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专题强化二十 带电粒子在组合场中的运动
【复习目标】
1.学会处理带电粒子在磁场和磁场组合场中的运动。 2.学会处理带电粒子在磁场和电场组合场中
的运动。
【知识梳理】
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。
2.分析思路
(1)画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。
(2)找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)划分过程:将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。
3.“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以v0⊥E 进入匀
强电场(不计重力)
带电粒子以v⊥B 进入匀强磁场(不计
重力)
受力情况
只受恒定的电场力F＝
qE
只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB
运动情况
类平抛运动
匀速圆周运动
运动轨迹
求解方法
利用类平抛运动的规律
得x＝v0t，y＝1
2at2，a＝
qE
m ，tan θ＝at
v0
根据牛顿第二定律和向心力公式可得
qvB＝mv
2
r ，T＝2π m
qB ，t＝θ
2π T
动能
静电力做的功等于动能
变化量
洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不
变
考点一 磁场与磁场组合
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磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度
大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心
共线的特点，进一步寻找边角关系。
【典例剖析】
例1 如图所示，在直角坐标系中的y 轴和x＝10L 的虚线之间以x 轴为边界存在两个匀强磁场区域
Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ磁场方向垂直于纸面向里。
一粒子加速器放置在y 轴上，其出射口P 点坐标为(0，L)，其加速电压可调。质量为m、电荷量
为q 的粒子经加速器由静止加速后平行于x 轴射入区域Ⅰ，粒子重力忽略不计。
(1)调节加速电压，粒子恰好从O 点射出磁场，求加速电压的大小U;
(2)若区域Ⅱ磁感应强度大小为B，如果粒子恰好不从y 轴射出，求粒子从P 点射出后第二次经过
x 轴所用时间t;
(3)在第(2)问的情形中，求粒子经过x 轴的点的横坐标值。
2
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考点二 电场与磁场组合
1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。
2.带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场中做匀速圆周运动，如图所示。
角度1 先电场后磁场
【典例剖析】
例2 (2023·辽宁卷，14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的√3倍。
金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀
强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边
缘P 点飞出电场，并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为2m v0
3qB ，不计粒子
重力。
(1)求金属板间电势差U;
(2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ;
(3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定
性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
3
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角度2 先磁场后电场
【典例剖析】
例3 (2025·福建泉州一模)利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的
xOy 平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x 轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存
在沿y 轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从原点O 处以大
小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x 轴负方向夹角θ＝60°，一段时间后垂直x＝x1虚线
边界进入电场。已知x1＝√3L，x2＝7√3
3 L，区域Ⅱ中电场的电场强度E＝m v0
2
4 qL 。求:
(1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B;
(2)粒子从原点O 出发到离开电场的总时间t;
(3)粒子离开电场时的速度大小v。
4
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角度3 带电粒子在电场、磁场中的交替运动
【典例剖析】
例4 (2025·江苏南京模拟)如图所示，在y>0 的空间中存在匀强电场，电场强度沿y 轴负方向;在
y<0 的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy 平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m 的带
正电的运动粒子，经过y 轴上y＝h 处的P1点时速率为v0，方向沿x 轴正方向，然后经过x 轴上x
＝2h 处的P2点进入磁场，并经过y 轴上y＝－2h 处的P3点，不计重力，求:
(1)粒子到达P2点时速度v 的大小和方向;
(2)磁感应强度B 的大小;
(3)粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间。
5
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【限时训练】（40min）
1.如图在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为1
2B 和B、方向均垂直于纸面向外
的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后垂直于y 轴进
入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限。若粒子重力不计，则粒子在磁场中运动的时间为( )
A.3 π m
6qB
B.3 π m
2qB
C.11π m
6qB
D.7 π m
6qB
2.(多选)(2025·湖北恩施模拟)如图所示，在xOy 平面内存在着磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，
其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P(－
L，0)、Q(0，－L)为坐标轴上的两个点。现有一电荷量为q、质量为m 的带正电粒子(不计重力)，
以与x 轴正向成45°的速度v 从P 点射入磁场，恰好经原点O 并能到达Q 点，则下列对粒子从P
运动到Q 的过程描述正确的是( )
A.粒子运动的总路程一定为√2π L
2
B.粒子运动的最短时间为π m
qB
C.粒子从P 点运动至Q 点动量变化量大小为2mv
D.粒子从P 点到O 点的时间与从O 点到Q 点的时间之比可能为1∶3
3.(多选)(2025·河南郑州模拟)如图所示，P、Q 两个平行金属板之间的电压为U，虚线AC 上方有垂
直纸面向外的匀强磁场，AC 下方存在电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于AC，且垂直
于磁场方向。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子(不计粒子重力)从靠近P 板的S 点由静止开
始做加速运动，从小孔M 沿垂直于磁场的方向进入匀强磁场中，速度方向与边界线的夹角θ＝
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60°，粒子恰好从小孔D 垂直于AC 射入匀强电场，最后打在N 点，已知AD＝L，AN＝2L，则下
列说法正确的是( )
A.粒子从小孔M 进入磁场时的速度大小为2√
qU
m
B.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2
3L
C.匀强磁场的磁感应强度大小为3√2qUm
2qL
D.匀强电场的电场强度大小为√3U
2 L
4.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的电场强度大小
为E、方向水平向右，宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外;右
侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子(质量为m、电荷量
为q、不计重力)从电场左边缘O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又
回到了O 点，然后重复上述运动过程，则中间磁场区域的宽度d 和带电粒子从O 点开始运动到第
一次回到O 点时所用的时间t 分别是( )
A. 1
2B√
6mEL
q
、2√
2mL
qE ＋7 π m
6qB
B. 1
2B√
6mEL
q
、2√
2mL
qE ＋7 π m
3qB
C. 1
B√
2mEL
q
、2√
2mL
qE ＋7 π m
6qB
D. 1
B√
2mEL
q
、2√
2mL
qE ＋5 π m
3qB
5.如图所示，虚线ab 上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场Ⅰ，下方存在
方向相同、磁感应强度大小为λB 的匀强磁场Ⅱ，虚线ab 为两磁场的分界线。M、O、N 位于分界
线上，点O 为MN 的中点。一电子从O 点射入磁场Ⅰ，速度方向与分界线ab 的夹角为30°，电子
离开O 点后依次经N、M 两点回到O 点。已知电子的质量为m，电荷量为e，重力不计，求:
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(1)λ 的值;
(2)电子从射入磁场到第一次回到O 点所用的时间。
6.如图所示，在xOy 平面内虚线OM 与x 轴负方向的夹角为45°，虚线OM 右侧区域Ⅰ内存在垂直
xOy 平面向里的匀强磁场，虚线OM 左侧区域Ⅱ内存在沿y 轴正方向的匀强电场。一质量为m、电
荷量为q 的带正电粒子从原点O 沿x 轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线
OM 后恰好能到达x 轴上的P 点。原点O 与P 点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求:
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B;
(2)匀强电场的电场强度大小E;
(3)粒子从O 点射出至第三次穿过边界线OM 所用的时间t 总。
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7.(2024·江苏卷，16)如图所示，两个半圆环区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，区
域内、外边界的半径分别为R1、R2。ab 与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd 与c'd'间有一个
插入体，电子每次经过插入体速度减小为原来的k 倍。现有一个质量为m、电荷量为e 的电子，
从cd 面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd 面，速度增加，多次循环运动后，电子的速
度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，不计电子经过插入体和电场的时间。求:
(1)电子进入插入体前后在磁场中运动的半径r1、r2之比;
(2)电子多次循环后到达cd 的稳定速度v;
(3)若电子到达cd 中点P 时速度稳定，并最终到达边界d，求电子从P 到d 的时间t。
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