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专题19 带电粒子在电场中运动模型
匀强电场中的类平抛运动模型（5-7 题）.....................................................................................3
交变电场中的直线、偏转运动模型（8-10 题）...........................................................................4
等效重力场的直线运动模型（11-13 题）.....................................................................................6
等效重力场中的类抛体运动模型（14--16 题）...........................................................................7
等效重力场中的圆周运动模型（17-21 题）.................................................................................8
1.
（2023•全国）如图，两块大导体板水平相对放置，相距为d，电势分别为U0和﹣U0
（U0＞0 ），长为L 的绝缘细绳上端固定于上板，下端与质量为m 的带正电小球连接，小球带
电量为Q。重力加速度大小为g。小球在平衡位置附近摆动的周期是（ ）
A．2π√
mLd
mgd +2QU 0
B．2π√
mLd
mgd -2QU 0
C．2π√
mLd
mgd +QU 0
D．2π√
mLd
mgd -QU 0
2.
（2023•北京）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物
（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电
颗粒沿板方向的速度v0保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集。已知
金属板长度为L，间距为d。不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为﹣q 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
U1；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为f＝krv，其中r
为颗粒的半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a.半径为R、电荷量为﹣q 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U2；
b.已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比。进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10μm 和
1
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2.5μm 的两种颗粒，若10μm 的颗粒恰好100%被收集，求2.5μm 的颗粒被收集的百分比。
3.
（2022•江苏）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示．矩形ABCD 区
域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交
替变化．AB 边长为12d，BC 边长为8d．质量为m、电荷量为+q 的粒子流从装置左端中点射
入电场，粒子初动能为Ek，入射角为θ，在纸面内运动．不计重力及粒子间的相互作用力。
（1）当θ＝θ0时，若粒子能从CD 边射出，求该粒子通过电场的时间t。
（2）当Ek＝4qEd 时，若粒子从CD 边射出电场时与轴线OO'的距离小于d，求入射角θ 的范围。
（3）当Ek= 8
3
qEd，粒子在θ 为- π
2 ～π
2
范围内均匀射入电场，求从CD 边出射的粒子与入射粒
子的数量之比N：N0。
4.
（2022•河北）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1 所示。金属板与
可调电源相连形成电场，方向沿y 轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直xOy 平面向外。
电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2 所示。板间O 点放置一粒子源，可连续释放质
量为m、电荷量为q（q＞0），初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理
量均为已知量。求：
2
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（1）t＝0 时刻释放的粒子，在t= 2πm
q B0
时刻的位置坐标；
（2）在0～6 πm
q B0
时间内，静电力对t＝0 时刻释放的粒子所做的功；
（3）在M（4 π E0m
q B0
2
，π
2 E0m
4 q B0
2
）点放置一粒子接收器，在0～6 πm
q B0
时间内什么时刻释放的粒
子在电场存在期间被捕获。
匀强电场中的类平抛运动模型（5-7 题）
5.
（2023•西城区一模）具有相同质子数和不同中子数的原子称为同位素。让氢的三种
同位素原子核（ 1
1H、 1
2H 和 1
3H）以相同的速度从带电平行板间的P 点沿垂直于电场的方向
射入电场，其中氘核（ 1
2H）恰好能离开电场，轨迹如图所示。不计粒子的重力，则（ ）
A． 1
1H 不能离开电场
B． 1
3H 在电场中受到的电场力最大
3
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C． 1
3H 在电场中运动的时间最短
D．在电场中运动的过程中电场力对 1
1H 做功最少
6.
（2023•南宁一模）如图，一等腰直角三角形ABC，∠A＝45°，∠B＝90°，其中BC
长为2L，D 为BC 边的中点。空间存在某一匀强电场，电场方向与三角形所在平面平行。一质
量为m，电荷量为+q 的带电粒子，从A 点以v0的速度沿AC 方向射入电场，之后粒子恰能以
最小的速度√2
2
v0 垂直于BC 边离开。若不计粒子重力与空气阻力，下列说法正确的是
（ ）
A．该粒子经过三角形ABC 区域，电势能一直在减小
B．该粒子经过BC 边时，出射点位于D 点下方
C．匀强电场的电场强度大小为E = mv0
2
4 qL
D．无论如何改变匀强电场的方向，都无法使该粒子到达C 点
7.
（2023•皇姑区校级模拟）如图所示，两平行金属板A、B 长L＝8cm，两板间距离d
＝8cm，A 板比B 板电势高400V，一带正电的粒子电荷量q＝10
10
﹣C，质量m＝10
20
﹣kg，沿
两板中心线RO 以初速度v0＝2×106m/s 飞入平行金属板，粒子飞出平行板电场后经过界面
MN、PS 间的无电场区域后，进入固定在O 点的点电荷Q 形成的电场区域，（设界面PS 右边
点电荷的电场分布不受界面的影响），已知两界面MN、PS 相距为x0＝12cm，D 是中心线RO
与界面PS 的交点，粒子穿过界面PS 后的运动过程中速率保持不变，最后打在放置于中心线上
的荧光屏bc 上E 点。（E 点未画出，静电力常数k＝9.0×109N•m2/C2，粒子重力忽略不计）
4
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（1）求粒子到达PS 界面时离D 点多远？
（2）确定点电荷Q 的电性并求其电荷量的大小。（结果保留三位有效数字）
（3）求出粒子从进入平行板电场到E 点运动的总时间。
交变电场中的直线、偏转运动模型（8-10 题）
8.
（2023•九龙坡区模拟）如图甲中的水平平行金属板M、N 间加有如图乙所示的变化
电压，(3+√2)t0
后电压消失。当电压稳定时，板间为匀强电场。O 位于M、N 板间中点，可
以向外释放初速度为零的带电液滴。在t＝0 时，均带负电的液滴甲、乙从O 由静止进入板间，
甲、乙两液滴的比荷分别为k 和1.5k，忽略两个带电液滴间的相互作用及其电荷量的变化。已
知0～t0时间甲处于静止状态，3t0时刻甲恰好到达下极板附近。重力加速度大小为g，则在如
图乙中表示的时间段内，下列说法正确的是（ ）
A．两板间距为gt0
2
B．乙在t = 9+√13
4
t0时刻打到上极板
C．甲在该阶段的最大速度为gt0
D．甲在(3+√2)t0
时刻恰好到达上极板附近
9.
（2023•香坊区校级三模）实验小组用如图所示装置研究带电粒子在两个平行金属板
5
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间的运动，已知板长为L，两板间距d 未知，将放射源P 靠近平行金属板，放射出的带电粒子
沿平行金属板A、B 的中轴线MN 射入板间，平行金属板A、B 间加有如图所示的交变电压，
已知电压U0，周期T 未知，当电压稳定时，板间是匀强电场。质量为m、电量为q 的粒子以
8
5 v0的速率在3
8
T 时刻从M 点进入板间，T 时刻离开金属板，运动过程中恰好不与金属板碰撞
（粒子重力忽略不计）。求：平行板A、B 的间距d 是多少？
10. （2023•厦门模拟）如图甲所示，离子源持续逸出带电量为+q、质量为m 的离子，其
初速度视为0，离子经过加速电场后，以速度v0沿两平行极板PQ 的中线飞入交变电场。已知
极板P、Q 水平放置，间距为d，长度为L，极板上所加的交变电压如图乙所示，变化周期
T = L
v0
，所有离子均能从PQ 极板右侧射出，不计离子重力及离子间相互作用，求：
（1）加速电场的电压大小U0；
（2）PQ 极板间所加电压U 的最大值Um；
（3）当PQ 极板间交变电压为（2）问中所求的Um时，在PQ 极板右侧建立O
xyz
﹣
直角坐标系，
其中Ox 与极板Q 的中轴线在同一直线上，图中的两个正方体棱长均为d，正方体OCDE﹣
O1C1D1E1 区域内存在沿y 轴正方向、大小为B1= 3m v0
5qd
的匀强磁场，正方体CDGH
C
﹣
1D1G1H1
区域内存在沿x 轴正方向、大小为B2= 9m v0
10qd
的匀强磁场，求离子在正方体CDGH
C
﹣
1D1G1H1
区域内运动的最长时间。
6
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等效重力场的直线运动模型（11-13 题）
11. （多选）（2022 秋•包头期末）如图所示，地面上固定一倾角为θ＝53°，高为h 的光
滑绝缘斜面，现将一个带正电的物块（可视为质点）从斜面顶端由静止释放，已知物块质量为
m，电荷量为q，斜面置于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E = 4 mg
3q
，重力加速度为
g，则下列说法正确的是（ ）
A．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为mgh
B．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为16mgh
9
C．物块落地的动能大小为2mgh
D．物块落地的动能大小为25mgh
9
12. （2023 春•泰安期末）如图所示，水平地面上方存在大小为E 的水平向左的匀强电场，
一带电小球（可视为质点）用轻质绝缘细线悬挂于O 点，小球带电荷量为+q，静止时距地面
的高度为h，细线与竖直方向的夹角为α＝37°，重力加速度为g（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，
不计空气阻力）。求：
（1）小球的质量；
（2）若用绝缘剪刀将细线剪断，带电小球落地瞬间的动能。
7
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13. （2022 秋•东莞市期末）如图所示，轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的
带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电
荷量q＝1.0×10
6
﹣C，匀强电场的场强E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，
cos37°＝0.8。求：
（1）小球所受静电力F 的大小；
（2）小球的质量m；
（3）剪断细绳后2s 末，小球的速度v 的大小。
等效重力场中的类抛体运动模型（14--16 题）
14. （2022 秋•西湖区校级期中）如图为一匀强电场，某带电粒子从A 点运动到B 点。在
这一运动过程中克服重力做的功为2.0J，电场力做的功为0.5J。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子在A 点的电势能比在B 点少0.5J
C．粒子在A 点的动能比在B 点多1.5J
D．粒子在A 点的机械能比在B 点少0.5J
15. （多选）（2023•和平区校级模拟）在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球
8
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从A 点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上A、B 两点在同一水平线上，
M 为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为8J，在M 点的动能为6J，不计空气的阻力。则（
）
A．小球水平位移x1与x2的比值1：3
B．小球水平位移x1与x2的比值1：4
C．小球落到B 点时的动能为32J
D．小球从A 点运动到B 点的过程中最小动能为6J
16. （2022 秋•江北区校级期末）如图所示，光滑绝缘小平台距水平地面高H＝0.96m，地
面与竖直绝缘光滑圆形轨道在A 点连接，整个装置位于水平向右的匀强电场中。现将质量m＝
0.1kg、带电荷量q＝1×10
3
﹣C 的小球（带正电，可视为质点）从平台上端点N 由静止释放，离
开平台N 后，沿直线NA 运动，恰好由A 点沿切线进入右侧绝缘光滑圆形轨道（轨道半径R
未知），并沿轨道恰好能运动到C 点。图中O 点是圆轨道的圆心，B、C 分别是圆形轨道的最
低和最高点，AO、BO 间的夹角为53°，取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
（1）匀强电场的大小；
（2）小球运动到C 点时的速度大小；
（3）小球在圆形轨道上运动时对轨道的最大压力大小。
9
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等效重力场中的圆周运动模型（17-21 题）
17. （2023•西湖区校级模拟）如图所示，质量为m、带电荷量为+q 的小球（可视为质
点）与长为L 的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在O 点，整个系统处在与竖直方向夹角为45°
的匀强电场中。已知A、B、C、D、E、F 为圆周上的点，AB 为水平直径，CD 为竖直直径，
EF 过O 点且与CD 的夹角为45°，当小球绕O 点在竖直平面内做半径为L 的圆周运动时，小球
运动到A 点时的速度最小，最小速度为vmin=√gL，g 为重力加速度的大小，则下列说法正确
的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为mg
q
B．小球从A 点运动到B 点时，合力做的功为mgL
C．小球运动到B 点时轻绳拉力的大小为5mg
D．小球运动到F 点时的机械能最大
18. （2023•宁德模拟）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中
有一根长为L 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球。小球静
止时细线与竖直方向成θ 角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向
做圆周运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度E = mgtanθ
q
B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为Ekmin= mgL
2sinθ
10
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C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
19. （多选）（2023 秋•庐阳区校级月考）如图所示，在水平的匀强电场中，一个质量为
m、电荷量为+q 的小球，系在一根长为L 的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O 点做
圆周运动，AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度E = mg
q
，
不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若小球能沿着ACBD 圆弧运动，则其在D 点速度最小
B．若小球能沿着ACBD 圆弧运动，则其在C 点速度最大
C．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球运动到B 点时的机械能最大
D．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动过程中的最小速度为√√2 gL
20. （2023•辽宁模拟）如图所示，竖直固定的光滑绝缘轨道处在水平向右的匀强电场中，
轨道的倾斜部分MN 倾角θ＝53°，水平部分NP 与倾斜轨道MN 平滑连接，圆心为O、半径为
R 的圆弧轨道PQJK 与NP 相切于P 点。现有一质量为m、电荷量为+q 的带电小球（可视为质
点）从M 点由静止释放，小球可沿轨道运动。已知电场强度大小E= 3mg
4 q
，轨道水平段NP 长
度sNP＝4R，重力加速度为g，空气阻力不计，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
（1）当小球释放高度h＝9.6R 时，求小球到达P 点时的速度大小；
（2）当小球释放高度h＝9.6R 时，求小球运动到与O 点等高的Q 点时受到轨道弹力的大小；
（3）如果其他条件不变，仅将小球带电量变为﹣q，要使小球在运动过程中不脱离圆弧轨道，
求小球释放高度h 的取值范围。
21. （2023 秋•泉州期中）如图中所示，绝缘水平传送带与竖直放置的半圆形轨道底部平
11
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滑相接。半圆形轨道绝缘、光滑，半径为R＝0.45m，处在水平向右的匀强电场中，半圆形轨
道的竖直直径是电场的左边界，电场的场强大小为√3
3 ×10
3 N /C。一质量为0.1kg，电荷量
为+q＝1.0×10
3
﹣C 的小物块自半圆形轨道某位置静止沿轨道滑下，滑至底端并冲上传送带，在
传送带上运动的速度—时间图象如图乙所示（以向右为正方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
g 取10m/s2）求：
（1）小物块与传送带间的动摩擦因数μ；
（2）小物块开始滑下的位置P 到传送带的高度差h；
（3）小物块在半圆形轨道上滑动时对轨道的最大压力大小F′N。
12
