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专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型
目录
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述......................................................................1
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型..................................................................................................2
三．平行边界磁场模型.................................................................................................................................... 11
四．圆形边界磁场模型.................................................................................................................................... 16
五．环形磁约束模型........................................................................................................................................ 31
六．三角形或四边形边界磁场模型................................................................................................................40
七．数学圆模型在电磁学中的应用................................................................................................................46
模型一 “放缩圆”模型的应用............................................................................................................46
模型二 “旋转圆”模型的应用............................................................................................................53
模型三 “平移圆”模型的应用............................................................................................................66
模型四 “磁聚焦”模型..........................................................................................................................70
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的
直线过圆心②弦的垂
直平分线过圆心③轨
迹圆弧与边界切点的
法线过圆心
P、M 点速度垂线交点
P 点速度垂线与弦的垂直平
分线交点
某点的速度垂线与切点法线
的交点
半径的确定
利用平面几何知识求
半径
常用解三角形法：例：(左
图)
R＝或由R2＝L2＋(R－d)2 求
得R＝
1
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运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ
或轨迹长度L 求时间
①t＝T
②t＝
(1)速度的偏转角φ 等于
所对的圆心角θ
(2)偏转角φ 与弦切角α 的关
系：φ<180° 时，φ ＝2α ；
φ>180°时，φ＝360°－2α
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a 中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图c 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
1.如图，在Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一带电粒子
从y 轴上的M 点射入磁场，速度方向与y 轴正方向的夹角θ=30°。粒子经过磁场偏转后垂直穿过x 轴。已知
OM=a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（ ）
A．粒子带正电荷
B．粒子运动的轨道半径为a
C．粒子速度的大小为
D．粒子在磁场中运动时间为
2．如图所示，在第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场（坐标轴上无磁场），位于x 轴上的Р 点有一粒子发
射器，沿与x 轴正半轴成
角方向发射不同速率的电子，已知当速度为
时，粒子恰好从О 点沿y 轴负方
向离开坐标系，则下列说法正确的是（ ）
2
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A．如果
，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
B．如果
，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
C．如果
，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
D．如果
，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
3.如图所示，在
的区域内存在与
平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一束速率等于
的相同带电粒子从原点
发射，速度方向与
轴正方向的夹角等概率的分布在
范围内。其中，沿
轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的
点（图中末标出）离开磁场，其偏向角为
。不计粒子间相
互作用和重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．带电粒子的比荷为
3
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C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的
4.如图，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向
不变．一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x 轴进入磁场，不计重力．
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的
最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x 轴
正方向的夹角及该点到x 轴的距离．
4.（2024·江西·模拟预测）如图，在直角坐标xOy 平面的y 轴与直线
之间有垂直坐标平面向外的匀强
磁场，场强大小为B。在坐标原点处有一粒子源，在坐标平面内沿与y 轴正方向成
的夹角向磁场内
射入大量质量为m，电荷量为q 的带正电粒子，这些粒子的速度满足
，已知这些粒子在磁场中
运动的最长时间是最短时间的5 倍，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，
，
。则
等于（ ）
A．
B．
4
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C．
D．
5.如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）向里，磁场右边界与x 轴垂直。
一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在
垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离为a。如果保持所有条件不变，
在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达接收屏。该粒子的比荷为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2024·河北·模拟预测）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子
垂直于指
板从板上的小孔
射入磁场，另一带电粒子
垂直于磁场且与挡板成
角射入磁场，
、
初速度大小相等，
两粒子恰好都打在板上同一点
（图中未标出），不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．
、
的电性相反
B．
、
在磁场中的运动时间可能相同
C．若
在
点左侧，则
、
的比荷之比为
D．若
在
点右侧，则
、
的比荷之比为
5
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三．平行边界磁场模型
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a 中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝
图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c 中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－)T＝(1－)＝
图d 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
1.（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m 的带负电
粒子以速度
垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为
，不计粒子受到的重力，下列说法正确的
是（ ）
A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
6
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2．（2024·湖北黄冈·三模）如图所示，空间内有一垂直于x 轴的足够大的平面M，M 将
的空间分成
Ⅰ、Ⅱ两区域，两区域均存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅰ磁场沿y 轴负向，区域Ⅱ磁场沿y
轴正向。一带电粒子从O 点以大小为v 的速度射入区域Ⅰ，速度方向在xOy 平面内且与x 轴正向成
，
粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后经过y 轴上的P 点。已知
，
，不计带电粒子的重力，则
该粒子的比荷为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·浙江·模拟预测）在如图所示的xOy 平面内，边长为2R 的正方形区域中存在方向垂直xOy 平面向
外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，沿x 轴放置一长为2R 的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量为
m、电荷量为q 的正离子源从正方形一边（位于y 轴上）的中点P 向垂直于磁场方向持续发射离子，发射
速度方向与水平方向夹角范围为0
60°
﹣
并沿0
60°
﹣
范围均匀分布，单位时间发射N 个离子，其发射离子速
度大小随发射角变化的关系为
，α 为发射速度方向与水平方向夹角，其中当α＝0°的离子恰好从
磁场下边界的中点沿y 轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并
中和，已知R＝0.05m，B＝1T，v0＝5×105m/s，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
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(1)求离子的比荷
（结果保留一位有效数字）；
(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n（结果保留分数）；
(3)求探测板至少多长能吸收到所有离子（结果保留根式）。
四．圆形边界磁场模型
【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
θ＋α＝90°
1． 圆形有界磁场问题（1）
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有
→磁偏转半径
，根据半
径公式
求解；时间
。速度v 越大→磁偏转半径r 越大→圆心角α 越小→时间t 越短。
若r=R，构成正方形。
2． 圆形有界磁场问题（2）
不对圆心射入圆形磁场区域
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两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
1.如图所示，半径为R、圆心为O 的圆形区域内存在一垂直纸面向里的匀强磁场，直径ab 水平。电子带电
荷量为
、质量为m，以速率v 从a 处始终沿纸面射入磁场，当电子在a 处的速度方向与aO 夹角为30°、
斜向下时，离开磁场时的速度方向相比进入时的改变了60°。不计电子的重力，下列说法正确的是
（ ）
A．圆形区域中磁场的磁感应强度大小为
B．改变入射方向，当电子经过O 点时，电子在磁场中的运动时间为
C．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变
D．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变
2.（2024·云南昆明·模拟预测）一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O，筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度为B。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以速度v 沿半径SO 方向射入磁场中。粒子与圆筒发
生两次碰撞后仍从S 孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的
情况下，则圆筒的半径为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
3.（2024·山东临沂·二模）如图所示，半径为R 圆形区域内存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场方向
垂直于纸面向外。质量为m、电荷量为
的带电粒子由A 点沿平行于直径
的方向射入磁场，最后经过
C 点离开磁场。已知弧
对应的圆心角为60°，不计粒子重力。则（ ）
A．粒子运动速率为
B．带电粒子运动过程中经过圆心O
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的路程为
4．（2024·广东深圳·二模）如图所示，半径为R 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆所在的平
面。一速度为v 的带电粒子从圆周上的A 点沿半径方向射入磁场，入射点A 与出射点B 间的圆弧
为整
个圆周的三分之一。现有一群该粒子从A 点沿该平面以任意方向射入磁场，已知粒子速率均为
，忽
略粒子间的相互作用，则粒子在磁场中最长运动时间为（ ）
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A．
B．
C．
D．
5.粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强
磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场，粒子1 沿直线PM 通过磁场区域后打在探测
器上的M 点。粒子2 经磁场偏转后打在探测器上的N 点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相
互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1 可能为质子
B．粒子2 可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1 可能打在探测器上的Q 点
D．若增大粒子入射速度，粒子2 可能打在探测器上的Q 点
6.如图，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，
是以不同速率对准圆心入射的正
电子或负电子的运动径迹，a、b、d 三个出射点和圆心的连线与竖直方向分别成
角，下列判断
正确的是（ ）
A．沿径迹
运动的粒子均为正电子
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B．沿径迹
运动的粒子在磁场中运动时间最短
C．沿径迹
运动的粒子在磁场中运动时间之比为2 1∶
D．沿径迹
运动的粒子动能之比为3 1∶
7.如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R 的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面
向里。由距离O 点
处的P 点沿着与
连线成
的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质
量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电
子的最大速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图所示，在直角坐标xOy 平面内，有一半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向
垂直于纸面向里，边界与x、y 轴分别相切于a、b 两点，ac 为直径。一质量为m，电荷量为q 的带电粒子
从b 点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x 轴正方向进入磁场区域，从a 点垂直于x 轴离开磁场，不
计粒子重力。下列判断不正确的是（ ）
A．该粒子的速度为
B．该粒子从b 点运动到a 点的时间为
C．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a 点
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D．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是
9.（2024·四川眉山·模拟预测）如图所示，为某速度选择器的主要工作区域，圆形区域内存在垂直纸面向里
的匀强磁场（图中未画出），O 点为磁场的圆心，水平虚线为圆的一条直径。S 点有一粒子发射源能在纸
面内沿SO 向外发射一系列比荷均为k 的正粒子，M、N 为水平虚线下方半圆的三等分点，P 为水平虚线下
方半圆的一个四等分点。粒子发射速率为v0时，粒子在磁场中运动时间为t0并从M 点离开磁场，粒子初速
度范围为[0.1v0，10v0]，可连续变化，且不同速度的粒子数量相同。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度大小为
B．从P 点射出的粒子的速率为
C．粒子的速度越小，在磁场中运动时间越短
D．从弧SM 射出的粒子数小于从弧MN 射出的
五．环形磁约束模型
【模型构建】
临界
圆
临界
半径
勾股定理(R2-R1)2=R1
2+r2
解得：
1.（2024·辽宁·三模）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球且厚度为地球半
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径的
的匀强磁场，方向垂直该剖面，图中给出的速度在图示平面内，从O 点沿平行于垂直地面两个不同
方向入射的a、b、c 三种比荷相同的带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹，其中，a、c 粒子
入射速度大小分别为va、vc，方向与地面平行，b 粒子入射速度方向与地面垂直，且它们都恰不能到达地面。
则下列相关说法中正确的是（ ）
A．三个粒子在磁场中圆周运动的周期
B．a 粒子带负电，b、c 粒子带正电
C．
D．
2.如图所示，半径分别为R 和2R 的同心圆处于同一平面内，O 为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂
直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为
q（
）的粒子由大圆上的A
点以速率v 沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v 可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2024·山东日照·模拟预测）据报道，我国空间站安装了现代最先进的霍尔推进器用以空间站的轨道维持。
如图乙，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平
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面同时加有匀强磁场2 和匀强电场（图中没画出），磁场1 与磁场2 的磁感应强度大小相等，已知电子电
量为e，质量为m，若电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、速率为v 的匀速圆周运动。则以下
说法错误的是（ ）
A．电场方向垂直环平面向外
B．电子运动周期为
C．垂直环平面的磁感强度大小为
D．电场强度大小为
4.2023 年1 月7 日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置
（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意
义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为
，
外半径为
，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。
中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为
的区域内，则环状区域内磁场的磁感
应强度大小可能是（ ）
A．
B．
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C．
D．
5.（2024·贵州遵义·三模）如图所示，空间存在垂直纸面向外的环形匀强磁场，磁感应强度为B，磁场内外
边界为两个同心圆，半径分别为R、3R。现有质量为m 电荷量为q 的粒子，沿半径方向垂直于磁场进入环
形区域，粒子恰好不能进入小圆区域，不计重力。则粒子在磁场中运动的（ ）
A．轨道半径为1.5R
B．轨道半径为3R
C．运动时间为
D．运动时间为
6．（2024·内蒙古赤峰·三模）宇宙射线中含有大量的质子，为防止质子对宇航员的危害，某科研团队设计
了如图甲所示的防护装置，图乙为其截面图。半径为R 的圆柱形区域是宇航员的防护区，在半径分别为R
和2R 的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为
电荷量为e，质
量为m。不计质子间相互作用。若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·山东聊城·二模）2023 年4 月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的
世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为
和
的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强
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磁场，磁场方向垂直纸面向里，
。假设氘核
沿内环切线向左进入磁场，氚核
沿内环切线向
右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则
和
的速度之比为（
）
A．2 1∶
B．3 2∶
C．2 3∶
D．1 2∶
8．（2024·贵州贵阳·一模）一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、
R 的环状区
域内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的粒子从P 点沿圆
的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内做周期性运动，不计粒
子重力。则该粒子的运动周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
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六．三角形或四边形边界磁场模型
1．（2025·江西南昌·一模）如图所示，在直角三角形abc 区域内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，
。一质子
以
的速度沿平行于ab 的方向从O 点射入三角形区域，经时间t 从ON 的中点M 离
开磁场，若一
粒子
以
的速度从O 点沿相同的方向射入，则
粒子在磁场中的运动时间为
（ ）
A．
B．t
C．
D．2t
2．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，射线AB、AC 为一足够大的匀强磁场区域的边界，内部磁场方向垂
直纸面向里。两个质量相同且带异种电荷的粒子a、b 以相同的速度先后从AB 边上的D 点垂直AB 边射入
磁场，两粒子运动的轨迹均与AC 相切，忽略粒子受到的重力及粒子间的相互作用力，
，下
列说法正确的是（ ）
A．a 粒子带负电
B．a、b 两粒子运动轨迹半径之比为3：1
C．a、b 两粒子所带的电荷量之比为1：4
D．b 粒子在磁场中的轨迹直径等于两切点的距离
3.（2024·广东·二模）如图所示，斜边
长度为L 的等腰直角三角形
区域内存在磁感应强度大小为
B 的匀强磁场（三角形边界上也存在磁场）。一电荷量为q，质量为m 的带正电的粒子（不计重力）从斜
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边
上的P 点进入磁场，速度方向与
间的夹角
，且
。经过一段时间，粒子从
上
的D 点（未画出）离开磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．粒子的最大速度为
C．D 点到P 点的最大距离为
D．粒子在磁场中运动的时间为
4.如图，一个边长为l 的正方形
区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有
一质量为m、带电量为
的粒子以某一速度从M 点垂直于磁场射入，粒子恰好从
的中点射出磁场。
已知粒子射入磁场时的速度方向与
的夹角为
，不计粒子重力，粒子射入磁场的速度大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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七．数学圆模型在电磁学中的应用
模型一 “放缩圆”模型的应用
适用
条件
速度方向一
定，大小不
同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心
共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越
大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁
场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这
种方法称为“放缩圆”法
1.(多选)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下
列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
2.(多选)（2024·宁夏银川·三模）如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场的磁感应强
度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A 处有一质子源，能沿
的角平分线发射速
度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子均能通过D 点，已
知质子的比荷
，则质子的速度可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
20
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3.(多选)如图所示，在圆心为O、半径为R 的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直
纸面向里的匀强磁场，MN 为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O 点在纸面内沿与ON 成
角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说
法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O 点正上方的P 点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从M 点离开磁场
4.(多选)（2024·四川雅安·模拟预测）如图所示，矩形边界
内存在磁感应强度为B 的匀强磁场，方向
垂直纸面向里，
边足够长，
边长为L。现有质量为m、电量为q 的不同速率的带正电粒子，从
的中点E 射入磁场且速度方向与
成
角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．从
边射出粒子的最小速度为
C．从
边射出粒子的最小速度为
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D．
边上有粒子射出的区域长度为
5.(多选)（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，在竖直面内有一半径为R 的能吸收带电粒子的半圆形装置，
在装置外有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界ab 为过圆心O 的一水平直线。一群质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子以不同的速率从A 点竖直向上进入磁场，AO 的长度为
，粒子重力和粒
子间的相互作用不计，
，下列说法正确的是（ ）
A．能够被装置吸收的粒子的最大速度为
B．能够被装置吸收的粒子的最小速度为
C．能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子速度大小为
D．能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子运动时间为
模型二 “旋转圆”模型的应用
适用条
件
速度大小
一定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进
入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半
径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R
＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射
点P 为圆心、半径R＝的圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方
法称为“旋转圆”法
1.如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场中有一固定竖直挡板，挡板足够长，P 处有一粒子源，PO 连线垂直
挡板，P 到O 的距离为L。粒子源能垂直磁场沿纸面向各个方向发射速度大小均为v 的带正电粒子。粒子
质量均为m，电荷量均为q，到达挡板的粒子都被吸收，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
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（1）若有粒子能到达挡板，求磁感应强度大小B 应满足的条件；
（2）若粒子到达挡板上侧最远处为M 点，下侧最远处为N 点，且
，求磁感应强度的大小B。
2.(多选)（2024·河北邯郸·三模）如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向里的
匀强磁场。x 轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N 两点的坐标分别为
和
，坐标为
的P 点存在一粒子源，可以在
平面内向各个方向均匀发射速率为v，比荷为
的正电粒子，不计粒子
重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中顺时针运动
B．若
，则打在挡板上的粒子数占总数的
C．若
，则挡板上有粒子打到的线段长度为
D．若
，将挡板撤去，则MN 之间各处均有粒子通过
3.(多选)如图所示，S 为一离子源，
为足够长的荧光屏，S 到
的距离为
，
左侧区域有足
够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S 一次性沿平行纸面各个方向
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均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为
的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考
虑离子之间的相互作用力。则（ ）
A．打中荧光屏的最短时间为
B．打中荧光屏的最长时间为
C．打中荧光屏的宽度为
D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为
4.(多选)（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，圆心为O，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度为B。M 为磁场边界上一点，有无数个带电量为q（q>0），质量为m 的相同粒子
（不计重力及粒子间相互作用）在纸面内向各个方向以相同的速率通过M 点进入磁场，在磁场中运动时间
最长的粒子运动时间为
，N 为磁场边界上的另一个点，
。下列说法正确的是（ ）
A．粒子从M 点进入磁场时的速率为
B．从N 点离开磁场的粒子运动时间为
C．若将磁感应强度的大小增加到
，会有粒子沿ON 方向从N 点射出磁场
D．若将磁感应强度的大小减小为0.5B，劣弧MN 的每一点都会有粒子射出
5．(多选)（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示，长ab=18cm、宽bc=16cm 的矩形区域中分布着垂直纸面
向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度大小为B=1T，在矩形的中心О 点有一正电荷粒子源，可在纸面
内沿各个方向发射比荷k=2×108C/kg 的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。下列说法中正确的
是（ ）
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A．粒子在磁场中做完整圆周运动的最大速度为1.0×107m/s
B．粒子分别从b 点、c 点射出的最小速度之比为8︰9
C．若粒子的速度为1.6×107m/s，其在磁场中运动的最短时间为
D．若粒子的速度为1.6×107m/s，其在磁场中运动的最长时间为
6.（2024·广西·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强
磁场，AD 边长为L，AB 边长为
。一质量为m、带电荷量为q 的正粒子从A 点沿纸面以与AD 成
30°角的方向射入磁场，粒子在磁场中运动的轨迹恰好与CD 相切，不计粒子所受的重力。
(1)求粒子射入磁场时的速度大小
；
(2)求粒子在磁场中运动的时间t；
(3)若仅减小粒子射入磁场时的速度大小，求粒子在磁场中运动的最长时间
。
模型三 “平移圆”模型的应用
适用条
件
速度大小一
定，方向一
定，但入射点
在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在
同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆
周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R
＝，如图所示
轨迹圆圆心共
线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线
平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”
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法
1.如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d，∠B＝。现
垂直AB 边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC 边射出
的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为t(不计粒子重力)。则下列
说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为d
D．粒子进入磁场时的速度大小为
2.如图所示，边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C 点飞
出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，从DC 边的M 点飞出磁场(M 点未画
出)。设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t1，由P 点运动到M 点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则
t1∶t2为( )
A．2 1∶ B．2 3
∶
C．3 2
∶
D．∶
3.（2024·江西·一模）如图所示，在
和
之间有大量相同带电粒子以同一速度沿水平方向射入以
为
圆心的圆形匀强磁场区域，磁场半径为R，该圆形磁场方向垂直纸面向外，
与圆心
在同一水平直线
上，
和
间距离为
，已知所有粒子均从
点正下方的
点射出圆形磁场区域，立即进入下方垂
直于纸面向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，挡板的左侧紧贴
点，已知下方磁场的磁感应
强度是上方磁场的两倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则挡板下表面有粒子打到的区域长度为（
）
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A．
B．
C．
D．
4.（2024·安徽淮北·二模）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。
如图所示，正方形
边长为
，一束相同的正离子以相同的速度垂直
边射入，如果在
的某区
域内存在着磁感应强度大小为
、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从点射出，则
（ ）
A．磁场方向垂直纸面向里
B．离子的比荷为
C．磁场区域的最小面积为
D．离子在磁场中运动的最长时间为
模型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场
圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A 点发
出的带电粒子必然经过B 点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的正粒子，
以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场
半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，
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O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
1.(多选)（2024·福建泉州·模拟预测）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行
验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个
圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、II，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O 点。
一束宽度为2r 的带电粒子流沿x 轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均
为+q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（
）
A．B1的大小为
B．从O 点进入磁场II 的粒子的速度仍相等
C．若
，则粒子在磁场II 的边界的射出点在四分之一圆周上
D．若
，则粒子在磁场II 中运动的最长时间为
2．（2024·海南海口·三模）如图所示，在xOy 平面有一圆形有界匀强磁场，圆心坐标为（0，
），半径
为R，磁场方向垂直于纸面向里。在第三象限从
到
的范围内存在沿x 轴正向匀速运动的均匀带
电粒子流。粒子速率为
，质量为m，带电量为
，所有粒子在磁场中偏转后都从O 点射出，并立即进
入第一象限内沿y 轴负方向的匀强电场，经电场偏转后，最终均平行于x 轴正向射出电场（沿y 轴正向入
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射的粒子除外），已知电场强度为
，电场外有一收集板PQ 垂直于x 轴放置，Q 点在x 轴上，PQ
长度为R，不计PQ 上收集电荷的影响，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。则下列判断正确的是（
）
A．匀强磁场的磁感应强度大小
B．PQ 收集到的粒子数占总粒子数的比例为66.7%
C．PQ 收集到的粒子数占总粒子数的比例为50%
D．第一象限电场的边界曲线
3．（2024·安徽六安·二模）如图所示，在平面直角坐标系
内，以坐标原点
为圆心，半径为
的圆形
区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（图中未画出），磁场区域外右侧有宽度为
的粒子源，
为
粒子源两端点，
连线垂直于
轴，粒子源中点
位于
轴上，粒子源持续沿
轴负方向发射质量为
、电荷量为
，速率为的粒子。已知从粒子源中点
发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆
与
轴负半轴的交点
处沿
轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则（ ）
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A．带电粒子在磁场中运动的半径为R
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．在磁场中运动的带电粒子路程最长为
D．带电粒子在磁场中运动的时间最短为
30
