运动，能过网的最小初速度为
，此种情况下，水平位移为
竖直位移为
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联立解得
故A 错误；
BCD．排球过网而不出界的最大初速度为
，此种情况下，排球落到对角线的顶点处，
水平位移
竖直位移
联立解得
排球做平抛运动，落地时竖直分速度为
能落在界内的最大末速度为
最大位移为
故BC 错误，D 正确。
故选D。
三、解答题
12．在乒乓球比赛中，选手的发球技术对比赛结果往往有着重大影响。如图，球台长
度为
、球网高度为h，乒乓球落到台面上反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大
小不变、方向相反，不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，重力加速度为g，运动员均在
球台边缘O 正上方将球水平发出，下面是运动员在比赛中的2 次发球情形。
（1）第1 次将球以速度
水平发出，反弹后球恰好在最高点时掠过球网落在对方球台
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上的
点，如图中实线所示，求
大小；
（2）第2 次将球水平发出，反弹后掠过球网恰好落在对方球台边缘
处，如图中虛线
所示，求发球点距O 点的高度
及发球速度
。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）第1 次将球以速度
水平发出，反弹后球恰好在最高点时掠过球网落在
对方球台上的
点，可知球水平发出的高度刚好为，根据对称性和平抛运动规律有
联立解得
（2）第2 次将球水平发出，反弹后掠过球网恰好落在对方球台边缘
处，根据对称性
和平抛运动规律有
又
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联立解得
，
，
13．2023 世界女排联赛名古屋站，中国女排3 比0 战胜德国女排，取得两连胜．比赛
中，王媛媛将排球从底线
点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在
对方底线的
点上，且
平行于边界
．已知网高为，球场的长度为，不计空
气阻力且排球可看成质点，重力加速度为
，求：
（1）排球被发出时，击球点的高度
；
（2）水平初速度的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）平抛运动在水平方向上的分运动为匀速直线运动，排球从初位置运动到
网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为
排球竖直方向上做自由落体运动，则有
解得
（2）球落在
点时，有
所以水平初速度
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14．如图所示为排球比赛场地示意图，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。现在一
名女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点的高度为
，排球做平抛运
动（排球可看作质点，忽略空气阻力），已知排球的质量为m，重力加速度为g。求：
（1）排球能过网的最小初速度；
（2）排球落在界内时的最大动能。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）排球离手后做平抛运动，设能过网的最小初速度为
，此种情况下，水
平位移为
竖直位移为
联立解得
（2）设排球过网而不出界的最大初速度为
，此种情况下，排球落到对角线的顶点处，
故水平位移为
竖直位移为
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联立解得
排球做平抛运动，落地时竖直分速度为
能落在界内的最大末速度为
排球落在界内时的最大动能为：
15．图中的网球场总长
，球网在球场中间且高度
，某运动员在网前
处垂直球网将球水平击出，不计空气阻力，取重力加速度大小
。
（1）若击球点的高度
，则击球的速度符合什么条件才能使球既不触网也不
越界？
（2）求当击球点的高度小于多少时，无论水平击球的速度多大，网球不是触网就是越
界。（网球可视为质点）
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）当网球的速度较小时，网球恰好不触网
水平位移
竖直位移
竖直位移
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解得
当网球的速度较大时，网球恰好不越界。水平位移
竖直位移
水平位移
解得
所以网球既不触网也不越界的速度范围为
（2）当水平击网球时，网球不是触网就是越界，此时两种临界条件在同一运动轨迹中，
即网球刚好擦网而过，又恰好落在边界处。当网球擦网而过时，水平位移
竖直位移
竖直位移
当网球越界时，水平位移
竖直位移
解得
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16．如图1 所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高
高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P 点），球员顶球点的高度为h，足球
做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），重力加速度为g，求：
（1）足球位移的大小；
（2）足球末速度的大小；
（3）万二中“梓—珂—渊—然研学小组”将足球网改造成半圆弧形，前网口在竖直平
面上，上下最大高差2R，如图2 所示，尉然同学将足球从前网口正中心垂直网口以速
度
射入，重力加速度为g，当
取何值时，足球落到球网上的速度最小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题可知，足球在水平方向的位移大小为：
所以足球的位移大小
（2）由
可得足球运动的时间为
所以足球的初速度的大小为
竖直分速度为
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足球末速度的大小为
联立以上各式得
（3）设小球落到轨道上的速度为v，平抛的位移与水平方向的夹角为
由几何关系可得
联立解得
由矢量合成知识得
由函数知识知，当
时，v 取最小值，此时对应的初速度
。
17．近年来，乒乓球自动发球机被广泛应用于乒乓球运动员的日常训练中。如图所示，
乒乓球球台长
、宽
，球网位于球台中央，高
。一自动
发球机固定于球台左侧边缘中点A 处，发球点在A 点正上方H 高处，发球机可沿球台
中线AB 方向将乒乓球水平射出。已知乒乓球能过网且落到台面上，设其所受的空气阻
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力可以忽略，取
。
（1）若
，求乒乓球射出时最小速度的大小；
（2）求H 的最小值。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）乒乓球自A 点沿AB 方向水平抛出后做平抛运动，乒乓球从A 点运动至
球网上沿中点O 时，射出速度最小为
，有
解得
（2）设乒乓球能过网且刚好落到台面最边缘时具有最小发球高度为
，刚好过网用
时
，落到台面上用时
，有
联立解得
18．2019 年9 月，中国女排以11 场全胜战绩夺取女排世界杯冠军。如图所示，AB 为
排球场的中心线，O 为AB 上一点，O 到球网的水平距离为3m。某次排球比赛中，运
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动员在O 点正上方P 点将排球以
的速度沿BA 水平击出，排球恰好没触网。
已知网高
，排球场宽
、长
，不计空气阻力，g 取
。
（已知
，计算结果保留3 位有效数字）。求：
（1）运动员击球时球距离地面的高度H；
（2）为避免出界，运动员从P 点沿中心线水平击球的最大速度
。
【答案】（1）3.04m；（2）15.4m/s
【详解】（1）以排球为研究对象，分析其从被抛出到恰没触网的过程，根据平抛运动
的规律，有
联立，解得
（2）运动员从P 点沿中心线水平击球的最大速度即为排球落点在边界线处，同理，有
联立解得
19．“女排精神”激励着一代一代年轻人为梦想而战。如图是排球场俯视图，球网高
，
为左边球场边界的中点。据百度资料，队长朱婷身高
，手臂竖直伸
直，掌心高度为
，原地起跳最高
，摸高最高
。某次排球训练过程中，
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朱婷给队员做发球示范，每次她都在
点竖直起跳，伸直手臂，从掌心把球水平击打
出去。为研究方便，排球视为质点。且在空中运动过程中阻力不计。
（1）第一次示范，朱婷把球以
的速率垂直球网打到右侧球场，朱婷至少需要跳
离地面多高？
（2）第二次示范，朱婷在
点跳起
，仍以
的速率打向右侧球场，请计算
说明会不会出界？
（3）第三次示范，朱婷助跑至
点竖直起跳发球，由于没有控制好发球速度，就垂直
球网把球发出，发现球紧贴着球网恰好到右边界落地，朱婷这次跳离地面的高度是多
少？
【答案】（1）
；（2）会出界；（3）
【详解】（1）根据题意可知，排球飞到球网正上方的时间为
则排球下落的高度为
则朱婷至少需要跳离地面
（2）根据题意，由
可得，排球飞行的时间为
其中
解得
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水平方向上
排球会出界。
（3）根据题意，设朱婷从离地面高
处把排球以速度打出，则有
水平方向上有
联立解得
则朱婷这次跳离地面的高度是
20．标准排球场总长为
，宽为
，设球网高度为
，运动员站离网
接近边线
的A 处（图中未画出）面对球网竖直跳起将球水平击出，空气阻力不计，如图所示。
（
）
（1）若击球点的高度为
，为使球不触网的最小速度为多少？使球不出界的最大
速度为多少？
（2）当击球点的高度为何值时，无论水平击球的初速度多大，球不是触网就是越界？
【答案】（1）
，
；（2）2.08m
【详解】（1）球恰好触网时，根据
得
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则
向场地对角线的顶角处击球时，根据
得
平抛运动的水平位移
则
（2）在竖直方向上
而
在竖直方向上
而
联立解得
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