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大题02 曲线运动与万有引力定律
曲线运动与万有引力定律是高考物理的高频模块，在全国卷及新高考卷中占比约10%~15%，2025
年高考对“曲线运动与万有引力定律”的考查将延续“重基础、强应用、拓创新”的风格，突出物理
模型构建与实际问题转化能力。备考需紧扣核心素养，强化天体运动与曲线运动的综合分析，同时关
注航天科技热点与跨学科融合，做到“以模型破万题，以思想驭变化”。
题型1 抛体运动
例1.（2024 山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技
巧的极限运动。如图甲所示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止
开始正对右墙加速运动，加速到M 点时斜向上跃起，到达右墙壁P 点时，竖直方向的速度恰好为零，P
点距离地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速
度，恰好能跃到左墙壁上的Q 点，P 点与Q 点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝
2.05 m，重力加速度g 取10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
1
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（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
答案（1）3.6 m （2）√61 m/s （3）6
5
解析（1）跑酷爱好者到达右墙壁P 点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维可知，从M 点到P
点的逆过程为平抛运动，则h＝1
2gt1
2，从P 点到Q 点的过程为斜抛运动，根据对称性可得H－h＝1
2g
(
t2
2)
2
，L＝v0t2，解得t1＝0.4 s，t2＝1 s，v0＝6 m/s，跑酷爱好者助跑的距离为x＝L－v0t1＝3.6 m。
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为vy＝g×t2
2 ＝5 m/s，跑酷爱好者刚离开墙壁时的
速度大小为v＝√v0
2＋v y
2＝√61 m/s。
（3）跑酷爱好者刚离开P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为tan θ＝
v0
v y
＝6
5。
例2.(2024 广东二模)如图所示，倾角θ＝30°的足够长斜面固定于水平地面上，
将一小球(可视为质点)从斜面底端O 以速度v0斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为α。经历一
段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P 点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角α 的正切值tan α；
(2)小球到斜面的最大距离；
(3)小球到水平地面的最大高度。
答案(1)√3
2 (2)√3 v0
2
7 g
(3)25 v0
2
56 g
解析(1)小球抛出后，将小球的速度与重力分别沿斜面与垂直于斜面分解，则小球在这两个方向上均做
匀变速直线运动。小球以垂直于斜面方向的速度撞击在斜面上的P 点，表明此时沿斜面方向的分速度
恰好减为0，根据对称性可知，小球打在P 点时垂直于斜面方向的分速度与抛出时垂直于斜面方向的分
速度等大反向，在沿斜面方向上，有v0cos α＝gsin θ·t，在垂直于斜面的方向上，有－v0sin α＝
v0sin α－gcos θ·t，则小球抛出时的速度方向与斜面夹角α 的正切值tan α＝sin α
cosα ＝√3
2 。
(2)由(1)可得sin α＝√21
7 ，cos α＝2√7
7
，当小球垂直于斜面的分速度减为0 时，距离斜面最远，
则有(v0sin α)
2＝2gcos θ·hmax，解得hmax＝√3 v0
2
7 g
。
2
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(3)小球做斜抛运动，将其运动沿水平与竖直方向分解，当球体到达最高点时，竖直方向的速度减为
0，则有[v0sin (α ＋θ)]
2＝2gHmax，解得Hmax＝25 v0
2
56 g
。
1.平抛运动（类平抛运动）问题的求解方法
2.斜抛运动（类斜抛运动）的处理方法
（1）斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例（如图所示）
速度：vx＝v0cos θ，
vy＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－1
2gt2。
（2）当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
1．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，
设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考
虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O 点正上方高度h1处，以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，
求P1点距O 点的距离x1；
(2)若球从O 点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(轨迹
如图中虚线所示)，求v2的大小；
(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距
O 点的高度h3。
3
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答案 (1)v1√
2ℎ1
g
(2) L
2 √
g
2ℎ (3)4
3 h
解析 (1)根据平抛运动规律得
h1＝1
2 gt1
2，x1＝v1t1
联立解得x1＝v1√
2ℎ1
g
。
(2)根据平抛运动规律得h2＝1
2 gt2
2，x2＝v2t2
且h2＝h，2x2＝L
联立解得v2＝L
2 √
g
2ℎ。
(3)球的运动轨迹如图所示，得
h3＝1
2 gt3
2
x3＝v3t3
且3x3＝2L
设球从恰好越过球网到达到最高点所用的时间为t，水平距离为s，则有h3－h＝1
2gt2
s＝v3t
由几何关系得x3＋s＝L
解得h3＝4
3 h。
题型二 圆周运动
例3．如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R 的大圆
弧和半径r 的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向
静摩擦力是赛车重力的k 倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°和240°的弯道
上做匀速圆周运动，且R＝4r．若赛车不侧滑且绕赛道一圈时间最短，发动机功率足够大，重力加速度
为g．求：
(1)赛车行驶的最大速率．
(2)赛车绕赛道一圈的最短时间．
4
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答案(1) (2)
解析(1)根据题意，由牛顿第二定律有
kmg＝m
解得最大速率为vm＝
(2)根据题意，由公式x＝t 可得，赛车在两直道的时间为
t1＝＝＝
小圆弧弯道的时间为t2＝
大圆弧弯道的时间为t3＝
则赛车绕赛道一圈的最短时间
t＝t1＋t2＋t3＝
例4.如图所示，装置BO′O 可绕竖直轴O′O 转动，可视为质点的小球A 与两细线
连接后分别系于B、C 两点，装置静止时细线AB 水平，细线AC 与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球
的质量m＝1 kg，细线AC 长L＝1 m，B 点到C 点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g 取10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1，细线AB 上的张力为零而细线AC 与竖直方向夹角仍为37°，求角
速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB 刚好竖直，且张力为零，求此时角速度ω2的大小。
答案 (1)5√2
2
rad/s (2)5√6
3
rad/s
解析 (1)细线AB 上的张力恰为零时有
mg tan 37°＝mω1
2L sin 37°
解得ω1＝ √
g
Lcos37° ＝√
50
4 rad/s＝5√2
2
rad/s。
(2)细线AB 恰好竖直，但张力为零时，由几何关系得cos θ′＝3
5，则有θ′＝53°
5
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又mg tan θ′＝mω2
2L sin θ′
解得ω2＝5√6
3
rad/s。
2．（2024 山东青岛一模）很多青少年在山地自行车上安装了气门嘴灯，夜间骑车时
犹如踏着风火轮，格外亮眼。图甲是某种自行车气门嘴灯，气门嘴灯内部开关结构如图乙所示，弹簧
一端固定，另一端与质量为m 的小滑块（含触点a）连接，当触点a、b 接触，电路接通使气门嘴灯发
光，触点b 位于车轮边缘。车轮静止且气门嘴灯在最低点时触点a、b 距离为L，弹簧劲度系数为mg
L ，
重力加速度大小为g，自行车轮胎半径为R，不计开关中的一切摩擦，滑块和触点a、b 均可视为质点。
（1）若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一直亮，求自行车行驶的最小速度；
（2）若自行车以√2 gR的速度匀速行驶，求车轮每转一圈，气门嘴灯的发光时间。
答案（1）√3 gR （2）π
2g √2gR
1.解决圆周运动问题的主要步骤
2.求解竖直平面内圆周运动问题的思路
6
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解析（1）只要气门嘴灯位于最高点时a、b 接触即可保证全程灯亮，弹簧原长时a、b 间的距离为mg
k
＋L＝2L
气门嘴灯位于最高点时，对于小滑块，有mg＋2kL＝mv
2
R
解得满足要求自行车行驶的最小速度为v＝√3 gR。
（2）速度为√2 gR时轮子滚动的周期为T＝2π R
√2 gR ＝π
g √2gR
此速度下气门嘴灯所需的向心力为Fn＝m（√2gR）
2
R
＝2mg，
此力恰好等于a、b 接触时弹簧的弹力，即无重力参与向心力，对应与圆心等高的点，故当气门嘴灯位
于下半圆周时灯亮，即t＝T
2 ＝π
2g √2gR。
题型三 万有引力定律及其应用
例4．（2024 江苏南通三模）两颗相距较远的行星A、B 的半径分别为
、
，且
，距行星中心r 处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方
随r 变化的关系如图所示。
行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。
（1）求行星A、B 的密度之比
；
（2）假设有相同的人形机器人在行星A、B 表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度
相同的情况下，求铅球射程的比值
。
答案（1）
；（2）
解析（1）设质量为m 的卫星绕行星做圆周运动
7
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整理得
由
，结合图像得两行星的质量关系
密度
解得
（2）在每个行星表面
两行星表面的重力加速度之比
铅球做平抛运动，竖直方向
水平方向
解得
天体质量和密度的计算
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注意：（1）天体表面的重力加速度g＝GM
R
2 ，是g 的决定式，具有普适性。
（2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝
3 π
GT
2。
人造卫星运动问题的分析要点
3．（2024 四川达州一模）2024 年10 月30 日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成
功。不仅体现了中国航天技术进步，也标志着中国在全球航天领域竞争力提升。下图为神舟十九号载
人飞船与天和核心舱对接过程的示意图，天和核心舱处于圆轨道Ⅲ，神舟十九号飞船处于圆轨道Ⅰ，
变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到B 点与天和核心舱对接。已知轨道Ⅰ的半径为
，轨道Ⅲ的半径
为
，神舟十九号飞船的质量为m，地球质量为M，飞船在地球周围的引力势能
。求：
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(1)神舟十九号载人飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ稳定运行的过程中外界需要提供的能量E（不考虑整个
过程中质量的变化，不计一切阻力）；
(2)飞船通过轨道Ⅱ到达B 点时却发现核心舱在其正前方，飞船通过向后喷气使其加速追赶核心舱和侧
向向外喷气让其在轨道Ⅲ上运动。假设核心舱在飞船正前方，两者间的圆弧长为
，飞船瞬间
向后喷气加速后获得恒定速率，经过时间t 飞船追上核心舱。已知飞船侧向每秒向外喷出质量为
的
粒子。求向侧向喷出粒子的速度v。
答案(1)
(2)
解析（1）飞船在轨道Ⅰ上，根据牛顿第二定律有
飞船在轨道Ⅲ上，根据牛顿第二定律有
根据能量守恒定律有
解得
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（2）令飞出沿轨道Ⅲ的线速度为
，则有
时间
内对侧向向外喷出的粒子进行分析，根据动量定理有
其中
根据牛顿第三定律，粒子对飞船的作用力
对飞船进行分析，根据牛顿第二定律有
解得
1．（2024 山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所
示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，
加速到M 点时斜向上跃起，到达右墙壁P 点时，竖直方向的速度恰好为零，P 点距离地面高h＝0.8
m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁
上的Q 点，P 点与Q 点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度g 取
10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
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（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
答案（1）3.6 m （2）√61 m/s （3）6
5
解析（1）跑酷爱好者到达右墙壁P 点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维可知，从M 点到P
点的逆过程为平抛运动，则h＝1
2gt1
2，从P 点到Q 点的过程为斜抛运动，根据对称性可得H－h＝1
2g
(
t2
2)
2
，L＝v0t2，解得t1＝0.4 s，t2＝1 s，v0＝6 m/s，跑酷爱好者助跑的距离为x＝L－v0t1＝3.6 m。
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为vy＝g×t2
2 ＝5 m/s，跑酷爱好者刚离开墙壁时的
速度大小为v＝√v0
2＋v y
2＝√61 m/s。
（3）跑酷爱好者刚离开P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为tan θ＝
v0
v y
＝6
5。
2．电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量
通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图
乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与
水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝
0.8。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能E＝1
2CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15％，灭火弹的质量为3 kg，电
容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U 应设置为多少？
答案（1）60 m （2）1 000√2 V
解析（1）灭火弹离开炮口后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向上做竖直上抛运动。则
灭火弹在水平方向上有vx＝v0cos 53°＝30 m/s，
灭火弹从离开炮口到击中高楼所用的时间
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t＝L
v x
＝60
30 s＝2 s，
在竖直方向上有vy＝v0sin 53°＝40 m/s，
灭火弹击中高楼位置距地面的高度H＝vyt－1
2gt2，
代入数据解得H＝60 m。
（2）由题意可知ηE＝1
2 mv0
2，
解得E＝25 000 J，
又E＝1
2 CU2，
代入数据解得U＝1 000√2 V。
3．如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型，AB 段光滑曲面为加速滑道，BCD 段圆弧滑道为半径r＝16 m 的
姿态调整滑道，左侧与AB 段平滑连接，右侧与水平跳台DE 连接，EF 段为倾角30°的速降斜坡。质量
为60 kg 的滑雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点C 点时的速度大小v1＝20 m/s，经过D
点时的速度大小为v2＝15 m/s，运动员整个运动过程的最高点P 恰好在E 点的正上方h＝7.2 m 处，最
后落在斜坡上的Q 点。已知重力加速度为10 m/s2，不计空气阻力，速降斜坡足够长，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，求：
（1）运动员在C 点时受到圆弧轨道的弹力；
（2）水平平台DE 的长度；
（3）经过P 点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
答案（1）2 100 N，方向竖直向上 （2）10.8 m（3）171√3
40
m
解析（1）在C 点，对运动员，由牛顿第二定律有FN－mg＝m v1
2
r
解得FN＝2 100 N
即运动员在C 点时受到圆弧轨道的弹力大小为2 100 N，方向竖直向上。
（2）设运动员在由D 点飞出时速度与水平方向成α 角，从D 点运动到P 点的过程中，竖直方向有
（v2sin α）2＝2gh，v2sin α＝gt1
水平方向有xDE＝v2t1cos α
解得α＝53°，xDE＝10.8 m。
（3）运动到P 点的速度vP＝v2cos α
对其垂直于斜坡方向分解vy＝vPsin θ，ay＝gcos θ
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当垂直于斜坡方向上的速度减为0 时，距离斜坡最远，由几何关系可知d＝hcos θ＋H
其中v y
2＝2ayH
解得d＝171√3
40
m。
4．单板滑雪U 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U 形滑道由两个半径相
同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，
运动员以vM＝10 m/s 的速度从轨道边缘上的M 点沿轨道的竖直切面ABCD 滑出轨道，速度方向与轨道
边缘线AD 的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N 点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员
可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2， sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝
0.30。求：
（1）运动员腾空过程中离开AD 的距离的最大值d；
（2）M、N 之间的距离L。
答案（1）4.8 m （2）12 m
解析（1）在M 点，设运动员在ABCD 面内垂直于AD 方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得v1
＝vMsin 72.8° ①
设运动员在ABCD 面内垂直于AD 方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcos 17.2°＝ma1 ②
由运动学公式得d＝v1
2
2a1
③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m ④
（2）在M 点，设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得
v2＝vMcos 72.8° ⑤
设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin 17.2°＝ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝
2v1
a1
⑦
L＝v2t＋1
2a2t2 ⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m ⑨
5．（2024 吉林长春模拟预测）我国为了防御小行星撞击地球，计划在2030 年实现一次对小行星的动能撞
击。已知地球质量为M，可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G。若一颗质量为m 的小行星距离
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地心为r 时，速度的大小
，m 远小于M。不考虑地球运动及其它天体的影响。
（1）如图（a），若小行星的速度方向垂直于它与地心的连线，通过分析判断该小行星能否围绕地球
做圆周运动；
（2）如图（b），若小行星的速度方向沿着它与地心的连线指向地心。已知取无穷远处的引力势能为
零，则小行星在距地心为r 处的引力势能
。设想提前发射质量为0.1m 的无人飞行器，在距
离地心为r 处与小行星发生迎面撞击，撞击过程视为完全非弹性对心碰撞且撞击后均未解体。为彻底解
除小行星对地球的威胁（碰撞后运动到距地球无穷远），求飞行器撞击小行星时的最小速度v0。
答案（1）见解析；（2）
解析（1）若小行星绕地球做匀速圆周运动，则
解得
由此可知，小行星不能围绕地球做圆周运动；
（2）根据题意，当小行星和飞行器发生完全非弹性碰撞，则有
联立可得
6．（2024 山西太原一模）在完成登陆任务后，登陆艇自某行星表面升空与飞船会合并与飞船一起绕行星
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做圆周运动，其速率为v。飞船与登陆艇的质量均为m，行星的质量为M，万有引力恒量为G。已知质
量为m 的物体与该行星的万有引力势能
（以无穷远处势能为零，M 为行星质量，r 表示物
体到行星中心的距离）。
（1）求飞船与登陆艇绕行星做圆周运动的周期T 和轨道半径R。
（2）在启动返程时，飞船上火箭作一短时间的喷射（喷出气体的质量可忽略），使飞船相对登陆艇以
速度u 分离，且飞船分离时方向与速度v 同向。若分离后飞船恰能完全脱离行星的引力。
.
ⅰ求飞船相对登陆艇的速度u。
.
ⅱ求飞船和登陆艇在火箭喷射过程中共获得的机械能
。
答案（1）
，
；（2）ⅰ.
，方向与v 同向；ⅱ.
解析（1）在做圆周运动过程中，由万有引力提供向心力知
代入得
故
（2）ⅰ.由动量守恒令登陆艇的速度为知
，
由能量守恒知
代入得
故
方向与v 相同
.
ⅱ喷射过程中共获得的机械能为
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7．（2024 重庆九龙坡三模）2024 年4 月25 日神舟十八号载人飞船成功发射，标志着中国载人航天技术已
走在世界前列。有人对今后神舟系列飞船的发射构想：沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨
道，在通道的两个出口分别将一物体和飞船同时释放，利用两者碰撞（弹性碰撞）效应，将飞船发射
出去，已知地表重力加速度g，地球的半径为R；物体做简谐运动的周期
，m 为物体的质量，
k 为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。
（1）若神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，则其运行的线速度大小；
（2）如图甲，设想在地球上距地心h 处挖一条光滑通道AB，从A 点静止释放一个质量为m 的物体，
求物体从A 运动到B 点的时间，以及物体通过通道中心O′的速度大小（质量分布均匀的空腔对空腔内
的物体的万有引力为零）；
（3）如图乙，若通道已经挖好，且
，如果在AB 处同时释放质量分别为M 和m 的物体和飞船，
他们同时到达O′点并发生弹性碰撞，要使飞船飞出通道口时速度达到第一宇宙速度，M 和m 应该满足
什么关系？
答案（1）
；（2）
，
；（3）
解析（1）神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
根据万有引力与重力的关系
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解得运行的线速度大小为
（2）半径为r 的球体质量为
质点在距离球心r 处所受到的引力为
故引力在AB 通道方向分力为（设向右为正方向）
该力与
成正比，故物体做简谐运动，当
时，有
根据万有引力与重力的关系
则
物体从A 运动到B 点的时间为
从A 到O′点，万有引力做功为
从A 到O′点，由动能定理可得
解得
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（3）由（2）可知，物体到达O′点速度均为
碰撞中满足动量守恒
根据机械能守恒可得
解得
返回出口过程中，万有引力做功为
返回出口过程中，根据动能定理
其中
代入得
解得
8．（2025 云南昭通模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，该装置由弧形光滑轨道
、竖直光滑
圆轨道、水平粗糙直轨道
、倾角为
的粗糙斜轨道
、圆弧形光滑管道
平滑连接而成。现将
一质量为
、可视为质点的小滑块
由弧形轨道
上高处由静止释放（未知），在经历几段
不同的运动后，
在
点与静止在水平台面上质量为
的长木板
发生正碰。已知圆轨道半径
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，
；
与轨道
、
间的动摩擦因数均为
，
与水平台面间的动
摩擦因数
，
最右端停放一质量为
、可视为质点的小滑块
，
与
间的动摩擦因数
；水平台面和木板
足够长；
从轨道
上滑下后进入圆弧轨道，运动到与圆心
等高的
点时对轨道的压力为
。忽略空气阻力，重力加速度
取
，
、
。
(1)求的大小。
(2)求
刚到达
点时的速度大小。
(3)若
与
碰撞时间极短，且碰后立即粘在一起，求最终
与
最右端之间的距离。
答案(1)
(2)
(3)
解析（1）
运动到C 点时，根据牛顿第二定律得
从A 到C 的运动过程，根据动能定理得
联立代入数据解得
（2）m1从A 到F 的运动过程，根据动能定理得
代入数据解得
（3）m1与M 相碰，根据动量守恒定律得
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代入数据解得
m1与M 碰后对m2分析得
代入数据解得
对
和
构成的整体受力分析得
代入数据解得
设经过时间t，m2与m1、M 共速，则
代入数据解得共速的速度
，
该过程中m2运动的位移
运动的位移
共速过后，
与
分别减速运动，对m2受力分析得
代入数据解得
对
和
构成的整体受力分析得
代入数据解得
m2对地位移
的对地位移
最终计算可得
距离
最右端的长度
9．（2024 福建福州二模）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC 部分为水平
轨道，与曲面AB 平滑连接。CDF 和FMN 是竖直放置的半圆轨道，在最高点F 对接，与BC 在C 点相
切。NP 为一与FMN 相切的水平平台，P 处固定一轻弹簧。点D、N、P 在同一水平线上。水平轨道BC
粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为m = 0.02 kg 的带正电的滑块从曲面AB 上某处由静止释
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放。已知匀强电场的场强E = 2 N/C，BC 段长度L = 1 m，CDF 的半径R = 0.2 m。FMN 的半径r = 0.1
m。滑块带电量q = 0.1 C，滑块与BC 间的动摩擦因数μ = 0.5，重力加速度g = 10 m/s2；求：
(1)滑块通过半圆轨道CDF 最高点F 的最小速度vF；
(2)若滑块恰好能通过F 点，求滑块释放点到水平轨道BC 的高度h0；
(3)若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水
平轨道BC 的高度h 需要满足的条件。
答案(1)2 m/s(2)1 m(3)k m ≤ h ≤ （0.7 + k） m（k = 0，1，2，3……）
解析（1）小球在F 点根据牛顿第二定律有
解得
（2）设小球由h0处释放恰好通过F 点，对小球从释放至F 点这一过程由动能定理得
解得
（3）讨论
①小球第一次运动到D 点速度为零，对该过程由动能定理得
解得
则当h ≤ 0.7 m 时，小球不过D 点，不脱离轨道。
②小球第一次进入圆轨道可以经过F 点，压缩弹簧被反弹，沿轨道PNMFDCBA 运动，再次返回后不过
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D。小球恰好可以经过F 点，由动能定理可得
解得
则当h ≥ 1 m 时，小球可以通过F 点。小球再次返回刚好到D 点
解得
则当h ≤ 1.7 m 时，小球被弹簧反弹往复运动后不过D 点；综上，当1 m ≤ h ≤ 1.7 m，小球第一次进入
圆轨道可以通过F 点，往复运动第二次后不过D 点，满足始终不脱离轨道。
③小球第一次进入圆轨道可以经过F 点，压缩弹簧被反弹，第二次往复运动时满足小球恰好可以经过F
点，由动能定理可得
解得
则当h ≥ 2 m 时，小球可以两次通过F 点；小球再次返回刚好到D 点
解得
则当h ≤ 2.7 m 时，小球被弹簧反弹第二次往复运动后不过D 点；综上2 m ≤ h ≤ 2.7 m，小球第一、二
次进入圆轨道可以通过F 点，往复运动第二次后不过D 点，满足始终不脱离轨道。以此类推，可得当h
满足k m ≤ h ≤ （0.7 + k） m（k = 0，1，2，3……）小球不脱离轨道。
1．（2024 北京高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质
（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一
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点O 为观测点，以质量为m 的小星体（记为P）为观测对象。当前P 到O 点的距离为
，宇宙的密度
为
。
（1）求小星体P 远离到
处时宇宙的密度ρ；
（2）以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质量集
中于O 点对P 的引力。已知质量为
和
、距离为R 的两个质点间的引力势能
，G 为引
力常量。仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动。
a．求小星体P 从
处远离到
。处的过程中动能的变化量
；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v 满足哈勃定律
，其中r 为星体到观测点的距离，H 为哈勃
系数。H 与时间t 有关但与r 无关，分析说明H 随t 增大还是减小。
答案（1）
；（2）a．
；b．H 随t 增大而减小
解析（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P 运动前后距离O 点半径为
和
的球内质
量相同，即
解得小星体P 远离到
处时宇宙的密度
（2）a．此球内的质量
P 从
处远离到
处，由能量守恒定律得，动能的变化量
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b．由a 知星体的速度随
增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t 越长，由
知，H 减
小，故H 随t 增大而减小。
2．（2023 北京高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R 的球体内，球体外
仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀
速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的
相似性和相关力学知识，求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 随r 的变
化关系图像，如图所示，根据在
范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（
）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定
律，求
内暗物质的质量
。
答案（1）
；（2）
；（3）
详解（1）由万有引力定律和向心力公式有
解得
（2）在
内部，星体质量
由万有引力定律和向心力公式有
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解得
（3）对处于R 球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
对处于r=nR 处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
解得
3．（2024 江西高考）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图a、b 所示，
传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O 点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A 处固定连接一
轻绳，轻绳另一端B 连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与
雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图a 中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O 点做半
径为r1的匀速圆周运动。求AB 与OB 之间夹角α 的正切值。
（2）将圆盘升高，如图b 所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀
速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B 与O1B 的夹角为β。求此时圆
盘的角速度ω2。
答案（1）
μg
ω1
2r1
（2）√
μgsinθcos β
（μcosθ＋sinθsin β ）r2
解析（1）对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需的
向心力，如图所示。
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设转椅的质量为m，则
转椅所需的向心力Fn1＝mω1
2r1
转椅受到的摩擦力f1＝μmg
根据几何关系有tan α＝
f 1
Fn1
联立解得tan α＝
μg
ω1
2r1
。
（2）转椅在题图b 情况下所需的向心力Fn2＝mω2
2r2
转椅受到的摩擦力f2＝μN2
根据几何关系有tan β＝
f 2
Fn2
竖直方向上由平衡条件有N2＋Tcos θ＝mg
水平面上有f2＝Tsin θsin β
联立解得ω2＝√
μgsinθcos β
（μcosθ＋sinθsin β ）r2
。
4．（2022 江苏高考真题）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控
货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1 所示，机械臂一端固定在
空间站上的O 点，另一端抓住质量为m 的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O 点做半径为
、角速
度为
的匀速圆周运动，运动到A 点停下，然后在机械臂操控下，货物从A 点由静止开始做匀加速直
线运动，经时间t 到达B 点，A、B 间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小
；
（2）求货物运动到B 点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2 所示，它们在同一直线上，货物与空间站
同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的
引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比
。
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答案（1）
；（2）
；（3）
详解（1）质量为
的货物绕
点做匀速圆周运动，半径为
，根据牛顿第二定律可知
（2）货物从静止开始以加速度
做匀加速直线运动，根据运动学公式可知
解得
货物到达
点时的速度大小为
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力
，
所以经过时间，货物运动到
点时机械臂对其做功的瞬时功率为
（3）空间站和货物同轴转动，角速度
相同，对质量为
空间站，质量为
的地球提供向心力
解得
货物在机械臂的作用力
和万有引力
的作用下做匀速圆周运动，则
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货物受到的万有引力
解得机械臂对货物的作用力大小为
则
5．（2021 福建高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减
速阶段，探测器速度大小由
减小到0，历时
。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为
的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径
的
，火星质量约为地球质量的
，地球表面重力加速度大小取
，探测器在动力减速阶段的运
动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
答案（1）
，
；（2）
解析（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为
，末速度大小为
，加速度大小为
a，由匀变速直线运动速度公式有
①
代入题给数据得
②
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有
③
联立②③式并代入题给数据得
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④
（2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为
、
和
，地球的质量、半径和表面重
力加速度大小分别为
、
和
由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m 的物体有
⑤
⑥
式中G 为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为
，由力
的平衡条件有
⑦
联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得
⑧
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