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2024 版新课标高中物理模型与方法
专题13 匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型
目录
【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型..................................................................................1
1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型...............................................................................................1
2.交变电场中的直线运动...........................................................................................................................8
3.带电体在电场中的直线运动.................................................................................................................12
【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型............................................................................................20
【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型................................................................................29
【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型.......................................................37
【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型
1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型
（1）
受力分析：
与力学中受力分析方法相同,知识多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒
力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力.
（2）
运动过程分析：
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，收到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加
（减）速直线运动.
（3）
两种处理方法：
①力和运动关系法——牛顿第二定律：
带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线运动的公式确
定带电粒子的速度、时间和位移等.
②功能关系法——动能定理：
带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是
，则
.
例：如图真空中有一对平行金属板，间距为d，接在电压为U 的电源上，质量为m、电量为q 的正电
荷穿过正极板上的小孔以v0进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小孔穿出.不计重力，求：正电荷穿
出时的速度v 是多大？
1
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解法一、动力学：由牛顿第二定律：
a= F
m=qE
m =qU
md ①
由运动学知识：v2－v0
2=2ad ②
联立①②解得：
v=√
2qU
m +v0
2
解法二、动能定理：
qU =1
2 mv 2−1
2 mv 0
2
解得
v=√
2qU
m +v0
2
讨论：
（1）若带电粒子在正极板处v0≠0，由动能定理得qU=
1
2 mv2-
1
2 mv0
2 解得v=
（2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电量为+q，
质量为m 的带电粒子，以初速度v0，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀减速直线运动.
①若v0>
，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为v，
有 -qU=
1
2 mv2-
1
2 mv0
2 解得v=
②若v0<
，则带电粒子不能从对面极板的小孔穿出，带电粒子速度减为零后，反方向加速运动，
从左极板的小孔穿出，穿出时速度大小v=v0.
设带电粒子在电场中运动时距左极板的最远距离为x，由动能定理有： -qEx=0-
1
2 mv0
2
又E=
(式d 中为两极板间距离) 解得x=
.
【模型演练1】（2023·全国·高三假期作业）如图所示，两平行金属板相距为d，电势差U 未知，一个电子
从O 点沿垂直于极板的方向以速度v 射出，最远到达A 点，然后返回，已知O、A 相距为h，电子的质量为
m，电荷量为e，则两金属板间的电势差U 为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【模型演练2】（2023 春·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）如图所示，在P 板附近有一电子由静
止开始向Q 板运动，则关于电子到达Q 板时的速度，下列说法正确的是（ ）
A．两板间距离越大，加速的时间就越长，获得的速度就越大
B．两板间距离越小，加速度就越大，获得的速度就越大
C．与两板间距离无关，仅与加速电压有关
D．以上说法均不正确
【模型演练3】（2023·河北保定·统考三模）一对平行正对的金属板C、D 接入如图所示的电路中，电源电
动势为E，C 板固定，D 板可左右平行移动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从C 板发射一电子，恰
能运动到A 点后再返回，已知A 到D 板的距离是板间距离的三分之一，电子质量为m，电荷量为-e，忽略
电子的重力，则（ ）
A．设定C 板电势为0，电子在A 点的电势能为
B．若要让电子能够到达D 板，可将D 板向左平移至A 点或A 点左侧某位置
C．若要让电子能够到达D 板，可将D 板向右平移至某位置
D．若要让电子能够到达D 板，可闭合开关，再将D 板向右平移至某位置
【模型演练4】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，半径为R 的圆处在匀强电场中，
O 为圆心，圆所在平面与电场线平行，A、B 是圆上两点，
间劣弧为四分之一圆弧，一个质量为m、电
荷量为q 的带正电的粒子以大小为v0的速度从O 点沿某一方向射出，到达B 点时的动能为
，若以垂直
连线向左的方向仍以大小为
的速度射出，过一段时间t 粒子又回到O 点，再改变粒子从O 点射出的
3
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方向，射出速度大小仍为
，结果粒子到达了A 点，不计粒子的重力，则（ ）
A．
B．A 点电势比B 点电势高
C．匀强电场的电场强度大小为
D．O、A 两点的电势差为
【模型演练5】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，两极板加上恒定的电压U，将一质量为m、电荷量
为＋q 的带电粒子在正极板附近由静止释放，粒子向负极板做加速直线运动。不计粒子重力。若将两板间
距离减小，再次释放该粒子，则（ ）
A．带电粒子获得的加速度变小
B．带电粒子到达负极板的时间变短
C．带电粒子到达负极板时的速度变小
D．加速全过程静电力对带电粒子的冲量变小
【模型演练6】（2023·高三课时练习）两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m、电荷量为
e，从O 点沿垂直于极板的方向射入电场，最远到达A 点，然后返回，如图所示，OA 间距为h，则此电子
的初动能为（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
2.交变电场中的直线运动
U-t
图
v-t
图
[
轨
迹
图
【模型演练1】（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）如图甲所示，直线加速器由一个金属圆板（序号为0）和
多个横截面积相同的金属圆筒组成，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度遵照一定的规律依次增加．圆
板和圆筒与交流电源相连，序号为奇数的圆筒和电源的一极相连，圆板和序号为偶数的圆筒和该电源的另
一极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。若电压的绝对值为U，电子电量大小为e，电
子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t=0 时刻，圆板中央的一个电子在圆板和圆筒之间的电场中由静
止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1，电子在每个圆筒中运动的时间均小于T，且电子均在电压变向时恰
从各圆筒中射出，不考虑相对论效应，则（ ）
t
O
v
v0
T/2
T
单向直线运动
A
B
速度不反向
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/2
-v0
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B 速度反向
T
T/8
-3v0
5T/8
t
O
v
v0
T/3
2T/3
往返直线运动
A
B 速度反向
T
-v0
O
A
B
O
A
B
A
O
A
B
D
C
O
A
B
A
5
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A．由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场
B．电子运动到第n 个圆筒时动能为2neU
C．在t=
时奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值
D．第
个和第n 个圆筒的长度之比为
∶
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中
的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场的方向平行于x 轴，其电势φ 随x 的分布如
图所示，一质量
，电荷量
的带负电的粒子从（-1cm，0）点由静止开始，
仅在电场力作用下在x 轴上
范围内往返运动，则（ ）
A．x 轴负半轴电场强度E1和正半轴电场强度E2的大小的比值为
B．粒子在
范围内运动过程中，电场力的冲量为8.0×10-14N·s
C．该粒子运动过程中电势能变化量的最大值为
D．该粒子运动的周期
【模型演练3】（2023·广东省湛江市高三上学期调研）如图甲所示，A 板电势为0，A 板中间有一小孔，B
板的电势变化情况如图乙所示，一质量为m、电荷量为q 的带负电粒子在t＝时刻以初速度为0 从A 板上的
小孔处进入两极板间，仅在电场力作用下开始运动，恰好到达B 板．则( )
A．A、B 两板间的距离为 B．粒子在两板间的最大速度为
C．粒子在两板间做匀加速直线运动
D．若粒子在t＝时刻进入两极板间，它将时而向B 板运动，时而向A 板运动，最终打向B 板
6
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【模型演练4】(2023·安徽合肥模拟)如图(a)所示，两平行正对的金属板A、B 间加有如图(b)所示的交变电
压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P 处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向
A 板运动，时而向B 板运动，并最终打在A 板上．则t0可能属于的时间段是
( )
A．0＜t0＜ B.＜t0＜ C.＜t0＜T D．T＜t0＜
3.带电体在电场中的直线运动
(1).带电小球在电容器中的直线运动
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
qE=mg，a=0
qE=mgtanθ，a=g/cosθ
qE=mg/cosθ，a=gtanθ
qE=mg/cosθ，a=gtanθ
(2)多过程运动规律
运动模型
受力分析
运动分析
规律
** 错误的表达式 ** 速度公式
v0=gt1=at2;
速度位移公式v0
2=2gx1=2ax2
** 错误的表达式 **全程动能定理：
mg(h+d)-qU=0
【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，空间存在水平向左的匀强电场，一带电量为
的
物块放在光滑绝缘水平面上，在恒力F 作用下由静止开始从O 点向右做匀加速直线运动，先经时间t 力F
做功
，此后撤去力F，物块再经时间
返回到出发点O，且回到出发点时的速度大小为v。设物块在O
点的电势能为零，则（ ）
+ + + + +
+ + + + +
- - - - -
- - - - -
mg
qE
mg
qE
θ
mg
qE
θ
mg
mg
●
qE
t
O
v
t2
t1
a
g
v0
7
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A．撤去力F 时物块的速度大小为
B．物块向右滑动的最大距离为
C．物块回到出发点时的动能为
D．撤去力F 时物块的电势能为
【模型演练2】（2023 秋·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，绝缘水平面
区域粗
糙，
区域光滑且处于一方向沿
负方向、电场强度大小
的匀强电场中，在
处有3 个完全相同的减速带，减速带的宽度远小于
。一质量为
、带电量为
的小
滑块（可视为质点）从
处由静止释放，测量发现小滑块通过相邻2 个减速带间的时间相同。已知小
滑块与水平地面间的动摩擦因数为
，小滑块通过每一个减速带时损失的机械能相同，重力加速度为
，
求：
（1）小滑块通过每一个减速带时损失的机械能；
（2）小滑块最终停在何处。
【模型演练3】(2023·浙江宁波市重点中学联考)如图所示，相距为d 的平行板A 和B 之间有电场强度为E、
方向竖直向下的匀强电场．电场中C 点距B 板的距离为0.3d，D 点距A 板的距离为0.2d，有一个质量为m
的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C 点运动至D 点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该微粒在D 点时的电势能比在C 点时的大
B．该微粒做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd
8
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D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝
【模型演练4】（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，在竖直面（纸面）内有匀强电
场，带电量为q（q>0）、质量为m 的小球受水平向右大小为F 的恒力，从M 匀速运动到N。已知MN 长为
d，与力F 的夹角为
，重力加速度为g，则
A．场强大小为
B．M、N 间的电势差为
C．从M 到N，电场力做功为
D．若仅将力F 方向顺时针转
，小球将从M 向N 做匀变速曲线运动
【模型演练5】（2023·陕西安康·统考三模）如图所示，质量为m、电荷量为q 的小球在电场强度为E 的匀
强电场中，以初速度
沿直线
做匀变速运动，直线
与水平面的夹角为
，若小球在初始位置的电
势能为零，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场强度E 的最小值为
B．匀强电场的方向可能竖直向上
C．如果小球加速运动且加速度大小为g，则电场强度
9
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D．如果电场强度为
，小球电势能的最大值为
【模型演练6】(2023·陕西榆林市高三第一次模拟)如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α 角，在平
行板间存在着匀强电场，直线CD 是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF 与CD 交于O 点，一个带电小
球沿着∠FOD 的角平分线从A 点经O 点向B 点做直线运动，重力加速度为g.则在此过程中，下列说法正确
的是( )
A．小球带正电
B．小球可能做匀加速直线运动
C．小球加速度大小为gcos α
D．小球重力势能的增加量等于电势能的增加量
【模型演练7】一匀强电场，场强方向是水平的，如图所示，一个质量为m、电荷量为q 的带正电的小球，
从O 点出发，初速度的大小为v0，在电场力和重力作用下恰好能沿与场强的反方向成θ 角做直线运动，重
力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球运动到最高点时其电势能与O 点的电势能之差．
【模型演练8】（2023·黑龙江哈尔滨一中高三上学期11 月期中）如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极
板与水平面夹角为θ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量为q，从极板M 的左边缘A 处以初
速度v0水平射入，沿直线运动并从极板N 的右边缘B 处射出，重力加速度为g，则( )
A．微粒到达B 点时动能为mv0
2
B．微粒的加速度大小等于gsin θ
C．两极板的电势差UMN＝
D．微粒从A 点到B 点的过程，电势能减少
10
U d
l
q
v0
y
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【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型
【运动模型】质量为m 、电荷量为q 的带电粒子以初速v0 沿垂直于电场的方向，进入长为l 、间距为d 、
电压为U 的平行金属板间的匀强电场中，粒子将做匀变速曲线运动，如图所示，若不计粒子重力，则可求
出如下相关量：
1、粒子穿越电场的时间t ：
粒子在垂直于电场方向以v x=v0做匀速直线运动，
l=v0t ，
t= l
v0 ；
2、粒子离开电场时的速度v ：
粒子沿电场方向做匀加速直线运动，加速度
a=qE
m =qU
md ，
粒子离开电场时平行电场方向的分速度
v y=at= qUl
mdv 0 ，
所以
v=√v x
2 +v y
2=√
v0
2+( qUl
mdv 0
)2
。
3、粒子离开电场时的侧移距离y ：
y=1
2 at 2= qUl 2
2mdv 0
2
②
②式涉及了描述粒子的物理量如
、
、
、
；描述设备的物理量
、
不难发现：（1）当不同粒子（
不同）以相同的速度进入偏转电场时侧移距离
（2）当不同粒子以相同的动能进入偏转电场时侧移距离
4、粒子离开电场时的偏角ϕ ：
因为
tan ϕ= v y
v x
= qUl
mdv 0
2
③
②与③的关系：
tanϕ=2 y
l
（熟记）
5、速度方向的反向延长线必过偏转电场的中点
由
tan ϕ= qUl
mdv 0
2
和
y= qUl 2
2mdv 0
2
，可推得
y= l
2 tanϕ
。粒子可看作是从两板间的中点沿直线射出的。
【模型演练1】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，
一个带电粒子电荷量为q，以一定的水平初速度由P 点射入匀强电场，当粒子从Q 点射出电场时，其速度
方向与竖直方向成30°角。已知匀强电场的宽度为d，P、Q 两点的电势差为U，不计重力，设Q 点的电势
为零。则下列说法正确的是（ ）
11
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A．带电粒子在P 点的电势能为Uq
B．带电粒子带负电
C．匀强电场场强大小为
D．匀强电场场强大小为
【模型演练2】．（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）如图，在直角坐标系
的一、四象限内有大小为
、方向沿y 轴正方向的匀强电场，虚线OM 与x 轴夹角
。一带电量为
、质量为m 的粒子由静
止释放，经过加速电压为
的电压加速后从y 轴上的Q 点，以初速度
沿x 轴正方向射出，粒子做曲线运
动垂直打在OM 上的P 点。已知粒子做曲线运动的时间为t，Q、P 间沿y 轴方向上的距离为
。不计粒子
重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在P 处沿竖直方向速度小于
B．加速电压
为
C．
D．P 点横坐标为
【模型演练3】（2023·山西·校联考模拟预测）如图所示，原来静止的、电荷量为q、不计重力的带电粒子
经左侧加速电场加速后，垂直于电场线方向进入偏转电场。当粒子进入偏转电场时的初速度为
时，粒子
12
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离开偏转电场时沿电场线方向的速度为
，其他条件不变，仅减小加速电压，粒子离开偏转电场时的
速度v 有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【模型演练4】(2020·全国卷Ⅰ·25)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O 为圆心，半径为R 的圆，
AB 为圆的直径，如图所示．质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A 点先后以不同的速度进入
电场，速度方向与电场的方向垂直．已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率v0穿出电
场，AC 与AB 的夹角θ＝60°.运动中粒子仅受电场力作用．
(1)求电场强度的大小；
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【模型演练5】(多选)(2022·江苏南京市、盐城市一模)两个质量相等、电荷量不等的带电粒子甲、乙，先后
以不同的速率沿着HO 方向垂直射入匀强电场，电场方向竖直向上，它们在圆形区域中运动的时间相同，
其运动轨迹如图所示．不计粒子所受的重力，则下列说法中正确的是( )
A．甲粒子带正电荷
B．乙粒子所带的电荷量比甲粒子少
C．甲粒子在圆形区域中电势能变化量小
D．乙粒子进入电场时具有的动能比甲粒子大
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【模型演练6】（2023·云南保山·统考三模）如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在一个平行于
该区域的匀强电场，MN 为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q 的粒子从M 点以速度v 射入电场，速度
方向与MN 夹角θ=45°，一段时间后粒子运动到N 点，速度大小也为v，不计粒子重力，规定M 点电势为
零。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）粒子电势能的最大值；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子射入电场的速度大小。
【模型演练7】（2023·新疆·统考三模）如图所示，真空中平行金属板M、N 之间的距离和板长均为L，两
板间加恒定的电压。一带正电的粒子从两板中央沿平行两板的方向以某一初速度射入电场，最终恰好打在
N 板中点处。所用时间为t，不计带电粒子的重力。求：
（1）带电粒子的初速度大小
；
（2）若在带电粒子运动
时撤去所加电压，该粒子打在N 板的位置与N 板中点的距离
。
【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型
【运动模型】如图所示，由静止开始被电场（加速电压为U 1）加速的带电粒子平行于两正对的平行金属板
且从两板正中间射入，从右侧射出，设在此过程中带电粒子没有碰到两极板。若金属板长为L ，板间距离
为d 、两板间电压为U 2，试分析带电粒子的运动情况。
1、粒子穿越加速电场获得的速度v1
设带电粒子的质量为m ，电量为q ，
经电压U 1加速后速度为v1。由动能定理有
qU 1=1
2 mv 1
2
，
v1=√
2qU 1
m
2、粒子穿越偏转电场的时间t ：
带电粒子以初速度v1平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，在偏转电场中运动时间为t ，
U1
d
U2
q
v1
v2
L
q
v0
v1
q
y
14
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则
t= L
v1
=L√
m
2qU 1
3、粒子穿越偏转电场时沿电场方向的加速度a ：
带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向的加速度
a= F'
m =qU 2
dm
4、粒子离开偏转电场时的侧移距离y ：
带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向作初速度为0 的做匀加速直线运动
y=1
2 at 2=1
2×
qU 2
dm ×
m
2qU 1
L2=
U 2 L2
4U 1d ④
④式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的侧移量与粒子的
、
无关。
5、粒子离开偏转电场时沿电场方向的速度为v y ：
带电粒子离开电场时沿电场方向的速度为v y ，则
v y=at=
U 2 L
d √
q
2mU 1
6、粒子离开偏转电场时的偏角ϕ ：
设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为θ 。则
tanθ=
v y
vx
=
U 2 L
2U 1d ⑤
⑤式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的偏转角与粒子的
、
无关。
【模型演练1】(多选)示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的．如图所示，不同
的带负电粒子在电压为U1的电场中由静止开始加速，从M 孔射出，然后射入电压为U2的平行金属板间的
电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则( )
A．若电荷量q 相等，则带负电粒子在板间的加速度大小相等
B．若比荷相等，则带负电粒子从M 孔射出的速率相等
C．若电荷量q 相等，则带负电粒子从M 孔射出时的动能相等
D．若不同比荷的带负电粒子由O 点射入，偏转角度θ 相同
【模型演练2】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，两平行金属板A、B 间电势差为
，带电量为q、
质量为m 的带电粒子，由静止开始从极板A 出发，经电场加速后射出，沿金属板C、D 的中心轴线进入偏
转电压为
的偏转电场，最终从极板C 的右边缘射出。偏转电场可看作匀强电场，板间距为d。忽略重力
的影响。
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（1）求带电粒子进入偏转电场时动量的大小
。
（2）求偏转电场对带电粒子冲量的大小I 和方向。
（3）保持其他条件不变，仅在极板C、D 之间再施加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使得带电粒子恰好从
距离极板D 右边缘射出偏转电场，求该带电粒子离开偏转电场时的动能
。
【模型演练3】．（2023·北京·高三专题练习）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘
颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒
沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，
间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为
，其中r 为颗粒的
半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为
和
的
两种颗粒，若
的颗粒恰好100%被收集，求
的颗粒被收集的百分比。
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【模型演练4】（2023·北京房山·统考一模）如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K 发出（初速度不
计），经灯丝与A 板间的加速电场加速，从A 板中心孔沿中心线KO 射出，然后进入两块平行金属板M、
N 形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N 间电场时的速度与电场方向垂直，电
子经过电场后打在荧光屏上的P 点。已知加速电压为U1，M、N 两板间的电压为U2，两板间的距离为d，
板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为x，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。
（1）求电子穿过A 板时的速度大小v0；
（2）求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
（3）求OP 的距离Y。
【模型演练5】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，在示波管中，质量为m，电荷量为-q 的带电粒子从
灯丝K 射出（初速度不计），经加速电场U1（未知）加速，从AB 板的中心S 沿中心线KO 射出时的速度
大小为v，再经平行板电容器的偏转电场U2偏转后，又做一段匀速直线运动最后打到荧光屏上，显示出亮
点C，已知平行板电容器的两极板间的距离为d，板长为l，偏转电场的右端到荧光屏的距离为L，不计带
电粒子的重力。
（1）求加速电场的电压U1；
（2）求带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y 和荧光屏上OC 间的距离；
（3）带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y 和偏转电压U2的比叫作示波器的灵敏度D，如何通过改变平
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行板电容器的l 或d 来提高示波器的灵敏度D。
【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型
1.带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
(1)带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能
量守恒，即
恒定值
(2)带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力
势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
2.带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况
竖直向上抛出
水平抛出
斜上抛出
【模型演练1】（2023·辽宁丹东·统考二模）真空中存在空间范围足够大的，水平向右的匀强电场。在电场
中，若将一个质量为
，带正电的小球由空中静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为53°。如图
所示，若在此电场中，放置一个竖直面内的光滑固定轨道
（电场没有画出），
水平，长度为
，
是半径为
的四分之一的圆弧，与
相切于
点。现将该小球由
点静止释放，求从
点开始运动的整
个过程中（取重力加速度大小为
，
，
）。
（1）小球受到的电场力大小及方向；
（2）从
点开始运动到轨迹最高点过程中小球电势能的变化量；
（3）小球从c 点离开轨道后速度最小时距c 点的距离。
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图，竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域
间
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
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距为H，在该区域下边界的O 点将质量为m、电荷量为q 的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界
离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的
点，已知小球到达
点的速度大小为
从O 点进入电场时速度大小的
倍，动量方向与水平面的夹角为
。不计空气阻力，重力加速度大小为
g。求：
（1）
角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由O 到
的运动时间；
（3）在下边界水平放置一足够长的绝缘挡板，小球碰撞前后速度与挡板的夹角不变，若第二次碰撞点
与
的距离为
，求第一次碰撞过程小球的动能损失。
【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）如图，地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，O、Q
为水平地面上的两点。将一带正电荷的小球自电场中O 点以
的初动能竖直向上抛出，运动到最高点P
点时小球的动能为
，最后落回地面上的Q 点，不计空气阻力，求：
（1）小球所受电场力与重力的比值为多少？
（2）小球落回Q 点时的动能是多少？
（3）小球运动过程中的最小动能。
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【模型演练4】（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，一质量为
，带电量
的小滑块静止在倾
角为
的绝缘光滑斜面底端，现在加一个沿斜面向上的匀强电场，小滑块开始沿斜面向上运动，运动一段
时间（未知）后，小滑块的电势能减少了
，此时撤去电场，又经过
时间，小滑块又回到了斜面的
底端．选斜面底端所在的平面势能为零，重力加速度用
表示。求：
（1）小滑块返回到斜面底端时的动能
；
（2）所加的匀强电场的电场强度大小；
（3）小滑块的动能为
时的重力势能
。
【模型演练5】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域
间距为
，在该区域下边界的
点将质量为
、电荷量为
的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上
边界离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的
点，已知小球到达
点的速度大
小为从
点进入电场时速度大小的
倍，动量方向与水平面的夹角为
。不计空气阻力，重力加速度大
小为
。求：
（1）
角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由
到
的运动时间。
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