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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块四：曲线运动模块大招
第03 讲 斜面平抛及半圆平抛模型
（解析版）
目录
【内容一】 沿着斜面平抛模型..........................................................................................................................1
【内容二】 垂直撞斜面平抛运动模型..............................................................................................................2
【内容三】 撞斜面平抛运动中的最小位移问题模型......................................................................................3
【内容四】 半圆模型的平抛运动模型..............................................................................................................4
【内容五】 平抛与圆相切模型..........................................................................................................................5
斜面平抛包括三类模型：
内容一：沿着斜面平抛
①斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
，
，
，
可求得
②斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，
，同一个斜面同一个
，所以，无论平抛初速度大小
如何，落到斜面速度方向相同。
③.与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
1
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计算方法：如图所示，从倾角为θ 的斜面上的
点以初速度
水平抛出一个物体，物
体落在斜面上的
点，不计空气阻力．
方法1：① 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为
轴，垂直于斜面方向为
轴，建立
坐标系，如图所示
，
，
，
.
物体沿斜面方向做初速度为
、加速度为
的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初
速度为
、加速度为
的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令
，即
②当
时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间
，
间距离
方法2：①如图所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，
的切线反向延长与
交点为此时横坐标的中点
，
2
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则
.
②
，而
，所以
，
间距离
.
方法3：①设物体运动到
点离斜面最远，所用时间为，将
分解成
和
，如图
所示，则由
，得
.
②设由
到
所用时间为
，水平位移为
，竖直位移为
，如图所示，由图可得
，
由上式得：
而
，
因此
间的距离
.
内容二：垂直撞斜面平抛运动
3
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方法：分解速度．
，
，
，可求得
.
底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
内容三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题
过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的
点时，位移最小，设运动的时间为，则
水平方向：
竖直方向：
，解得
.
内容四：半圆模型的平抛运动
①在半圆内的平抛运动( 如图) ，由半径和几何关系制约时间
，
4
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，联立两方程可求。
②或借助角度
，分解位移可得：
，联立两方
程可求或
。
内容五：平抛与圆相切模型
几何关系：
例题演练
例1．如图所示，从斜面上的a、b、c 三点水平抛出三个相同的小球，三个小球均落在
斜面上的d 点，已知
，则从a、b、c 抛出的小球，下列说法正确的是
（ ）
A．从a 抛出的球落到d 点时速度与水平方向的夹角最大
B．三球下落过程的动量变化量之比3：2：1 C．小球离斜面的最大距离之比为3：
2：1
D．三球到达d 点前重力的瞬时功率之比为9：4：1
解：小球离开斜面后做平抛运动，设小球做平抛运动的时间为t，小球抛出点到落点的
5
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距离为s，则水平方向有
竖直方向有
联立解得运动的时间为
落在d 点前瞬间速度为
设小球落在斜面上时速度的方向与水平方向的夹角为
，则有
则可得
与水平方向的夹角相等；由于
三小球从抛出到落在d 点时的位移之比为
则空中运动时间之比为
初速度大小之比为
将初速度进行分解可得，垂直于斜面方向的速度为
垂直于斜面方向的加速度为
由于垂直于斜面小球做匀减速直线运动，则有
所以小球离斜面的最大距离为
故小球离斜面的最大距离之比为9：4：1；
动量变化量为
根据功率公式可得
由于落在d 点前瞬间的速度大小之比为
三球到达d 点前重力的瞬时功率之比为
ACD 错误，B 正确。故选
B。
例2．足够长的斜面AB，其倾角为
，如图甲所示，一小球以不同初速度
从板的A
端水平抛出，经过时间t 落在斜面上，得到
图线如图乙所示，则
图线斜率为
（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
解：小球做平抛运动，竖直方向有
水平方向有
由几何关系得
整理得
可知
图线斜率为
。故选C。
例3．如图所示是倾角θ=45°的斜坡，小明在在斜坡底端P 点正上方高h=1.35m 的Q 点
以速度v0水平向左抛出一个小球A，小球A 恰好能以垂直斜坡的速度落在斜坡上，小
球被反弹后，速度大小变为原来的0.8 倍，再次到达最高点时被小明接住，不计空气阻
力和碰撞时间，g 取10m/s2，则小球在空中的运动时间为（ ）
A．0.30s
B．0.54s
C．0.60s
D．0.24s
解：设小球A 垂直落在斜面上时的速度为v，平抛运动的水平位移为x，竖直位移为
y；小球B 自由落体运动下落高度为h，对小球A 将其末速度v 按水平方向和竖直方向
分解，如图所示：
则竖直方向有
，
且
水平方向有
，
即为
且
代入数据联立解得
反弹后速度为
7
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竖直分速度为
到最高点的时间为
小球在空中的运动时间为
故选B。
例4．如图，甲、乙两同学在同一山坡上滑雪的过程，可视为从A 处开始做平抛运动，
分别落在B、C 两处（B 在C 的上方）。则下列说法错误的是（ ）
A．落在B 处的同学的落地速度一定小于落在C 处同学的落地速度
B．落在B 处的同学空中运动时间一定小于落在C 处同学在空中运动时间
C．两同学落在斜坡上的速度方向一定平行
D．落在C 处的同学的动能一定大于落在B 处同学落地时的动能
解：A．根据
，
运动时间
水平速度
所以落在B 处的同学的初速度和运动时间均小，则落地速度
一定小于落在C 处同学的落地速度，故A 正确，不符合题意；
B．落在B 处的同学空中运动时间一定小于落在C 处同学在空中运动时间，故B 正确，
不符合题意；
C．根据平抛运动速度偏转角正切值是位移偏转角正切值的2 倍，可知，两同学末速度
与水平夹角相同，而同一斜面倾角相同，则两同学落在斜坡上的速度方向一定平行，
故C 正确，不符合题意；
D．因为质量关系未知，故动能不能确定，故D 错误，符合题意。故选D。
例5．如图所示，质量为m 的小球，从高为H 的O 处，以初速度v0水平抛出，落在高
为h，倾角为θ 的斜面上，落点为P 点，OP 与水平方向夹角大于θ，空气阻力不计。
下列说法正确的是（ ）
A．若只增大小球质量，则小球落到P 点的下方
8
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B．若只将小球抛出点水平右移，平抛运动时间变短
C．若只增大初速度v0，小球刚落到斜面上时速度方向保持不变
D．若只降低小球的抛出高度H，则小球有可能无碰撞地进入斜面
解：A．平抛的物体只受重力，其加速度都为重力加速度
，则增大小球质量，加速度
不变轨迹不变，则小球仍落到P 点，故A 错误；
B．若只将小球抛出点水平右移，假设竖直位移仍是原来的高度，水平位移不变，落点
将在P 点右侧，实际竖直高度变大，由
可知平抛运动时间变长，故B 错误；
C．若只增大初速度v0，落点在P 点右侧，因位移偏向角不同且不等于斜面倾角
，则
其速度偏向角不同，故小球刚落到斜面上时速度方向不同，故C 错误；
D．只降低小球的抛出高度H，则小球的速度可以和斜面平行，则有可能无碰撞地进入
斜面，故D 正确；故选D。
例6．如图所示，质量相等的a、b 两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等
的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是
其竖直高度的2 倍，若小球a 能落到半圆轨道上，小球b 能落到斜面上。则下列说法
不正确的是（ ）
A．a 球可能垂直打在半圆轨道 B．a、b 两球的速度偏转角可能相同
C．a、b 两球在空中时，单位时间内速度变化量相等
D．b 球以
抛出与以
抛出落在斜面上时速度偏转角一定相等
解：A．球如果能垂直打在半圆轨道上，则速度反向延长线过圆心，故A 选项是不正
确的。
B．a、b 两球可能落在等高且距离抛出点水平位移相等的位移处，时间相等，速度偏
转角相同，选项B 正确；
C． a、b 两球加速度相同，单位时间内速度变化量相等，选项C 正确；
D．b 球落在斜面上，根据
则速度偏转角
也相同，选项
D 正确。此题选择不正确的，故选A。
例7．如图所示，1、2 两个小球以相同的速度v0水平抛出，球1 从左侧斜面抛出，经
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过t1时间落回斜面上，球2 从某处抛出，经过t2时间恰能垂直撞在右侧的斜面上。已知
左、右两侧斜面的倾角分别为
=30°、
=60°，则（ ）
A．t1:t2=1:1
B．t1:t2=2:1
C．t1:t2=3:1
D．t1:t2=1:3
解：由题意可得，对球1 有
对球2，有
联立解得
ACD 错误，B 正确。故选B。
例8．在倾角为
足够长的斜面上，从A 点以
的速度水平抛出一小球，小球落在
B 点，如图所示，则以下说法正确的是（g 取
）
（ ）
A．小球在空中飞行时间为
B．A、B 两点距离为
C．小球在空中飞行
时距斜面最远
D．若初速度增大为
，当小球落到
斜面上时速度与水平方向的夹角变小
解：A．小球落在B 点，其位移方向与水平方向的夹角为
，则
得小球在空中间
故A 错误；
B．小球落在B 点，其水平位移为
则A、B 间的距离
故B 错误；
C．当小球的速度方向和斜面平行的时候距离斜面最远，则有
解得
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故C 正确；
D．由于斜面足够长。所以小球一定落到斜面上，当速度增大时，位移与水平方向的
夹角与之前相同。根据平抛运动的规律，速度与水平方向的夹角也与之前相同，故D
错误。故选C。
例9．如图所示，从倾角为
的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，
小球均落在斜面上。当抛出的速度为
时，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角
为
，下落高度为
；当抛出速度为
时，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角
为
，下落高度为
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．无论
、
关系如何，均有
D．若
，则
解：ABC．小球的位移与水平方向的夹角等于斜面的倾角，即
设小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为
，则
所以只要小球落到斜面上，速度方向与水平方向上的夹角都相同，故C 正确，AB 错误；
D．由几何关系可得
化简得
所以
即
D 错误。
故选C。
例10．如图所示，一小山由两个斜坡组成，左、右侧斜坡的倾角分别为53°和37°，熊
大从山顶将一石块向左水平抛出，熊二从山顶将另一石块向右水平抛出，两石块都落
在斜坡上。若熊大、熊二抛出的石块在空中运动的时间之比为5 3∶，取
，
，不计空气阻力，则熊大、熊二抛出的石块的初速度大小之比为（ ）
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A．3 4∶
B．4 3∶
C．16 15
∶
D．15 16
∶
解：熊大抛出的石块做平抛运动，在水平方向与竖直方向的位移大小分别
，
根据几何关系有
解得熊大抛出的石块的初速度大小
同理可得熊二抛出的石块的初速度大小
结合
解得
故D 正确，ABC 错误。故选D。
例11．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC 和倾角为θ=53°的斜面AC 相接
于C 点，A、B 两点与圆环BC 的圆心O 等高。现将甲、乙小球同时从A、B 两点以一
定大小的初速度沿水平方向同时抛出，两球恰好在C 点相碰（不计空气阻力）。则下
列说法正确的是（ ）
A．甲、乙小球两球初速度大小之比为3：4 B．若仅增大两球质量，则两球不再相碰
C．若甲球速度大小变为原来的一半，则恰能落在斜面的中点D
D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环BC
解：A．甲乙两球从等高处做平抛运动恰好在C 点相碰，则时间相等，水平方向有
，x 乙=v2t=R 所以
因
则
故A 正确；
B．平抛运动与球的质量无关，则若仅增大两球质量，则两球仍能相碰，选项B 错误；
A．若v1大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但
由于甲球会碰到斜面，下落高度减小时间减小，所以甲球的水平位移小于原来的一半，
不会落在斜面的中点，故C 错误；
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D．若甲球垂直击中圆环BC，设此时甲球抛出时的速度为v，则落点时速度的反向延
长线过圆心O，由几何关系有
，
联立解得
甲球能垂直击中圆环BC，但是速度不是原来的2 倍，故D 错误。
故选A。
例12．如图所示，科考队员站在半径为10m 的半圆形陨石坑（直径水平）边，沿水平
方向向坑中抛出一石子（视为质点），石子在坑中的落点P 与圆心O 的连线与水平方
向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑
左端的高度为1.2m。取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度大小g=10 m/s2，不计空
气阻力。则石子抛出时的速度大小为（ ）
A．9 m/s
B．12 m/s
C．15 m/s
D．18 m/s
解：由题意可知，小石子竖直方向的位移为
根据公式可得
代入数据，解得
小石子水平方向的位移为
又
代入数据，可得石子抛出时的速度大小为
故选C。
例13．如图所示，在水平放置的半径为R 的圆柱体的正上方的P 点将一小球以水平速
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度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q 点沿切
线飞过，测得O、Q 连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（
）
A．
B．
C．
D．
解：AB．根据几何关系可知：水平速度与末速度的夹角为θ，则有
解得
根据
解得
AB 错误；
CD．在水平方向
解得
D 错误，C 正确。故选C。
例14．如图所示，ab 为竖直平面内的半圆环acb 的水平直径，c 为环上最低点，环半
径为R，将一个小球从a 点以初速度
沿ab 方向抛出，设重力加速度为g，不计空气
阻力，则以下说法不正确是（ ）
A．当小球的初速度
时，碰到圆环时的竖直分速度最大
B．当
取值不同时，小球落在圆环上的竖直位移可能相同
C．无论
取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
D．当
取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
解：A．经分析可知当小球落在c 点时间最长，竖直分速度最大。对竖直方向
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对水平方向
，
故A 不符合题意；
B．当
取不同值时，小球有可能落在圆环上相对于c 点对称的两个点，即小球落在圆
环上的竖直位移可能相同，故B 不符合题意；
C．要使小球垂直撞击半圆环，设小球落点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，根据平
抛运动规律可知
，
，
联立可得
即垂直撞击到b 点，这是不可能的，故C 不符合题意；
D．
取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故D 符
合题意。
故选D。
例15．如图所示，a、b 两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0
同时水平拋出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度
的2 倍，若小球a 能落到半圆轨道上，小球b 能落到斜面上，a、b 均可视为质点，则
（ ）
A．a 球一定先落在半圆轨道上 B．b 球一定先落在斜面上
C．a、b 两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a 球可能垂直落在半圆轨道上
解：
ABC．将半圆轨道和斜面轨道重叠一起，如图所示，可知若小球初速度合适，两小球
可同时落在距离出发点高度相同的交点A 处，改变初速度，可以落在半圆轨道，也可
以落在斜面上，故AB 错误，C 正确；
D．若a 小球垂直落在半圆轨道上，速度反向延长线必过水平位移中点，即圆心，那么
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水平位移就是直径，小球的水平位移一定小于直径，所以小球不可能垂直落在半圆轨
道上，故D 错误。故选C。
例16．如图所示，地面上固定有一半径为R 的半圆形凹槽，O 为圆心、AB 为水平直径，
现将小球（可视为质点）从A 处以初速度v1水平抛出后恰好落到D 点：若将该小球从
A 处以初速度v2水平抛出后恰好落到C 点，C、D 两点等高，OC 与水平方向的夹角θ
＝60°，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．v1∶v2＝1 4∶ B．小球从开始运动到落到凹槽上的过程中，其两次的速度变化量相同
C．小球落在凹槽上时，其两次的时间不同
D．小球落到C 点时，速度方向可能与该处凹槽切面垂直
解：A．过C 与D 分别做AB 的垂线，交AB 分别与M 点与N 点，如图
则OM=ON=R·cos60°=0.5R 所以AM=1.5R，AN=0.5R
由于C 与D 点的高度是相等的，由h=
gt2可知二者运动的时间是相等的。由水平方向
的位移为x＝v0t 可得
故A 错误；
B．它们速度的变化量△v=gt
二者运动的时间是相等的，则它们速度的变化量也相等，故B 正确；
C．两次的竖直位移分相同，所以前后两次的时间相等，故C 错误；
D．球落到C 点时，若速度方向与该处凹槽切面垂直则速度方向为OC，O 点应为AM
的中点，显然不是，故D 错误。故选B。
例17．如图所示，固定在竖直平面内的圆环的圆心为
，半径为
，一小球（视为质
点）从圆环最高点
的正上方的
点，沿平行于圆环水平直径的方向抛出，经过时间
，小球刚好从圆环的
点沿圆环的切线飞过。已知
两点的连线与竖直方向的夹角
为60°，不计空气阻力，则
点到
点的高度为（ ）
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A．
B．
C．
D．
解：设小球从A 点运动到B 点的时间为t，在竖直方向上有
设小球从A 点拋出的送度大小为v0。有Rsinθ=v0t
小球飞过B 点时沿竖直方向的分速度大小为vy=gt，
解得
故选B。
例18．如图所示，在水平放置的半径为
的圆柱体的正上方的
点将一个小球以水平
速度
沿垂直于圆柱体的轴线方向水平抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的
点沿切线飞过，测得
、
连线与竖直方向的夹角为
，不计空气阻力，那么小球完
成这段飞行的时间是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：AD．过
点作
的垂线，根据几何关系可知，小球在水平方向的位移的大小为
，满足
可得小球的飞行时间
A 正确，D 错误；
BC．小球从圆柱体的
点沿切线飞过，根据几何关系可知
故
BC 错误。故选A。
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例19．如图所示，ab 两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同
时水平向左、向右抛出，已知半圆轨道的半径R 与斜面的竖直高度相等，斜面倾角为
，重力加速度为g，要使两球同时落到半圆轨道上和斜面上，小球抛出的初速度大
小为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：将半圆轨道和斜面重合放置，会发现两轨道交于A 点，也就是说当抛出小球的速
度恰好为某一值时，两小球会在同时落到半圆轨道上和斜面上，如图中的x 和y 分别
为小球做平抛运动的水平位移和竖直位移
，
，
得
故选B。
例20．如图所示，水平固定半球形碗的球心为O 点，最低点为C 点。在碗边缘处的A
点朝球心O 以速度v0水平拋出一个小球，通过调整v0的大小（ ）
A．可以使小球垂直落在碗的内壁C 点上 B．不可能使小球垂直打在碗的内壁上
C．可以使小球垂直落在碗内C 点左侧壁 D．只能使小球垂直落在碗内C 点右侧壁
解：A．因为平抛运动在某点的速度等于水平速度和竖直速度的合速度，合速度的方
向一定偏向右下方，不可能垂直撞在C 点上，A 错误；
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BCD．假设小球垂直打在内壁上，速度的反向延长线一定过圆心，设速度与水平方向
的夹角为θ，位移与水平方向上的夹角为β，如下图
根据几何关系有
根据平抛运动的推论有
这与
相矛盾，所以小球不可能垂直撞在内壁上，可知小球一定不能垂直打在碗
内任何一个位置，B 正确，C、D 错误。故选B。
对应题型精炼
一、单选题
1．跳台滑雪是冬奥会较为精彩的一个项目。如图所示，某次练习时运动员从跳台边缘
的O 点以某一速度水平滑出（运动员可视为质点，忽略空气阻力的影响），落到斜坡
CD 上。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．在相等的时间间隔内，运动员速率的变化量相同
B．下落相同的高度，运动员速度的变化量相同
C．不管在O 点的水平速度多大，运动员落到斜面上时的速度方向均相同
D．下落相同的高度，运动员动能的变化量相同
【答案】D
【详解】A．运动员做平抛运动，属于匀变速曲线运动，在相等的时间间隔内，速度
的变化量相同。设运动员的初速度为v0，在运动员做平抛运动过程中，t 时刻和
时刻的速率分别为
所以在
时间内速率的变化量为
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根据数学知识可知，当
一定时，随着t 的增大，
减小，所以在相等的时间间隔内，
运动员速率的变化量不同，故A 错误；
B．运动员在竖直方向做自由落体运动，竖直速度不断增大，下落相等的高度所用时间
一定不同，则运动员速度的变化量不同，故B 错误；
C．根据平抛运动规律的推论可知，运动员落到斜面上时的速度方向的反向延长线一定
过水平位移的中点，所以运动员落到斜面上时速度偏向角的正切值等于位移偏向角正
切值的2 倍，易知运动员在CD 上的落点位置由v0决定，所以v0不同，运动员的落点
不同，则位移方向不同，所以运动员落到斜面上时的速度方向不同，故C 错误；
D．运动员所受合外力始终等于重力，下落相同的高度，运动员重力做功相等，根据
动能定理可知，动能变化量相同，故D 正确。
故选D。
2．如图甲所示，一光滑轨道由AB、BC 和CD 段组成。AB 段倾角为
，BC 段水平。
质量为m 的滑块在顶端A 处由静止下滑，经C 点飞入空中，最终落在CD 段上的E 点。
不计滑块经过B 点的机械能损失和空气阻力，滑块加速度大小a 随时间t 变化的图像如
图乙所示，图中物理量均为已知量，则可求得（ ）
A．
B．滑块在B 点的速度大小为
C．C、E 两点的高度差
D．滑块在E 点时，重力瞬时功率为
【答案】B
【详解】A．由图可知，在0-t0时间内滑块从A 加速到B，根据牛顿第二定律知
20
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在2t0-3t0时间内滑块从C 到E 做平抛运动，则有
a2=g
联立可得
故A 错误；
B．在0- t0时间内滑块从A 匀加速到B 点，则有
故B 正确；
C．在2t0-3t0时间内滑块从C 到E 做平抛运动，则有
故C 错误；
D．在2t0-3t0时间内滑块从C 到E 做平抛运动，在E 点时竖直方向的速度为
则滑块在E 点时，重力瞬时功率为
故D 错误。
故选B。
3．某游乐场有一打金蛋游戏，游戏示意图如下。弹珠的发射速度方向与斜面垂直、大
小可以通过按压的力度来调整，若弹珠弹出后直接击中B 点的金蛋为三等奖；若与斜
面碰撞一次再击中金蛋为二等奖；若与斜面碰撞两次再击中金蛋为一等奖，已知斜面
与水平方向夹角为45°，斜面AB 长
，弹珠与斜面碰撞瞬间弹珠在垂直于斜面方向
上的速度反向、大小不变，沿斜面方向上的速度不变，取重力加速度
，忽
略空气阻力影响，以下说法正确的是（ ）
21
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A．若最终得到三等奖，则弹珠发射的初速度大小为5m/s
B．最终得到一、二、三等奖的弹珠从射出到击中金蛋的时间之比为1：1：1
C．最终得到一、二、三等奖的弹珠从射出到击中金蛋的时间之比为2：3：4
D．最终得到一、二、三等奖的弹珠的初速度之比为4：3：2
【答案】B
【详解】A．将重力加速度g 沿斜面方向和垂直于斜面方向分解
弹珠沿斜面方向做初速度为0，加速度为
的匀加速直线运动，在垂直于斜面方向上
弹珠做类竖直上抛运动，若最终得到三等奖则有
解得
A 错误；
BC．从发射出弹珠到击中金蛋，沿斜面方向弹珠一直在做初速度为零，加速度为
的
匀加速直线运动，三种情况的位移一样，所以三种情况运动的时间也相等，即
B 正确，C 错误；
D．因
22
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得
D 错误。
故选B。
4．跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定
速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳
台a 处沿水平方向飞出，以运动员在a 处时为计时起点，在斜坡b 处着陆。测得ab 间
的距离为
，斜坡与水平方向的夹角为
，不计空气阻力。计算运动员在a 处的速
度大小①
，在空中飞行的时间②
，运动员在空中离坡面的距离最
大时对应的时刻③
，运动员在空中离坡面的最大距离④
。以上四
个计算结果正确的（ ）
A．只有①
B．只有①②
C．只有①②③
D．有①②③④
【答案】D
【详解】①②运动员从A 点做平抛运动，而平抛运动可以分解成竖直方向的自由落体
运动和水平方向的匀速直线运动，设竖直方向的位移为
，水平方向的位移为
，则
代入数据解得
23
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①②正确；
③当运动员从a 处开始到在空中离坡面的距离最大时，此时运动员的速度方向恰好和
坡面平行，此时速度方向偏转了
，根据运动的合成与分解，可将速度正交分解成水
平方向的
和竖直方向的
，则有
代入数据可得
③正确；
④将运动员的运动分解到垂直斜面向上和平行斜面向下，则可知在垂直斜面向上运动
员做匀减速的运动，离斜面最远的距离也是垂直斜面向上速度减为零的地方，将初速
度
分解到垂直斜面的方向，可得
将重力加速度分解到垂直斜面的方向，可得
设最大距离为，则有
④正确。
故选D。
5．如图，在斜面顶端P 点处，沿竖直面内将一小球以初动能
水平向右抛出，经一
段时间后落在斜面上的A 点，若在P 点处以初动能
水平向右抛出同一小球，经一
段时间后落在斜面上的B 点。下列物理量的关系正确的是（ ）
24
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A．时间为
B．速度为
C．动能为
D．动量为
【答案】C
【详解】A．设小球抛出时的初速度为
，斜面倾角为
，则有
解得小球在空中的时间为
由于两次抛出的初动能之比为
可得两次抛出的初速度之比为
则有
故A 错误；
BCD．小球落到斜面时的速度为
则两次小球落到斜面时的速度之比为
25
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两次小球落到斜面时的动能之比为
两次小球落到斜面时的动量之比为
故BD 错误，C 正确。
故选C。
6．在第24 届冬季奥林匹克运动会上，某运动员在准备跳台滑雪比赛训练时，从跳台
边缘距离斜面顶端一定高度的O 点以不同的速度水平滑出，一段时间后落到斜面上。
如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中运动的时间相等
B．运动员在空中运动时间与滑出的速度成正比
C．运动员落到斜面上的速度大小与滑出的速度大小成正比
D．运动员在空中运动过程中速度变化量与运动时间成正比
【答案】D
【详解】AB．设运动员离开O 点时速度为
，在空中运动时间为t，跳台边缘距离斜
面顶端的高度为h，落到斜面上时水平位移为x，竖直下落高度为y，斜坡的倾角为
，
由平抛运动规律可知运动员滑出速度越大，下落的高度越高，在空中运动时间越长，
由推论可得
可知运动时间与滑出速度不是正比关系，AB 错误；
C．若高度
，则
26
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落到斜面上竖直速度
落到斜面上的速度
可以看出此时v 与初速度成正比，若高度
，则不满足上述关系，C 错误；
D．速度的变化为
由于加速度恒定，运动员在空中运动过程中速度变化量与运动时间成正比，D 正确。
故选D。
7．如图所示，一可视作质点的小球在斜面上的某点以水平速度从斜面上抛出，飞行一
段时间后落回在斜面上，水平向左方向上有恒定的风力作用，不计空气阻力，下列说
法不正确的一项是（ ）
A．小球在空中运动过程中，单位时间内的速度变化量大小不变
B．小球在空中运动过程中，单位时间内的速度变化量方向不变
C．小球在空中的运动轨迹是一条抛物线
D．小球在空中的运动性质是变加速曲线运动
【答案】D
【详解】CD．小球在空中运动过程中，受水平向左的恒定的风力和竖直向下的重力作
用，小球所受的合力是恒力，由牛顿第二定律
，可知加速度恒定，加速度方向
向左下方，速度与合力不共线，所以小球在空中的运动性质是匀加速曲线运动，小球
在空中的运动轨迹是一条抛物线，故C 正确，不符合题意，D 错误，符合题意；
AB．小球在空中运动过程中，单位时间内的速度变化量
由于加速度恒定，单位时间内的速度变化量大小不变、方向不变，故AB 正确，不符
合题意。
故选D。
8．某人在河谷边以一定初速度水平抛出一小石块，抛出的小石块可以落在抛出点左侧
的任何位置，其简化模型如图所示，下列说法正确的是（ ）
27
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A．初速度越大，小石块落地时间越长
B．初速度越大，小石块落地时间越短
C．以不同的初速度水平抛出，小石块落地速度与水平方向的夹角可能相同
D．初速度越大，小石块落地速度与水平方向的夹角越小
【答案】C
【详解】AB．落地时间长短与小石块竖直方向位移有关，由于落点不确定，落地时间
长短无法确定，故AB 错误；
CD．根据平抛运动速度方向夹角和位移方法规律
可知当小球落在抛出点所在斜面时，落地速度与水平方向的夹角相同，与水平初速度
无关，故C 正确，D 错误。
故选C。
9．在Q 点沿水平方向，对着一斜面抛出质量相等的a、b 两个小球，小球的轨迹如图
所示，忽略空气阻力，则两小球从抛出至落到斜面过程，下列说法正确的是（ ）
A．a 球的运动时间大于b 球运动时间
B．a 球的初速度小于b 球初速度
C．a 球动量的增加量小于b 球动量的增加量
D．a 球动能的增加量大于b 球动能的增加量
【答案】C
【详解】A．根据
解得
根据图形可知，a 球竖直分位移小于b 球竖直分位移，则a 球的运动时间小于b 球运动
时间，A 错误；
28
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B．根据
结合上述解得
根据图形可知，a 球竖直分位移小于b 球竖直分位移，a 球水平分位移小于b 球水平分
位移，则a 球的初速度大于b 球初速度，B 错误；
C．根据动量定理有
根据上述，a 球的运动时间小于b 球运动时间，则a 球动量的增加量小于b 球动量的增
加量，C 正确；
D．根据动能定理有
由于a 球竖直分位移小于b 球竖直分位移，则a 球动能的增加量小于b 球动能的增加量，
D 错误。
故选C。
10．2022 年冬奥会在北京成功举行，其中跳台滑雪项目是一项勇敢者的运动。如图所
示为某跳台滑雪运动员从助滑道滑下，然后从跳台a 处沿水平方向飞出，在斜坡b 处
着陆的示意图，其中Ek-t 图像是运动员从a 到b 飞行时的动能随飞行时间变化的关系图
像，不计空气阻力的作用，重力加速度g 取10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A．运动员在a 处的速度大小为20m/s
B．运动员在b 处时，重力的瞬时功率为1.2×104W
C．斜坡的倾角为30°
D．t=2s 时，运动员在空中离坡面的距离最大
【答案】B
【详解】A．运动员在a 处动能
29
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运动员在t=2s 时的动能
得运动员在a 处的速度大小为
A 错误；
B．由A 选项可知，运动员质量为
运动员在b 处时，重力的瞬时功率为
B 正确；
C．斜坡倾角的正切值为
得
C 错误；
D．当运动员的运动速度与斜坡平行时，运动员在空中离坡面的距离最大，此时有
得
D 错误。
故选B。
11．2022 年北京冬奥会中国滑雪运动员谷爱凌在女子大跳台滑雪比赛中获得金牌。现
假定某运动员从滑雪跳台以不同的速度
水平跳向对面倾角为45°的斜坡（如图所示），
已知跳台的高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则该运动员落到斜坡上的最小
速度为（ ）
30
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设该运动员落到斜坡上经历的时间为t，由平抛运动的规律可得，水平方向上
的位移
竖直方向上的位移
由几何关系可得
整理得到
该运动员落到斜坡上时速度v 满足
再整理可以得到
变形为
当
时，速度v 最小，且最小为
故选C。
31
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12．如图所示，在倾角为
的斜面上A 点以初速度
水平抛出一个小球，小球恰好
落在斜面上的B 点，若小球在
点抛出的初速度方向与斜面垂直，结果小球也恰好落
在斜面上的B 点，则此时小球抛出的初速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，由平抛运动规律有
解得
则有
设小球与斜面垂直方向以抛出，则有
解得
故选C。
13．如图所示，AB 为半圆环ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，环半径为R。一个
小球从A 点沿AB 以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
32
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A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长
B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
【答案】D
【详解】A．小球落在环上的最低点C 时时间最长，故A 错误；
B．由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向
夹角正切值的2 倍，v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角
不相同，故B 错误；
CD．小球平抛运动的末速度斜向右下方，不可能垂直撞击半圆环左半部分，要使小球
垂直撞击半圆环右半部分，设小球落点与圆心O 的连线与水平方向夹角为θ（
），如图所示
根据平抛运动规律可得
联立解得
由此可知，小球垂直撞击到半圆环是不可能的，故C 错误，D 正确。
故选D。
14．如图所示，一平台固定在竖直平面内，以平台右边缘O 点为原点，沿平台右侧竖
33
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直向下为y 轴正方向，沿水平向右为x 轴正方向建立直角坐标系xOy。在该坐标系中，
以坐标原点O 为圆心，半径为R 的四分之一圆弧轨道竖直固定在平台的右侧。质量为
m 的小球从坐标原点O 以初速度v0（大小未知）沿x 轴正方向平抛。重力加速度大小
为g，不计空气阻力。小球从O 点抛出后到落到圆弧轨道上的过程中，下列说法正确
的是（ ）
A．当初速度
的大小为适当的值时，小球可能垂直落到圆弧轨道上
B．初速度
越大，小球在空中运动的时间越长
C．初速度
时，小球落到圆弧轨道上的动量最小
D．小球落到圆弧轨道上的最小动能为
【答案】D
【详解】A．若小球垂直打在圆轨道上，则速度方向的反向延长线应交于圆心；而于
平抛运动的规律可知，速度方向的反向延长线应交于水平位移的中点，根据题意可知
圆心和水平位移的中点不是同一位置，故A 错误；
B．小球做平抛运动，在竖直方向上物体做自由落体运动，有
解得
可知h 越大，小球在空中运动时间越长，由图可知小球速度v0越小，下落的高度越高，
飞行时间越长，故B 错误；
CD．设落地点与O 点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动
Rcosθ=v0t
由动能定理得
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解得
由数学知识得：当
即
Ek取最小值
根据
可知动能最小时动量最小，此时
联立以上可得
故C 错误，D 正确。
故选D。
15．如图，O 为抛物线OM 的顶点，A、B 为抛物线上两点，O 点的切线水平。从A、B
两点分别以初速度v1、v2水平抛出两小球，同时击中O 点，不计空气阻力，则两球（
）
A．必须同时抛出
B．初速度v1与v2相等
C．击中O 点时速度相同
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D．击中O 点时重力的瞬时功率相等
【答案】B
【详解】B．已知O 为抛物线OM 顶点，则以O 为原点建立xOy 直角坐标系，
则设OM 为
则两平抛运动在竖直方向为自由落体运动，有
联立解得
平抛在水平方向为匀速直线运动，有
联立可得
整理可得
故B 正确；
A．因
则可得
故A 球先抛出才能同时击中O 点，故Ａ错误；
36
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C．因
，但竖直方向有
故两分速度合成后可知O 点的速度不同，故C 错误；
D．两球在O 点重力瞬时功率为
即击中O 点时重力的瞬时功率不相等，故D 错误。
故选B。
二、多选题
16．2022 年冬奥会上运动员滑雪的示意图如图所示。运动员（可视为质点）从A 点由
静止滑下，到达B 点后水平飞出，落到斜面上的C 点，不计一切摩擦和空气阻力。已
知A、B 两点的高度差为，
段斜面与水平面之间的夹角为
，重力加速度为
，
则下列说法中正确的是（ ）
A．运动员从A 点由静止滑下后到达B 点时的速度大小为
B．运动员从B 点运动到C 点所用的时间为
C．B、C 两点之间的距离为
D．运动员在空中的运动速度方向与斜面平行时，与斜面之间的距离最大
【答案】BD
【详解】A．运动员从高为的A 点由静止滑下，到达
点后水平飞出，根据动能定理，
可得
解得
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选项A 错误；
BC．设
点与
点之间的距离为，运动员在空中做平抛运动，有
联立解得
选项B 正确、C 错误；
D．把运动员在空中的运动分解成沿斜面向下的初速度为
、加速度大小为
的匀加速直线运动，和垂直斜面向上的初速度为
、加速度大小为
的匀减速
直线运动，当垂直斜面的分速度减到0 时，即
，即速度方向与斜面平行时运动员
离斜面最远，选项D 正确。
故选BD。
17．如图所示，足够长的斜面上A 点，以水平速度
抛出一个小球，不计空气阻力，
它落到斜面上所用的时间为
；运动的位移为
．若将此球改用
水平拋出，落到斜
面上所用时间为
，运动的位移为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】AB．小球落在斜面上有
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解得运动的时间
因为初速度之比为1：2，则运动的时间之比为1：2．故A 正确，B 错误；
CD．根据
，可知水平位移之比为1：4，根据几何关系可知运动位移之比也为
1：4，故C 正确，D 错误；
故选AC。
18．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环
和倾角为
的斜面
，
、
两点与圆环BC 的圆心
等高。现将甲、乙小球分别从
、
两点以初速度
、
沿水平方向同时抛出，两球恰好在
点相碰（不计空气阻力），已知
，
，下列说法正确的是（ ）
A．初速度
、
大小之比为
B．若仅增大
，则两球不再相碰
C．若
大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点
D．若只抛出甲球并适当改变
大小，则甲球可能垂直击中圆环
【答案】AD
【详解】A．甲、乙两球从等高处做平抛运动恰好在
点相碰，则时间相等，水平方
向有
，
所以
39
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A 正确；
B．两球在竖直方向做自由落体运动，同一时间位于同一高度，若仅增大
，两球会
相碰，B 错误；
C．若
大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但
由于甲球会碰到斜面，下落高度减小，时间减小，所以甲球的水平位移小于原来的一
半，不会落在斜面的中点，C 错误；
D．若甲球垂直击中圆环
，则在落点速度的反向延长线过圆心
，由推论知落点
与
点的水平距离
符合实际，因此只抛出甲球并适当改变
大小，则甲球可能垂直击中圆环
，D 正
确。
三、解答题
19．阳光明媚的中午，小明同学把一块长木板放在院子里，调整倾斜角度，使阳光刚
好和木板垂直。在斜面顶端固定一个弹射装置，把一个质量为
的小球水平弹射出
来做平抛运动。调整初速度大小，使小球刚好落在木板底端。然后使用手机连续拍照
功能，拍出多张照片记录小球运动过程。通过分析照片，小明得出：小球的飞行时间
为
；小球与其影子距离最大时，影子
距木板顶端和底端的距离之比约为
，
如图所示。取
。
（1）求飞行过程中，重力对小球做的功；
（2）木板长度。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动位移
时间公式，可得
可知飞行过程中，重力对小球做的功为
（2）如图所示建立直角坐标系
由题意可知
则有
可得
又
41
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方向速度减为零需要的时间为
根据对称性可知
联立可得
可得
可得
则木板的长度为
20．如图所示为小明自制的游戏装置，左右两个斜面固定在水平面上，斜面倾角均为
，高均为
，两斜面材料不同，其中左侧斜面可视为光滑，右侧斜面粗糙。
游戏时，将小球从左侧斜面最高点A 以水平速度
拋出，小球需先落到左侧斜面上，
小球未弹起，然后沿斜面滑至水平面，最后能滑到右侧斜面最高点D，即挑战成功。
小球与水平面间和右侧斜面间的动摩擦因数均为
，BC 间距离
，不计小
球经过B，C 两点的能量损失，重力加速度
，
，求：
（1）若初速度
，求小球落到左侧斜面的时间？
（2）若初速度
，小明能否挑战成功？
【答案】（1）
；（2）小明没有挑战成功
42
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【详解】（1）小球做平抛运动有
又
代入数据解得
（2）假设小球落到B 点，有
，
且
解得
由此判断出小球能落到斜面上，则有
且
解得
竖直方向
则
小球落到斜面上时并未弹起，故垂直斜面方向的速度
减为0，能量损失为
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假设小球能到D 点，根据能量守恒定律有
解得
说明假设不成立，所以小明没有挑战成功。
44
