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专题三 曲线运动分析
——精剖细解细备考讲义
高考对于这部分知识点主要以具体事例和科技的最新成果为背景进行命题，以生活中实际物体
的圆周运动和抛体运动为依托，进行模型化受力分析。强化对物理基本概念、基本规律的考核。试
题的呈现形式丰富，提问角度设置新颖。在解决此类问题时要将所学物理知识与实际情境联系起来，
抓住问题实质，将问题转化为熟知的物理模型和物理过程求解。主要考查的知识点有：平抛运动，
类平抛运动，斜抛运动等。
知识点1：曲线运动
1、运动特点
(1)速度方向：质点在某点的速度，沿曲线上该点的切线方向．
(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，所以曲线运动一定是变
速运动。
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度
是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但
加速度不一定变化。
(3)曲线运动的分类：①匀变速曲线运动（加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力
作用下的曲线运动）；②变加速曲线运动（加速度不断变化的曲线运动，即物体在变
力作用下的曲线运动）。
注：曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。
2、曲线运动的条件
1、从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
2、从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
动力学角度这包含三个内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度
方向不共线。
1
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3、曲线运动的轨迹与速度、合力的关系
物体作曲线运动的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力
方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧。
速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系
4、合外力与速度方向的判断：①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速
率增大；②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；③当合外力
方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
5、运动的合成与分解
（1）运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运
动的分解。
（2）运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由
于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则
互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断
分运动
合运动
矢量图
条件
两个匀速直线运动
匀速直线运动
a＝0
一个匀速直线运动和一个
匀变速直线运动
匀变速曲线运动
a 与v 成α
角
两个初速度为零的匀加速
直线运动
初速度为零的匀加速直
线运动
v0＝0
2
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两个初速度不为零的匀加
速直线运动
匀变速直线运动
a 与v 方向
相同
匀变速曲线运动
a 与v 成α
角
6、两种类型
曲线运动类
型
平抛运动
斜抛运动
类平抛运动
图示
运动规律
水平方向：做匀速直线运
动，速度：vx＝v0，位移：x
＝v0t；竖直方向：做自由落
体运动，速度：vy＝gt，位
移：y＝gt2；合速度：v＝
＝，方向与水平方向夹角为
θ，则tan θ＝＝。做平抛
(或类平抛)运动的物体任一
时刻的瞬时速度的反向延长
线一定通过此时水平位移的
中点。速度方向与水平方向
的夹角为α，位移与水平方
向的夹角为θ，则tan α＝
2tan θ。
速度公式：vx＝v0x＝v0cos
θ；vy＝v0y－gt＝v0sin θ－
gt。位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2。当vy＝0
时，v＝v0x＝v0cos θ，物体
到达最高点hmax＝＝。
物体所受合力为恒
力，且与初速度的方
向垂直。
在初速度v0 方向做匀
速直线运动，在合力
方向做初速度为零的
匀加速直线运动，加
速度a＝。
考点
常规的平抛运动及类平抛模
型；与斜面相结合的平抛运
动模型。
注意加速度恒为重力加速
度，考得较少。
常规分解法：将类平
抛运动分解为沿初速
度方向的匀速直线运
动和垂直于初速度方
向(即沿合力方向)的
匀加速直线运动，两
分运动彼此独立，互
不影响，且与合运动
具有等时性。
3
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特殊分解法：对于有
些问题，可以过抛出
点建立适当的直角坐
标系，将加速度分解
为ax、ay，初速度v0分
解为vx、vy，然后分别
在x、y 方向列方程求
解。
7、平抛运动斜面上的两种类型
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝
分解速
度，构建
速度三角
形
分解位移
水平：x＝v0t
竖直：y＝gt2
合位移：s＝
分解位
移，构建
位移三角
形
8、处理平抛运动临界问题的关键
平抛运动临界问题解决的重点是：对题意进行分析，提取实际模型并提炼出关于临界条件的关
键信息。此类问题的临界条件：通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方
向上的方程，将临界条件代入即可求解。
在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动过程的草图，明确临界条
件。
9、解题思路
找出情景中临界条件
如“恰好”、“最大”、“最小”等关键词，明确其含义。
画出运动过程的草图
确定物体的临界位置，标注位移、速度等临界值。
明确临界过程的轨迹
运用曲线运动的规律进行求解。
平抛运动
1．图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M 点由静止自由滑下，经过水平NP 段
后飞入空中，在Q 点落地。不计运动员经过N 点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表
4
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示该过程运动员速度大小v 或加速度大小a 随时间t 变化的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
类平抛运动
2．如图所示，abcd 是倾角为θ 的光滑斜面，已知ab∥dc，ad、bc 均与ab 垂直。在斜面上的a 点，
将甲球以速度v0沿ab 方向入射的同时，在斜面上的b 点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是(
)
A．甲、乙两球不可能在斜面上相遇
B．甲、乙两球一定在斜面上相遇
C．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上
D．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变可能不相同
斜抛运动
3．如图所示，某同学将质量相同的三个物体从水平地面上的A 点以同一速率沿不同方向抛出，运
5
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动轨迹分别为图上的1、2、3。若忽略空气阻力，在三个物体从抛出到落地过程中，下列说法正确
的是（ ）
A．轨迹为1 的物体重力的冲量最大
B．轨迹为3 的物体在最高点的速度最小
C．轨迹为2 的物体在最高点的动能最大D．三个物体单位时间内速度变化量不同
4．如图所示，在一段封闭的光滑细玻璃管中注满水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体 R，R 从坐
标原点以速度 v0=0.01m/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正向做初速度为零的匀加速直线运动，测
出某时刻R 的x、y 坐标值分别为 0.04m 和 0.02m， 则（ ）
A．此时刻速度大小为 0.04 m/s
B．玻璃管的加速度大小为
C．此时刻速度方向与x 轴正方向成
角
D．蜡块运动的轨迹是一条斜率逐渐减小的曲线
5．公园里常见的一种健身器材，如图甲所示，叫做“椭圆机”，受到人们的喜爱。每边由三根连
杆以及踏板组成。如图乙所示。锻炼者的脚放到踏板P 上，通过手脚一起发力驱动装置转动起来，
踏板（脚）的运动轨迹形似椭圆（如图丙），所以这种锻炼器材叫做"椭圆机”。如图丁所示为椭
圆机某一时刻所处状态，图中
，连杆O3O4与地面平行；该时刻连杆O2O4沿着竖直方向，正
6
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在顺时针转动，此时角速度为
。以下说法正确的是（ ）
A．连杆O3O4上各点的轨迹相同
B．连杆O3O4上各点的速度沿着连杆的O3O4分量不一定相同
C．当椭圆机处于如图丁所示状态时，连杆O3O4上各点的速度相同
D．若连杆O1O3的长度为连杆O2O4的3 倍，那么该时刻连杆O1O3的角速度为
6．通过一次次抗洪抢险，抗洪精神早已刻入中华儿女血脉之中．我们把某次救人的情景简化为理
想情境：河岸平直，河宽为
，河水流速为
，船在静水中的速度为
，则（ ）
A．船无法到达正对岸
B．船渡河的最短时间为
C．船在河水中的实际速度大小可能是
D．若仅增大河水流动的速度，则船渡河的最短时间将变长
7．如图所示， 轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮 C 与质量为 m 的物体 A 连接， A 放在倾
角为 θ 的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体 B 连接。现 BC 连线恰沿水平方
向，从当前位置开始 B 以速度 v0匀速下滑。设绳子的张力为 FT，重力加速度为 g，在 A 到达斜
面顶端前的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
7
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A．物体A 做减速运动
B．物体A 做匀速运动
C．FT可能小于 mgsin θ
D．FT一定大于 mgsin θ
8．如图所示，中间有孔的滑块A 套在光滑的竖直杆上通过滑轮拉住轻绳B 端匀速向下运动，则（
）
A．滑块A 匀速向上运动
B．滑块A 减速向上运动
C．滑块A 处于失重状态
D．滑块A 处于超重状态
9．如图所示，将质量为M 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环，环套在竖
直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A 点与定滑轮等高，杆上的B
点在A 点下方距离为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法不正确的是(
)
A．若M=3m，则环不可能到达B 点
B．若M=2m，则环下滑到达B 处向下运动时正在加速
C．若M=
m,则环下滑到B 处时速度最大
D．若M=m，若绳足够长，环将一直向下运动
8
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10．如图所示，一工人利用定滑轮和轻质细绳将货物提升到高处．已知该工人拉着绳的一端从滑轮
的正下方水平向右匀速运动，速度大小恒为v，直至轻绳与竖直方向夹角为600．若滑轮的质量和摩
擦阻力均不计，则该过程（ ）
A．货物也是匀速上升
B．绳子的拉力大于货物的重力
C．末时刻货物的速度大小为
D．工人做的功等于货物动能的增量
11．如图所示，中间有孔的物块A 套在光滑的竖直杆上，通过光滑滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉
着向上运动，在A 匀速上升过程中，下列判断正确的是（ ）
A．拉力F 变小
B．杆对A 的弹力N 不变
C．绳子自由端（右端）的速率ν 增大
D．拉力F 的功率P 不变
12．在第24 届冬季奥林匹克运动会上，某运动员进行跳台滑雪比赛时，从跳台边缘的
点水平飞
出，其运动轨迹为如图所示的实线，固定的照相机间隔相等的时间连续拍摄了4 张照片，运动员对
应的位置为图中的
四点，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
9
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A．
四点中每相邻两点间的距离相等
B．运动员在
段与在
段速率的变化量相同
C．运动员在
四点所受重力的功率相等
D．所受重力在
段对运动员做的功等于在
段做功的三倍
13．如图所示为某名运动员保持固定姿势欲骑车飞跃宽度
的壕沟AB。已知两沟沿的高度差
，重力加速度
，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．运动员离开A 点时的速度大于
就能安全越过壕沟
B．运动员离开A 点时的速度越大，在空中运动的时间越长
C．运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大
D．运动员在空中飞行的过程中，动量变化量的方向斜向右下方
14．足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O 点。两次射门，足球先后打在水平横
梁上的a、b 两点，a 为横梁中点，如图所示。若足球两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向，不
计空气的作用（ ）
10
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A．若足球从O 点运动到a、b 的时间分别为t1和t2，则t1<t2
B．若足球击中a、b 点的速度分别为v1和v2，则v1=v2
C．若先后两次足球被踢出时的速度分别为v01和v02，则v01<v02
D．两次足球被踢出时的速度方向可能相同
15．2023 年9 月21 日，莞外高三年级篮球比赛决赛开打，一同学第一次跳投出手，篮球的初速度
方向与竖直方向的夹角
；第二次不起跳出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角
；
两次出手的位置在同一竖直线上，结果两次篮球正好垂直撞击到篮板同一位置点。不计空气阻力，
则从篮球出手到运动到点C 的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动时间的比值为1：3
B．上升的最大高度的比值为
C．两次出手时篮球的初动能相等
D．两次投篮，篮球在C 点的机械能相等
16．篮球比赛中，运动员在罚球线位置进行两次罚球。第一次，篮球水平击中篮筐；第二次，篮球
斜向下穿过篮框。若运动员两次罚球的出手位置相同，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．两次投球，篮球在空中飞行时间可能相同
B．两次投球出手的速度方向可能相同
C．两次投球到达篮筐处速度大小可能相等
D．第二次投篮，篮球在最高点速度为零
17．实心球是中考的体育项目之一，图中实线是球脱手后在空中的轨迹，A、C 是等高点，B 点是
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最高点，忽略空气阻力。下列说法正确的是 （ ）
A．B 点动能为零
B．B 点时重力的功率为零
C．A 到B 的时间小于B 到C 的时间
D．CD 过程比BC 过程动量变化更快
18．如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h=1.8m。篮球离
开手的瞬间到篮筐的水平距离为5m，水平分速度大小v=10m/s，要使篮球到达篮筐时，竖直方向的
分速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加速度大小g=10
m/s2。篮筐离地面的高度为（ ）
A．2.85m
B．3.05m
C．3.25m
D．3.5m
一、多选题
1．如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD-A1B1C1D1，从顶点A 沿不同方向
水平抛出一小球（可视为质点，不计空气阻力）。关于小球的运动。下列说法正确的是（ ）
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A．落点在A1B1C1D1内的小球，落在C1点时平抛的初速度最大
B．落点在B1D1上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1：
C．落点在A1B1C1D1内的小球，落在C1点的小球运动时间最长
D．落点在A1B1C1D1内的小球，落地时重力的瞬时功率均相同
2．关于甲、乙、丙、丁四幅图，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中大人水平抛出圆环的初速度较小
B．图乙中若A、C 轮的半径相等，则A、C 轮边缘处的向心加速度大小相等
C．图丙中小球在水平面内做匀速圆周运动其向心加速度大小随圆锥体顶角
的增大而减小
D．图丁中卫星在椭圆轨道I 上任意点的线速度大小大于在圆轨道II 上的线速度大小
3．如图所示，“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台
上。棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线，经最高点时速度为v0，此时离平台的高度为h。棋子
质量为m，空气阻力不计，重力加速度为g。则此跳跃过程（ ）
A．所用时间
B．水平位移大小
C．初速度的竖直分量大小为
D．初速度大小为
4．2022 年9 月16 日，第九批在韩志愿军烈士的遗骸回归祖国，运送烈士棺椁的运﹣20 专机降落在
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沈阳桃仙国机场。沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，以表达对英烈的
崇高敬意。如图所示，仪式中的“水门”是由两辆消防车喷出的水柱形成的。两条水柱形成的抛物
线对称分布，且刚好在最高点相遇。若水门高约45m，跨度约90m。重力加速度g 取10m/s2，忽略
空气阻力、消防车的高度和水流之间的相互作用，则（ ）
A．水喷出后经过约3s 到达最高点
B．在最高点相遇前的瞬间，水柱的速度约为0
C．水喷出的瞬间，速度水平方向分量约为30m/s
D．两水柱相遇前，水柱在空中做匀变速曲线运动
二、解答题
5．如图所示，一高度为h=0.9m 粗糙水平桌面在B 点与一倾角为θ=53°的斜面BC 连接，一可视为
质点的小物块从水平桌面上的A 点以v0=2.5m/s 的初速度向右运动，物块运动到B 点后做平抛运动。
已知AB 间的距离s=0.5m，物块与桌面之间动摩擦因数为µ=0.4，取g=10m/s2，sin53°=0.8，
cos53°=0.6。
（1）求小物块运动到B 点的速度大小；
（2）求小物块在空中的飞行时间（不考虑小物块反弹以后的运动）。
6．如图所示是弹球游戏装置，在竖直平面内，半圆弧双管轨道BC 光滑，圆心为O，半径为R。倾
斜轨道DE 与EF 粗糙，与E 点所在的平台夹角均为
，在D 点有一段光滑小圆弧连接两轨道，
D 点与F 点到光滑水平面AB 的距离都是1.91R，E 点到水平面AB 的距离是0.91R。游戏时需要使用
质量为2m 的小球2 去撞击质量为m 的小球1，两球发生弹性碰撞，并让小球1 经过圆弧轨道后从C
点水平向右飞出，能够无碰撞地从D 点进入倾斜轨道，最终停在EF 斜面上为胜者。设滑动摩擦力
等于最大静摩擦力，小球1 与倾斜轨道间的动摩擦因数为
，重力加速度为g。
（1）小球1 从C 点抛出的速度应为多大；
（2）人对小球2 做的功应为多大；
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（3）在设计游戏装置的时候，动摩擦因数
应该在什么范围内才能让符合条件的小球1 停在EF 轨
道上。
7．如图所示为游乐场“智勇大冲关”最后一关的滑道，冲关者坐上坐垫从A 点由静止开始沿倾角
θ=37°的轨道AB 滑下，经C 点滑上正以v0=3m/s 的速度沿顺时针方向匀速转动的水平传送带CD，
B、C 两点平滑衔接，间距可忽略，冲关者经C 点运动到D 点后水平抛出，落在水面上的E 点。已
知A、B 两点间距为4m，传送带CD 长度L=3.25m，末端D 点距水面的高度H=1.25m，坐垫与轨道
AB 间的动摩擦因数μ1=0.5，坐垫与传送带间的动摩擦因数μ2=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加
速度g=10m/s2，求：
（1）冲关者到达B 点时的速度大小；
（2）冲关者从A 点运动到D 点的时间；
（3）E 点到D 点的水平距离。
8．如图所示为某大型闯关节目最后一关的简化图。一质量
的参赛者从四分之一圆弧轨道的
A 点无初速度滑下，通过水平轨道后进入下方的蹦床，借助蹦床的弹力在规定的时间内通过P 点所
在的高度即可获胜。已知圆弧轨道A 点距蹦床高
，圆弧轨道半径
，水平轨道距蹦床
高
，P 所在的水平面距蹦床高
。不计一切阻力，参赛者可视为质点，重力加速度
取
。
（1）求该参赛者到达圆弧轨道最低点M 处时对轨道的压力；
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（2）已知参赛者离开蹦床后的速度方向已调整为竖直向上。若该参赛者在到达水平轨道末端时看
到比赛倒计时还剩2s，不计其与蹦床接触的时间，若要通过P 点，则他离开蹦床时的速度至少为多
少？此速度下他能否赢得比赛？
16
