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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块四：曲线运动模块大招
第05 讲 平抛相遇问题及斜抛
模型
（解析版）
目录
【内容一】 平抛与自由落体模型......................................................................................................................1
【内容二】 平抛与竖直上抛模型......................................................................................................................2
【内容三】 平抛与平抛模型..............................................................................................................................3
【内容四】 平抛与匀速模型..............................................................................................................................3
【内容五】 轨迹方程模型...................................................................................................................................3
【内容六】 对斜抛运动的研究模型..................................................................................................................3
技巧总结
秒杀技巧
一
：
平抛相遇问题
技巧总结
内容一：平抛与自由落体
空中相遇
联立得
内容二：平抛与竖直上抛
联立得
内容三：平抛与平抛
球1 比球2 先抛
、
；
球3、4 同时抛
1
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、
内容四：平抛与匀速
斜抛运动模型
运动规律
水平方向：不受外力，以vx=v0cosα 为初速度做匀速直线运动
水平位移x=v x t=v0cosαt ；
竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为v0 y=v0sinα ，做竖直上抛运动，即匀减速
直线运动
任意时刻的速度和位移分别是v y=v0 y−gt
y=v0 yt−1
2 gt 2
内容五：轨迹方程
，是一条抛物线如图所示：
内容六：对斜抛运动的研究
（1）斜抛物体的飞行时间：
当物体落地时v y=−v0 y=−v0sinα ，由 v y=v0 y−gt 知，飞行时间
t=
2v0sinα
g
（2）斜抛物体的射程：
由轨迹方程
2
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令y=0 得落回抛出高度时的水平射程是
x=
v0
2sin2α
g
两条重要结论：
①当抛射角α=450 时射程最远，
②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在
相同初速度的情况下射程是相等的。
（3）斜上抛运动的射高：
斜上抛的物体达到最大高度时
=0，此时
代入
y=v0 yt−1
2 gt 2
即得到抛体所能达到的最大高度
ymax= v0
2sin2α
2g
可以看出，当α=900 时，射高最大
H= v0
2
2 g
例题演练
例1．如图所示，在水平地面上M 点的正上方h 高度处，将小球S1以初速度v 水平向
右抛出，同时在地面上N 点处将小球S2以初速度v 竖直向上抛出。在S2球上升到最高
点时恰与S1球相遇，不计地面阻力和空气阻力。则两球在这段过程中（ ）
A．两球均做变加速运动 B．相遇时小球S1，的速度方向与水平方向夹角为30°
C．相遇点在N 点上方
处 D．MN 距离为2h
解：A．由于两个球都只受到重力的作用，加速度都是重力加速度，加速度恒定，做
的都是匀变速运动，而非变加速运动，故A 错误。
B．两球运动时间为
相遇时小球
竖直分速度为
因此夹角为45°，故B
错误。
C．小球
竖直位移
小球
竖直位移
，
3
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联立解得
故C 正确。
D．根据平抛运动推论，小球
位移与水平夹角的正切值为速度偏转角正切值的一半，
所以水平位移为h，故D 错误。故选C。
例2．如图所示，相距为d 的两小球A、B 位于同一高度h，将A、B 两球以不同的初
速度vA、vB同向水平抛出，A、B 与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小
不变、方向相反，不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则（ ）
A．A、B 一定能相碰 B．A、B 不可能在落地时相碰
C．A、B 在第一次落地前能否相碰，只取决于A 和B 的初速度大小
D．若A、B 能相碰，则从开始到相碰所经历的时间t=
解：A．当A 的抛出时的初速度小于B 抛出时的初速度时，A、B 不能相撞，故A 错误；
BD．若A、B 能相碰，则从开始到相碰所经历的时间
A、B 落地的时间为
当t=t′时，A、B 在落地时相碰，故B 错误，D 正确；
C．由以上分析可知，A、B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 和B 的初速度大小、
两球的高度h，两球之间的距离d，故C 错误。故选D。
例3．如图，可视为质点的小球A、B 水平距离
，它们高度差
，某时
刻将小球A 以某速度
水平向右抛出，同时小球B 以初速度
竖直向上抛
出，某时刻小球A 和B 在空中相碰，重力加速度g 取
，下列说法中正确的是（
）
4
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A．经时间
小球A、B 相碰 B．小球A 和B 相碰时，小球A 速度大小为5.0
C．小球A 和B 相碰时，小球B 速度大小为5.0
D．小球A 和B 相碰时，小球B 上升高度
解：A．要使A、B 在空中相碰，满足
，
联立可得
，
故A
错误；
B．小球A、B 相撞时，小球A 速度大小为
故B 错误；
C．小球A、B 相撞时，小球B 速度大小为
故C 正确；
D．小球A、B 相撞时，小球B 上升的高度
故D 错误。故选C。
例4．如图所示，
是长方形
对角线的交点，是底边
的中点，
、
、处的
三个小球分别沿图示方向做平抛运动，下列表述正确的是（ ）
A．若
、
、处三球同时抛出，三球可能在
之间的区域相遇
B．只要
、处两球同时开始做平抛运动，二者可能在空中相遇
C．若
、
处两球能在地面相遇，则
、
在空中运动的时间之比为
D．若
、处两球在点相遇，则一定满足
解：A．由于三球不是从同一高度水平抛出，三球不可能在任何区域相遇，A 错误；
B．因为bc 抛出时的高度不同，则只要b、c 处两球同时开始做平抛运动，二者不可能
在空中相遇，B 错误；
5
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C．设ad=2h，a 球在空中运动时间为ta，b 球在空中运动时间为tb，根据平抛运动规律
2h=
gta
2，h=
gtb
2解得ta=2
，tb=
若a、b 处两球能在地面相遇，则a、b 在空中运动的时间之比为ta∶tb=2
∶
=
1∶
C 错误；
D．根据平抛运动规律，若a、c 处两球在点相遇，则运动时间相同，水平位移相同，
则一定满足
D 正确。故选D。
例5．如图所示，A、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t 在空中相遇。若
两球的抛出速度都变为原来的2 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（ ）
A．t
B．
C．
D．
解：设开始时两小球相距x，A、B 抛出速度大小分别为vA和vB，则有
若两球的抛出速度都变为原来的2 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为
故选C。
例6．如图所示，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向。图中画出了从y 轴上沿x 轴正向
抛出的两个小球a、b 的运动轨迹，不计空气阻力，则不正确的是（ ）
A．a、b 若同时抛出，可能在空中相遇B．无论a、b 谁先抛出，a 在空中飞行的时间
都比b 的短
6
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C．a 落地时的竖直速度比b 的小 D．a 的水平速度比b 的大
解：A．因为b 的初始高度较大，则若ab 能相遇的话b 运动时间较长，可知若同时抛
出时两球不可能相遇，故A 错误，符合题意；
B．因为a 开始的初始高度较小，则根据
可知，无论a、b 谁先抛出，a 在空中飞行的时间都比b 的短，故B 正确，不符合题意；
C．根据
，a 在空中飞行的时间比b 的短，则a 落地时的竖直速度比b 的小，故
C 正确，不符合题意；
D．根据
因为a 运动的时间较短，而水平位移较大，可知a 的水平速度比b 的大，
故D 正确，不符合题意。故选A。
例7．如图所示，从同一竖直线上不同高度A、B 两点处，分别以速率v1、v2同时同向
水平抛出两个小球，不计空气阻力，P 为它们运动轨迹的交点。则下列说法正确的有
（ ）
A．两球可能在P 点相碰 B．两球的初速度大小v1﹥v2
C．落地前两球始终在同一竖直线上 D．落地前两球竖直方向的距离保持不变
解：A．平抛运动竖直方向上
两小球从抛出点到P 点的高度h 不同，所以所用时间也不同，则同时抛出两小球，在
P 点不可能相遇，故A 错误；
B．由以上分析可知，从抛出点到P 点的时间t1＞t2，在水平方向上x=vt
水平位移相等，则v1＜v2，故B 错误；
C．由以上分析可知，在水平方向上两小球都是匀速直线运动，初速度不相等，则在相
等时间内水平位移也不相等，故落地前两球不在同一竖直线上，故C 错误；
D．在相等时间内，两小球在竖直方向上的距离
即两小球在落地前在竖直方向上的距离始终等于AB，保持不变，故D 正确。故选D。
例8．如图所示，将A、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经时间t1在空中P 点相遇，
已知P 点与A、B 两点的竖直高度为H1。若A、B 两小球仍从原位置同时抛出，抛出的
7
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速度均增大两倍，两球经时间t2在Q（图中未标出）点相遇，Q 点与A、B 两点的竖直
高度为H2，下列说法正确的是（ ）
A．t2=t1 ，H1=H2
B． t2=
t1 ，H1=2H2
C． t2=
t1，H1=3H2
D． t2=
t1，H1=9H2
解：设两球的速度分别为v1、v2，则两球相遇时水平方向
竖直方向
若两球抛出的速度均增大两倍，则相遇时
竖直方向
则t2=
t1，H1=9H2故选D。
例9．如图所示，将甲、乙两个小球从同一竖直线上不同高度处以相同方向水平抛出，
若两球在空中某处相遇，则甲、乙两球（ ）
A．同时抛出，抛出时甲的速度较大
B．同时抛出，抛出时乙的速度较大
C．甲先抛出，抛出时乙的速度较大
D．乙先抛出，抛出时甲的速度较大
解：甲、乙两球在空中相遇，甲下降的高度大于乙下降的高度，根据h =
gt2
得t =
可知，甲的运动时间长，所以甲先抛出。因为从抛出到相遇点的过程中，
水平位移相等，乙球的运动时间较短，由x = v0t 知，乙球的初速度较大。故选C。
例10．如图所示，从同一条竖直线上两个不同点分别向右同时平抛两个小球P、Q，
平抛的初速度分别为v1、v2，结果它们都能落到地面上M 点处。下列说法中正确的是
（ ）
8
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A．一定是P 先落地的，并且v1=v2 B．一定是Q 先落地的，并且v1<v2
C．调节初速度大小，可以使两个小球同时落地
D．调节初速度大小，可以使两球在空中相遇
解：AB．根据
可知P 运动时间较长，则一定是Q 先落地的，根据
可知v1<v2选项A 错误，B 正确；
CD．因P 点的位置较高，则落地时间较大，无论如何调节初速度大小，都不可能使两
个小球同时落地，只调节初速度大小，也不可以使两球在空中相遇，选项CD 错误；
故选B。
例11．如图所示为一个做匀变速曲线运动的物块轨迹的示意图，运动至A 点时速度大
小为v0，经一段时间后物块运动至B 点，速度大小仍为v0，但相对于A 点时的速度方
向改变了90°，则在此过程中（ ）
A．物块的运动轨迹AB 可能是某个圆的一段圆弧 B．物块的动能可能先增大后减小
C．物块的速度大小可能为
D．B 点的加速度与速度的夹角等于90°
解：A．物体做匀变速曲线运动，则加速度的大小与方向都不变，所以运动的轨迹是
一段抛物线，不是圆弧。故A 错误；
B．图中A、B 两点速度相同，且夹角为90°，分析可知物体受到的合力方向为垂直于
AB 连线，方向向下，A、B 两点动能相同，物体从A 到B 的过程中，合力先做负功，
后做正功，故物体的动能先减小后增大。故B 错误；
C．连接AB，物体从A 到B 的过程，可看做加速度方向垂直于AB 类斜抛运动，根据
对称性，可知A 点速度与AB 连线为45°，物体速度最小时，速度方向平行于AB 连线，
9
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此时速度大小为
故C 正确；
D．由上述分析可知，B 点加速度方向垂直于AB 连线向下，可知其加速度与速度的夹
角小于90°。故D 错误。故选C。
例12．如图所示，在距地面高h 的A 点以与水平面成
的角度斜向上抛出一小球，
不计空气阻力。发现小球落在右边板
上的落点D 与A 点等高。已知
，g 取
。则下列说法正确的是（ ）
A．小球从A 到D 的水平位移为1.8 m B．小球在水平方向做匀加速运动
C．若撤去
板，则经过D 点之后小球在竖直方向做自由落体运动，故再经0.2 s 它
将落地
D．小球从A 到D 的时间是0.6 s
解：AD．小球在竖直方向的分速度为
小球在水平方向的分速度为
小球从A 到D 的时间为
小球从A 到D 的水平位移为
所以A 错误；D 正确；
B．小球在水平方向做匀速直线运动，所以B 错误；
C．若撤去
板，则经过D 点之后小球在竖直方向速度为
方向向下，做匀加速直线运动，不是自由落体运动，所以C 错误；故选D。
例13．某次军事演习中，在P、Q 两处的炮兵向正前方同一目标O 发射炮弹A、B，要
求同时击中目标，炮弹轨迹如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
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A．A 先发射
B．A、B 同时发射
C．A 在最高点的速度比B 的大
D．A、B 在最高点的速度相同
解：AB．斜上抛运动在竖直方向为竖直上抛运动，在水平方向是匀速直线运动，设上
升的高度为H，运动的时间为t，根据竖直上抛运动的规律可得
解得
由图可知，B 上升的高度比A 高，故B 运动时间比A 运动时间长，为了同时击中目标，
则B 先发射，故AB 错误；
CD．由图可知，A 的水平位移更大，而时间更短，故A 水平方向的速度更大，根据斜
上抛运动的规律可知，在运动的最高点只有水平方向的速度，故A 在最高点的速度比
B 的大，故C 正确，D 错误。故选C。
例14．如图甲所示，在某次壁球训练时，运动员在同一位置以不同的角度斜向上发球，
最后球都能恰好垂直击打在竖直墙面反弹。若两次发球与水平方向夹角分别为30°和
60°，不考虑球在空中受到的阻力，则（ ）
A．两球上升高度之比为1：3 B．碰到墙面前空中运动时间之比为1：3
C．球击打墙面的速度之比为3：1 D．两次发球的初动能之比为3：1
解：A. 斜抛运动的小球可以看成逆向的平抛运动，由推论有
，
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可得
故A 正确；
B．由
可得
两球碰到墙面前空中运动时间之比
故B 错误；
C．根据
又
可得两球击打墙面的速度之比
故C 错误；
D．抛出去的初速度
可得
两次发球的初动能之比为
故D 错误。故选A。
例15．如图，小球从A 点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁的B 点，已知小球在A
点速度大小为
，与水平方向成60°夹角。不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．小球上升的最大高度为0.6m
B．小球在最高点的速度大小为3
C．小球从A 运动到B 的时间为0.3s
D．
间的水平距离为1.6m
解：A．小球做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，竖
直方向的分速度为
小球上升的最大高度为
所以A 错误；
B．小球在最高点时，竖直方向速度为0，只有水平方向，则小球在最高点的速度大小
为
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所以B 错误；
C．小球从A 运动到B 的时间为
所以C 正确；
D．
间的水平距离为
所以D 错误；故选C。
例16．如图所示为运动员投掷铅球时铅球的运动轨迹，B 点为铅球运动过程中的最高
点，铅球落地时重力势能为零，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．铅球从运动员手上离开后不受力的作用
B．铅球从运动员手上离开后至落地前，其加速度与速度所成的夹角先变大后变小
C．投掷过程中，运动员对铅球做的功等于铅球在B 点时的重力势能
D．铅球从B 点至F 点所用时间，决定于BF 之间的高度差大小
解：A．铅球从运动员手上离开后受重力， 故A 错误；
B．铅球在空中运动过程中，其加速度方向始终竖直向下，速度方向与竖直方向的夹角
一直在减小，故B 错误；
C．根据功能关系可以判定，运动员对铅球做的功等于铅球在抛出点的动能，根据能量
守恒定律可知，铅球在抛出点的动能等于铅球在B 处的动能与从抛出点A 运动到B 点
过程增加的重力势能之和，故C 错误；
D．根据抛体运动的规律可知，铅球从B 到F 的时间只由BF 间的高度差决定，故D 正
确。
例17．我校组织篮球赛，比赛中一同学将篮球从地面上方
点以速度
斜向上抛出，
恰好垂直击中篮板上
点，如图所示。若该同学后撤到与
等高的
点投篮，还要求
垂直击中篮板上
点，不计空气阻力，运动员做法可行的是（ ）
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A．增大抛出速度
，同时增大抛射角
B．减小抛出速度
，同时增大抛射角
C．减小抛射角
，同时增大抛射速度
D．减小抛射角
，同时减小抛射速度
解：篮球垂直击中篮板上
点，其逆过程就是平抛运动，当水平速度越大时，水平方
向位移越大，抛出后落地速度越大，与水平面的夹角则越小。若水平速度减小，水平
方向位移越小，则落地速度变小，但与水平面的夹角变大。
若该运动员后撤到
点投篮，还要求垂直击中篮板上
点，只有增大抛射速度
，同
时减小抛射角
，才能仍垂直打到篮板上
点，故C 正确，ABD 错误。故选C。
例18．有A、B 两小球，B 的质量为A 的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，
不计空气阻力，图中②为B 的运动轨迹，则A 的运动轨迹是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
解：两球以相同速率沿同一方向抛出，抛出后两球均只受重力作用，两球加速度相同，
因此二者具有相同的运动状态，图中②为B 的运动轨迹，则A 的运动轨迹也是②。故
选B。
例19．如图所示，从水平地面上a、b 两点同时抛出两个物体，初速度分别为
和
，
与水平方向所成角度分别为30°和60°，某时刻两物体恰好在空中相遇，不计空气阻力。
则（ ）
A．
B．
C．
D．不能判断
解：两物体能在空中相遇，在竖直方向的位移满足
解得
故选A。
例20．如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为
L，成绩为4L，假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可
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视为质点，不计空气阻力，则有（ ）
A．tanα=2
B．tanα=1
C．tanα=
D．tanα=
解：运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性，可知平抛运动的水平位
移为
，则有
解得
运动员通过最高点时的速度为
则有
ACD 错误，B 正确。故选B。
对应题型精炼
一、多选题
1．如图，物体甲从高H 处以速度
平抛，同时乙从乙距甲水平方向s 处由地面以初速
度
竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是（ ）
A．从抛出到相遇的时间为
B．若要在物体乙上升中遇甲，必须
，
C．若要在物体乙下降中遇甲，必须
，
D．若相遇点离地高度为
，则
【答案】ABD
【详解】A．由题意可知，若两物体在空中能够相遇，则在竖直方向应满足
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代入数据解得
故A 正确；
BC．由于物体甲、乙的加速度相同，可知甲、乙相对匀速，相遇时间为
或
，则
有
若要在物体乙上升中遇甲，则有
解得
若要在物体乙下降中遇甲，则有
解得
故B 正确，C 错误；
D．若相遇点离地高度为
，则有
又
联立解得
故D 正确。
故选ABD。
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2．如图所示，小球
从倾角为
的固定粗糙斜面顶端以速度
沿斜面恰好匀速下
滑，同时将另一小球
在斜面底端正上方与
球等高处以速度
水平抛出，两球恰在斜
面中点
相遇（不计空气阻力），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若小球
以
水平抛出，则两小球仍能相遇
C．若小球
以
水平抛出，则
球落在斜面上时，
球在
球的下方
D．若改变小球
抛出的速度
的大小，则两小球一定不能相遇
【答案】ACD
【详解】A．小球在
点相遇，两球的水平位移相等，有
解得
故A 正确；
BC．若小球
以
水平抛出，如图所示
若没有斜面，将落在
点，与
点等高，可知将落在斜面上的
点，由于
球、
球在
水平方向上做匀速直线运动，可知
球落在
点的时间小于
球落在
点的时间，所以
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球落在斜面上时，
球在
球的下方，故B 错误，C 正确；
D．若改变小球
抛出的速度
的大小，则两小球一定不能相遇，故D 正确；
故选ACD。
3．2022 年中俄进行战略级联合军演，如图所示，在联合军事演习中，离地面H 高处
的苏-35 战机以水平对地速度v1发射一颗炸弹轰炸地面目标P，反应灵敏的中国国家导
弹防御系统CNMD 同时以初速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截（设此时防御系统与飞
机的水平距离为x，炮弹运动过程视为竖直上抛，不计空气阻力），并拦截成功，下列
说法正确的是（ ）
A．从发射到击中炸弹，炮弹运动时间
B．从发射到击中炸弹，炮弹运动时间
C．拦截位置距地面的高度为
D．v1、v2的关系应满足
【答案】BCD
【详解】A．不计空气阻力，炸弹做平抛运动，炮弹做竖直上抛运动，炮弹拦截住炸
弹时，水平方向满足
x=v1t
解得
故A 错误；
B．炮弹拦截住炸弹时，竖直方向满足
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解得
故B 正确；
C．拦截位置距地面的高度为
故C 正确；
D．联立A、B 解析中t 的表达式，可得
故D 正确。
故选BCD。
4．如图所示，水平地面上有相距为18m 的M、N 两点，在M 点的正上方
处有
一小球A 以速度
水平抛出，同时在N 点正上方h（
，且高度h 可以调节）处将
小球B 以
=10m/s 的速度竖直向上抛出。若小球A 与地面碰撞时水平速度不变，竖直
速度以等大速度反弹，B 与地面碰撞后不反弹，重力加速度g 取10
。以下说法正
确的是（ ）
A．小球A 在第一次落地时可以与小球B 相遇
B．要想小球A 在第二次落地时与小球B 相遇，
应满足
C．要想小球A 在第二次落地时与小球B 相遇，h 应满足
D．若
，调节
的大小，则A 刚好与地面第三次碰撞时与B 相遇
【答案】BCD
19
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【详解】A．小球A 由
解得
对小球B 由
得B 的上升时间为
故A 错误；
B．小球A 在第二次落地时的时间为
所以
故B 正确；
C．小球B 做竖直上抛，由
得
故C 正确；
D．若
可以求出小球B 落地的时间为
AB 要相遇，则小球A 正好在第三次与地面碰撞，故D 正确。
故选BCD。
5．抗日战争中，某侦查员完成侦查任务后突遇险情，侦查员从桥上水平向前跳出，落
到桥下接应的小船上撤离。侦查员的起跳点到小船水平甲板的高度为
，且起跳点与
桥下小船的船头在同一竖直线上，因情况紧急，在侦查员起跳的同时，长度为
的小
船由静止开始以大小为
的加速度沿起跳速度方向匀加速驶出。取重力加速度大小
20
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，将侦查员视为质点，不计空气阻力。若侦查员能落到船上，则侦查员的
起跳速度大小可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】根据
解得
在时间t 内，小船驶出的距离
设在侦查员恰好落到船头的情况下，侦查员的起跳速度大小为
，则有
设在侦查员恰好落到船尾的情况下，侦查员的起跳速度大小为
，则有
其中
解得
，
因此要使侦查员落到船上，侦查员的起跳速度大小应满足的条件为
则侦查员的起跳速度大小可能为2m/s 与3m/s。
故选BC。
6．2022 年7 月17 日，在第18 届世界田径锦标赛女子铅球决赛中，巩立姣以20.39 米
的成绩名列第二，如图所示，巩立姣先后从同一位置抛出同一铅球，铅球第1 次落在
地面上的M 点，第2 次落在地面上的N 点，两次铅球到达的最大高度相同。不计空气
阻力，关于两次铅球在空中运动情况的描述，下列说法正确的是（ ）
21
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A．初速度在竖直方向的分量
B．初速度在水平方向的分量
C．推球过程，合外力对铅球的做功W1>W2
D．铅球落地时，重力的瞬时功率PG1=PG2
【答案】BD
【详解】A． 两次铅球到达的最大高度相同，则由
可知
故A 错误；
B．由A 项分析知
可知两次铅球从抛出到最高点的时间相等，且从最高点到落地的时间又相等，因此空
中运动的时间相等，而第2 次水平位移大，所以第2 次抛出时初速度的水平分量大，
故B 正确；
C．故由
可知第2 次抛出时的初速度大，根据动能定理可知，推球过程合外力对铅球的做功有
W1<W2
故C 错误；
D．两次落地时速度的竖直分量相等，所以由
可得
22
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故D 正确；
故选BD。
二、单选题
7．如图所示为一位同学在玩飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准
圆盘上边缘的A 点水平抛出（不计空气阻力，重力加速度为g），初速度为v0，飞镖抛
出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O 的水平轴匀速转动，角速度为ω，若飞镖恰好击
中A 点，则下列关系正确的是（ ）
A．d=
B．ω=
（n=0,1,2,3
）
C．v0=ω
D．ω2=
（n=0,1,2,3
）
【答案】B
【详解】A．由题意可知飞镖做平抛运动，据位移公式可得
，
联立解得
故A 错误；
BD．圆盘上A 点做匀速圆周运动，恰好击中A 点，说明A 正好在最低点被击中，所以
飞镖击中A 点时转过的角度
θ=(2n+1)π(n=0,1,2,3
)
代入平抛运动时间
23
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可得圆盘的角速度为
代入平抛运动时间
可得
(n=0,1,2,3
)
故B 正确，D 错误；
C．由
可得
(n=0,1,2,3
)
故C 错误。
故选B。
8．如图所示，将小球A 从P 点以速度
水平抛出，同时将小球B 从水平地面上的Q
点以速度
竖直上抛，A、B 两个小球在同一竖直平面内运动，且在Q 点正上方的某
一位置相遇。已知P 点到水平地面的高度为H，P、Q 两点的水平距离为x，A、B 两
个小球可视为质点，空气阻力可忽略不计。则下列说法中正确的是（ ）
A．A、B 两个小球相遇时，B 小球一定处于上升过程中
B．只改变小球A 的水平速度
，A、B 两个小球依旧能在Q 点正上方相遇
24
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C．A、B 两个小球初速度必须满足
D．A、B 两个小球从抛出到相遇的过程中，两球的速度变化量不相等
【答案】C
【详解】C．小球A 做平抛运动
若与B 相遇时下落的高度为h，则
小球B 做竖直上抛运动
联立以上式子可得
故C 正确。
A．A、B 两个小球在B 上升、下降过程中或B 到达最高点均有可能相遇，故A 错误。
B．若只改变小球A 的水平速度
，不再满足
A、B 两个小球不可能在Q 点正上方相遇，故B 错误。
D．A、B 两个小球从抛出到相遇过程中，加速度均为重力加速度g，运动时间t 相等，
故速度的变化量
也相同，故D 错误。
故选C。
9．甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，如图所示，将甲、乙两球
分别以v1、v2的速度沿同一方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中
甲球的是（ ）
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A．同时抛出，且v1<v2
B．甲比乙后抛出，且v1>v2
C．甲比乙早抛出，且v1>v2
D．甲比乙早抛出，且v1<v2
【答案】D
【详解】题图中，乙击中甲球的条件是：水平位移相等，甲球竖直位移等于乙球的竖
直位移加上h，故有
联立上式，可解得
，
故选D。
10．如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒
中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨
迹交于P 点，抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为
和
，其中
方向水平，
方向
斜向上。忽略空气阻力，两谷粒质量相同，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确
的是（ ）
A．谷粒1 的加速度小于谷粒2 的加速度
B．谷粒2 在最高点的速度等于零
C．两谷粒从O 到P 的运动时间相等
D．两谷粒从O 到P 过程重力做功相等
【答案】D
【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1
的加速度等于谷粒2 的加速度，A 错误；
B．谷粒2 做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平
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方向上的分速度，不为零，B 错误；
C．谷粒2 做斜上抛运动，谷粒1 做平抛运动，均从O 点运动到P 点，故位移相同。在
竖直方向上谷粒2 做竖直上抛运动，谷粒1 做自由落体运动，竖直方向上位移相同，
故谷粒2 运动时间较长，C 错误；
D．两谷粒从O 点运动到P 点的位移相同，两谷粒质量相同，故重力做功相等，D 正
确。
故选D。
11．在地面上方，沿水平方向先后抛出两个小球，抛出点在同一竖直线上，两球相遇
于空中的P 点，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，最终两小球落在水平地面上。
关于两个小球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球B 比A 先抛出
B．小球A 的初速度小于小球B 的初速度
C．小球A 的初速度大于小球B 的初速度
D．两小球落地时的速度大小相等
【答案】B
【详解】A．根据
可知，在空中运动时小球A 的运动时间大于小球B 的运动
时间，所以小球A 比B 先抛出，故A 错误；
BC．两球相遇于空中的P 点，水平位移相同，小球A 运动时间长，根据
可知，
抛出A 球的初速度小于抛出B 球的初速度，故B 正确，C 错误；
D．抛出A 球的初速度小于抛出B 球的初速度，而A 球运动时间长，落地时竖直速度
大，则无法判断落地时速度关系，故D 错误。
故选B。
12．甲、乙、丙三个小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，
甲、丙在同一条水平线上，水平面上的P 点在丙的正下方。在同一时刻甲、乙、丙开
始运动，甲以水平速度v0做平抛运动，乙以水平速度v0沿水平面向右做匀速直线运动，
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丙做自由落体运动，则下列判断中错误的是（ ）
A．无论速度v0大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在P 点相遇
B．若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P 点
C．若只有甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在P 点
D．若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球一定落在相遇点的右侧
【答案】A
【详解】甲做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，所以在未落地前任何时刻，
甲、乙两球都在一竖直线上，最后在地面上相遇，可能在P 点前，也可能在P 点后；
而甲在竖直方向上做自由落体运动，所以在未落地前的任何时刻，甲、丙两球在同一
水平线上，两球相遇点可能在空中，可能在P 点。所以，若三球同时相遇，则一定在
P 点；若甲、丙两球在空中相遇，乙球一定在P 点；若甲乙两球在水平面上相遇，丙
球一定落地，且此时丙球一定落在相遇点的右侧，不然甲、丙定会相撞。
本题选择不正确的，故选A。
13．如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O 点水平击出，第一只球落在本
方场地A 处弹起来刚好擦网而过，落在对方场地B 处。第二只球直接擦网而过，也落
在B 处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且空气阻力不计。若O 点离地面的高度为h，
则网的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意，设网的高度为
，
到网的距离为
，
点与
点间的水平距离
为
，由于球与地面的碰撞是弹性碰撞，则由对称性可知
由平抛运动规律有
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解得
设第一次的初速度为
，小球从
有
从
点弹起后，由网顶到最高点可得
设第二次的初速度为
，从
可得
从
点到网顶有
联立解得
，
故选B。
14．从高
处以水平速度
平抛小球
，同时从地面以初速度
竖直上抛小球
，两球
在空中相遇，如图所示。下列说法中正确的是（ ）
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A．从抛出到相遇所用的时间为
B．从抛出到相遇所用的时间为
C．两球抛出时的水平距离为
D．两球抛出时的水平距离为
【答案】C
【详解】AB．小球
在水平方向为匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球
做竖直上抛运动，则相遇时，两球在竖直方向的位移大小之和等于高度
，即
解得
此过程中的时间也等于小球
在水平方向的位移与初速度
的比值。故AB 错误；
CD．两球之间的水平距离为
故C 正确，D 错误。
故选C。
15．如图所示，将甲、乙两个相同的小球分别以初速度
、
同时水平抛出，已知抛
出点乙在甲的正上方且离水平面的高度是甲的4 倍，落地点到拋出点的水平距离也是
甲的4 倍，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．乙的初速度是甲的
倍
B．它们落地时的速度方向相同
C．乙从抛出到落地的运动时间是甲的4 倍
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D．甲落地前，乙一直在甲的正上方
【答案】B
【详解】AC．竖直方向，根据
可得
结合题意可知乙运动的时间是甲的2 倍，即
水平方向
结合题意可知乙的初速度是甲的2 倍，即
故AC 错误；
B．落地时甲竖直方向的速度
落地时乙竖直方向的速度
设速度与竖直方向的夹角为
，则
代入数据可知它们落地时的速度方向相同，故B 正确。
D．由
可知，相等时间内，水平方向乙的位移较大，可知甲落地前，乙不可
能在甲的正上方，故D 错误。
故选B。
16．链球是利用双手投掷的竞远项目，运动员两手握着链球上铁链的把手，经过3~4
圈加速旋转，带动链球旋转，最后链球脱手而出，整个过程可简化为某倾斜平面内的
加速圆周运动和脱离后的斜抛运动，如图所示。某次训练中链球脱手时速度
的方向
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与水平面成
角，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．链球做加速圆周运动过程中，合力的方向指向圆心
B．链球做加速圆周运动过程中，向心力不断增大
C．若其他条件不变仅改变
，则当
增大时，链球斜抛过程中动量的变化率变大
D．若其他条件不变仅改变
，则
时，链球落地点离脱手点水平距离最远
【答案】B
【详解】A．若链球做匀速圆周运动，则合力提供向心力，方向指向圆心，所以链球
做加速圆周运动过程中，合力的方向不指向圆心，故A 错误；
B．链球做加速圆周运动过程中，向心力
，不断增大，故B 正确；
C．链球斜抛过程中动量的变化率为
所以当
增大时，链球斜抛过程中动量的变化率不变，故C 错误；
D．若链球在水平面做斜抛运动，则有
联立可得
当
，水平位移最大；但该模型竖直高度与
也有关，根据斜抛运动规律可知并
非
时，链球落地点离脱手点水平距离最远，故D 错误；
故选B。
三、解答题
17．如图所示，小球A 从离地H = 5m 高处以初速度v0（v0大小可调节）做平抛运动，
同时B 球从h（h > H，且h 高度可调节）高处开始自由下落，已知两球出发点间水平
距离为x = 10m，若小球A 与地面碰撞时水平方向速度不变，竖直方向以等大速度反
32
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弹，B 与地面碰后不反弹，重力加速度g 取10m/s2。
（1）若A 球第一次碰地后到达最高点时与B 相遇，求小球B 释放处离地的高度；
（2）要使A 球在第一次碰地后的下降过程中与B 相遇，求小球A 初速度的范围；
（3）若B 从h′ = 15m 处释放，能与A 发生碰撞，求A 的初速度v0。
【答案】（1）25m；（2）
；（3）
【详解】（1）A 落地的时间有
解得
t = 1s
A 球第一次碰地后到达最高点有
t1= 2t = 2s
则B 球下落的高度
则B 球释放处离地高度
h = yB＋H = 25m
（2）A 球第一次碰地后到达最高点下降的过程中的时间为
2s < t2 < 3s
由x = v0t 得A 球初速度
（3）B 球落地的时间
所以A 第一次碰后上升过程中与B 相遇，设B 下落t4时刻AB 相遇，相遇时有
yA＋yB= h′
其中
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得
t4= 1.5s
时相遇，则
18．在一次军事演习中，距地面
高处的飞机以
的水平速度投下一
颗炸弹，轰炸地面目标
，若不计空气阻力，（
），求：
（1）炸弹落地所用的时间；
（2）飞机投下炸弹时距目标
的水平距离；
（3）若在飞机投下炸弹的同时在地面上
点处恰好竖直向上发射了一颗炮弹，并击中
炸弹，已知炮弹的发射点与炸弹投掷点的水平距离为
，则发射炮弹的速度为
多少。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】
根据
得
（2）水平方向上炸弹做匀速直线运动，故飞机投下炸弹时距目标
的水平距离为
拦截到炸弹时所经历的时间
则有
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解得
19．如图所示，某空军部队进行陆空军事演习。红军战机在高度为
空中匀速向
左飞行，发现与其水平相距
的蓝军地面基地后，立即对其水平发射一枚无动力
导弹。不计空气阻力，重力加速度g 取
，则：
（1）红军导弹将在多久之后击中蓝军基地？导弹的发射速度为多少？
（2）蓝军地面基地雷达监测到有导弹来袭击，在红军发出导弹
后，位于基地同海拔
前方
处的拦截阵地竖直向上发射一枚动力拦截导弹。假设动力拦截导弹在空中
做匀速直线运动，若想拦截成功，拦截导弹的速度为多少？
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）导弹离开战机后做平抛运动，由
（2）红军发出导弹
后，位于基地同海拔前方
处的拦截阵地竖直向上发射一
枚拦截导弹。可得拦截成功时，红军发射导弹飞行时间：
红军发射导弹下落高度为
蓝军拦截导弹上升高度为
蓝军拦截导弹飞行时间
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蓝军拦截导弹运行速度
20．抛石机是古战场常见的御敌方式。某次战斗中，防守方在一个倾角为θ=37°的斜坡
面顶端A 处以与水平成角α=45°大小为
的速度抛出一个石头（视为质点）打
击进攻的敌方，简化如下示意图。求：
（1）石头经过多长时间落到与A 同一高度的D 点（图中未画出）？
（2）D 点离A 多远？
（3）若石头刚好落在斜面底角B 处，此斜坡的高度H 多大？
【答案】（1）4s；（2）80m；（3）105m
【详解】（1）石头从A 点抛出到最高点的时间，根据运动的分解及合成可知，竖直方
向的分速度为
vy＝v0sinα
解得
vy＝20m/s
根据匀变速直线运动可知，到达最高点的时间为
结合斜抛运动关于最高点左右对称可得，落到与A 同一高度的D 点的时间为
T＝2t＝2×2s＝4s
（2）水平方向的分速度为
vx＝v0cosα
解得
vx＝20m/s
在水平方向上做匀速直线运动，则
xAD＝vxT＝20m/s×4s＝80m
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（3）向上为正，则根据运动规律可得
-H＝vyt'-
gt'2
xBC＝vxt'
解得
t＇=7s
H=105m
21．如图为一车间传送和收集货物的装置示意图．传送带以
顺时针传送，质
量为
的货物（可看做质点）在A 端无初速度轻放后被传送到上方某处拋出
（A、B 分别为皮带倾斜部分的下端点上端点），然后从P 点（传送带正对P 点）进入
内壁光滑的收集桶．货物从桶边缘内侧P 进入时恰好与桶壁无碰撞。已知传送带与水
平面夹角为
，传送带两轮中心间距
，轮半径
，上端开口的圆桶
内部半径
，桶高
，桶口与传送带轮心
的竖直高度差为
，
货物与传送带之间的动摩擦因数
，
试求：
（1）货物从A 到达B 点的时间和在最高点的速度大小
（2）货物进入圆桶的瞬时对桶壁的弹力大小
（3）货物从A 处释放至落于桶底的全程时间
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）设货物历时
达到速度，对应加速位移为S，对货物在皮带上加速
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说明货物恰经历
到B 点。
货物刚过B 点就做圆周运动，在此位置
此位置重力分力恰提供向心力，货物脱离传送带做斜抛运动，在最高点只有水平速度
（2）货物从P 进入圆桶后，做水平面内的㚈速圆周运动和竖直方向的匀加速直线运动，
在水平面内有
由牛顿第三定律得：货物进入圆桶的瞬时对桶壁的弹力大小为
。
（3）货物从B 到P 斜抛
货物P 点处竖直分速度
货物在圆桶内，竖直方向继续匀加速直线运动
全程时间
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22．在篮球比赛中，篮球的投出角度和速度都会影响投篮的命中率。如图所示，某实
验小组设计并制作了一个玩具投篮装置，由倾角
的斜面体、轻质弹簧和一个缩
小的篮架组成，其中弹簧原长和斜面长度相同。把斜面体固定在水平地面上，弹簧下
端与斜面体底部的固定挡板相连，上端与轻薄挡板相连。将一质量为
的小球放在弹
簧上端的轻薄挡板上，静止时弹簧的压缩量为
，用手进一步压缩弹簧，松手后小球
将沿斜面向上飞出。该同学进行了多次尝试，每次松手时小球都在同一位置，反复调
节篮架与斜面体间的水平距离，当斜面体右侧的竖直面到篮筐中心间的水平距离为
时，小球恰好能够斜向下、无碰触地穿过篮框中心，此时速度与水平方向的夹角
。已知弹簧的弹性势能
，
为弹簧的形变量，重力加速度为
，忽略
一切摩擦，空气阻力不计，
，
。求：
（1）斜面顶端与篮筐间的竖直高度；
（2）松手时弹簧的压缩量；
（3）小球从斜面顶端飞出到进篮筐的过程中动量改变量的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由于小球做斜上抛运动，所以小球抛出时与入篮筐时的水平速度相等，
设水平速度大小为
，则有
设竖直向上为正方向，则有
联立解得
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竖直方向有
联立解得
（2）由动能定理得
由功能关系得
又有
联立整理可得
解得
（3）由动量定理得
解得
四、填空题
23．如图所示，从高为H 的地方A 平抛一物体，其水平射程为2s．在A 点正上方高度
为2H 的地方B 点，以同方向平抛另一物体，其水平射程为s，两物体在空中的轨道在
同一竖直平面内，且都是从同一屏M 的顶端擦过，求屏M 的高度是 ；
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【答案】
【详解】对A 点抛出的物体
对B 点抛出的物体
联立可得
对抛出到屏幕端的过程，对A 有
对B
综上可得
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