文档内容
考点 02 常用逻辑用语（6 种题型 2 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022天津、浙江、北京 充分必要条件 充分必要条件的判断
二、命题规律与备考策略
本专题是高考热考题型，难度小，分值5分，重点考察充分必要条件的判定和含有一个量
词命题的否定，充分必要条件常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考察基
本概念、定理等，复习时以基础知识为主。
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
1．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
6．（2022•浙江）设x R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
∈
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2022•北京）设{a }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a }为递增数列”是“存在
n n
正整数N ，当n＞N 时，a ＞0”的（ ）
0 0 n
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
四、考点清单
一．充分条件与必要条件
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必
要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，
⇒
则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：
⇒ ⇒
p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称
∈ ∈ ∉ ∉
条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
⇒ ⇒
【解题方法点拨】
⇔
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必
要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件
必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、
反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
学科网（北京）股份有限公司 1①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
⇒ ⇒
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
⇒ ⇒
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⇒ ⇒
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断
⇒ ⇒
命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几
乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，
所以命题的范围特别广．
二．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
∀
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任
给”、“对每一个”等词，用符号“ ”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、
∀
“有些”、“有的”等词，用符号“ ”表示．
【全称命题】
∃
含有全称量词的命题．“对任意一个x M，有p（x）成立”简记成“ x M，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
∈ ∀ ∈
命题 全称命题 x M，p（x） 特称命题 x M，p（x ）
0 0
表述方 ①所有的x ∀M，∈使p（x）成立 ①存在x M∃，∈使p（x ）成立
0 0
法
②对一切x∈M，使p（x）成立 ②至少有一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
③对每一个∈x M，使p（x）成立 ③某些x M，∈ 使p（x）成立
④对任给一个∈x M，使p（x）成立 ④存在某一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
⑤若x M，∈则p（x）成立 ⑤有一个x M∈，使p（x ）成立
0 0
解题方法点拨：该部分∈内容是《课程标准》新增加的内容，要求我∈们会判断含有一个量词
的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特
称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟
练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且
全，多以小题形式出现．
三．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：
∃
学科网（北京）股份有限公司 2特称命题：含有存在量词的命题．符号：“ ”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、
∃
“有些”、“有的”等词，用符号“ ”表示．
【特称命题】含有存在量词的命题．“ x M，有 p（x ）成立”简记成“ x M，p
∃ 0 0 0
（x
0
）”．
∃ ∈ ∃ ∈
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题 全称命题 x M，p（x） 特称命题 x M，p（x ）
0 0
表述方 ①所有的x ∀M，∈使p（x）成立 ①存在x M∃，∈使p（x ）成立
0 0
法
②对一切x∈M，使p（x）成立 ②至少有一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
③对每一个∈x M，使p（x）成立 ③某些x M，∈ 使p（x）成立
④对任给一个∈x M，使p（x）成立 ④存在某一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
⑤若x M，∈则p（x）成立 ⑤有一个x M∈，使p（x ）成立
0 0
解题方法点拨：由于全∈称量词的否定是存在量词，而存在量词的否∈定又是全称量词；因此
全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一
个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题
是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
词语 是 一定是 都是 大于 小于
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于
词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立
词语的否定 或 一个也没有 至多有n﹣1个 至少有两个 存在一个x不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
四．命题的否定
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的
否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联
系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P
是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．
注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）
只对结论进行否定．将量词“ ”与“ ”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多
∀ ∃
以小题形式出现，是课改地区常考题型．
学科网（北京）股份有限公司 3五、题型方法
一．充分条件与必要条件（共8小题）
1．（2023•黄山模拟）“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（多选）2．（2023•沙县模拟）下列命题正确的有（ ）
A． x R，
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
∀ ∈
C．x＞1是x＞0的充分不必要条件
D．若命题p： x R，x2+x+1＜0，则￢p： x R，x2+x+1≥0
∃ ∈ ∀ ∈
3．（2023•山西模拟）已知正实数a，b，则“2a+b＝4”是“ab≥2”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023•佛山二模）记数列{a }的前n项和为S ，则“S ＝3a ”是“{a }为等差数列”
n n 3 2 n
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（多选）5．（2023•五华区校级模拟）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|xm+1＝
0}，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A． B． C．﹣ D．0
【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可．
6．（2023•安徽二模）设a R，则“a＝1”是“ 为奇函数”的（
）
∈
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023•大荔县一模）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）当a＞0时，若“x A”是“x B”的充分条件，求实数a的取值范围．
∈ ∈
学科网（北京）股份有限公司 48．（2022•安徽模拟）已知函数f（x）＝lg 的定义域为A，函数g（x）＝22x﹣2x+1+3
的值域为B．
（Ⅰ）当a＝1时，求（ A）∩B；
R
（Ⅱ）若“x A”是“x B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
∁
∈ ∈
二．全称量词和全称命题（共2小题）
9．（2023•哈尔滨二模）命题“ x [1，2]，x2﹣a≤0”是真命题的充要条件是（ ）
A．a＞4 B．a≥4 C．a＜1 D．a≥1
∀ ∈
10．（2020•涪城区校级模拟）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝
x2+2x．
（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）如果对 x R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．
∀ ∈
三．存在量词和特称命题（共5小题）
11．（2023•郑州模拟）若“ x R，x2﹣6ax+3a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为
．
∃ ∈
12．（2023•桃城区校级模拟）若命题“ x [1，3]，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的最
大值为 ．
∃ ∈
13．（2023•九江二模）已知命题p： x R，x2+2x+2﹣a＜0，若p为假命题，则实数a的
取值范围为（ ）
∃ ∈
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
14．（2023•银川一模）下列判断不正确的是（ ）
A．“若x，y互为相反数，则x+y＝0”是真命题
B．“ x N，x2+2x＝0”是特称命题
C．若xy≠0，则x，y都不为0
∃ ∈
D．“x＞1且y＞1”是“x+y＞2”的充要条件
15．（2023•河南模拟）已知命题“ x [﹣1，1]，﹣x 2+3x +a＞0”为真命题，则实数a的
0 0 0
取值范围是（ ）
∃ ∈
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，4） C．（﹣2，+∞） D．（4，+∞）
学科网（北京）股份有限公司 5四．命题的否定（共2小题）
16．（2023•河东区一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数
B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数
D．任意一个偶数都不是素数
（多选）17．（2023•安宁市校级模拟）下列命题的否定中，是真命题的有（ ）
A．某些平行四边形是菱形
B． x R，x2﹣3x+3＜0
C． ∃x∈R，|x|+x2≥0
D． ∀x∈R，x2﹣ax+1＝0有实数解
五．全称命题的否定（共1小题）
∀ ∈
18．（2023•达州模拟）命题p： x R，2x+x2﹣x+1＞0，则¬p为（ ）
A． x R，2x+x2﹣x+1≤0 ∀ ∈
B． ∀x∈R，2x+x2﹣x+1＜0
∀ ∈
C． x R，
0
∃ ∈
D． x R，
0
六．特称命题的否定（共2小题）
∃ ∈
19．（2023•新城区校级模拟）命题： x ＞0， ﹣x ﹣1≤0的否定是（ ）
0 0
∃
A． x ≤0， ﹣x ﹣1＞0 B． x≤0，x2﹣x﹣1＞0
0 0
∃ ∀
C． x ＞0， ﹣x ﹣1＜0 D． x＞0，x2﹣x﹣1＞0
0 0
（多选 ∃ ）20．（2023•海南一模）已知命题p：“ x∀R，x2﹣2x+a+6＝0”，q：“ x R，
x2+mx+1＞0”，则下列正确的是（ ）
∃ ∈ ∀ ∈
A．p的否定是“ x R，x2﹣2x+a+6≠0”
B．q的否定是“ ∀x∈R，x2+mx+1＞0”
C．若p为假命题，则a的取值范围是a＜﹣5
∃ ∈
D．若q为真命题，则m的取值范围是﹣2＜m＜2
六、易错分析
易错点1：对含有一个量词的命题否定不完全
例1：已知命题p：存在一个实数x，使得x－x－2<0，写出綈p.
0 0
学科网（北京）股份有限公司 6例2：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
七、刷基础
一．选择题
1．（2023•北京模拟）设{a }为等比数列，若m，n，p，q N*，则m+n＝p+q是a •a ＝
n m n
a p •a q 的（ ） ∈
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023•保定一模）设 ， 是两个不同的平面，则“ 内有无数条直线与 平行”是
“ ∥ ”的（ ）
α β α β
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
α β
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023•遂川县校级一模）设f（x）是定义在R上的函数，则“f（x）不是奇函数”的
充要条件是（ ）
A． x R，f（﹣x）＝﹣f（x） B． x R，f（﹣x）≠f（x）
C． x R，f（﹣x ）≠﹣f（x ） D． x R，f（﹣x ）≠f（x ）
∀ 0∈ 0 0 ∀ ∈0 0 0
4．（2∃023∈ •重庆模拟）“x2﹣x＜0”是“ex＞0”的（
∃ ∈
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023•亭湖区校级一模）不等式（x﹣ ）（x﹣e）≤0成立的一个充分不必要条件是
（ ）
π
A．x （ ，e） B．x [e， ] C．x （e， ） D．x （﹣∞， ]
6．（2023•浑南区校级三模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣3mx+2m2+m﹣1＜
∈ π ∈ π ∈ π ∈ π
0}，若“x A”是“x B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
∈ ∈
A．[﹣3，2] B．[﹣1，3] C． D．
7．（2023•迎泽区校级一模）“sin2 ﹣2sin cos ＝0”是“tan ＝2”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
α α α α
C．必要不充分条件 D．充要条件
8．（2023•河北模拟）已知函数f（x）＝ ，则“k2＝1”是“函数f（x）是偶函
数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
学科网（北京）股份有限公司 79 ． （ 2023• 门 头 沟 区 一 模 ） 已 知 非 零 向 量 ， 则 “ 与 共 线 ” 是 “
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2023•湖北模拟）已知m＞0，则“a＞b＞0”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
八.刷易错
一．选择题（共5小题）
1．（2023•鄠邑区模拟）设离心率为e的双曲线C： 的右焦
点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条
件是（ ）
A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜1
2．（2022•新乡县校级模拟）已知命题p： x （0，+∞）， ，若p为假命题，
0
则a的取值范围为（ ）
∃ ∈
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2]
3．（2020•山东模拟）命题p：已知a＞1， x＞0，使得x+ ≤1，则该命题的否定为（
）
∃
A．已知a≤1， x≤0，使得x+ ≥1
∀
B．已知a＞1， x＞0，使得x+ ＞1
∀
C．已知a≤1， x＞0，使得x+ ≥1
∃
D．已知a＞1， x≤0，使得x+ ＞1
4．（2023•泰和县一模）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域
∃
上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b
为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2（x R），g（x）＝ （x＜
0），h（x）＝2elnx．有下列命题：
∈
学科网（北京）股份有限公司 8①F（x）＝f（x）﹣g（x）在x （﹣ ，0）内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；
∈
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2 x﹣e．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023•南宁模拟）已知函数 ， 在区间
[0， ]上有且仅有2个解，对于下列4个结论：①在区间（0， ）上存在x ，x ，满足
1 2
f（x
1π
）﹣f（x
2
）＝2；②f（x）在区间（0， ）有且仅有1个最
π
大值点；③f（x）在区
π
间 上单调递增；④ 的取值范围是 ，其中所有正确结论的编号
是（ ）
ω
A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④
二．填空题（共1小题）
6．（2023•大荔县一模）给出下列命
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；
④若命题的逆否命题为真，则它的否命题一定为真；
⑤“若m＞1，则 mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是 ．（把你认为正确命题的序号都填在横线上）
学科网（北京）股份有限公司 9
