文档文本内容
专题21 开普勒定律和万有引力定律
学习目标
熟练理解并掌握开普勒三大定律的概念，融汇贯通所涉及到的题型；熟练
掌握万有引力和重力的关系，并利用万有引力求解天体的质量和密度，计算
星球表面的重力加速度等问题；关注当下热点，尤其是涉及到中国的航天航
空事业，它是每年高考常考的热点。
知识点梳理
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所
有椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比是一
个常量．其表达式为＝k，其中r 代表椭圆轨道的半长轴，T 代表行星绕中心
天体公转的周期，k 是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量．
二、万有引力定律的建立
1．太阳与行星间引力的推导
(1)太阳对行星的引力：F∝.
(2)行星对太阳的引力：F′∝.
(3)总结F 与F′的关系：F＝F′∝.
2．万有引力定律
(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物
体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比．
(2)表达式：F＝G.
(3)万有引力定律中的距离r，是指两个质点之间的距离；对于质量分布均匀
的球体，指的是两个球心之间的距离．
三、引力常量
1．测定：在1798 年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引
力常量．
2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002 年推荐的引力常量数值
为G＝6.672(10)×10－11 N·m2/kg2，通常可以取G＝6.67×10
－ 11 N·m
2 /kg
2 .
三、计算天体的质量
1．称量地球的质量
(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体
的万有引力．
(2)关系式：mg＝G.
(3)结果：M＝，只要知道g、R、G 的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
(1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引
力充当向心力．
(2)关系式：＝mr.
(3)结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T 以及它和太阳之间的距离r 就可
以计算出太阳的质量．
真题汇编
1．（2024•海南）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为
，轨道高度与月球半径
之比为，引力常量为
，则月球的平均密度为
A．
B．
C．
D．
2．（2024•山东）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24 小时椭圆轨道的半
长轴为。已知地球同步卫星的轨道半径为，则月球与地球质量之比可表示为
A．
B．
C．
D．
3．（2024•新课标）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其
运行，其中行星
的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07 倍，
周期约为0.06 年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的
A．0.001 倍
B．0.1 倍
C．10 倍
D．1000 倍
4．（2024•选择性）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为
坐标原点
，竖直向上为正方向建立
轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，
其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响）。
设地球、该天体的平均密度分别为
和
，地球半径是该天体的倍。
的值
为
A．
B．
C．
D．
5．（2023•新课标）2023 年5 月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，
携带约
的物资进入距离地面约
（小于地球同步卫星与地面的距
离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
2．设在极短时间Δt 内，由开普勒第二定律可得1
2v1·Δt·r1＝1
2v2·Δt·r2，
解得
v1
v2＝
r2
r1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日
点的速度最大，远日点的速度最小。
3．开普勒第三定律a
3
T
2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天
体k 值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
例题精讲：
【例1】（2025•江苏模拟）如图所示，在竖直平面内固定有光滑椭圆轨道，两
焦点
、
在轴上关于坐标原点
对称。一质量为
的小球套在轨道上从最
低点开始以初速度
运动，恰能通过最高点，重力加速度为
。则
考点1：开普勒行星运动定律
A．球的加速度沿竖直方向的位置共有三处
B．小球通过轨道最右端时加速度为
C．小球与
点的连线在相同时间内扫过的面积相等
D．初速度
稍增大，轨道与球间作用力为零的位置会下移
【例2】（2025•怀化开学）土星的公转周期约为30 年，把地球到太阳的平均距
离作为1 天文单位，把土星、地球绕太阳的运动均看作圆周运动，则土星到太
阳的平均距离约为
A．5 天文单位
B．10 天文单位
C．15 天文单位
D．20 天文单位
【例3】（2025•鞍山模拟）地球绕太阳的公转轨道是一个接近正圆的椭圆，太
阳位于椭圆的一个焦点上。近似图如下图，
，
是地球公转轨道的两个焦点，
甲和乙位置为短轴和轨道的交点。由于地球公转速度大小不是恒定的，地球由
甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半。下列说法正确的是
A．太阳的位置在焦点
处
B．甲位置时地球的公转速度为全年最大
C．夏至时地球的公转速度比冬至时小
D．地球在夏至和冬至时的公转加速度大小相等
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地
球自转的向心力F 向，如图所示。
(1)在赤道上：G Mm
R
2 ＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G Mm
R
2 ＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G Mm
R
2 ，得g＝
GM
R
2 。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，mg′＝GMm
(R+h)
2，得g′＝
GM
(R+h)
2。
3．万有引力的两个推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引
力的合力为0。
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体
内半径为r 的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G M
' m
r
2 。
考点2：万有引力定律
例题精讲：
【例4】（2025•越秀区开学）2024 年5 月3 日，搭载嫦娥六号的长征五号遥八
运载火箭在海南文昌航天发射场发射成功。若嫦娥六号在地面时，地球对它的
万有引力大小为
（地球可视为球体）；则当嫦娥六号上升到离地面距离为地
球半径的3 倍时，地球对它的万有引力大小为
A．
B．
C．
D．
【例5】（2025 春•濠江区校级期末）牛顿发现了万有引力定律，并给出了物体
间引力大小表达式
，但没有给出引力常量
的具体取值。如图为人类
第一次在实验室测量出万有引力常量的实验示意图，通过此套装置比较精确测
量出了万有引力常量数值，引力常量的精确测定对深入研究物体之间相互作用
规律更有意义。以下说法正确的是
A．伽利略首先测量出了万有引力常量数值
B．图示引力常量测量实验中运用了放大法
C．图示实验中的大球对小球引力大于小球对大球引力
D．根据万有引力定律表达式，当
时，物体间引力将趋于无穷大
【例6】（2025 春•郑州期末）有一半径为
的匀质球体，距离球心
处有一
质点
。现从球体中心挖去半径为
的球体，如图所示。则挖去前后质点
受
到万有引力的比值为
A．
B．
C．
D．
估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R。
①由G Mm
R
2 ＝mg，得天体质量M＝gR
2
G
。
②天体密度ρ＝M
V ＝
M
4
3 πR
3＝3g
4πGR 。
(2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r
和周期T。
①由GMm
r
2 ＝m4π
2
T
2
r，得M＝4π
2r
3
G T
2
。
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝M
V ＝
M
4
3 πR
3＝3πr
3
G T
2R
3 。
例题精讲：
【例7】（2025•济南开学）2025 年5 月29 日，我国研制的“天问二号”探测
器发射升空，我国首次小行星探测与采样返回之旅正式开启。某同学提出探究
方案，通过探测器绕小行星做匀速圆周运动，可测得小行星的质量，测出经过
时间通过的弧长，弧长所对应的角度为
（弧度制），已知引力常量为
，
考点3：万有引力定律的应用
不考虑其他天体对卫星的引力，则小行星的质量为
A．
B．
C．
D．
【例8】（2025•蚌埠开学）天文学家发现一颗距离我们100 光年的行星，它围
绕恒星
公转的半径与地球绕太阳公转的半径之比为
，周期之比为，则恒
星
的质量与太阳的质量之比为
A．
B．
C．
D．
【例9】（2025•宁夏校级开学）若某航天器绕靠近土星表面的圆形轨道做匀速
圆周运动，运行圈历时，视土星为均匀球体，引力常量为
，不考虑土星自
转。则土星的平均密度为
A．
B．
C．
D．
课后提优练习
一．选择题（共14 小题）
1．（2025•河南开学）如图所示，地球的公转轨道接近圆，彗星的公转轨道则
是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682 年跟踪过一颗彗星，他算出
这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18 倍，并预言这颗彗星将每隔
一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。已知
哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986 年，❑√5832≈76，下列说法正确的
是（ ）
A．哈雷彗星绕太阳转动的周期约为86 年
B．哈雷彗星下次大约在2070 年出现在近日点
C．目前（2025 年）哈雷彗星与太阳间距正在增大
D．目前（2025 年）哈雷彗星的线速度正在增大
2．（2025 春•遵义期末）迄今为止，人类发射的人造地球卫星仍在轨运行的约
有1 万颗，其中有两颗卫星甲和乙，运行周期相等。卫星甲做匀速圆周运动
且轨道半径为r，卫星乙沿椭圆轨道运动，且近地点到地心的距离为0.5r。则
卫星乙远地点到地心的距离为（ ）
A．❑√2r
B．1.5r
C．
3√2r
D．2r
3．（2025•黑河开学）在天文学上，春分、夏至、秋分、冬至将一年分为春、
夏、秋、冬四季。如图所示，从地球绕太阳的运动规律分析，下列判断正确
的是（ ）
A．在冬至日前后，地球绕太阳的运行速率较小
B．在夏至日前后，地球绕太阳的运行速率较小
C．春夏两季比秋冬两季时间短
D．春夏两季和秋冬两季时间相同
4．（2025 春•贵州期末）2025 年5 月29 日，我国成功发射“天问二号”探测
器，开启对小行星2016HO3 的采样任务。如图所示，探测器在接近小行星时，
需从初始圆轨道通过转移轨道进入目标圆轨道。已知初始圆轨道半径为r1、
周期为T1，目标圆轨道半径为r2、周期为T2，且r2＜r1。以下说法正确的是（
）
A．T2＜T1
B．T2＞T1
C．探测器在转移轨道的速率恒定
D．探测器在转移轨道的近地点速率最小
5．（2025•辽宁开学）如图所示，有一质量分布均匀、半径为R 的球形物体，
一可视为质点的小球放在距离球形物体球心O 点3R 处。在小球和物体球心
的连线上紧靠球形物体的最左侧挖走一半径为3 R
4 的球，则剩余的阴影部分
对小球的万有引力与挖走前球形物体对小球万有引力的比值为（ ）
A．27
64
B．37
64
C．433
676
D．243
676
6．（2025•南昌开学）如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对
应的节气，则由“冬至”到“夏至”的过程，关于地球的运动，下列说法正
确的是（ ）
A．速率变小，加速度变小
B．速率变小，加速度变大
C．速率变大，加速度变小
D．速率变大，加速度变大
7．（2025 春•新乡期末）海王星是太阳系八大行星之一，其绕太阳公转一周大
约需要165 年，轨道呈椭圆形。海王星绕太阳逆时针运行的轨迹如图所示，
若只考虑太阳对海王星的万有引力的作用，下列说法正确的是（ ）
A．海王星与太阳间的距离小于地球与太阳间的距离
B．海王星在D 点的加速度与在B 点的加速度相同
C．海王星从C 点运动到D 点所用的时间大于从A 点运动到B 点所用的时间
D．海王星在从D 点运动到A 点的过程中速度增大，故其与太阳的连线在相
同时间内扫过的面积增大
8．（2025•成都校级模拟）为了验证地球对月球的引力F1与地球对地球表面物
体的引力F2遵循相同的规律，牛顿进行了著名的“月—地检验”。月球绕地
球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为g，月球轨道半径为r，地球半
径为R，忽略地球自转影响。关于“月地检验”，下列说法中正确的是（
）
A．计算a 需要测量引力常量G
B．“月地检验”需要测量F1、F2的大小
C．g 可以通过自由落体实验测量得出
D．若计算得a
g = r
2
R
2
，则验证了F1、F2遵循相同的规律
9．（2025 春•河南期末）万有引力定律公式F =G m1m2
r
2
是结合行星运动的规律
以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（
）
A．该公式只适用于天体之间引力的计算
B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大
C．若m1、m2、r 同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍
D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式F =G m1m2
r
2
计算
10．（2025 春•鹤壁期末）万有引力定律公式F =G m1m2
r
2
是结合行星运动的规律
以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（
）
A．该公式只适用于天体之间引力的计算
B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大
C．若m1、m2、r 同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍
D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式F =G m1m2
r
2
计算
11．（2025•唐县校级开学）下列关于万有引力的说法正确的是（ ）
A．两个物体间的万有引力大小与两个物体的质量之和成正比
B．两个物体间的万有引力大小与两个物体间的距离成正比
C．两个物体间的万有引力大小与两个物体间的距离成反比
D．引力常量具有普适性，适用于任何两个物体间的万有引力计算
12．（2025•越秀区开学）2024 年5 月3 日，搭载嫦娥六号的长征五号遥八运载
火箭在海南文昌航天发射场发射成功。若嫦娥六号在地面时，地球对它的万
有引力大小为F（地球可视为球体）；则当嫦娥六号上升到离地面距离为地
球半径的3 倍时，地球对它的万有引力大小为（ ）
A．F
16
B．F
9
C．F
4
D．F
3
13．（2025 春•大通县期末）关于天体运动、行星运动的三大定律，下列说法
正确的是（ ）
A．八大行星中离太阳最近的水星比离太阳最远的海王星围绕太阳转一周的
时间长
B．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行
星的运动
C．伽利略用“月—地检验”证实了地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的
引力
D．开普勒第三定律a
3
T
2 =k中，围绕同一中心天体运行的所有行星（或卫星），
k 值不相等
14．（2025•娄底模拟）现代天文观测表明，地月距离在缓慢增加。以下说法正
确的是（ ）
A．地球与月亮之间没有相互作用的力
B．地球与月亮之间有引力
C．地球与月亮之间的力与距离无关
D．地球与月亮之间的力随距离增大而增大
二．多选题（共1 小题）
（多选）15．（2025•重庆开学）如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平
面内做圆周运动，绕行方向相反，当卫星Ⅰ、Ⅱ间相距最远时开始计时，它
们之间的距离随时间变化的关系图像如图乙所示，已知卫星Ⅰ的周期为T，
轨道半径为R，下列说法正确的是（ ）
A．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最近距离为3R
B．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最远距离为4R
C．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为1：3
D．卫星Ⅰ、Ⅱ的线速度大小之比为2：1
