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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块10 磁发明各模块大招
第04 讲 带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解模型
（解析版）
目录
【内容一】 电荷的匀强磁场中只受洛伦兹力时的运动形式..........................................................................1
【内容二】 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力..................................................3
【内容三】 带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法..............................................................................5
【内容四】 求半径：主要由三角形几何关系求出模型..................................................................................6
【内容五】 几何关系细节具体分析..................................................................................................................7
【内容六】 运动的时间的确定..........................................................................................................................8
【内容七】 三类边界磁场中的轨迹特点..........................................................................................................9
技巧总结
整体思路
技巧总结
Ⅰ:基础内容：
1.电荷的匀强磁场中只受洛伦兹力时的运动形式
①当
时，所受洛仑兹力为零，做匀速直线运动
②当
时，所受洛仑兹力提供向心力，做匀速圆周运动
③当
与
成
角
时，所受洛仑兹力提供向心力，做匀速速率螺旋式前
进；
2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
Ⅱ:带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法
在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，
三定时间”的方法。
1
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1.圆心的确定方法：两线定一“心”
类型一：（两速模型）已知两个速度的方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，
两条直线的交点就是圆心。
依据：圆心一定在垂直于速度的直线上。方法：由两个半径的交点确定圆心。
(2) 类型二：（两点一速模型）已知入射速度方向和出射点位置，做入射点和出射点连
线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心。
依据：圆心一定在弦的中垂线上。方法：由半径和弦的中垂线的交点确定圆心
（3）类型三：（一速一
模型）见速画垂直，利用已知半径确定新轨迹的半径，从而
画出运行轨迹，从而求圆心角.
Ⅲ：1、求半径：主要由三角形几何关系求出
（一般是三角形的边角关系、或者勾股定理确定）。
1. 若已知
与
，则由边角关系知
2、若已知
与
(
未知)，则由勾股定理知
2
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.
2、求半径（两种方法）
几何关系细节如下图：
①粒子速度的偏向角(
)等于圆心角(
)，并等于
弦与切线的夹角(弦切角
)的2 倍(如图所示)，
即
同弧所对的圆心角等于弦切角的2 倍.
②直角三角形的应用(勾股定理)。
找到
的中点
，连接
，则
都是直角三角形。
Ⅳ：运动的时间的确定
①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α 时，其
运动时间由下式表示：
，
.
②当
一定时，粒子在磁场中运动的时间
，为带电粒子通过的弧长。
注意：由
得，在磁场内运动方向的偏转角越小，运动时间越短。
图象如下：
3
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入射角为
时，
.
入射角为
时，
.
入射角为
时，
.
入射角为
时，
.
Ⅴ：三类边界磁场中的轨迹特点
（一）直线边界(单边有界)：进出磁场具有对称性。
4
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1、因速度速度方向不同，存在四种可能的运动轨迹，如图。
半圆，优弧，劣弧，圆周
2、从同一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与
边界的夹角（弦切角）相等。
（二）平行边界（双边有界）：存在临界条件。
初速度方向与边界平行、垂直、斜交
1、因入射速度方向不同，有三类可能的运动轨迹
.
2、存在4 种从另一边界穿出的临界情况：
中2 种，
中1 种，
中1 种.
例题演练
例1．带电粒子以初速度v0从a 点进入匀强磁场如图所示，运动中经过b 点，
。
若
撤去磁场加一个与y 轴平行的匀强电场，带电粒子仍以速度v0从a 点进入电场，仍能
通过b 点，则电场强度E 和磁感应强度B 的比值为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
解：设
，因带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，所以圆周运动的半径
正好等于d，即
得
如果换成匀强电场，带电粒子做类平抛运动，那么有
得
所以
故C 正确，ABD 错误。故选C。
例2．如图所示，空间中存在一平面直角坐标系
，其第一象限内存在方向垂直纸
面向里的匀强磁场。将一带负电的粒子从y 轴上的
点以一定初速度，沿着与y
轴正半轴成
的方向射入磁场，经磁场偏转后，粒子从x 轴上的C 点垂直x 轴离
开磁场。已知磁感应强度大小为B，粒子的比荷和电荷量分别为
，粒子的重力不
计。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．从射入磁场到离开磁场，粒子所受洛伦兹力冲量的大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．C 与O 点相距
解：A．如图所示
6
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作出粒子的轨迹，粒子在磁场中运动的时间为
A 错误；
BC．由几何关系得粒子的运动轨道半径
由洛伦兹力提供向心力有
解得
因为洛伦兹力是变力，所以粒子所受洛伦兹力冲量的大小
，即
BC 错误；
D．由几何关系可知，C 与O 点距离为
D 正确。故选D。
例3．如图所示，
是一荧光屏，当电子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光。
的
上方有磁感应强度为
的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，
为屏上一小孔，
与
垂直。一群质量为
、电荷量为的电子，以相同的速率从
处垂直于磁场方向
射入磁场区域，且入射方向在与
夹角为
的范围内。不计电子受到的重力、
阻力及相互作用力，则以下说法正确的是（ ）
A．电子在磁场中运动的最短时间为
B．电子在磁场中运动的最长时间为
C．电子运动过程中距荧光屏的最大距离为
D．在荧光屏上将出现一条亮线，其长度为
解：AB．当电子入射方向在与
夹角为
时，电子从右边射入时，电子在磁场
中运动的时间最短，经分析可得，电子运动的圆心角为
则可得
7
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电子从左边射入时，电子在磁场中运动的时间最长，经分析可得，电子运动的圆心角
为
则可得
AB 错误；
C．当电子从左边射入时，电子在磁场中运动的时间最长，离MN 的距离最远，经分析
可得，电子运动过程中距荧光屏的最大距离为
又
解得
C 正确；
D．当电子垂直于MN 方向射入时，电子到达MN 时离P 点最远，当电子从左边离PQ
的角度
射入时，到达MN 时离P 点最近，故在荧光屏上将出现一条亮线，其长度为
解得
D 错误。故选C。
例4．质量和电荷量都相等的带电粒子M 和N，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强
磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是（ ）
A．N 的运行时间小于M 的运行时间 B．N 带负电，M 带正电
C．N 的速率大于M 的速率 D．N 的运行时间等于M 的运行时间
解：AD．粒子在磁场中运动半周，即时间为周期的一半，而周期为
的运动时间等于
的运动时间，A 错误，D 正确；
B．由左手定则判断出
带正电荷，
带负电荷，B 错误；
C．粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
半径为
在质量与电量相同的情况下，半径大的速率大，即
的速率大于
的速率，C 错误故
选D。
例5．如图所示，在Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小
为B 的匀强磁场。一带电粒子从y 轴上的M 点射入磁场，速度方向与y 轴正方向的夹
8
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角
。粒子经过磁场偏转后在N 点（图中未画出）垂直穿过x 正半轴。已知
，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（ ）
A．粒子带正电荷 B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．N 与O 点相距3d
解：A．粒子进入磁场后沿顺时针方向做圆周运动，由左手定则可知，粒子带负电，
故A 错误；
B．粒子运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子做圆周运动的轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得
解得
故B 正确；
C．粒子在磁场中运动的周期
粒子轨迹对应的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为
故C 错误；
D．N 点到O 点的距离为
故D 错误。故选
B。
例6．如图所示，半径为
的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。两个质子
、
沿平行于直径
的方向从圆周上同一点
射入磁场区域，
点与
间的距离为
，
9
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质子
、
入射的速度大小之比为
，
是垂直
的直径。质子
恰好从
点射
出磁场，不计质子的重力和质子间的作用力。则（ ）
A．
、
在磁场中运动的轨道半径之比为
B．
、
在磁场中运动的轨迹长度之比为
C．
、
在磁场中运动的周期之比为
D．
、
在磁场中运动的时间之比为
解：A．根据
可知
因此轨道半径之比为，
，故A 错误；
B．如图
由几何关系可知，
、
转过的角度分别为
和
，根据弧长公式
可知
、
在磁场中运动的轨迹长度之比为
，故B 错误；
C．根据
可知
、
在磁场中运动的周期之比为
，故C 错误；
D．根据
可知
、
在磁场中运动的时间之比为
，故D 正确。故选D。
例7．如图所示，直角三角形ABC 内（包括边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，
∠A=30°，BO⊥AC，两个带异种电荷的粒子分别沿OB 方向射入磁场，偏向左边的粒子
恰好没有从AB 边射出磁场，偏向右边的粒子恰好垂直BC 边射出磁场，忽略粒子重力
和粒子间的相互作用。若正、负粒子的速度大小之比为1 3∶，则正、负粒子的比荷之比
为（ ）
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A．1 3∶
B．3 1∶
C．2 9∶
D．9 2∶
解：依题意，画出粒子运动轨迹图
几何关系可知
由
可得
正、负粒子的速度大小之比为1 3∶，则正、负粒子的比荷之比为1 3∶。
例8．如图所示，有一边长
的正三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
应强度大小
，有一比荷
的带正电粒子从
边上的
点垂直
边进入磁场，
的距离为
，要使粒子能从
边射出磁场，带电粒子的最大初
速度为（粒子的重力不计）（ ）
A．
B．
C．
D．
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解：
带电粒子以最大初速度从AC 边出磁场时，轨迹与BC 边相切，如图所示，由几何关系
可知，此时半径为
，则有
解得
故选A。
例9．A、B 两个带电粒子同时从匀强磁场的直线边界上的M、N 点分别以45°和30°
（与边界的夹角）射入磁场，又同时分别从N，M 点穿出，如图所示。设边界上方的
磁场范围足够大，下列说法中正确的是（ ）
A．A 粒子带负电，B 粒子带正电
B．A、B 两粒子运动半径之比为1 2∶
C．A、B 两粒子速率之比为1 2∶
D．A、B 两粒子的比荷之比为3 2∶
解：A．根据左手定则可知，A 粒子带正电，B 粒子带负电，故A 错误；
B．设MN 长为l，根据几何知识可得
，
所以A、B 两粒子运动半径之比为
，故B 错误；
CD．根据
，
联立得
根据几何知识，A、B 两粒子在磁场中运动得圆心角分别
和
，则粒子在磁场中
运动得时间为
，
根据题意
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所以A、B 两粒子得比荷之比为
又
综合分析可得两粒子速率之比为
故C 错误，D 正确。故选D。
例10．在
坐标系的第一象限内存在匀强磁场，两个相同的带电粒子①和②在P 点
垂直磁场分别射入，两带电粒子进入磁场时的速度方向与x 轴的夹角如图所示，二者
均恰好垂直于y 轴射出磁场。不计带电粒子所受重力。根据上述信息可以判断
（ ）
A．带电粒子①在磁场中运动的时间较长
B．带电粒子②在磁场中运动的时间较长
C．带电粒子①在磁场中运动的速率较大
D．带电粒子②在磁场中运动的速率较大
解：AB．画出粒子在磁场中的运动轨迹如图；
两粒子的周期
相同，粒子①转过的角度θ1=45°
粒子②转过的角度θ2=135°根据
可知带电粒子②在磁场中运动的时间较长，选项A 错误，B 正确；
CD．由几何关系可知，两粒子在磁场中运动的半径相等，均为
根据
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可知
可知，两粒子的速率相同，选项CD 错误。故选B。
对应题型精炼
1．如图所示，在等腰直角三角形abc 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀
强磁场，O 为ab 边的中点，在O 处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率
不断向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，
直角边ab 长为
，不计重力和粒子间的相互作用力。则（ ）
A．从ac 边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B．从ac 边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C．粒子能从bc 边射出的区域长度为L
D．粒子能从bc 边射出的区域长度为2L
【答案】B
【详解】AB．根据
代入速度得
如图
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Od 与ac 垂直，有几何关系可知，Od 长为L，即最短弦长，对应最短时间，圆心角为
，则最短时间为
又
得
A 错误，B 正确；
CD．粒子轨迹与ac 相切时，交与bc 边最远的e 点，由几何关系可知，Oe 长度为直径，
则粒子能从bc 边射出的区域eb 的长度为
，CD 错误。
故选B。
2．虚线OM 和虚线ON 之间的夹角为30°，如图所示，虚线OM 上方存在方向垂直于
纸面向里的匀强磁场。一带负电的粒子沿纸面以大小为v 的速度从O 点右侧距离为L
的A 点向左上方射人磁场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与
ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场，不计重力。则粒子在磁场中做圆周运
动的半径为（ ）
A．
B．
C．2L
D．3L
【答案】A
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【详解】
轨迹与
相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于
故
为等边三角形，则
而
则
故
为一直线，则
解得
故A 正确，BCD 错误。
故选A。
3．如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为
、
，虚线MN 为理
想边界。现有一个质量为m、电荷量为e 的电子以垂直于边界MN 的速度v 由P 点沿垂
直于磁场的方向射入磁感应强度为
的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心
形图线，以下说法正确的是（ ）
A．电子的运动轨迹为
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B．电子运动一周回到P 点所用的时间
C．
D．电子在
区域受到的磁场力始终不变
【答案】AC
【详解】A．由左手定则可知，电子在P 点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为
，故A 正确；
BC．电子在磁场中做匀速圆周运动有
解得
，
由图知
，则
电子运动一周回到P 点所用的时间为
故B 错误、C 正确；
D．电子在磁场中受洛伦兹力始终与速度垂直，方向时刻改变，故D 错误。
故选AC。
4．如图所示，在xOy 坐标系中，x 轴上方有一圆形匀强磁场区域，其圆心为O1（0，
2m）、半径R=2m，磁感应强度大小B=2×10-2，方向垂直于纸面向外。在x 轴下方有匀
强电场，电场强度E=0.2N/C，方向水平向左。在磁场的左侧y=0.5R 处有一带正电、质
量m=4×10-6kg、电荷量q=2×10-2C 的粒子以速度v=2×102m/s 平行于x 轴正方向且垂直
于磁场射入圆形磁场区域。不计粒子的重力。求（结果可用含根号的式子表示）：
（1）粒子在磁场区域运动的轨迹半径r；
（2）粒子在磁场区域运动的时间；
（3）粒子打在y 轴上离原点O 的最远距离d。
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【答案】（1）2m；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在磁场区域做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
代入数据解得
（2）依题意，结合上述可知，粒子经过磁场后从原点O 出来，作出轨迹如图所示
由几何关系可得其对应的圆心角
粒子做圆周运动的周期
解得粒子在磁场中运动的时间
解得
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（3）粒子经过磁场从原点O 出来后射入第四象限，设粒子射入第四象限的射入时速度
方向与y 轴负方向的夹角为θ，由几何关系得
θ=30°
粒子在第四象限内，x 轴方向做双向匀变速直线运动，y 轴负方向做匀速直线运动。则
有
解得
根据速度公式有
粒子打在y 轴上离原点O 的最远距离
解得
5．如图所示，间距为L 的平行板M、N 间有水平向右的匀强电场，M 板上开有长为L
的窗口AC，M 板的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场中O 点有一粒子源，OAC
为正三角形，从O 点沿OC 方向射出质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒子射
出的速度大小为
，粒子刚好从A 点进入匀强电场，粒子在电场中运动t 时间打在N
板上，不计粒子的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子刚好从A 点进入匀强电场，可得粒子的运动轨迹如图所示：
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由几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的半径为
由洛伦兹力提供向心力得
解得
（2）粒子从A 点进入电场时，速度恰好沿
方向向上，可知粒子进入电场后做类平
抛运动，在沿电场方向上有
，
解得
6．如图所示，在x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x
轴下方存在匀强电场，方向与x 轴负方向成45°角。一个质量为m、电荷量为q、重力
不计的带正电粒子从y 轴上的
点沿y 轴正方向以某初速度开始运动，一段时间
后，粒子沿平行电场线方向进入电场，且粒子沿电场线移动的最大距离为h。求：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r 和初速度大小
；
（2）匀强电场的场强大小E；
（3）粒子从开始运动到第三次经过x 轴的时间t。
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子运动轨迹如图所示：
由几何关系得
解得
.
由牛顿第二定律得
解得
（2）粒子在电场中做匀减速直线运动，则
由牛顿第二定律得
解得
（3）粒子在磁场中运动的时间
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粒子在电场中运动的时间
解得
粒子从开始运动到第三次经过x 轴的时间
7．如图所示，直角坐标系xOy 中，x 轴、y 轴和
线为理想磁场和电场边界。第一
象限区域在直线
与y 轴之间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，
在第二象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，一带正电的粒子从静止开始经电压U 加速
后，自
点沿y 轴正方向射入第一象限，垂直于y 轴离开，自
离开第二
象限，不计重力。求：
（1）带电粒子的比荷；
（2）电场强度E 及粒子自M 到N 的运动时间t；
（3）如果只改变M 点坐标，坐标为
，求粒子在第二象限离开x 轴时的速
率。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v，根据动
能定理可得
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粒子在第一象限首先做匀速直线运动，轨迹如图所示
射入到磁场中后，根据几何关系可得粒子在磁场中的轨迹半径
根据洛伦兹力提供向心力
解得比荷
（2）粒子自
点垂直y 轴射入第二象限，落在
点，粒子做类平抛运动，
水平位移
竖直位移
解得
粒子做匀速直线运动时间
在磁场中运动时间
在电场中运动时间为
，水平位移也为a，则有
粒子运动时间
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（3）轨迹如图所示
根据几何关系
所以
粒子自P 点穿过y 轴，则
根据动能定理
解得
8．如图所示，在xOy 平面内的第一象限内，直线y=0 与直线y=x 之间存在磁感应强度
为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，x 轴下方有一直线CD 与x 轴平行且与x 轴相距
为a，x 轴与直线CD 之间（包含x 轴）存在沿y 轴正方向的匀强电场，在第三象限，
直线CD 与直线EF 之间存在磁感应强度也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。纸面
内有一束宽度为a 的平行电子束，如图，沿y 轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各
电子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边界与y 轴的距离也为a，经第
一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入x 轴下方的电场，最后所有电
子都垂直于EF 边界离开磁场。其中电子质量为m，电量大小为e，电场强度大小为
。求：
（1）电子进入磁场前的最大速度；
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（2）电子经过直线CD 时的最小速度及该电子在第三象限磁场中做圆周运动的圆心坐
标；
（3）直线EF 的方程。
【答案】（1）
；（2）
，（ - a，- 2a）；（3）
【详解】（1）经分析可得，所有电子在第一象限都经历一个四分之一圆周运动后通过
原点并沿- x 轴方向进入x 轴下方的电场，故最大速度对应最大半径
r1＝2a
根据洛伦兹力提供向心力，则有
可得
（2）由（1）可知，过原点并进入x 轴下方的电子的最小速度为
所有电子在电场中偏转时，-x 方向分速度不变，-y 方向的分速度增量一样大，则-x 方
向分速度最小的电子，经过直线CD 后速度也最小，又由于电子在电场中做类平抛运
动，则在y 方向有
，
解得
由
25
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在x 方向有
x2 = v2t
解得
x2 =2a
可得经过直线CD 时的坐标为（- 2a，- a），此后在磁场中的运动半径为
解得
电子射出CD 时速度与竖直方向的夹角
，
设电子此后在磁场中运动的圆心为（x，y）根据几何关系
y = - a + (- r2sin45°)，x = - 2a +r2cos45°
得该电子此后在磁场中运动的圆心坐标为（- a，- 2a）
（3）由题意，所有电子都垂直于EF 边界离开磁场，则所有电子运动轨迹的圆心都在
EF 直线上，由（1）和（2）的结论，经过直线CD 时，不妨设任何电子的
方向的分
速度为
（1 ≤ k ≤ 2）
则电子经过直线CD 的合速度为
电子经过直线CD 的坐标为（
，
），速度方向与水平方向的夹角的正切值为
根据几何关系，易得圆心位置为（
，
），因为电子垂直于直线EF 出射，
所以圆心也在直线上，可得EF 直线为
9．如图，竖直平面Oxy 内，第二象限存在垂直平面向外的匀强磁场，第四象限平面内
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存在与y 轴正向成45°的匀强电场，一质量为m，带电量为+q 的粒子，从A 点（-
L，0）沿与x 轴正方向成45°角，垂直射入磁场中，粒子入射速度为v0，粒子恰好从O
点进入电场，后从x 轴上A'点（
L，0）射出，不计带电粒子的重力，求：
（1）磁感应强度B 及粒子在磁场运动周期T。
（2）带电粒子从A 点运动到A'点的时间t。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）带电粒子在磁场中从A 到O 做匀速圆周运动，由几何关系可知
r=L
根据牛顿第二定律
联立解得
运动周期
（2）粒子在磁场中运动的时间
粒子在电场中运动的时间
带电粒子从A 点运动到A'点的时间
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10．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、二象限内有垂直于坐标平面向外的匀
强磁场，在第三、四象限内有平行于坐标平面斜向下的匀强电场，电场方向与x 轴负
方向的夹角为45°，从坐标原点O 向第二象限内射出一个质量为m、电荷量为－q 的带
电粒子，粒子射出的初速度大小为v0，方向与x 轴负方向的夹角也为45°，此粒子从O
点射出后第三次经过x 轴的位置P 点离O 点的距离为d，粒子第二次在电场中运动后恰
好从O 点离开电场，不计粒子重力，求：
（1）磁感应强度B 的大小；
（2）电场强度E 的大小；
（3）粒子从O 点射出到第一次回到O 点所经历的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子在第一次在磁场中做圆周运动的半径为r，带负电粒子运动轨迹
如图所示
由几何关系
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即
由牛顿第二定律可得
可得
（2）粒子第二次进入电场做类平抛运动，则
qE=ma
解得
（3）粒子在磁场中运动的时间
粒子第一次在电场中运动的时间
其中
则
则粒子从O 点射出到第一次回到O 点所经历的时间
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11．如图所示，P 点是位于纸面内的质子源，它可以向各个方向均匀发射速率相同的
质子，在P 点下方放置有长度为
以O 为中点的探测板，P 点离探测板的垂直
距离OP 为a，在探测板的上方存在方向垂直直面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁
场。不考虑粒子间的相互作用，质子的电荷量
。若质子的质量
，质子的动量
。
（1）当
，
时，求计数率
（即打到探测板上的质子数与总质于数的
比值）。
（2）当
，
时，求质子从质子源出发到探测板上运动的最长时间；
（3）若a 取不同的值，可通过调节B 的大小获得与（1）问中同样的计数率，求B 与a
的关系并给出B 的取值范围。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力
可得
质子运动半径运动轨迹如下图
由几何关系可知，当P 点的质子出射速度方向由竖直向上逆时针旋转为竖直向下的过
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程中，质子将打到探测板上，故能够打在探测板上的角度为可得
计数率为
（2）由图可知，竖直向上的粒子运动时间最长，为
（3）由（1）中分析可知，在确保计数率相同的情况下，只要满足
结合（1）中半径公式可得
若刚好打到探测板最左端时为粒子运动所允许的最大半径，如下图
由几何关系可得
解得
由于
可得
结合B 与a 的关系可得
12．如图所示， 在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质
量为
电量为
的带电粒子。从静止开始经
的
电压加速后，从P 点沿图示方向进入磁场，已知
，（粒子重力不计，
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，
求：
（1） 带电粒子到达 P 点时速度v 大小；
（2）若要求粒子不能进入x 轴上方，磁感应强度的最小值B 是多大（要求画出粒子运
动的轨迹）。
【答案】（1）10m/s；（2）
【详解】（1）对带电粒子的加速过程，由动能定理可得
代入数据得
v=10m/s
（2）带电粒子恰好不从x 轴射出，其轨迹与x 轴相切，如图所示：
由几何关系得
其中
=0.16m
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立并代入数据得
B=5T
13．如图所示，边长为L 的正方形abcd 区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于
纸面向里的匀强磁场。从cd 边的中点P 处发射速率不同、质量为m、电荷量为q 的带
正电粒子，粒子沿纸面与Pb 成
的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间
的相互作用。
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（1）若带电粒子垂直于ad 边射出磁场，求该粒子的运动时间；
（2）求ab 边界有粒子离开磁场的区域长度；
（3）若粒子离开磁场时的速度方向偏转了60°，求该粒子的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）如图
该粒子的圆心角为
，则运动时间为
（2）如图，粒子运动轨迹与ad 相切，由几何关系，该粒子的运动半径为
ab 边界有粒子离开磁场的区域长度，即弦长为
得
（3）若速度方向偏转了60°，则粒子从cd 中点射出磁场，圆心角为60°，弦长为L，
则半径长为L。根据
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得
14．如图所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。位
于坐标原点O 的离子源能发射质量为m、电荷量为q 的正离子，其速度方向与x 轴正
方向的夹角为θ（30°≤θ≤60°），且各个方向均有速度大小为v（0<v≤v0）连续分布的离
子射出。已知
，不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）若v=v0，则在x 轴上能够探测到离子的最大长度
L；
（2）若θ=60°，则v=v1的离子经过直线x=L 处时，其速度方向与y 轴负方向间的夹角
φ(用反三角函数表示)；
（3）若开始发射离子的时刻记为t=0，则
①θ=45°的所有离子，在t=t1时刻其位置满足的方程；
②在
内，磁场中可探测到离子区域的最大面积S。
【答案】（1）
；（2）
；（3）①
，②
【详解】（1）由
得，当离子速度大小v=v0时，其半径为
R=L
当θ=30°时
当θ=60°时
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（2）方法1：如图1 所示，对0<v≤v0的离子，以y 轴负向为正方向，由动量定理，得
fyt=mvy′－mvy
qBL= mv1cosφ+mv1sin60°
或
方法2：在三角形ACE 中，
由L=2rsin60°时，最小速度
其中
≤v1≤v0
（3）①当离子v=v0时，其半径为R=L。如图2 所示，θ=45°时，设运动轨迹对应的弧
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度角
弦切角等于圆心角的一半，即
，所以
t1时刻离子所在位置的方程为
其中
或
其中
当
时，离子运动到磁场外，此时位置坐标为
t1时刻离子所在位置的方程为
②a．θ=60°，v=v0，其半径为
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R=L
当
时，如图3 所示，其轨迹OE 为以O1为圆心的圆弧，是所围面积的上边界。
b．在
，v=v0，不管θ 取何值，轨迹圆弧v0t 均相等，圆弧所对应的弦长也均相
等为L，以O 点圆心、L 为半径的圆弧，圆弧对应的圆心角为30°，是所围面积的右边
界。
图3 中实线所示，该区域由x 轴，以O 点圆心、L 为半径的圆弧，θ=60°的运动轨迹围
成。面积为分别为
磁场中可探测到离子区域的最大面积S 为
15．为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研
究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在
平面（纸面）内，在
区间内
存在平行y 轴的匀强电场，
。在
的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为B，
。一未知粒子从坐标原点与x 正方向成
角射
入，在坐标为（
，
）的P 点以速度
垂直磁场边界射入磁场，并从（
，0）射
出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，
。求：
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（1）该未知粒子的比荷
；
（2）匀强电场电场强度E 的大小及左边界
的值；
（3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子
轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点
（
，
）（未画出）。求粒子由P 点运动
到Q 点的时间
以及坐标
的值。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
，
【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得
又
联立解得粒子的比荷为
（2）粒子的轨迹如图所示
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粒子在电场中可逆向看成做类平抛运动，则有
联立解得匀强电场电场强度大小为
由几何关系可得
解得
（3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子在磁场的运
动轨迹如图所示
由
可得
即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为
，则有
取一小段时间
，对粒子在
方向上列动量定理（如图）
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两边同时对过程求和
可得
即
其中
则有
结合
可得
故有
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