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专题10 天体运动
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题型一 开普勒定律的应用........................................................................................................................................1
题型二 万有引力定律的理解....................................................................................................................................2
类型1 万有引力定律的理解和简单计算.........................................................................................................7
类型2 不同天体表面引力的比较与计算.........................................................................................................8
类型3 重力和万有引力的关系.........................................................................................................................9
类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算............................................................................10
题型三 天体质量和密度的计算..............................................................................................................................13
类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度....................................................................................16
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度................................................................................................22
类型3 利用椭圆轨道求质量与密度...............................................................................................................27
题型四 卫星运行参量的分析..................................................................................................................................30
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系.....................................................................................................30
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较......................................................................................31
类型3 宇宙速度...............................................................................................................................................39
题型五 卫星的变轨和对接问题..............................................................................................................................42
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较.......................................................................................................43
类型2 卫星的对接问题...................................................................................................................................46
题型六 天体的“追及”问题..................................................................................................................................50
题型七 星球稳定自转的临界问题..........................................................................................................................56
题型八 双星或多星模型..........................................................................................................................................59
类型1 双星问题.............................................................................................................................................60
类型2 三星问题...............................................................................................................................................65
类型4 四星问题...............................................................................................................................................70
题型一 开普勒定律的应用
【解题指导】1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得Δlr ＝Δlr ，v·Δt·r ＝v·Δt·r ，解得＝，即行星在两个位置的速
1 1 2 2 1 1 2 2
度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且
该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
【例1】（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星
乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转
半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R，小行星乙的近日点到太阳的距离为R，
1 2
则（ ）
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比 =
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；
B．根据
小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；
C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比故C错误；
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比
≈
故D正确。
故选D。
【变式演练1】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭
圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律
同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律
又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以
联立可得
故选D。【变式演练2】．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号
中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺
利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入
冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时
（ ）
A．周期约为144h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
【答案】B
【详解】A．冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得
整理得
A错误；
B．根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；
C．近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻
结轨道运行时近月点的速度，C错误；
D．两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于
在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
故选B。
【变式演练3】．北京时间2024年1月5日19时20分，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座15-18星（以下简称天目星）发射升空，天目
星顺利进入预定轨道，至此天目一号气象星座阶段组网完毕。天目星的发射变轨过程可简
化为如图所示，先将天目星发射到距地面高度为h 的圆形轨道I上，在天目星经过A点时
1
点火实施变轨进入椭圆轨道II，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将天目星送入距地
面高度为h 的圆形轨道III上，设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则天目星沿椭
2
圆轨道从A点运动到B点的时间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据万有引力与重力的关系
在圆形轨道I上，根据万有引力提供向心力
椭圆轨道II的半长轴为
根据开普勒第三定律
解得天目星沿椭圆轨道II的周期为天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为
故选B。
【变式演练4】地球同步卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，
在点A时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道Ⅲ绕
地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，同步卫星轨道半径为r，设卫星质量保持不变，
下列说法中不正确的是（ ）
A．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上的运动周期之比为
B．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的运动周期之比为
C．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的动能之比
D．卫星在轨道Ⅱ上运动经过A点和B点的速度之比为
【答案】A
【详解】AB．由开普勒第三定律 可得，卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上的运动周期之比
为卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的运动周期之比为
A错误，符合题意，B正确，不符合题意；
C．由万有引力提供向心力，卫星在轨道Ⅰ上可得
在轨道Ⅲ上可得
则有卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的动能之比为
C正确，不符合题意；
D．设卫星在轨道Ⅱ上运动经过A点的速度为 ，在B点的速度为 ，由开普勒第二定律
可得
解得经过A点和B点的速度之比为
D正确，不符合题意。
故选A。
题型二 万有引力定律的理解
【解题指导】1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 。
向
(1)在赤道上：G＝mg ＋mω2R。
1
(2)在两极上：G＝mg 。
0
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F 的矢量和。
向
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力
近似等于重力，即＝mg。
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
类型1 万有引力定律的理解和简单计算
【例1（2023·全国·高三专题练习）有质量的物体周围存在着引力场。万有引力和库仑力有
类似的规律，因此我们可以用定义静电场场强的方法来定义引力场的场强。由此可得，质
量为m的质点在质量为M的物体处（二者间距为r）的引力场场强的表达式为（引力常量
用G表示）（ ）
A．G B．G C．G D．G
【答案】B
【详解】万有引力公式与库仑力公式是相似的，分别为
,
真空中，带电荷量为Q的点电荷在距它r处所产生的电场强度被定义为试探电荷q在该处
所受的库仑力与其电荷量的比值，即
与此类比，质量为m的质点在距它r处所产生的引力场场强就可定义为质量为M的物体在
该处所受的万有引力与其质量的比值，即
故B正确，ACD错误。
故选B。【变式演练】(多选)在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地
球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”需要知道的物理量有(
)
A．月球和地球的质量
B．引力常量G和月球公转周期
C. 地球半径和“月—地”中心距离
D．月球公转周期和地球表面重力加速度g
【答案】 CD
【解析】 地球表面物体的重力等于万有引力，有
mg＝G，即gR2＝Gm
地
根据万有引力定律和牛顿运动第二定律，有
G＝ma
可算出月球在轨道处的引力加速度为
a＝G＝
根据月球绕地球公转的半径、月球的公转周期，由月球做匀速圆周运动可得
a＝
代入数值可求得两加速度吻合，故A、B错误，C、D正确。
类型2 不同天体表面引力的比较与计算
【例2】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的
跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为
“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的
悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【答案】 B【解析】 悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的万有
引力，则＝＝··＝9×2×＝，故B正确。
【变式演练】火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面
与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
【答案】 B
【解析】 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小
为F ＝G，在火星表面上时，受到的万有引力大小为F ＝G，二者的比值＝＝0.4，B正
地 火
确，A、C、D错误。
类型3 重力和万有引力的关系
【例1】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知
地球表面两极处的重力加速度大小为 ，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周
期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是
（ ）
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C．地球的半径为
D．地球的密度为
【答案】CD
【详解】A．质量为m的物体在地球北极受到的地球引力等于其重力，大小为mg ，A错误；
0
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，
大小为mg ，B错误；
0
C．设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得C正确；
D．设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的地球引力
等于其重力，可得
又
则有
D正确。
故选CD。
【变式演练1】在地球表面，被轻质细线悬挂而处于静止状态的质量为m的小球，所受地
球的万有引力作用效果分解示意图如图所示，已知小球所处的纬度为θ（ ），
重力为F，万有引力为F，地球的半径为R，自转周期为T，下列说法正确的是（ ）
1
A．细线的拉力F 与F是一对平衡力 B．地球的第一宇宙速度为
T
C．小球所需的向心力为 D．地球赤道处的重力加速度为【答案】C
【详解】A．细线的拉力F 与F合力提供了小球做圆周运动的向心力，故细线的拉力F 与
T T
F不是一对平衡力，故A错误；
B．根据万有引力提供向心力
可得地球的第一宇宙速度为
故B错误；
C．小球做圆周运动的半径为
小球所需的向心力为
故C正确；
D．小球所处的纬度重力 大于赤道处的重力，根据牛顿第二定律，地球赤道处的重力加
速度小于 ，故D错误。
故选C。
【变式演练2】2023年11月16日，中国北斗系统正式加入国际民航组织标准，成为全球
民航通用的卫星导航系统。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道
卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球半径与同步卫星的
轨道半径之比为 ，下列说法正确的是（ ）
A．倾斜地球同步轨道卫星有可能保持在长沙的正上方
B．地球静止轨道卫星与地面上的点线速度大小相等所以看起来是静止的
C．地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为
D．地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为【答案】D
【详解】A．倾斜地球同步轨道卫星周期仍然是24小时，但轨道与赤道平面有夹角，如果
某时刻在长沙正上方，则24小时后就又在长沙正上方，但不能保持在长沙正上方，故A错
误；
B．地球静止轨道卫星与地面上的点角速度相等，由 可知，地球静止轨道卫星的轨道
半径大于地面上的点的轨道半径，因此静止轨道卫星的线速度大小大于地面上的点线速度
大小，B错误；
CD．根据题意，对同步卫星，由万有引力提供向心力有
在地球北极有
在赤道上有
联立可得
则地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 ，C错误，D正确。
故选D。
类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
【例41】已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀
的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某
位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关
于g与x的关系图像可能正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 ，设地球的密度为 ，距地球球心 处的物体受到的万有引力与该处的重
力的关系为
可得
当 ，设地球的密度为 ，地球半径为 ，距地球球心 处的物体受到的万有引力与该
处的重力的关系为
可得
故选A。
【变式演练1】若地球是质量均匀分布的球体，其质量为M，半径为R。忽略地球自转，
0
重力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R
部分的面积。
（1）用题目中的已知量表示图中的g；
0
（2）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球内部，重力加速度与r成正比；
（3）若将物体从2R处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题
图像，求这个物体到达地表时的速率。
【答案】（1） ；（2）见解析所示；（3）
【详解】（1）在地球表面，忽略地球自转，则有
（2）地球是质量均匀分布的球体，设地球密度为 。在地球内部，设物体到地心的距离
r，根据题意，在以半径r为界，外部球壳对物体吸引力为0，则有吸引力部分的质量
，根据万有引力定律
可得出，在地球内部，重力加速度与r成正比。
（3）微元法：将物体从离地心2R释放到落地表过程中分割为无数微小段，每一段的重力
加速度可近似认为是不变的，再对这些过程进行累加求重力做功，其中gh数值与图像中
R-2R部分的面积相对应，根据题意，又与O-R部分的面积对应，可得总功为
根据动能定理带入计算可得
【变式演练2】上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最
大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地
球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀
的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零
则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有
设半径为（R－d）球的质量为 ，由密度公式得
所以
解得，F的大小为
B正确，ACD错误。故选B。
【变式演练3】2020年12月1日嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了
钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已
知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量
为m的钻尖进入月球表面以下h深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】月球质量与剩余质量关系为
设月球密度为 ，月球对钻尖的万有引力为
故选D。
【变式演练4】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空
腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，
假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空
腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度
大小为kg（k＜1），已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】万有引力定律的适用条件：（1）公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的
距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；（2）质量分布均匀的球体可视为质点，
r是两球心间的距离，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是
kmg，故空腔填满后引起的引力为 ，根据万有引力定律求解。
【详解】如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常
值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空
腔填满后引起的引力为 ，由万有引力定律有
解得球形空腔的体积
故选D。
题型三 天体质量和密度的计算
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 r、T G＝mr m ＝ 只能得到
中
利用运 中心天体
量 r、v G＝m m ＝
中
的质量
行天体
的
v、T G＝m，G＝mr m ＝
中
计
利用天体表面重
g、R mg＝ m ＝ —
中
算 力加速度
密 利用近地
ρ＝
利用运 G＝mr
卫星只需
度
r、T、R
当r＝R时，
测出其运
行天体 m ＝ρ·πR3
中
的 ρ＝
行周期
计
算 利用天体表面重
g、R mg＝，m ＝ρ·πR3 ρ＝ —
中
力加速度类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
【例1】中国计划在2030年前登上月球，假设宇宙飞船落到月面前绕月球表面附近做角速
度为ω的匀速圆周运动。宇航员登上月球后，做了一次斜上抛运动的实验，如图所示，在
月面上，小球从A点斜向上抛出，经过最高点B运动到C点，已知小球在A、C两点的速
度与水平方向的夹角分别为37°、53°，小球在B点的速度大小为v，小球从A点到C点的
运动时间为t，引力常量为G，sin37°=0.6，cos37°=0.8，月球可视为均匀球体，忽略月球的
自转，下列说法正确的是（ ）
A．月球的密度为 B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球的第一宇宙速度大小为 D．月球的半径为
【答案】C
【详解】A．飞船落到月面前绕月球表面附近做角速度为ω的匀速圆周运动，则有
又
联立解得月球的密度为
故A错误；
B．在A点时的竖直分速度大小为
在C点时的竖直分速度大小为向上为正，从A到C由运动学公式得
解得
故B错误；
CD．根据
可得月球的半径为
月球的第一宇宙速度大小等于卫星在月球表面轨道绕月球做匀速圆周运动的线速度，则有
故C正确，D错误。
故选C。
【变式演练1】宇航员登上某半径为R的球形未知天体，在该天体表面将一质量为m的小
球以初速度 竖直上抛，上升的最大高度为h，万有引力常量为G。则（ ）
A．该星球表面重力加速度为
B．该星球质量为
C．该星球的近地面环绕卫星运行周期为
D．小球到达最大高度所需时间【答案】A
【详解】A．根据
可知该未知天体表面的重力加速度大小
故A正确；
B．根据
可得星球质量为
故B错误；
C．近地环绕卫星万有引力提供向心力
解得星球的近地面环绕卫星运行周期为
故C错误；
D．由运动学公式可知，小球上升到最大高度所需时间
故D错误。
故选A。
【变式演练2】一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长
的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律
如图乙所示．设R、m、r、引力常量G以及F 和F 为已知量，忽略各种阻力．以下说法正
1 2
确的是（ ）
A．该星球表面的重力加速度为
B．小球在最高点的最小速度为
C．该星球的密度为
D．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
【答案】B
【详解】A.在最低点有
在最高点有
由机械能守恒定律得
联立可得
故A错误；
B.设星球表面的重力加速度为g，小球能在竖直面上做圆周运动，即能过最高点，过最高点的条件是只有重力提供向心力，有
则最高点最小速度为
故B正确；
C.由
可得
故C错误；
D.由
可得
故D错误。
故选B。
【变式演练3】2023年4月24日，中国首次火星探测火星全球影像图在第八个中国航天日
发布。其中，国际天文学联合会还将天问一号着陆点附近的22个地理实体以中国历史文化
名村名镇命名，将中国标识永久刻印在火星上。火星半径为 ，火星表面处重力加速度为
。火星和地球的半径之比约为 ，表面重力加速度之比约为 ，忽略火星、地球自
转，则地球和火星的密度之比约为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】根据万有引力与重力的关系
可得
gR2
M=
G
体积为
则密度为
地球和火星的密度之比约为
故选B。
【变式演练4】我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月
球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附
近高h处以初速度 水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视
为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量
C．月球的第一宇宙速度 D．月球的平均密度
【答案】D
【详解】A．由平抛运动特点可得由以上两式得月球表面的重力加速度
故A错误；
B．由万有引力等于重力得
将 代入上式得月球的质量
故B错误；
C．由牛顿第二定律得
将 代入上式得月球的第一宇宙速度
故C错误；
D．月球的平均密度
故D正确。
故选D。
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
【例2】（2024·山西太原·三模）宇宙中行星 的半径 ，各自相应卫星环绕行
星做匀速圆周运动，卫星轨道半径与周期的关系如图所示，若不考虑其它星体对 的影响及 之间的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．行星 的质量之比为 B．行星 的密度之比为
C．行星 的第一宇宙速度之比为 D．行星 的同步卫星的向心加速度之比
为
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律
解得
则图像的斜率为
又
故行星 的质量之比为
故A错误；
B．根据牛顿第二定律解得
故行星的密度为
由题意可知，卫星在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期 相等，故行星A的密度等于行
星B的密度，故B错误；
C．行星的第一宇宙速度等于卫星在行星表面做匀速圆周运动的线速度，则有
则行星 的第一宇宙速度之比为
故C正确；
D．同步卫星的相关物理量未知，无法计算加速度比值，故D错误。
故选C。
【变式演练1】．（2024·云南昆明·模拟预测）在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人
类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”。其运行的周期为地球运
行周期的p倍，轨道半径为日地距离的q倍。假设该行星绕星的运动与地球绕太阳的运动
均可看做匀速圆周运动，则橙矮星与太阳的质量之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由
解得则橙矮星与太阳的质量之比为
故选B。
【变式演练2】．（2024·山西·模拟预测）P、Q是太阳系中的两个行星，P的半径是Q的2
倍。在登陆两行星后，分别在行星表面以速度v竖直上抛小球，小球返回到抛出点的时间
为t；改变抛出时的初速度，画出v与t的函数图像如图所示。将两行星视为均匀球体，忽
略大气阻力和行星自转，下列判断正确的是（ ）
A．行星P和Q表面的重力加速度之比为4：1
B．行星P和Q的第一宇宙速度之比为4：1
C．行星P的质量是Q质量的4倍
D．行星P的密度与Q的密度相等
【答案】D
【详解】A．根据
则v-t图像的斜率 行星P和Q表面的重力加速度之比为
选项A错误；
BD．根据可得
，
可得行星P和Q的第一宇宙速度之比为2：1，行星P的质量是Q质量的8倍，选项BC错
误；
D．行星的密度
可得行星P的密度与Q的密度相等，选项D正确。
故选D。
【变式演练3】2024年1月11日，太原卫星发射中心将云遥一号卫星送入预定轨道，飞行
试验任务取得圆满成功。已知“云遥一号”在轨道做匀速圆周运动，运行周期为T，地球
的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，下列说法
正确的是（ ）
A．地球的质量为
B．“云遥一号”的轨道半径为
C．“云遥一号”的线速度可能大于
D．“云遥一号”的加速度可能大于g【答案】A
【详解】A．在地球表面有
得
gR2
M=
G
故A正确；
B．设卫星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力可得
可得
故B错误；
C．根据万有引力提供向心力可得
解得
故C错误；
D．根据万有引力提供向心力可得
解得
故D错误。故选A。
【变式演练4】（2024·吉林长春·模拟预测）按黑体辐射理论，黑体单位面积的辐射功率与
其热力学温度的四次方成正比，比例系数为 （称为斯特藩-玻尔兹曼常数），某黑体如果
它辐射的功率与接收的功率相等时，温度恒定。假设宇宙中有一恒星A和绕其圆周运动的
行星B（忽略其它星体的影响），已知恒星A单位面积辐射的功率为P，B绕A圆周运动的
周期为 ，将B视为黑体，B的温度恒定为T，万有引力常数为G，将A和B视为质量均匀
分布的球体，行星B的大小远小于其与A的距离，．由上述物理量和常数表示出的恒星A
的平均密度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】黑体单位面积的辐射功率
设A和B的球心距离为 ，A的半径为 ，则由B的温度恒定可知
由万有引力充当向心力
其中
联立解得
故选A。类型3 利用椭圆轨道求质量与密度
【例1】（2024·安徽·一模）如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的
近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最
近距离分别为 ，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引
力常量为G，星球表面的重力加速度为 。则星球的平均密度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为
，
由开普勒第三定律得
整理得
星球表面的重力加速度为g，根据万有引力提供重力得星球质量的表达式为
联立得
故选A。
【变式演练1】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到
2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到
地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了
2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的
质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
【答案】 B
【解析】 由万有引力提供向心力有＝mR，整理得＝，可知只与中心天体的质量有关，则
＝，已知T ＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期T ＝2×(2002－1994)年＝16
地 S2
年，解得M ＝4×106M，B正确。
黑洞
【变式演练2】为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一
号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道
上运动，运行周期分别为 ；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为 ，火星可视为
质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（ ）
A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
C．可以求得火星的密度为
D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度
【答案】C
【详解】A．根据万有引力提供向心力
将“天问一号”的质量约掉，无法求得“天问一号”的密度，A错误；
B．有A项分析可知，B错误；
C．根据万有引力提供向心力
求得火星的密度
C正确；D．由C项分析可知，D错误．
故选C。
题型四 卫星运行参量的分析
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
G＝
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r
＝R＋h.
4．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、
ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
【例1】（2024·北京·二模）研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设
这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在相比
（ ）。
A．距地面的高度变小 B．向心加速度变大
C．线速度变小 D．角速度变大
【答案】C
【详解】A．根据万有引力提供向心力
解得
地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，距地面的高度变大，故A错误；
B．根据牛顿第二定律解得
地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，向心加速度变小，故B错误；
CD．根据万有引力提供向心力
解得
，
地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，则线速度变小，角速度变小，故C正
确，D错误。
故选C。
【变式演练1】（多选）2024年4月15日12时12分，我国在酒泉卫星发射中心成功将四
维高景三号01星发射升空。若该星的质量为m，在离地面高度为 的近地轨道（远小于地
球同步轨道）上绕地球做圆周运动。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球
自转的周期为T。则该星在轨运行过程中，下列说法正确的是（ ）
A．周期小于T B．向心加速度为
C．速率可能大于 D．动能为
【答案】AD
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
解得由于近地轨道远小于地球同步轨道，则该星周期小于同步卫星的周期，又有同步卫星的周
期等于地球自转周期 ，则该星周期小于 ，故A正确；
B．根据万有引力提供向心力有
在地球表面有
联立解得
故B错误；
C． 是围绕地球做圆周运动的最大速度，则该星的速率不可能大于 ，故C错
误；
D．根据万有引力提供向心力有
在地球表面有
又有
联立解得
故D正确。
故选AD。
【变式演练2】．（多选）可近似认为太阳系中各行星在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到另一行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天
文学称为“行星冲日”。若地球及其他行星绕太阳运动的轨道半径如下表，则下列说法正
确的是（ ）
地 木 天王
行星 火星 土星 海王星
球 星 星
绕太阳运动的轨道半径/
1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
AU
A．火星的运行速率小于地球的运行速率
B．木星绕太阳运行的周期比地球绕太阳运行的周期小
C．土星的向心加速度比天王星的向心加速度小
D．上表中的行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
【答案】AD
【详解】ABC．对各行星，由万有引力提供向心力有
解得
则火星的运行速率小于地球的运行速率；木星绕太阳运行的周期比地球绕太阳运行的周期
大；土星的向心加速度比天王星的向心加速度大，选项A正确，BC错误；
D．设地球的运行周期为 ，角速度为 ，轨道半径为 ，则其他行星的轨道半径为
，由万有引力定律有
各行星相邻两次冲日需满足解得
则k值越大，t越小，即上表中的行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，选项D正
确。
故选AD。
【变式演练3】．（多选）北京时间2023年7月20日21时40分，经过约8小时的出舱活
动，神舟十六号航天员密切协同，在空间站机械臂支持下，圆满完成出舱活动全部既定任
务，出舱活动取得圆满成功。已知地球半径为R，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为
kR，地球自转周期为 ，地球同步卫星轨道半径为nR，则（ ）
A．空间站的运行周期为 B．空间站的向心加速度大小为
C．空间站的线速度大小为 D．地球表面处的重力加速度为
【答案】AC
【详解】根据
解得
空间站与同步卫星的运行周期、向心加速度和线速度的关系为
， ，
又解得
， ，
由
联立，解得
故选AC。
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r ；b为地球同步卫星，轨道半径为r ；c为赤道上
1 2
随地球自转的物体，轨道半径为r.
3
近地卫星 同步卫星 赤道上随地球自转的物体
比较项目
(r、ω、v、a) (r、ω、v、a) (r、ω、v、a)
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r>r＝r
2 1 3
角速度 ω>ω＝ω
1 2 3
线速度 v>v>v
1 2 3
向心加速度 a>a>a
1 2 3
【例1】某国产手机新品上市，持有该手机者即使在没有地面信号的情况下，也可以拨打、接听卫星电话。为用户提供语音、数据等卫屋通信服务的“幕后功臣”正是中国自主研制
的“天通一号”卫星系统，该系统由“天通一号”01星、02星、03星三颗地球同步卫星
组成。已知地球的自转周期为T，地球的半径为R，该系统中的卫星距离地面的高度为h，
电磁波在真空中的传播速度为c，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．可求出地球的质量为
B．“天通一号”01星的向心加速度小于静止在赤道上的物体的向心加速度
C．“天通一号”01星若受到阻力的影响，运行轨道会逐渐降低，速度会变大
D．该手机向此卫星系统发射信号后，至少需要经过时间 才接收到信号
【答案】C
【详解】A．根据万有引力提供向心力可得
解得地球的质量为
故A错误；
B．地球同步卫星的角速度等于地球自转角速度，根据
可知“天通一号”01星的向心加速度大于静止在赤道上的物体的向心加速度，故B错误；
C．“天通一号”01星若受到阻力的影响，则速度减小，所需向心力减小，将做近心运动，
运行轨道会逐渐降低，万有引力做正功，速度逐渐增大，故C正确；
D．该手机向此卫星系统发射信号后，手机接收到信号至少要经过的时间为
故D错误。
故选C。【变式演练1】如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运
动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地
球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A．b卫星转动线速度大于
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为
D．在b、c中，c的机械能大
【答案】B
【详解】A．第一宇宙速度是最大的运行速度，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造
卫星，b卫星转动线速度等于 ，故A错误；
B．由题可知a、c具有相同的角速度，根据
由于
所以
对于b、c有
得
由于可知
综上得
故B正确；
C．由题知
对于b、c有
得
由于
可知
综上得
故C错误；
D．由于不知道b、c卫星的质量，所以无法判断它们机械能的大小，故D错误。
故选B。
【变式演练2】龙年首发，“长征5号”遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射
成功，卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。下列
说法正确的是（ ）
A．同步卫星的加速度大于地球表面的重力加速度B．同步卫星的运行速度小于7.9km/s
C．所有同步卫星都必须在赤道平面内运行
D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力不变
【答案】B
【详解】A．根据
解得
同步卫星的轨道半径大于地球半径，则同步卫星的加速度小于地球表面的重力加速度，故
A错误；
B．地球的第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据
解得
同步卫星的轨道半径大于地球半径，则同步卫星的运行速度小于7.9km/s，故B正确；
C．周期、角速度与地球自转周期、角速度相等的卫星叫同步卫星，可知，同步卫星的轨道
不一定在赤道平面，在赤道平面的同步卫星叫静止卫星，故C错误；
D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力大小不变，方向改变，即卫星在同步轨道
运行过程中受到的万有引力发生变化，故D错误。
故选B。
【变式演练3】根据地球同步卫星，科学家提出了“太空天梯”的设想。“太空天梯”的
主体结构为一根巨大的硬质绝缘杆，一端固定在地球赤道，另一端穿过地球同步卫星，且
绝缘杆的延长线通过地心。若三个货物分别固定在“太空天梯”的a、b、c三个位置，三
个货物与同步卫星一起以地球自转角速度绕地球做匀速圆周运动，以地心为参考系，下列
说法正确的是（ ）A．三个货物速度大小关系为
B．如果三个货物在a、b、c三个位置从杆上同时脱落，三个货物都将做离心运动
C．杆对b处货物的作用力沿Ob方向向上，杆对c处货物的作用力沿cO方向向下
D．若有一个轨道高度与b相同的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则其环绕地球的角
速度小于位于b处货物的角速度
【答案】C
【详解】A．根据 可得三个货物速度大小关系
故A错误；
B．根据题意可知同步卫星所受的万有引力恰好提供同步卫星做圆周运动所需的向心力，即
对于 、 货物，从杆上脱落后，万有引力大于所需的向心力，则做近心运动，对于货物 ，
从杆上脱落后，万有引力小于所需的向心力，则做离心运动，故B错误；
C．结合B选项分析可知杆对b处货物的作用力沿Ob方向向上，杆对c处货物的作用力沿
cO方向向下，故C正确；
D．根据
可得可知轨道高度与b相同的人造卫星角速度大于同步卫星的角速度，则其环绕地球的角速度
大于位于b处货物的角速度，故D错误。
故选C。
类型3 宇宙速度
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
1
方法二：由mg＝m得
v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
1
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行
周期最短，T ＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.
min
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v ＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
发
(2)7.9 km/sv ，在 B点加速，则 v>v ，又因 v>v ，故有
A B A 1 3 B 1 3
v >v>v>v .
A 1 3 B(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A
点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 、T 、T ，轨道半径分别为r 、
1 2 3 1
r(半长轴)、r，由开普勒第三定律＝k可知T
