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专题19 万有引力定律及其应用（解析版）
注：【分层调研·提分要点】所选的例题变式和练习都是最新的高考真题和2024 年全国各地的模拟
试题，【真题再现·洞悉高考】选自最近3 年的全国个点的高考真题。【分层检测·能力拔高】选
择2024 年全国各地的模拟试题，题量适中，便于学生自测专用。
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目 录
01 思维导图·成竹在胸
02 知识梳理·复习重点
知识点1：开普勒行星运动定律..................................................................................2
知识点2：万有引力定律..............................................................................................3
知识点3：宇宙速度......................................................................................................3
03 分成调研·提分要点
考向1 开普勒行星运动定律的理解和应用..............................................................3
角度1：开普勒定律的理解..........................................................................................3
角度2：开普勒定律的应用..........................................................................................4
考向2 万有引力定律的理解和应用..........................................................................6
角度1：万有引力的理解..............................................................................................6
角度2：空壳及地表下的万有引力..............................................................................7
考向3 天体质量和密度的估算..................................................................................9
角度1：计算中心天体的质量和密度..........................................................................9
角度2：已知近地表运行周期求密度........................................................................11
角度3：根据已知量计算天体的质量........................................................................12
考向4 双星或多星模型..............................................................................................13
角度1：双星模型及计算............................................................................................13
04 真题再现·洞悉高考
05 分层检测·能力拔高
【基础过关】...............................................................................................................18
【提升练习】...............................................................................................................18
知识点1：开普勒行星运动定律
1. 两种学说
（1）地心说：认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球及其他天体都绕地球运动
（2）日心说：认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
2. 开普勒行星运动定律
定律
内容
图示
说明
开普勒第一
定 律（轨道
定律）
所有行星绕太阳运动的轨道
都是椭圆，太阳处在椭圆的一
个焦点上
行星运动的轨道必有
近日点和远日点
开普勒第二
定 律（面积
定律）
对任意一个行星来说，它与
太阳的连线在相等的时间内扫
过的面积相等
当行星离太阳较近时，
运
动的速度比较快，而离
太
阳较远时速度较慢
开普勒第三
定 律（周期
定律）
所有行星轨道的半长轴的三次
方跟它的公转周期的二次方的
比都相等，即 a
2
T
3=k
同一中心天体k 相同，
不同的中心天体k 一般
不同
知识点2：万有引力定律
1．公式：F＝，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．
2．适用条件：只适用于质点间的相互作用．
3．理解
（1）两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离．
（2）一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用，其中r 为质点到球心间的距
离．
知识点3：宇宙速度
1．三个宇宙速度
第一宇宙速度（环绕速
度）
v1＝7.9 km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度
第二宇宙速度（脱离速
度）
v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度（逃逸速
度）
v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．
3．第一宇宙速度的计算方法
（1）由G＝m，得：v＝ .
（2）由mg＝m，得：v＝.
考向1 开普勒行星运动定律的理解和应用
行星轨道处理方法
（1）行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心.
（2）对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)不变，即行星做匀速圆周运动.
（3）所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.若r 表示行星的轨道半径，T 表示
公转周期，则a
2
T
3=k
角度1：开普勒定律的理解
【典例1】（2024·浙江温州·三模）2024 年3 月20 日，我国“鹊桥二号”卫星发射成功，多次调整后进入
周期为24h 的环月椭圆轨道运行，并与在月球上开展探测任务的“嫦娥四号”进行通讯测试。已知月球自
转周期27.3 天，下列说法正确的是（ ）
A．月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的中心位置
B．“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小相同
C．“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度
D．“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等
【答案】C
【详解】A．由开普勒第一定律可知，月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的一个焦点上，A 错误；
B．“鹊桥二号”在近月点距离月球最近，受到的万有引力最大，加速度最大；在远月点距离月球最远，
受到的万有引力最小，加速度最小，故“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小不相同，B 错误；
C．“鹊桥二号”在远月点的速度小于轨道与远月点相切的卫星的线速度，轨道与远月点相切的卫星的线
速度小于第一宇宙速度，故“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度，C 正确；
D．由开普勒第二定律可知，同一颗卫星与月球的连线在相同时间扫过的面积相等，但是“鹊桥二号”与
“嫦娥四号”是两颗轨道不同的卫星，相同时间扫过的面积不相等，D 错误。
故选C。
【变式1-1】（2024·江苏徐州·三模）战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、
火、土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道（ ）
A．恒星都是静止不动的
B．行星绕太阳做圆周运动
C．行星绕太阳运行的速率不变
D．各行星绕太阳运行的周期不同
【答案】D
【详解】A．恒星都是运动的。故A 错误；
B．根据开普勒第一定律可知行星绕太阳做椭圆运动。故B 错误；
C．根据开普勒第二定律可知行星绕太阳运行的速率与行星和太阳的距离有关。故C 错误；
D．根据开普勒第三定律可知，各行星绕太阳运行的周期不同。故D 正确。
故选D。
【变式1-2】（2024·广东·一模）如图所示为太阳系主要天体的分布示意图，下列关于太阳系行星运动规律
的描述正确的是（ ）
A．所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动
B．地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等
C．所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等
D．地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点
【答案】D
【详解】A.八大行星均在椭圆轨道上运动，太阳处于椭圆其中一个焦点上，故A 错误；
B.同一行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等，故B 错误；
C.开普勒第三定律的内容为
（
为常量），故C 错误；
D.D 项表达了开普勒第一定律（轨道定律）的内容，故D 正确。
故选D。
角度2：开普勒定律的应用
【典例2】（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道
如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点
到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（ ）
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速
度
C．小行星甲与乙的运行周期之比
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比
=
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A 错误；
B．根据
，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B 错误；
C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比
，故C 错误；
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比
≈
，故D 正确。
故选D。
【变式2-1】（2024·河南·模拟预测）如图所示，A、B、C 分别表示太阳、水星和地球，假设水星和地球在
同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，水星公转半径为r，地球公转半径为R，此时AB 与BC 垂直．水星的
公转周期为
，地球的公转周期为
，太阳质量为M，引力常量为G，所有天体均可视为质点，不考虑其
他天体的影响，下列说法正确的是（ ）
A．从地球上看，太阳和水星与眼睛连线所成角度的正弦值最大为
B．
年
C．水星与地球公转线速度之比为
D．太阳的质量可表示为
【答案】B
【详解】A．从地球上看，太阳和水星与眼睛连线所成角度的正弦值最大为
，故A 错误；
B．由开普勒第三定律可知，
，又知
年，联立解得，
年，故B 正确；
C．由
，得
，则
，故C 错误；
D．由
，可得
，故D 错误。
故选B。
【变式2-2】（2024·山东青岛·三模）天宫空间站是我国独立建设的空间站系统。空间站沿图中椭圆轨道逆
时针运行，图表是空间站现阶段的运行参数。已知
、
是椭圆轨道短轴的两个端点，月球的公转周期
为27 天。下列说法正确的是（ ）
国籍
中国
轨道参数
长度55m
近心点
高度
350km
加压空间体积
远心点高
度
450km
空载质量
110 吨
轨道倾角
42°
载人上限
6
轨道周期
90min
A．空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积相等
B．空间站从
点运行到
点的最短时间小于45 分钟
C．月球绕地球运行的轨道半长轴约为空间站绕地球运行轨道半长轴的18 倍
D．空间站在远心点的速度一定大于7.9km/s
【答案】B
【详解】A．空间站和月球不是同一物体，运行轨道不同，则空间站与地心连线和月球与地心连线在相等
时间内扫过的面积不相等，故A 错误；
B．根据开普勒第二定律，空间站距离地球越近，速度越大，所以空间站从
点运行到
点的时间小于半
个周期，即小于45 分钟，故B 正确；
C．根据
，得
，故C 错误；
D．7.9km/s 是第一宇宙速度，是贴着地球表面做匀速圆周运动的速度，根据
，
轨道半径越大，线速度越小，空间站在远心点的速度一定小于7.9km/s，故D 错误。
故选B。
考向2 万有引力定律的理解和应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心
力，另一个分力等于重力．
（1）在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
（2）除两极外，物体的重力都比万有引力小；
（3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和mg 刚好在一条直线上，则有F＝F 向＋mg，所以
mg＝F－F 向＝－mRω
2．星体表面上的重力加速度
（1）在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）；mg＝G，得g＝.
（2）在地球上空距离地心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝，
所以＝.
角度1：万有引力的理解
【典例3】（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相
同。图中a、b 和c 处单位质量的海水受月球引力大小在（ ）
A．a 处最大
B．b 处最大
C．c 处最大
D．a、c 处相等，b 处最小
【答案】A
【详解】根据万有引力公式
，可知图中a 处单位质量的海水收到月球的引力最大；
故选A。
【变式3-1】（2024·江苏·模拟预测）潮汐是发生在沿海地区海水周期性涨落的一种自然现象，主要是受月
球对海水的引力而形成，导致地球自转持续减速，同时月球也会逐渐远离地球。如图所示，已知地球和月
球的球心分别为O 和OꞋ，A 和B 是地球上的两个海区，多年后，下列说法正确的是（ ）
A．海区A 的角速度小于海区B 的角速度
B．地球赤道上的重力加速度会增大
C．月球绕地球做圆周运动的加速度会增大
D．地球的同步卫星距离地面的高度会减小
【答案】B
【详解】A．根据题意可知，A 和B 是地球上的两个海区，角速度与地球自转角速度相同，则海区A 的角
速度等于海区B 的角速度，故A 错误；
B．根据题意，对地球赤道上的物体有
，地球自转持续减速，周期
变大，可得，地
球赤道上的重力加速度会增大，故B 正确；
C．由万有引力提供向心力有
，由于月球逐浙远离地球，增大，则月球绕地球做圆周运动的
加速度会减小，故C 错误；
D．
，解得
，由于地球自转周期变大，则地球的同步卫星距离地面
的高度会增大，故D 错误。
故选B。
【变式3-2】（2024·四川绵阳·一模）1994 年发生了苏梅克-列维9 号彗星与木星相撞事件，由于强大的引
力潮汐效应，相撞前彗星被撕裂为二十几块。如图所示的简化模型能解释引力潮汐效应。质量分布均匀的
球状行星半径为R、密度为ρ，两质量均为m 的球体可视为质点，固定在长为L 的轻质细杆两端。两球体
在行星引力作用下自由下落，杆一直沿竖直方向，某时刻下端球体与行星表面间距离为h，忽略两球间的
万有引力。关于杆上张力F 随上述中的一个物理量变化的情况，下列说法正确的是（ ）
A．L 越大，F 越小 B．ρ 越大，F 越小
C．m 越大，F 越小
D．h 越大，F 越小
【答案】D
【详解】设行星质量为
，有
，对杆下端的球体有
对杆上端的球体有
，得
可知L 越大，F 越大，A 错误；ρ 越大，
越大，F 越大，B 错误；m 越大，F 越大，C 错误；h 越大，F 越
小，D 正确。
故选D。
角度2：空壳及地表下的万有引力
【典例4】（23-24 高三下·山东·开学考试）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地
球是一质量分布均匀的球体，半径为R。若在地球内部修一条距离地心O 点半径为r 的圆管形轨道，轨道
的内径远小于r。可视为质点的物体以速率v 在轨道内做匀速圆周运动，且与轨道无相互作用，已知地球表
面的重力加速度为g，则物体的速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设地球的密度为
，在地球表面处有
，其中
物体以速率v 在轨道内做匀速圆周运动，且与轨道无相互作用，则有
，其中
联立解得物体的速率为
，故选A。
万有引力的“两点理解”和“两个推论”
1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
3．万有引力的两个有用推论
（1）推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF 引＝0.
（2）推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体
（M′）对其的万有引力，即F＝G.
【变式4-1】（2022·新疆·一模）上世纪70 年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来
最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d 时，井底一个质量为m 的小球与地球之间的万有
引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为
M，万有引力常量为G，则F 大小等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d 球壳两部分，球壳对小球的引力为零
则F 等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有
设半径为（R－d）球的质量为
，由密度公式得，
，所以
解得，F 的大小为
，B 正确，ACD 错误。
故选B。
【变式4-2】（2023·贵州·模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质
量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x 表示某位置
到该星球球心的距离，用g 表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g 与x 的关系图像
可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
，设地球的密度为
，距地球球心
处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为
，可得
当
，设地球的密度为
，地球半径为
，距地球球心
处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系
为
，可得
故选A。
考向3 天体质量和密度的估算
1. 自力更生法
利用天体表面的重力加速度g 和天体的半径R
（1）由=mg 得天体的质量M＝
（2）天体密度
（3）黄金带换算：
2. 借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T。
（1）由G＝mr 得天体的质量M＝
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度
（3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体的密度ρ＝，可见，只要测出
卫星绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心体的密度。
角度1：计算中心天体的质量和密度
【典例5】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，
引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设月球半径为
，质量为
，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
月球的体积
，月球的平均密度
，联立可得，
故选D。
计算中心天体的质量、密度时的两点区别
1. 利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量时，并非环绕
天体的质量。
2. 区别天体半径R 和卫星轨道半径r，只有在天休表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体体密度时，
中的R 只能是中心天体的半径。
3. 卫星绕天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
开，理论上
已知其中的两个量(如:v 和r、和r、T 和r)都可求出天体质量，只是周期比较容易获得，故用周期求天体质
量最常用
【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）如图所示为NASA“露西号”（Lucy）飞船探访的一颗名为Dinkinesh
小行星的照片。这张照片给科学家们带来一个惊喜：他们发现，这颗Dinkinesh 小行星的平均半径R 只有
大约800 米，是名副其实的小行星，就是这样小的行星竟然还有一个小不点跟班：一颗微小的卫星。该微
卫星的平均半径r 只有大约200 米，几乎紧挨着Dinkinesh 小行星表面做圆周运动，观测到微卫星的环绕周
期为T，小行星没有自转，把小行星和它的卫星均看成是密度均匀的球体，已知引力常量为G，则小行星
的平均密度约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由万有引力定律及牛顿第二定律得，
解得行星的质量，
，则行星的密度，
故选C。
【变式5-2】（多选）（2024·山西朔州·模拟预测）根据我国载人登月工程规划，我国有可能在近几年内实
现航天员登月。若航天员在月球表面附近高h 处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移
大小为L。已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度
B．月球的质量
C．月球的平均密度
D．月球的第一宇宙速度
【答案】ABC
【详解】A．根据平抛运动规律有
，
，解得
，故A 正确；
B．在月球表面，万有引力等于重力，则有
，又
，解得
，故B 正
确；
C．根据上述解析及物体密度公式可得，
，故C 正确；
D．根据万有引力提供向心力，则有
，解得
，故D 错误。
故选ABC。
角度2：已知近地表运行周期求密度
【典例6】（23-24 高三上·辽宁沈阳·期中）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同
学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列
计算火星密度的公式错误的是（引力常量G 已知，忽略火星自转的影响）（ ）
火星-Mars
火星的小档案
直径d=6779km
质量M=6.4171×1023kg
表面的重力加速度g0=3.7m/s2
近地卫星的周期T=3.4h
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设近地卫星的质量为
，火星的质量为
，对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动
的向心力，则有
，可得
可得火星的密度为
，将
，代入上式可得
又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有
，解得
因此火星的密度为
，故ACD 正确，B 错误。
此题选择错误选项，故选Ｂ。
【变式6-1】（23-24 高三上·湖南·阶段练习）中子星是一种密度很大的特殊天体。若某中子星恰好能维持
不解体，其自转的周期为T，已知引力常量为G，则中子星的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当中子星恰好能维持自转不解体时，万有引力充当向心力
，又
，
解得，
故选B。
【变式6-2】若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有
时间会经历
“日全食”过程，如图所示，已知引力常量为G，太阳光可看作平行光，则地球的平均密度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设地球质量为M，飞船运动半径为r，对飞船研究可知，
，解得
由几何关系可知，
，则地球密度
，
，解得
，故选C。
角度3：根据已知量计算天体的质量
【典例7】（2023·安徽·模拟预测）有一部关于星际大战的电影，里面有一个片段，位于与地球类似的星球
的“赤道”的实验室里，有一个固定的竖直光滑圆轨道，内侧有一个小球恰能做完整的圆周运动，一侧的
仪器数据显示：该运动的轨道半径为r，最高点的速度为v。若真存在这样的星球，而且该星球的半径为
R，自转可忽略，万有引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．该星球的质量为
B．该星球的质量为
C．该星球的第一宇宙速度为
D．该星球的近地卫星速度为
【答案】A
【详解】AB．在该运动的轨道的最高点，该星球上的重力提供向心力有
，在该星球表面，万有引
力等于重力，则有
，联立可得，该星球的质量为
，故A 正确，B 错误；
CD．在该星球表面，万有引力提供向心力有
，则该星球的第一宇宙速度为
，故CD
错误。
故选A。
【变式7-1】（2023·河北保定·三模）假定在未来太空探测过程中，宇航员乘飞船来到了
星球，飞船在绕
星球做半径为的圆周运动时，飞船与
星球中心的连线在单位时间内扫过的面积为
。若已知一颗绕
地球做半径为的圆周运动的卫星，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为
，则
星球与地球的质
量之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
，联立解得
，则X 星球与地球质量之比为
故选A。
【变式7-2】（2023·陕西商洛·一模）过去几千年中，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星
“51Pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51Pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4
天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的
，已知太阳的质量约为
，则该中心恒星的质量约为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据万有引力提供向心力可得
，可得
故所求中心恒星与太阳的质量之比为
所以该中心恒星的质量
，故选A。
考向4 双星或多星模型
1. 双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ω1
2r1，＝m2ω2
2r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期
相同．
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图3 甲所示)．
②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运
动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O 做匀速圆周运
动(如图丁所示)．
角度1：双星模型及计算
【典例8】（多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线
上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太
阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心
和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M 和m，航天器的质
量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r <<
R），在L2点的航天器绕O 点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似
]
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】AB．设太阳和地球绕O 点做圆周运动的半径分别为
、
，则有
，
，r1＋r2 = R，联立解得
，故A 错误、故B 正确；
CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有
再根据选项AB 分析可知，Mr1 = mr2，r1＋r2 = R，
，联立解得
，故C
错误、故D 正确。
故选BD。
【变式8-1】（2023·江西赣州·二模）一个由恒星A 和B 组成的双星系统，现在它们间的距离为L，并以两
者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，运动周期为T。已知恒星A 的质量小于恒星B 的，引力常量为
G，则（ ）
A．A 的质量为
B．A 做圆周运动的半径比B 的小
C．A 做圆周运动的线速度比B 的大D．若恒星A、B 间的距离缓慢减小，则它们转动周期缓慢变大
【答案】C
【详解】AB．设恒星A 的质量为
，恒星B 的质量为
，恒星A 做匀速圆周运动的半径为
，恒星B
做匀速圆周运动的半径为
，根据万有引力提供向心力可得，
，
联立可得
，
由于恒星A 的质量小于恒星B 的，则有
，故AB 错误；
C．根据
，由于
，可得
，故C 正确；
D．根据
，若恒星A、B 间的距离缓慢减小，则它们转动周期缓慢变小，故D 错误。
故选C。
【变式8-2】（2024·广西柳州·三模）我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团M13 中发现一个脉冲
双星系统。如图所示，由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点各自做匀速圆周运动，经观测
可知恒星A 与B 的距离为L，恒星B 的运行周期为T，引力常量为G，则恒星A 与B 的总质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】恒星A 与恒星B 组成的双星系统具有相同的周期，根据万有引力提供向心力有
，
，
，联立解得
故选A。
角度2：三星模型及计算
【典例9】（多选）（2023·云南昆明·模拟预测）如图所示，有三颗质量都为
的恒星
在一条直
线上，其中两颗恒星
绕恒星
在同一半径为的轨道上做匀速圆周运动，忽略其他星体对这三颗恒星
的影响，则（万有引力常量为
）（ ）
A．恒星
和恒星
做圆周运动的向心加速度相同B．恒星
和恒星
做圆周运动的周期相同
C．恒星
所受合外力为
D．恒星
所受合外力为
【答案】BC
【详解】A．恒星
和恒星
做圆周运动的向心加速度方向不相同，故A 错误；
B．有三颗质量都为
的恒星
在一条直线上，其中两颗恒星
绕恒星
在同一半径为的轨
道上做匀速圆周运动，所以恒星
和恒星
做圆周运动的周期相同，故B 正确；
CD．恒星
所受合外力为
，故C 正确D 错误。
故选C。
【变式9-1】据中国新闻网报道，2021 年11 月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星
表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，
一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示。
如果两颗小星间的万有引力大小为F，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，则下列说法中正确的
是（ ）
A．母星受到的合力大小为（
）F
B．每颗小星受到的合力大小为（
）F
C．母星的质量是每颗小星质量的
倍
D．母星的质量是每颗小星质量的2 倍
【答案】D
【详解】A．母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，母星受到的三个力大小相等，夹角均为120°，
故根据合成可知，母星受到的合力为零，故A 错误；
B．根据受力分析可知，每颗小星受到其余两颗小星和一颗母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，
即每颗小星受到的万有引力为
，故B 错误；
CD．假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，等边三角形的边长为a，则小星绕母星运动轨道半径为
根据万有引力定律，两颗小星间的万有引力为
，母星与任意一颗小星间的万有引力为
，解得母星的质量是每颗小星质量的2 倍。故D 正确C 错误。
故选D。
【变式9-2】（2024·广西·模拟预测）宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统
如图所示，三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的
引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是
（ ）
A．每颗星体做圆周运动的线速度为
B．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L 和每颗星体的质量m 都变为原来的2 倍，则周期变为原来的4 倍
D．若距离L 和每颗星体的质量m 都变为原来的2 倍，则线速度大小不变
【答案】D
【详解】A．任意两颗星体之间的万有引力
，每一颗星体受到的合力为
由几何关系知：它们的轨道半径为
，合力提供它们的向心力
，联立解得
，
故A 错误；
B．根据
，得
，故加速度与它们的质量有关，故B 错误；
C．根据
，解得
，若距离
和每颗星体的质量
都变为原来的2 倍，则周期
变为原来的2 倍，故
错误；
D．根据
，可知，若距离
和每颗星体的质量
都变为原来的2 倍，则线速度不变，故D 正确。
故选D。
1．（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24 小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地
球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】“鹊桥二号”中继星在24 小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律
同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律
又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以
，联立可得
故选D。
2．（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星
GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07 倍，周期约为0.06 年，则这颗红矮星的质量约为
太阳质量的（ ）
A．0.001 倍
B．0.1 倍
C．10 倍
D．1000 倍
【答案】B
【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，
到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有
，
，联立可得
由于轨道半径约为日地距离的0.07 倍，周期约为0.06 年，可得
故选B。
3．（2024·全国·高考真题）2024 年5 月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回
之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体
加速度约为地球表面自由落体加速度的
。下列说法正确的是（ ）
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
【答案】D
【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A 错误；
BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由
落体加速度约为地球表面自由落体加速度的
，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样
品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B 错误，D 正确；
C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C 错误。
故选D。
4．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所
示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k 倍，则地球与
太阳的平均密度之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据
可得
，
其中
，
，联立可得
故选D。
5．（2023·山东·高考真题）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地
球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足
。已知地月之间的距离r 大约是地球半径的60 倍，
地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有
月球绕地球公转有
，r = 60R，联立有
故选C。
6．（2023·全国·高考真题）2023 年5 月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg 的
物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀
速圆周运动。对接后，这批物资（ ）
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
【答案】D
【详解】A．物体在低速（速度远小于光速）宏观条件下质量保持不变，即在空间站和地面质量相同，故
A 错误；
BC．设空间站离地面的高度为h，这批物资在地面上静止，跟地球一起自转，合力很小近似为零，在空间
站所受合力为万有引力即
，在地面受地球引力为
，因此有
，故BC 错误；
D．物体绕地球做匀速圆周运动万有引力提供向心力
，解得
这批物质在空间站内的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，因此这批物质的角速度大于同步卫星的角速
度，同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，即这批物质的角速度大于地球自转的角速度，故D 正确。
故选D。
一、单选题
1．（2024·河南·一模）若两颗人造卫星
绕地球做匀速圆周运动，
到地心的距离之比为
，忽
略卫星之间的相互作用。在时间内，卫星
与地心连线扫过的面积为
，卫星
与地心连线扫过的面积
为
，则
与
的比值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据
，可知
则卫星在时间t 内与地心的连线扫过的面积为
，则
故选D。
2．（2024·云南曲靖·一模）今年的学校运动会，高三（3）班的小明参加跳高比赛，成绩为1.50m，若将他
跳高的上升运动视为竖直上抛运动，如果小明以与在地球上相同的初速度在月球上起跳，已知月球的半径
大约是地球半径的
，质量是地球质量的
，忽略月球的自转影响，则小明能达到的最大高度大约为（
）
A．1m
B．4m
C．8m
D．16m
【答案】C
【详解】设地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，黄金代换式
已知月球的半径是地球半径的
，质量是地球质量的
，则月球表面的重力加速度是地球表面的重力加速
度的
，即
g，运动员以初速度
在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出运动员可跳起的最大高
度
由于月球表面的重力加速度是
g，运动员以相同的初速度在月球上起跳时，可跳起的最大高度
，只有选项C 接近。
故选C。
3．（2024·贵州·一模）如图所示，点L1和点L2称为地月连线上的拉格朗日点。在拉格朗日点处的物体在
地球与月球的共同作用下，可与月球同步绕地球转动。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首
颗运行于地月拉格朗日点L2的通信卫星，已知地球质量是月球质量的81 倍，地月球心距离约为L2点与月
球球心距离的6 倍，则地球对“鹊桥号”中继卫星的引力与月球对“鹊桥号”中继卫星的引力大小之比约
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由万有引力定律
及题设条件可知所求两个引力的大小之比约为
故选B。
4．（2024·河南·模拟预测）木星有79 颗卫星，其中木卫三是太阳系中已知的唯一一颗拥有磁圈和一层稀
薄的含氧大气层的卫星，这引起了科学家的高度重视。若木卫三绕木星做匀速圆周运动的半径为r，周期
为T，木星表面的重力加速度为g，木星的半径为R，引力常量为G，忽略木星的自转及卫星之间的相互作
用力，则下列说法正确的是（ ）
A．木星的质量为
平均密度为
B．木星的质量为
平均密度为
C．木卫三的质量为
平均密度为
D．木卫三的质量为
平均密度为
【答案】B
【详解】木星表面的重力加速度为
，木星半径为
，由
得木星质量
木星的平均密度
木卫三绕木星做匀速圆周运动的半径为，周期为
，由
得木星的质量
则木星的平均密度
故选B。
5．（2024·河北邯郸·三模）已知质量均匀分布的球壳对球壳内部的质点的万有引力为零。如图所示，在地
球北纬60°的A 处凿开一个穿过地轴的直线隧道，直通北纬60°的B 处，假设隧道光滑，现将一个质量为m
的物体在A 处无初速度释放，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转。下列说法正确
的是（ ）
A．物体在隧道内做匀变速直线运动
B．刚释放时物体的加速度大小为
C．物体在隧道内的最大速度为
D．物体从A 点运动到B 点的时间为
【答案】B
【详解】A．如图所示
设地球密度为ρ，在地球表面有
，所以
设物体运动过程中距离地心为r，则
，所以
设物体运动过程中与地心的连线与OC 的夹角为θ，物体到C 点的距离为x，则
则
所以物体所受万有引力沿隧道方向的分力为
，即F 与x 成正比，小球在隧道内做简
谐运动，故A 错误；
B．刚释放时物体所受万有引力沿隧道方向的分力大小为
故物体的加速度大小为
，故B 正确；
C．由以上分析可知，当物体运动到C 点时，加速度为零，速度达到最大，根据动能定理可得
解得
，故C 错误；
D．由简谐运动的知识可知，物体从A 运动到B 的时间是周期T 的一半，即
，
，
所以
，故D 错误。
故选B。
6．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图1 所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O 相距2R 的P
处有一质量为m 的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为
的小球体（球心
在OP 连线上，右端位于O 点），如图2 所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得
则小球体的质量
球体对该质点的万有引力大小
故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小
，解得
故选C。
7．（2024·贵州贵阳·三模）亚地球行星GJ367b 是一颗超轻、超快的系外行星，该行星的半径为地球半径
的72%，质量为地球质量的55%。若取
，则该行星的表面重力加速度约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在星球表面有
，则
该行星的表面重力加速度约为
，故选B。
二、多选题
8．（2024·湖南·三模）某同学非常适合当一名宇航员，心中也一直憧憬着航天梦，设想着若干年后，登上
另一星球，在该星球表面做一单摆实验。已知该星球半径为R，单摆实验摆长为L，实验时用积累法测了n
次全振动的时间为t，不计阻力，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．该同学的设想没法实现，因为离开地球后不能做单摆实验
B．若忽略该星球的自转，根据已知条件可估算该星球的平均密度为
C．在该星球表面发射卫星时，需要的最小发射速度为
D．若摆球实验时，θ=60°，如图所示，从此处静止释放后经最低点时的速度大小为
，则该星球表面
附近重力加速度为
【答案】BD
【详解】A．在另一星球上是能够做单摆实验的，与在地球表面类似，A 错误；
B．单摆周期
，又
忽略自转时，表面一质量为
的物体有
星球体积
，密度
，联立求得
，B 正确；
C．卫星贴近星球表面做匀速圆周运动速度至少为，则
该星球表面发射卫星时需要的最小发射速度为
，C 错误；
D．摆角较大时，由机械能守恒有
，解得
D 正确。
故选BD。
9．（2023·辽宁大连·二模）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m 的列车不需要引
擎，从入口的A 点由静止开始穿过隧道到达另一端的B 点，
为隧道的中点，
与地心O 的距离为
，假设地球是半径为R 的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影
响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P 点到
的距离为x，则（ ）
A．列车在隧道中A 点的合力大小为mg
B．列车在P 点的重力加速度小于g
C．列车在P 点的加速度
D．列车在P 点的加速度
【答案】BD
【详解】A．列车在隧道中A 点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示
则有
，
，
，解得
，A 错误；
B．由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，则在P 点有
由于质量均匀分布，则有
，解得
，B 正确；
CD．令
，根据上述，则有
，
，解得
，C 错
误，D 正确。
故选BD。
10．（2024·广西玉林·模拟预测）天文学家于2024 年1 月6 日发现了小行星2024AE1，对其跟踪观察并完
善其轨迹发现，小行星2024AE1 的直径约为
，质量
，运动轨迹为抛物线，它将会在2025
年7 月4 日与地球擦肩而过。把地球看作半径为R 的匀质球体，忽略地球的自转，地球表面的重力加速度
大小为g，预计小行星2024AE1 距地心为
时的速度大小为
，方向与它和地心连线所成的角为
，如图所示。已知小行星2024AE1 的引力势能
，式中r 为行星2024AE1 到地心的距离，小行
星2024AE1 与地心的连线在任意相等时间内扫过的面积相等，忽略其他天体的影响，据此可推测出
（ ）
A．小行星2024AE1 与地心的连线在单位时间内扫过的面积为
B．小行星2024AE1 距地球表面的最小距离为
C．小行星2024AE1 的最大速度为
D．小行星2024AE1 的最大加速度为
【答案】AD
【详解】A．小行星与地心的连线在单位时间内扫过的面积为
，故A 正确；
BC．小行星与地球最近时，此时加速度及速度均达到最大，由机械能守恒定律有
由于小行星与地心的连线在单位时间内扫过的面积相等，则有
解得
，
，故BC 错误；
D．忽略地球自转时，地球表面物体所受万有引力等于重力，则有
小行星到地心的距离为
时，由牛顿第二定律可得
，解得
故D 正确。
故选AD。
三、解答题
11．（2024·河南郑州·三模）已知某天体半径为地球半径的
、质量为地球质量的
。如图所示，该天体
表面竖直固定一内壁光滑的弹射器
，长度
，弹射器与四分之一光滑圆弧轨道
相切，圆弧轨
道半径
。弹射器内有一轻质弹簧，质量为
的小球向下压缩弹簧并被锁定，锁定位置距
离管道底部高度为
，此时弹簧的弹性势能
。现解除锁定，小球被弹出后进入圆弧轨道。已
知小球可看做质点，弹射器粗细可忽略不计，地球表面重力加速度大小为
，求：
（1）小球运动到轨道最高点
时对轨道的压力大小；
（2）小球落地点距弹射器底端的水平距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）在地球表面
在火星表面
小球从解除锁定运动到
点，由机械能守恒定律
在
点对小球受力分析，由牛顿第二定律
，联立解得
根据牛顿第三定律，小球运动到
点时对轨道的压力大小为8N。
（2）小球从
点飞出后做平抛运动
，
小球落地点距竖直管道底端的水平距离
，解得
12．（2024·湖南·三模）目前我国航天事业正处在飞速发展时期，对于人造卫星的发射，曾经有人提出这
样的构想：沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨道，在通道的两个出口分别将一物体和待测卫星
同时释放，利用两者碰撞（弹性碰撞）效应，就可以将卫星发射出去，已知地表重力加速度
，地球半径
R。物体做简谐运动的周期
，m 为物体的质量，
为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的
位移大小之比。
（1）如图1 所示，设想在地球上距地心h 处挖一条光滑通道AB，从A 点静止释放一个质量为m 的物体，
求物体通过通道中心
的速度大小，以及物体从A 运动到B 点的时间（质量分布均匀的空腔对空腔内的物
体的万有引力为零）
（2）如图2 所示，若通道已经挖好，且
，如果在AB 处同时释放两个物体，物体质量分别为M 和
m，他们同时到达
点并发生弹性碰撞，要使小物体飞出通道口速度达到第一宇宙速度，M 和m 应该满足
什么关系？
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）质点在距离球心r 处所受到的引力为
故引力在AB 通道方向分力为（设向右为正方向）
该力与
成正比，故物体做简谐运动，由引力表达式知
在地表万有引力近似等于重力知
，则
物体从A 运动到B 点的时间为
从A 到
点，由动能定理可得
，代入得
（2）由（1）可知，物体到达
点速度均为
碰撞中满足动量守恒，则
根据机械能守恒知
，代入得
返回出口过程中
，代入得
由题意可知
，即
代入得，
13．（2024·北京石景山·一模）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小
段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲
线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做
A 点的曲率圆，其半径r 叫做A 点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效
的圆周运动来分析和处理。
（1）氢原子核外的电子绕核做匀速圆周运动，其周期为T。已知电子的电荷量为e，质量为m，静电力常
量为k，求电子运动的轨道半径R。
（2）将一物体沿与水平面成α 角的方向以速度v₀ 抛出，如图（b）所示。已知重力加速度为g，求其轨迹
最高点P 处的曲率半径r。
（3）开普勒根据第谷的行星观测记录结合数学知识发现，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等
的时间内扫过的面积相等。如图（c）所示，卫星绕地球沿椭圆轨道运动。卫星在椭圆轨道的近地点P 的
速度为v₁，近地点 P 到地心的距离为R；在远地点Q 的速度为v₂，远地点Q 到地心的距离为r。一兴趣小
组的同学根据开普勒定律结合数学知识得到
请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结
论。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）根据库仑定律和牛顿第二定律
解得电子运动的轨道半径
（2）小球在最高点的速度为v₀cosα，根据牛顿第二定律
， 解得曲率半径
（3） 卫星在椭圆轨道上运行，由椭圆的对称性，近地点P 和远地点Q 的等效圆周运动的半径相等，设为
l，根据万有引力定律和牛顿第二定律，卫星在近地点时
卫星在远地点时
， 解得
