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压轴题02 抛体运动
1. 抛体运动在高考物理中占据着举足轻重的地位。作为一类重要的曲线运动，抛体运动不仅是物理学科的基础
知识点，也是历年高考的必考内容。
2. 在命题方式上，抛体运动的题目类型多样，涉及面广。它可能作为独立的题目出现，也可能与其他知识点如
电磁场等相结合进行考察。这要求考生对抛体运动有深入的理解和掌握，并能够灵活运用相关知识解决实际问
题。
3. 备考时，考生应首先明确抛体运动的基本概念、特点和规律，如平抛运动的特点、公式与关系等。其次，要
熟练掌握解题技巧，如分解法、利用公式和注意方向等。通过大量的练习，提高解题能力和速度。同时，考生
还应关注历年高考真题和模拟题，了解命题趋势和难度，为高考做好充分的准备。
考向一：抛体运动与斜面相结合问题
1.与斜面相关的几种的平抛运动
图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建
速度的矢量三角
形
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝
由tan θ＝＝得
t＝
分解位移，构建
位移的矢量三角
形
水平x＝v0t
竖直y＝gt2
合位移x 合＝
由tan θ＝＝得
t＝
在运动起点同时
分解v0、g
由0＝v1－a1t,0－v1
2＝－2a1d 得
t＝，d＝
1
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分解平行于斜面
的速度v
由vy＝gt 得t＝
2.与斜面相关平抛运动的处理方法
(1)分解速度
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中
运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=√v x
2+ v y
2,合速度与
水平方向的夹角满足tan θ=v y
v x
。
(2)分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=1
2gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=√x
2+ y
2,合
位移与水平方向夹角满足tan φ= y
x 。
(3)分解加速度
平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点
建立适当的直角坐标系,把重力加速度g 正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y 方向列
方程求解,可以简化解题过程,化难为易。
考向二：抛体运动中的相遇问题
平抛与自由
落体相遇
水平位移：l=vt
空中相遇：
平抛与平抛
相遇
（1）若等高（h1=h2），两球同时抛；
（2）若不等高（h1>h2）两球不同时抛，甲球先抛；
（3）位移关系：x1+x2=L
（1）A 球先抛；
（2）tA>tB；
（3）v0A<v0B
2
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（1）A、B 两球同时抛；
（2）tA=tB；
（3）v0A>v0B
平抛与竖直
上抛相遇
（1）L=v1t；
（2）
；
（3）若在S2球上升时两球相遇，临界条件：
，
即：
，解得：
；
（4）若在S2球下降时两球相遇，临界条件：
，即
，
解得：
平抛与斜上
抛相遇
（1）
；
（2）
；
（3）若在S2球上升时两球相遇，临界条件：
，即：
，
解得：
；
（4）若在S2球下降时两球相遇，
临界条件：
，
即
，
3
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解得：
考向三：平抛运动的临界极值问题
擦网
压线
既擦网又压线
由
得：
由
得：
由
和
得：
考向四：斜抛运动
处理方法
水平竖直正交分解
化曲为直
最高点一分为二变平抛运动
逆向处理
将初速度和重力加速度
沿斜面和垂直斜面分解
基本规律
水平速度：
竖直速度：
最高点：速度水平
垂直斜面：
沿着斜面：
4
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最高点：
最高点：
考向五：类平抛运动的基本规律
1.类平抛运动的受力特点:
物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。
2.类平抛运动的运动特点:
在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=F合
m 。
3.类平抛运动的求解方法:
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的
匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a 分解为ax、ay,初速度v0分解为
vx、vy,然后分别在x、y 方向列方程求解。
01 斜面内的平抛运动
1．跳台滑雪是极具观赏性的体有项目，若跳台滑雪滑道可以简化为一个弧形雪道和一个倾角为
的斜面雪道
相连接，如图所示，运动员从弧形雪道上距弧形雪道底端高度为h 的A 点静止滑下，然后从弧形雪道底端B 点
水平飞出，最后落在斜面雪道上的C 点（图中未标出），不计运动员在弧形雪道上的摩擦阻力，不计空气阻力，
运动员可看作质点。已知：
，
。则B 和C 两点间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】运动员从A 到B 过程根据机械能守恒定律可得
解得
运动员做平抛运动落在倾角
5
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为
的斜面雪道，则水平位移与合位移的夹角为
，根据平抛运动的推论可知
解得
竖直位移为
合位移即为BC 两点间的距离，则
故选A。
02 斜面外的平抛运动
2．如图所示，在水平地面上固定一倾角
的斜面体，质量m=1kg 的小车A 以P=100W 的恒定功率沿斜面
底端由静止开始向上运动，同时在小车A 的正上方某处，有一物块B 以v0=6m/s 的初速度水平抛出。当小车A 上
滑到斜面上某点时恰好被物块B 垂直于斜面击中。小车A、物块B 均可看做质点，小车与斜面间的动摩擦因数
μ=0.5，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列判断正确的是（ ）
A．物块在空中运动的时间等于0.4s
B．物块击中小车时小车的速度等于2
m/s
C．物块击中小车时的速度等于8m/s
D．小车从开始运动到被物块击中时的位移等于10m
【答案】B
【详解】A．当小车A 上滑到斜面上某点时恰好被物块B 垂直于斜面击中，则
且
物块在空中
运动的时间为
故A 错误；
B．物块B 击中小车时，水平位移为
对小车，根据动能定理
解得物块击中小车时小车的速度为
故B 正确；
C．物块击中小车时的速度等于
故C 错误；
D．小车从开始运动到被物块击中时的位移
故D 错误。故选B。
03 与曲面相结合的平抛运动
3．如图所示，半径为R 的四分之一圆弧体ABC 固定在水平地面上，O 为圆心。在圆心O 点下方某点处，水平
向左抛出一个小球，恰好垂直击中圆弧上的D 点，小球可视为质点，D 点到水平地面的高度为
，重力加速
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度为g，则小球抛出的初速度大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】小球打到D 点时的速度垂直于圆弧面，反向延长线过O 点，设此时速度与水平方向的夹角为，则
设抛出的初速度为
，则在D 点
小球水平方向有
小球竖直方向有
解得
故选C。
04 抛体运动中的相遇问题
4．如图所示，小球从O 点的正上方离地
高处的P 点以
的速度水平抛出，同时在O 点右方地
面上S 点以速度
斜向左上方与地面成
抛出一小球，两小球恰在O、S 连线靠近O 的三等分点M 的正上
方相遇。g 取
，若不计空气阻力，则两小球抛出后到相遇过程（ ）
A．两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段
B．两小球初速度大小关系为
C．OS 的间距为60m
D．两小球相遇点一定在距离地面30m 高度处
【答案】BC
【详解】B．由于相遇处在OS 连线靠近O 的三等分点M 的正上方，则有
可得两小球初速度大小
关系为
故B 正确；
A．由
可得
竖直方向满足
解得
此时斜抛的小球竖直方
向的分速度大小为
解得
则此时斜抛小球恰到最高点，故A 错误；
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D．相遇时离地高度为
故D 错误；
C．OS 的间距为
故C 正确。故选BC。
05 平抛运动中的临界极值问题
5．我国运动员林丹是羽毛球史上第一位集奥运会、世锦赛、世界杯、苏迪曼杯、汤姆斯杯、亚运会、亚锦赛、
全英赛、全运会等系列赛冠军于一身的双圈全满贯选手，扣球速度可达324km/h。现将羽毛球场规格简化为如
图所示的长方形ABCD，若林丹从A 点正上方高2.45m 的P 点扣球使羽毛球水平飞出，羽毛球落到对方界内，
取
，不计空气阻力，则羽毛球的水平速度大小可能为（ ）
A．15m/s
B．20m/s
C．30m/s
D．90m/s
【答案】B
【详解】羽毛球从P 点水平飞出做平抛运动，若球恰好能过网，在竖直方向有
解得从扣球点到网
上端的时间
则羽毛球水平方向的最小位移为
则羽毛球的水平最小速度为
若球恰好不出界时，在竖直方向则有
解得
在水平方向的最大位移为
则羽毛球的水平方向最大速
度为
羽毛球落到对方界内，水平速度大小范围则有
则羽毛球
的水平速度大小可能为
。故选B。
06 斜抛运动
6．图甲是某人在湖边打水漂的图片，石块从水面弹起到触水算一个水漂，若石块每次从水面弹起时速度与水面
的夹角均为30°，速率损失30%。图乙甲是石块运动轨迹的示意图，测得石块第1 次弹起后的滞空时间为0.8s，
已知石块在同一竖直面内运动，当触水速度小于2m/s 时石块就不再弹起，不计空气阻力。下列说法正确的是（
）
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A．石块每次弹起后的滞空时间相等
B．石块最多能在湖面上弹起5 次
C．石块每次弹起过程能量损失30%
D．石块每次弹起到最高点的速度为零
【答案】B
【详解】B．石块做斜上抛运动
根据
运动总时间
解得
设石块一共能打个水漂，
则有
，（取整数）解得
故B 正确；
A．石块每次弹起后竖直方向速度都减小，根据B 选项分析可知石块每次弹起后的滞空时间减小，故A 错误；
D．石块每次弹起到最高点时，竖直方向速度为零，水平方向速度不为零，所以石块每次弹起到最高点的速度
不为零，故D 错误；
C．石块每次弹起过程能量损失
故C 错误。故选B。
07 类平抛运动
7．如图所示的光滑固定斜面
，其倾角可调节．当倾角为
时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点
以初速度
水平射入，恰好沿底端
点离开斜面；改变倾角为
时，同样将该物块沿斜面左上方顶点
以初
速度
水平射入，发现物块沿
边中点离开斜面．已知重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为
B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为
C．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为
D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为
【答案】B
【详解】AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面的方向做匀加速运动
沿水平方向做匀速运动
根据牛顿第二定律有
联立解得
根据题意可知
物块离开斜面时，前后两次下
落的高度之比为
故A 错误，B 正确；
CD．速度变化量的大小为
可知前后两次速度变化量的大小之比为2：1，故CD 错误；故选B。
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1．（2024 高三上·湖南长沙·模拟预测）如图所示，从斜面上A 点斜向上抛出一个可视为质点小球，水平击中斜
面上B 点，现将另一相同小球从AB 中点C 点抛出，仍水平击中B 点。不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．两个小球的初速度大小之比为2 1∶
B．从C 点抛出的小球初速度方向与水平方向夹角更大
C．两个小球离斜面的最大距离之比为2 1∶
D．调整两个小球抛出的时间，可以使两个小球在空中相遇
【答案】C
【详解】AB．反向看是平抛运动，设斜面倾角为，根据
解得
则两次小球时间之比为
，由
可知，两次竖直速度之比
，根据
可知水平速度之比为
，所以两次击中
点速度之比为
，根据
两次抛出时速度的大小之比为
，且到达
点时速度方向相同，根据平抛运动推论
可知，位移偏转角正切值是速度偏转角正切值的一半，则
可知两次抛出时速度方向相同，故
AB 错误；
C．沿斜面建系，设初速度方向与斜面的夹角为，则小球离斜面的最大距离为
可知，两小球离斜
面的最大距离为
，故C 正确；
D．两小球的轨迹相切于
点，故不可能在空中相遇，故D 错误。故选C。
2．（2024 高三·安徽·模拟）某运动员从滑雪跳台以不同的速度v0水平跳向对面倾角为45°的斜坡（如图所示），
已知跳台的高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则该运动员落到斜坡上的最小速度为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设该运动员落到斜坡上经历的时间为t，由平抛运动的规律可得，水平方向上的位移x=v0t 竖直方向上
的位移
由几何关系可得x=(h-y）·tan 45°整理得
该运动员落到斜坡上时速度v 满足v2=v0
2＋
(gt)2
再整理可得
变形为
当
时，速度v 最小，且最小为
故选C。
3．（2024·陕西西安·一模）有一匀强电场平行于直角坐标系xoy 所在的竖直平面，现将一质量为m，带电量为
+q 的小球从坐标原点O 处沿y 轴负向以2m/s 的初速度向下抛出，其带电小球运动的轨迹方程为
，重力
加速度取
，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场强度大小为
，方向与x 轴正向夹角45°
B．电场强度大小为
，方向与x 轴正向夹角30°
C．电场强度大小为
，方向与x 轴负向夹角45°
D．电场强度大小为
，方向与x 轴正向夹角30°
【答案】A
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【详解】由带电小球运动的轨迹方程为
由题意可知，小球在y 轴方向做匀速直线，在x 轴方向匀加速直
线运动，在y 轴方向上
在x 轴方向上
对比可得
可知带电小球做加速度
小球做类平抛运动，对小球受力分析可得，小球受到的电场力竖直向上分力与重力平衡，水平向右
的分力为合外力，则
解得
方向与x 轴正向夹角为
，则
解得
故选A。
4．（2024·山东菏泽·一模）如图所示为一乒乓球台的纵截面，AB 是台面的两个端点位置，PC 是球网位置，
D、E 两点满足
，且E、M、N 在同一竖直线上。第一次在M 点将球击出，轨迹最点恰好过球网
最高点P，同时落在A 点；第二次在N 点将同一球水平击出，轨迹同样恰好过球网最高点P，同时落到D 点。
球可看做质点，不计空气阻力作用，则两次击球位置到桌面的高度之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】第一次球做斜抛运动，设
，
，则根据斜抛运动规律有
；
；
；
联立可得
第二次球做平抛运动，设平抛的初速度为
，根据平抛
运动规律有
；
；
；
联立可得
则两次击球
位置到桌面的高度之比为
故选A。
5．（2024·江苏·模拟预测）操场上两同学练习排球，在空中同一水平直线上A、B 两点处分别把1、2 相同的两
球同时击出，A 做平抛运动，B 做斜抛运动，两球的运动轨迹在同一竖直平面内，如图，轨迹交于P 点，P 是
AB 连线中垂线上一点，球1 的初速度为v1，球2 的初速度为v2，不考虑排球的旋转，不计空气阻力，两球从抛
出到P 点的过程中（ ）
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A．单位时间内，1 球速度的变化大于2 球速度的变化
B．两球在P 点相遇
C．2 球在最高点的速度小于v1
D．1 球动量的变化大于2 球动量的变化
【答案】C
【详解】A．由于两球的加速度均为重力加速度，所以单位时间内，1 球速度的变化等于2 球速度的变化，故A
错误；
BC．若两球在P 点相遇，下落的高度相同，则运动的时间相同，对1 球，有
；
对2 球，有
；
由此可知
；
所以1 球先经过P 点，两球不会在
P 点相遇，2 球在最高点的速度小于v1，故B 错误，C 正确；
D．根据动量定理可得
由于
，所以1 球动量的变化小于2 球动量的变化，故D 错误。故选C。
6．（2024 高三下·甘肃·开学考试）如图所示，跳台滑雪场地斜坡与水平面的夹角为θ=37°，质量为m=60kg 的
运动员（可视为质点）从斜坡的起点A 点以初速度v=10m/s 向左水平飞出，不计空气阻力，取重力加速度
g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则运动员从飞出至落到斜坡上B 点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动员运动的时间为1.5s
B．运动员落在斜坡上时的瞬时速度方向与水平方向的夹角为74°
C．运动员落在斜坡上时重力的瞬时功率为4500W
D．运动员在空中离坡面的最大距离为2.25m
【答案】AD
【详解】A．动员从飞出至落到斜坡上B 点的过程中，有
，
，
联立解得
故A 正确；
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B．运动员落在斜坡上时的瞬时速度方向与水平方向的夹角为
可得
可知运动
员落在斜坡上时的瞬时速度方向与水平方向的夹角不为74°，故B 错误；
C．运动员落在斜坡前瞬间重力的瞬时功率为
故C 错误；
D．将运动员的运动分解为沿斜坡的分运动和垂直斜坡的分运动，可知运动员在空中离坡面的最大距离为
故D 正确。故选AD。
7．（2024 高三下·河南·模拟预测）如图所示，军事演习时，要轰炸倾角为θ 的斜坡上的D 点，坡底的大炮发射
的炮弹刚好落在D 点，且到达D 点时速度刚好水平；轰炸机水平投出的炸弹也刚好落在D 点，到达D 点时炸弹
速度方向与炮弹发射的初速度方向刚好相反，炸弹运动时间是炮弹运动时间的2 倍，不计空气阻力，关于炸弹
和炮弹在空中运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．炸弹位移是炮弹位移的2 倍
B．炸弹最小速度是炮弹最小速度的2 倍
C．炸弹最大速度是炮弹最大速度的4 倍
D．炸弹下落高度是炮弹上升高度的4 倍
【答案】BD
【详解】D．炮弹做斜抛运动，根据题意D 点是斜抛的最高点，利用逆向思维，在竖直方向上有
炸弹
做平抛运动，竖直方向有
解得
即炸弹下落高度是炮弹上升高度的4 倍，故D 正确；
A．由于到达D 点时炸弹速度方向与炮弹发射的初速度方向刚好相反，令这两个速度方向与水平方向夹角为
，
对炮弹的运动进行分析，利用逆向思维有
对炸弹的运动进行分析，则有
可知，炮弹与炸弹的发射初始位置的连线沿斜坡，其中
，
分别为炮弹
与炸弹的水平分速度大小，解得
则炮弹与炸弹的位移分别为
，
14
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结合上述解得
即炸弹位移是炮弹位移的4 倍，故A 错误；
B．由于上述
，
分别为炮弹与炸弹的水平分速度大小，即分别为炮弹与炸弹的最小速度，根据上述解得
即炸弹最小速度是炮弹最小速度的2 倍，故B 正确；
C．根据题意可知，炸弹在D 点速度最大，炮弹在B 点速度最大，结合上述，炸弹与炮弹的最大速度分别为
，
解得
即炸弹最大速度是炮弹最大速度的2 倍，故C 错误。故选BD。
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的坐标系，x 轴水平向右，质量为m=0.5kg 的小球从坐标原点O 处，
以初速度
斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力
的作用，风力与
的夹角为
30°，风力与x 轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球的加速度大小为10m/s2
B．加速度与初速度
的夹角为60°
C．小球做类斜抛运动
D．当小球运动到x 轴上的P 点（图中未标出），则小球在P 点的横坐标为
【答案】AD
【详解】A．由题意可知，风力与重力的夹角为120°，由于
即风力与重力大小相等，根据矢量合
成规律，可知合力与重力等大，则小球的加速度大小为10m/s2，故A 正确；
B．由几何关系可知，合力与初速度
方向垂直，即加速度方向与初速度
的夹角为90°，故B 错误；
C．根据上述可知，加速度a 与初速度
方向垂直，则小球做类平抛运动，故C 错误；
D．设P 点的横坐标为x，把x 分别沿着
和垂直
分解，则有
，
由类平抛运动的规律可
得
，
解得
，
故D 正确。故选AD。
9．（2024 高三下·江西·模拟预测）如图所示，
为倾角为
的斜面顶端的水平边沿，
与
平行，
与
竖直，
在同一水平面内且
。一足球从斜面最低点
处以一定速度踢出，方向与
水平方向成
角，经过一段时间恰好水平击中
点，不计空气阻力，已知重力加速度为
长度
，
BC 长度
，则（ ）
15
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A．足球在空中的运动时间为
B．足球在空中的运动时间为
C．足球被踢出时的初速度为
D．足球被踢出时的初速度为
【答案】AD
【详解】方法一：足球做斜抛运动，竖直位移为
，水平位移为
。过
点作
的平行线
，交斜面底
边
于
点，连接
，如图所示
CD．由图知
与
全等，竖直方向有
解得
故C 错误，D 正确；
AB．竖直方向又有
联立解得
故A 正确，B 错误。故选AD。
方法二：由图知
与
全等，可得
在
中
，根据勾
股定理得
足球从A 点运动到
点，有
，
联立解得
；
故选AD。
10．（2024 四川泸县一诊）如图，物体甲从高H 处以速度
平抛，同时乙从乙距甲水平方向s 处由地面以初速
16
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度
竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是（ ）
A．从抛出到相遇的时间为
B．若要在物体乙上升中遇甲，必须
，
C．若要在物体乙下降中遇甲，必须
，
D．若相遇点离地高度为
，则
【答案】ABD
【详解】A．由题意可知，若两物体在空中能够相遇，则在竖直方向应满足
代入数据解得
故A 正确；
BC．由于物体甲、乙的加速度相同，可知甲、乙相对匀速，相遇时间为
或
，则有
若要在物体乙上
升中遇甲，则有
解得
若要在物体乙下降中遇甲，则有
解得
故
B 正确，C 错误；
D．若相遇点离地高度为
，则有
又
联立解得
故D 正确。故选ABD。
11．（2024·河南三门峡·一模）如图所示，倾角为
的光滑斜面AB 固定在水平面上，现将一弹力球从斜面
的顶端A 点以
的初速度水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B 点。若弹力球与斜面碰撞时，
沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A 点水平抛出时的速度
大小，使弹力球与斜面碰撞1 次后仍能落到B 点，已知重力加速度g 取
，不计
空气阻力。求调整后弹力球水平抛出的速度大小。
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【答案】
【详解】弹力球做平抛运动，竖直方向有
水平方向有
解得斜面的长度
将平抛运动分解为沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动，设调整后弹力球水平抛出时的
速度大小沿垂直斜面方向的分速度大小为
沿斜面方向的分速度大小为
垂直斜面方向的加速度大小为
沿斜面方向的加速度大小为
弹力球每次从斜面离开到
再次落回斜面的过程中用时为
沿斜面方向有
解得
12．（2024 江西高三联考）圆柱形容器的横截面在竖直平面内，如图所示，其半径
，从其内部最高点A
分别以水平初速度
、
抛出两个小球（均可视为质点），最终分别落在圆弧上的B 点和C 点，已知OB 与OC
相互垂直，且OB 与竖直方向的夹角
。取重力加速度大小g=10
，
，
，不计
空气阻力，求
（1）小球从被抛出到落在B 点的时间；
（2）小球被抛出时的初速度
、
的大小之比；
（3）小球到达C 点时的速度大小
。
【答案】（1）0.6s；（2）
；（3）
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【详解】（1）根据平抛运动规律，对落在B 点的小球有
解得
（2）根据平抛运动规律，对落在B 点的小球有
1；
对落在C 点的小球有
解得
s；R
；
解得
（3）对落在C 点的小球有，竖直方向的分速度大小
解得
；
13．（2024·山东烟台·模拟预测）如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对实体作用效果以及观
察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为
风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O 点将质量为m 的小球以一定的初速度
竖直上抛，从M 点离开风洞区域，经过最高点Q 后小球再次从N 点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域
的下边界P 处，NP 与水平方向的夹角为37°，
，
，重力加速度大小为g。求；
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP 的最大高度；
（3）OP 的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球再次从N 点返回风洞区域后做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，受力情况如
图所示
根据平行四边形定则和几何知识知
解得
（2）最高点的小球的速度沿水平方向，设该速度为v，则小球在M、N 点的水平方向速度也为v，设小球在
M、N 点竖直方向的速度大小为
，在 O 点的初速度为
。由O 到M 的时间为t，水平方向有
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在P 点，水平方向有
竖直方向速度大小为
，则
解得
在竖直方向上，小
球在从O 点到P 点做上抛运动，竖直方向上速度相等，可得
由N 到P 小球做直线运动，则有
可得
最高点为Q 点，则在竖直方向上，由Q 到N，则
由N 到P 有
解得
，QN 在竖直方向上有
，NP 在竖直方向上有
可得
小球运动过程中离风洞
下边界OP 的最大高度
（3）水平方向由O 到M 有
由M 到 N 有
由N 到P 有
又
，
，解
得
14．（2024·山东淄博·一模）临淄的蹴鞠是有史料记载的最早足球活动，图甲是某蹴鞠活动的场景。如图乙所示，
某校举行蹴鞠比赛的场地为一长方形ABCD，长
，宽
，E、E′、F、F′分别为各边中点，O 为
EE′和FF′交点，EE′上竖直插有两根柱子，两柱之间挂一张大网，网的正中间有一圆形的球洞名为“风流眼”，
两支球队分别在网的两侧，若蹴鞠穿过“风流眼”后落地，射门的球队得分。圆形“风流眼”的圆心Q 在O 点
正上方，Q、O 之间的高度
。甲、乙两位运动员在某次配合训练中，甲将静止在地面F 点的蹴鞠斜向
上踢出，经时间
恰好到达最高点P，P 在场地上的投影为P′，P′到FF′的距离为
，
到AB 的距离为
2m。乙运动员紧接着从P 点将蹴鞠斜向上踢出，恰好经过“风流眼”中的Q 点且经过Q 点时速度方向水平，穿
过“风流眼”后蹴鞠落到EE′CD 区域的K 点（蹴鞠第一次着地的位置，图中未画出），蹴鞠的质量为
，
蹴鞠可看作质点，忽略空气阻力，重力加速度大小为
。求：
（1）甲运动员对蹴鞠做的功W；
（2）K 点到EE′的距离d。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）根据题意可知，蹴鞠斜向上运动时，沿
和
方向做匀速直线运动，竖直向上做竖直
上抛运动，则有
，
竖直方向上有
，
由几何关
系可得，蹴鞠斜向上运动时的初速度为
由动能定律可得，甲运动员对蹴鞠做的功
（2）根据题意，结合（1）分析可得，
的数值高度为
由公式
可得，蹴鞠从
运
动到
的时间为
则蹴鞠从
运动到
时，沿
方向的速度为
蹴鞠从
点落地的时间为
则K 点到EE′的距离为
15．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）我国选手在北京冬奥会自由式滑雪女子U 型场地技巧决赛中夺得金牌。如图
所示，某比赛用U 型池场地长度L=160m、宽度d=20m、深度h=7.25m，两边竖直雪道与池底平面雪道通过圆弧
雪道连接组成，横截面像“U”字形状，池底雪道平面与水平面夹角为θ=20°。为测试赛道，将一质量m=1kg 的
小滑块从U 型池的顶端A 点以初速度
滑入；滑块从B 点第一次冲去U 型池，冲出B 点的速度
vB=10m/s，与竖直方向夹角为α（α 未知），再从C 点重新落回U 型池（C 点图中未画出）。已知A、B 两点间
直线距离为25m，不计滑块所受的空气阻力，sin20°=0.34，cos20°=0.94，g=10m/s2。
（1）A 点至B 点过程中，求小滑块克服雪道阻力所做的功Wf；
（2）若保持vB大小不变，调整速度vB与竖直方向的夹角为α0时，滑块从冲出B 点至重新落回U 型池的时间最
长，求tanα0。
【答案】（1）1.35J；（2）
【详解】（1）小滑块从A 点至B 点过程中，由动能定理得
由几何关系得
解得
（2）当滑块离开B 点后，将速度分解为沿U 型池斜面方向分速度
和垂直U 型池斜面方向分速度
，将加速
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度分解为沿U 型池斜面方向分加速度
和垂直U 型池斜面方向分加速度
，则有
，
滑块从冲出B 点至重新落回U 型池的时间为
可知
取最大时，即滑块离开B 点速度方向刚好
垂直于U 型池斜面方向时，滑块从冲出B 点至重新落回U 型池的时间最长，此时有
，则有
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