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第四章 曲线运动
第 02 练 抛体运动
知识目标 知识点
目标一 平抛运动基本规律
目标二 平抛运动中的临界问题
目标三 平抛运动与斜面相结合的问题
目标四 类平抛运动
1．(2021·全国·历年真题)一迫击炮先后以大小相同的速度发射甲、乙两颗炮弹，炮筒与水
平地面间的夹角分别为θ 、θ (θ <θ <90°)。两炮弹的射程分别为s 、s ，所到达的最大
1 2 1 2 1 2
高度分别为h 、h ，假定空气阻力可以忽略，则( )
1 2
A. s 一定大于s B. s 可能等于s C. h 一定大于h D. h 可能等于h
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【知识点】斜抛运动
【解析】解：CD、设炮弹的发射速度大小为v，方向与水平地面夹角为θ，则竖直向上的
分速度为v =vsinθ
y
根据速度与位移的关系式有
v2=2gh
y
v2sin2θ
可得：h=
2g
由于θ <θ <90°
1 2
则h 一定小于h ，故CD错误；
1 2
AB、根据题意可知，炮弹发射到最高点的时间为：
v vsinθ
t = y =
1 g g
炮弹从最高点到落地的时间为：
√2h vsinθ
t = =
2 g g
则炮弹的飞行时间为：
2vsinθ
t=
g
则炮弹的射程为：2vsinθ v2sin2θ
s=vcosθ⋅ =
g g
π
当θ +θ = 时，sin2θ =sin(π-2θ )=sin2θ
1 2 2 1 2 2
则s =s ，故A错误，B正确。
1 2
故选：B。
将炮弹的速度分解到水平方向和竖直方向，根据不同方向的运动特点结合运动学公式和数
学的三角函数知识完成分析。
2．(2021·江西省宜春市·月考试卷)某弹射管每次弹出的小球速度相等．在沿光滑竖直轨道
自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到
水平地面的( )
A. 时刻相同，地点相同 B. 时刻相同，地点不同
C. 时刻不同，地点相同 D. 时刻不同，地点不同
【答案】B
【知识点】平抛运动基本规律
【解析】分析：先后弹出的两只小球在竖直方向运动时间相等，在水平方向运动时间不同
由此进行分析。
对于运动的合成与分解问题，要知道分运动和合运动的运动特点，知道二者具有等时性和
独立性，能够将合运动分解为两个分运动，然后根据几何关系求解速度或加速度之间的关
系。
解答：根据题意可知，弹射器沿光滑竖直 轨道
在竖直方向自由下落且管口水平，不同时刻弹射出的小球在水平方向具有相同的初速度，
在竖直方向的运动情况与枪管的运动情况相同，故先后弹出两只小球同时落地；
水平方向速度相同，而小球水平方向运动的时间不同，所以落地点不同，运动情况如图所
示。
故ACD错误、B正确。
故选：B。
3．(2022·山西省长治市·月考试卷)如图所示，A，B两小球从相同高度同时水平抛出，经过
时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间
为( )√2 t t
A. t B. t C. D.
2 2 4
【答案】C
【知识点】平抛运动基本规律、平抛运动的概念和性质
【解析】
平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，抓住两球抛出点的水平位距离不变，结合初速度
的变化得出两球从抛出到相遇经过的时间；
解：设A、B两球同时抛出时的初速度分别为v 、v ，则由平抛运动规律可知两小球抛
A0 B0
出点的水平距离为：x=(v +v )t，
A0 B0
当两球的抛出速度都变为原来的2倍，设则两球从抛出到相遇经过的时间为t'，由平抛运动
规律可知：x=(2v +2v )t'=2(v +v )t'，
A0 B0 A0 B0
t
所以，t'= ，故C正确，ABD错误。
2
故选：C。
v
4．(2022·山西省长治市·月考试卷)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和 的速度沿
2
同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率
的( )
A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍
【答案】A
【知识点】平抛运动与斜面相结合的问题
【解析】
根据平抛运动的水平位移和竖直位移的关系求出平抛运动的时间，结合速度时间公式求出
竖直分速度，根据平行四边形定则求出速度的表达式，从而得出落在斜面上的速率之比
1
如图所示，可知：x=vt，x⋅tanθ= gt2 则v =gt=2tanθ⋅v
2 y
则落至斜面的速率v =√v2+v2=v√1+4tan2θ，即v ∝v，甲、乙两球抛出速度为v和
落 y 落
υ
，则可得落至斜面时速率之比为2:1，A正确。
25．(2021·江苏省·单元测试)消防车利用云梯进行高层灭火，消防水炮出水口离地的高度为
40m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，水平射出水的初速度 v 在
0
5m/s≤v ≤15m/s之间可以调节。着火点在离地高为20m的楼层，出水口与着火点不能
0
靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则( )
A. 如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离最大为 40m
B. 如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离最小为10m
C. 如果出水口与着火点的水平距离不能小于15m，则水平射出水的初速度最小为 6m/s
D. 若该着火点离地高为 40m，该消防车此时仍能有效灭火
【答案】B
【知识点】平抛运动基本规律
√2△h √2(40-20)
【解析】解：水从管口喷出到着火点的经过的时间t= = s=2s。
g 10
A、如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离最大为x =v t=15×2m=30m，故
max max
A错误；
B、如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离最小为x =v t=5×2m=10m，故B
min min
正确；
C、如果出水口与着火点的水平距离不能小于15m，则水平射出水的初速度最小为
x 15
v= = m/s=7.5m/s，故C错误；
t 2
D、若该着火点离地高为 40m，此时与管口水平，该消防车此时不能有效灭火，故D错误。
故选：B。
6．(2020·云南省昆明市·历年真题)在“探究平抛运动在水平方向的运动规律”的实验中，
小球A沿斜槽滚下后从斜槽末端水平飞出。测得小球A下落的高度和水平位移如图所示，
不计空气阻力，g取10m/s2。则小球A做平抛运动的时间是______ s，小球A水平飞出时
的速度大小是_______ m/s。【答案】0.3；1
【知识点】平抛运动基本规律、实验：探究平抛运动的特点
【解析】
平抛运动时间由竖直高度决定，小球在竖直方向做自由落体运动，
则根据h=
1
gt2 可得，t=
√2h
=
√2×0.45
s=0.3s；
2 g 10
小球水平方向做匀速直线运动，
s 0.30
则小球A水平飞出时的速度大小为：v= = m/s=1m/s。
t 0.3
故答案为：0.3；1。
1．(2021·江苏省·单元测试)物体A做平抛运动，以抛出点O为坐标原点，以初速度v 的方向
0
为x轴的正方向、竖直向下的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系。如图所示，两束
光分别沿着与坐标轴平行的方向照射物体A，在坐标轴上留下两个“影子”，则两个“影
子”的位移x、y和速度v 、v 描述了物体在x、y两个方向上的运动。若从物体自O点抛
x y
出时开始计时，下列图象中正确的是( )
A. B.C. D.
【答案】D
【知识点】抛体运动
【解析】解：AB、因为平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，所以影子在x方向做匀速
运动，位移时间图线为过原点的倾斜直线，速度时间图线是平行于时间轴的直线，故 AB
错误。
CD、平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，所以影子在y轴方向做自由落体运动根据
1
y= gt2 可知，位移时间图线是抛物线的分支，根据v =√2gy可知速度位移图线是过原点
2 y
的抛物线，故C错误，D正确。
故选：D。
平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，结合水平方向和
竖直方向上的运动规律分析判断。
2．(2022·北京市·单元测试)如图所示，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该
坑沿摩托车前进方向的水平宽度为4h，其左边缘a点比右边缘b点高h。若摩托车经过a点
时的动能为E ，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为2h;若经过a点时的动能
1
E
为E ，该摩托车恰能越过坑到达b点，则 2 等于( )
2 E
1
A. 2 B. 8 C. 6 D. 3
【答案】B
【知识点】动能的概念和表达式、平抛运动基本规律
【解析】
x
1 v= x
根据平抛运动的知识有：x=vt，H= gt2 ，联立解得初速度 √2H ，得v∝ ，又
2 √H
g
1 E v2 x2 h 4 2 8
E = mv2 ，则有 2= 2= 2· 1= · = ，故B正确，ACD错误。
k 2 E v2 x2 h 1 1 1
1 1 1 2
3．(2021·浙江省·历年真题)某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛
小球轨迹重合，A，B，C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确
的是
A. 相邻位置运动员重心的速度变化相同
B. 运动员在A、D位置时重心的速度相同
C. 运动员从A到B和从C到D的时间相同
D. 运动员重心位置的最高点位于B和C中间
【答案】A
【知识点】斜抛运动、曲线运动的位移和速度、曲线运动的概念和性质
【解析】
A.因每次曝光的时间间隔相等，设曝光时间为Δt，而运动员在空中只受重力作用，加速度
为g，则相邻位置运动员重心的速度变化均为Δv=g·Δt，故A正确；
B.运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，故B错误；
C.由图可知，运动员从A到B的时间为5Δt，从C到D的时间6Δt，所以时间不相同，故C
错误；
D.由图可知运动员A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心
位置的最高点位于C点，故D错误。
故选A。
4．(2021·江苏省·历年真题)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，
落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )
A. A比B先落入篮筐
B. A、B运动的最大高度相同
C. A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D. A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
【答案】D
【知识点】斜抛运动
【解析】抛体运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀变速直线运动，运动的时间由
高度决定；根据抛射角和射程判断水平速度；根据斜抛运动的对称性判断即可。
D、A、B两篮球落入篮筐时的速度方向相同，将A、B篮球的运动过程逆向看做是从篮筐
沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同
高度时的速度方向相同，D正确；
AB、将A、B篮球的运动过程逆向看做是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，落到同
一高度上的两点，因A水平位移较大，可知A的抛射速度较大，竖直初速度较大，最大高
度较大，运动时间较长，即B先落入篮筐中，故AB错误；
C、因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，在最高点的速度比B在
最高点的速度大，故C错误；
5．(2022·全国·历年真题)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，
频闪仪每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的
照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了
3个影像，所标出的两个线段的长度s 和s 之比为3:7。重力加速度大小取g=10m/s2，忽
1 2
略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【答案】
解：因为每相邻两个小球之间被删去了3个影像，所以每相邻两个小球之间有4次闪光间隔，
即相邻两个小球之间的时间为
t=4×0.05s=0.2s
因为第一个小球为抛出点，所以第一段运动对应的竖直位移大小为
1 1
h = gt2= ×10×0.22m=0.2m
1 2 2
第二段运动对应的竖直位移大小为
1 1
h = g⋅(2t) 2-h = ×10×0.42m-0.2m=0.6m
2 2 1 2
设小球抛出时的初速度大小为v，则s 可以表示为
1
s =√(vt) 2+h2
1 1
同理s 可以表示为
2
s =√(vt) 2+h2
2 2
又
s :s =3:7
1 22
联立解得v= √5m/s。
5
2
答：抛出瞬间小球的速度大小为 √5m/s。
5
【知识点】平抛运动基本规律及推论
【解析】先计算出小球每一段运动所用的时间，再根据竖直方向上的运动规律求出每一段
运动对应的竖直位移，结合水平方向上的匀速直线运动，分别求出两段运动中s 、s 的表
1 2
达式，根据题干提供的比值进行求解。
6．(2022·北京市·其他类型)无人机在距离水平地面高度h处，以速度v 水平匀速飞行并释放
0
一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)求包裹释放点到落地点的水平距离x；
(2)求包裹落地时的速度大小v；
(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐
标系，写出该包裹运动的轨迹方程。
【答案】
1
解：(1)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则有：h= gt2
2
√2h
解得：t=
g
√2h
水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为：x=v t=v
0 0 g
(2)包裹落地时，竖直方向速度为：v =gt=√2gh
y
落地时速度为：v=√v2+v2=√v2+2gh
0 y 0
(3)包裹做平抛运动，分解位移，水平方向上有：x=v t'
0
1
竖直方向上有：y= gt'2
2
g
y= x2
两式消去时间得包裹的轨迹方程为：
2v2
0
√2h
答：(1)包裹释放点到落地点的水平距离x为v ；
0 g
(2)包裹落地时的速度大小v落地时速度为√v2+2gh；
0
(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐
g
标系，该包裹运动的轨迹方程为
y= x2
。
2v2
0
【知识点】平抛运动基本规律
【解析】(1)根据竖直高度求出物体在空中运动的时间，结合水平位移公式求包裹释放点到落地点的水平距离x；
(2)根据速度位移公式求出落地时的竖直分速度，结合平行四边形定则求出包裹落地时的
速度大小v；
(3)包裹做平抛运动，分解位移，分别得到水平方向和竖直方向上的分位移表达式，然后
消去时间得包裹的轨迹方程。
本题以无人机水平匀速飞行并释放一包裹为背景考查了平抛运动在实际问题中的应用，解
决此题的关键是要明白平抛运动在水平方向上做匀速直线运动和竖直方向上做自由落体运
动，灵活选取运动学公式求解。
1． (2022·云南省·历年真题)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面
垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到
轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)( )
v2 v2 v2 v2
A. B. C. D.
4g 16g 8g 2g
【答案】C
【知识点】平抛运动基本规律、机械能守恒与曲线运动
【解析】
根据机械能守恒定律得出物块到达最高点的速度，结合高度求出平抛运动的时间，从而得
出水平位移的表达式，结合表达式，运用二次函数求极值的方法得出距离最大时对应的轨
道半径。
1 1
设半圆的半径为R，根据机械能守恒定律得：-mg⋅2R= mv'2- mv2 ，离开最高点做
2 2
1
平 抛 运 动 ， 有 ： 2R= gt2 ， x=v't， 联 立 解 得 ：
2
√ -16g(R- v2 ) 2+ v4 v2
√4R(v2-4gR) 8g 4g ，可知当R= 时，水平位移最大，故 C
x= = 8g
g g
正确，ABD错误。
故选C。
2．(2021·海南省·历年真题)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下
后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H=4.0m，末端到水面的高度h=1.0m。取重力加速度g=10m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末
端的水平距离为( )
A. 4.0m B. 4.5m C. 5.0m D. 5.5m
【答案】A
【知识点】平抛运动基本规律、机械能守恒与曲线运动
【解析】
1
人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH= mv2 ，代入数
2
据解得v=4√5m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根
据h=
1
gt2 可知落水时间为t=
√2h
=
√2×1
s=
√1
s，水平方向做匀速直线运动，则人的
2 g 10 5
√1
落水点距离滑梯末端的水平距离为x=vt=4√5× m=4.0m，故A正确，故BCD错误。
5
3．(2021·安徽省·历年真题)铯原子钟是精确的计时仪器。图1中铯原子从O点以100m/s的
初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t ；图2中铯原子在真空中从P
1
点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t 。O点到竖直平面
2
MN、P点到Q点的距离均为0.2m。重力加速度取g=10m/s2；则t ：t 为( )
1 2
A. 100：1 B. 1：100 C. 1：200 D. 200：1
【答案】C
【知识点】竖直上抛运动、平抛运动基本规律及推论
【解析】解：
由题意可知，O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2m，设d=0.2m，图1中铯原
子做平抛运动，平抛运动的初速度v =100m/s，水平方向：d=v t ，代入数据解得：
0 0 1t
t =0.002s，图2中铯原子做竖直上抛运动，上升时间与下降时间相等，为 2，由匀变速直
1 2
1 t t 0.002 1
线运动的位移-时间公式得：d= g( 2 ) 2，代入数据解得：t =0.4s，则 1= = ，
2 2 2 t 0.4 200
2
故C正确，ABD错误。
4．(2022·广东省·历年真题)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地
足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪
口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气
阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
L L
A. 将击中P点，t大于 B. 将击中P点，t等于
v v
L L
C. 将击中P点上方，t大于 D. 将击中P点下方，t等于
v v
【答案】B
【知识点】自由落体运动、平抛运动基本规律及推论
【解析】解：当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹
和小积木在竖直方向上都做自由落体，在竖直方向上保持相对静止，因此子弹将击中P点，
L
且根据水平方向的运动特点可知，t= ，故B正确，ACD错误；
v
故选：B。
根据子弹和积木在竖直方向的运动特点可知在竖直方向上保持相对静止，结合水平方向的
运动特点得出击中的时间和位置。
5．(2022·河北省沧州市·月考试卷)如图所示，质量为m=0.2kg的小球从平台上水平抛出后
落在一倾角θ=53°的光滑斜面顶端，并恰好无碰撞的沿光滑斜面滑下，顶端与平台的高度
差h=0.8m，斜面的高度H=7.2m。g取10m/s2 (sin53°=0.8,cos53°=0.6)，求：
(1)小球水平抛出的初速度v 是多大；
0
(2)小球从平台水平抛出到斜面底端所用的时间。【答案】
解：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，
否则小球会弹起，所以
1
竖直位移h= gt2 ，
2 1
√2h √2×0.8
得t = = s=0.4s
1 g 10
竖直分速度 v =gt =4m/s
y 1
v =v tan53°，
y 0
v 4
v = y = m/s=3m/s
得 0 tan53∘ 4
3
(2)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度
mgsin53°
a= =8 m/s2，
m
初速度v=√v2+v2=5 m/s
0 y
H 1 7.2 1
=vt + at2 代入数据： =5t + ×8t2
sin53∘ 2 2 2 0.8 2 2 2
解得：t =1s
2
所以t=t +t =1.4 s
1 2
答：(1)小球水平抛出的初速度v 是3m/s；
0
(2)小球从平台水平抛出到斜面底端所用的时间为1.4s。
【知识点】平抛运动与斜面相结合的问题、平抛运动基本规律
【解析】
(1)由题意可知小球到达斜面时的速度方向，再由平抛运动的规律可求出小球的初速度；
(2)小球在竖直方向上做的是自由落体运动，根据自由落体的规律可以求得到达斜面用的
时间，到达斜面之后做的是匀加速直线运动，求得两段的总时间即可。
6．(2022·全国·模拟题)2022年2月8日，18岁的中国选手谷爱凌在北京冬奥会自由式滑雪女
子大跳台比赛中以绝对优势夺得金牌，这是中国代表团在北京冬奥会上的第三枚金牌，被
誉为“雪上公主”的她赛后喜极而泣。现将比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为α=30∘的斜面顶端O点以v 飞出，已知v =20m/s，且与斜面夹角为
0 0
θ=60∘。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在
斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取
g=10m/s2。求：
(1)小球从O运动到A点所用时间t;
(2)小球离斜面最远的距离L;
(3)O、C两点间距离x。
【答案】
解：(1)将速度分解，如图
垂直斜面方向：v =v sinθ，a =gcosα
1 0 1
v
t= 1 得：t=2s
a
1
(2)垂直斜面方向v 匀减速至0时有：
1
v2
L= 1 ，
2a
1
代入数据得：L=10√3m
(3)由垂直斜面方向运动对称性可得小球从0到A与A到B所用时间相等平行斜面方向： a =gsinα，v =v cosθ
2 2 0
1 1
x =v 2t+ a (2t) 2 小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则x= x
OB 2 2 2 2 OB
代入数据解得：x=40m
【知识点】斜抛运动
【解析】(1)(2)将斜抛运动分解为垂直斜面和沿斜面两个方向的运动，当垂直斜面方向的
速度为零时，离斜面最远；根据运动学知识求解时间和位移；
(3)先根据运动学的知识求出平行斜面方向的位移；再根据C为OB中点求O、C两点间距
离x。
