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专题强化十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
【复习目标】
会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
【知识梳理】
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界
状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
角度1 带电粒子电性不确定形成多解
分析
图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负
电荷，初速度相同时，正、负粒子在
磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a;如带负电，其轨迹为b
【典例剖析】
例1 (多选)如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为
B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、
带电荷量为q 的粒子以某一速度从P 点射入，恰好从Q 点射出，下列说法正确的是( )
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为qBL
2m
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为5qBL
2
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为π m
3qB
1
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角度2 磁场方向不确定形成多解
分析
图例
只知道磁感应强度大小，而未具
体指出磁感应强度方向，由于磁
感应强度方向不确定而形成多解
粒子带正电，若B 垂直纸面向里，其轨迹为
a，若B 垂直纸面向外，其轨迹为b
【典例剖析】
例2 (多选)如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不
计。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A 两点间的距离
为s，负离子的比荷为q
m，速率为v，OP 与OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B
的大小和方向可能是( )
A.B> mv
3qs，垂直纸面向里
B.B>mv
qs ，垂直纸面向里
C.B>mv
qs ，垂直纸面向外
D.B>3mv
qs ，垂直纸面向外
角度3 临界状态不确定形成多解
分析
图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能
穿过磁场飞出，也可能转过
180°从入射界面一侧反向飞出，
于是形成多解
【典例剖析】
例3 (2025·安徽合肥高三开学考)如图所示，abcd 为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)
处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝√3L。一质量为m、电荷量
为q(q>0)的粒子，从a 点沿ab 方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是( )
2
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A.粒子能通过cd 边的最短时间t＝π m
qB
B.若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度v＝qBL
2m
C.若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度v＝2qBL
m
D.若粒子只能从ad 边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v≤qBL
2m
考点二 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
【知识梳理】
解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为
突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
1.临界条件
刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2.几种常见的求极值问题
(1)时间极值
①当速度v 一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
②圆形边界:公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场
直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。
③最短时间:弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。
如图，P 为入射点，M 为出射点，此时在磁场中运动时间最短。
(2)磁场区域面积极值
若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直
径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。
3
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【典例剖析】
例4 (2024·湖北卷，7)如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。
一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列
说法正确的是( )
A.粒子的运动轨迹可能经过O 点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为7 π m
3qB
D.若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为√3qBR
3m
例5 如图所示，在xOy 平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、
方向垂直于xOy 平面向外。一束质量为m、电荷量为＋q 的粒子以不同的速率从O 点沿xOy 平面
内的OP 方向发射，沿直线飞行到P 点时进入有界匀强磁场区域，O、P 两点间的距离为L，OP
连线与x 轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x 轴上垂直x 轴射出，若速
度最大的粒子A 从x 轴上的Q 点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运动，粒子所受的
重力忽略不计，求:
(1)vm的大小;
(2)粒子A 在匀强磁场中运动的时间;
(3)有界匀强磁场区域的最小面积。
4
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【限时训练】（40min）
1.如图所示，直线MN 与水平方向成60°角，MN 的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方
存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN 上的a 点，
能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计，粒子间的相互作用
不计)，所有粒子均能通过MN 上的b 点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( )
A.√3qBL
m
B.√3qBL
2m
C.√3qBL
3m
D.√3qBL
4 m
2.如图所示，四分之一圆区域OMN 内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，P 点为半径OM 的中点。
现有两个带电粒子a、b，以相同的速度先后从P 点沿平行ON 方向射入磁场，并分别从N、M 两
点射出磁场。不计粒子所受重力及粒子间相互作用。则粒子a、b 在磁场中运动周期之比为( )
A.5∶1
B.1∶5
C.2∶3
D.3∶2
3.(多选)如图所示，P、Q 为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀
强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q 的粒子(重力不计)，
以水平初速度v0从P、Q 两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0的大
小可能为( )
5
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A.qBd
8m
B.3qBd
4 m
C.qBd
m
D.3qBd
2m
4.(多选)如图所示，边界OA 与OC 之间存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，
∠AOC＝60°。边界OA 上距O 点l 处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q 的等速粒子，不
计重力。当S 沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现没有粒子从OC 边界射出。则( )
A.粒子的最大发射速率不超过√3qBl
4 m
B.粒子的最大发射速率不超过(2√3−3)qBl
m
C.粒子从OA 边界离开磁场时离S 的最远距离可能为l
D.粒子从OA 边界离开磁场时离S 的最远距离可能为√3l
2
5.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴
线平行，其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为
m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应
强度最小为( )
A.3mv
2ae
B.mv
ae
C.3mv
4 ae
D.3mv
5ae
6
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6.(多选)如图所示，三角形abc 区域(含边界)内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，在a 点有一粒子源，可向三角形内部发射速度大小和方向均不相同的同种带电粒子。已知∠b
＝90°，∠a＝60°，ab 边长为L，粒子质量为m，电荷量为＋q，不计重力，下列说法正确的是(
)
A.粒子在磁场中运动的最长时间为2π m
3qB
B.粒子在磁场中运动的最长时间为π m
6qB
C.沿ab 边入射，从ac 边飞出的粒子的最大速率为qBL
m
D.沿ab 边入射，从ac 边飞出的粒子的最大速率为qBL
2m
7.(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy 的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
大小为B。大量质量为m、电荷量为q 的相同粒子从y 轴上的P(0，√3L)点，以相同的速率在纸面
内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，
粒子垂直x 轴离开磁场。不计粒子的重力。则( )
A.粒子一定带正电
B.当α＝45°时，粒子也垂直x 轴离开磁场
C.粒子入射速率为2√3qBL
m
D.粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为3√5L
8.(2025·广东广州模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，有一个质量不计、带正电的粒子从y
轴上的P 点以沿x 轴正向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P 点在磁场的边界上)。已知粒子
的比荷q
m＝108 C/kg，速度大小v0＝106 m/s，P 点的坐标为(0，1 m)。
7
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(1)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m 的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰
能够垂直于x 轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B 的大小;
(2)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q(√3 m，0)点离开第一象限，求粒子
在磁场中运动的时间t;
(3)若在第一象限加垂直纸面向里的矩形磁场，粒子沿与y 轴平行的方向向上离开磁场区域，已知
磁场区域面积的最小值为S＝2√2 m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。
9.(2025·云南昆明一中月考)如图所示，在空间中有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内(包括坐
标轴上)充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP 是它们的边界。区域Ⅰ中的磁感应强度为3B，
方向垂直纸面向外;区域Ⅱ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。边界上的P 点坐标为(√3L，
L)。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从P 点平行于y 轴负方向射入区域Ⅰ，忽略粒子重力。
(1)若粒子不能从x 轴出射，则粒子运动速度的最大值;
(2)若粒子垂直于y 轴离开磁场，则该粒子在磁场中运动的最短时间;
(3)若粒子从O 点离开磁场，则该粒子在磁场中运动的速度的可能值?
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