考点01集合（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 01 集 合 【命题解读】 集合的运算.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的 关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常 见选择题. 【基础知识回顾】 1、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。 2、集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A B或B A。 (2)真子集：若A B，且集合B中至少有一⊆个元素⊇不属于集合A，则A B或B A。 (3)相等：若A B⊆，且B A，则A＝B。 (4)空集的性质⊆：∅是任⊆何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3、集合的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为 A与B的交集，记作 A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素组成的集合，称为 A与B的并集，记作 A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}． 4、集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。 (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A B A∩B＝A A∪B＝B ∁U A ∁U B (3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U (∁U A)⊆＝A⇔。 ⇔ ⇔ ⊇ （4）∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。 5、相关结论：(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。 (2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅. A{4,5,6},B {3,5,7} AB 1、（2021年徐州摸底）已知集合 ，则 （ ）  {5} A． B． {4,6} {3,4,5,6,7} C． D． 【答案】B A{4,5,6},B {3,5,7} AB 5 【解析】因为 ，所以 . 故选：B. P={1,2,3} Q{1,3,5} PQ  2、（2021高三期末）已知集合 ， ，则 （ ） {1} {1,3} {2,5} {1,2,3,5} A． B． C． D． 【答案】D P={1,2,3} Q{1,3,5} 【解析】由集合 ， PQ 1,2,3,5 所以 故选：D U R,A  x∣x2 4x210  ,B{xN∣x3} 3、（2021·贵溪市实验中学高一期末）已知全集 ，则 � AB U （ ） {x∣3 x�7} {x∣3剟x 3} {4.5,6} {4,5,6,7} A． B． C． D． 【答案】D � A  x∣x2 4x21剟0  {x∣3 x�7} 【解析】 U ，� AB{xN∣3 x�7}{4,5,6,7} U 故选:D. A  x|x2 5x6�0  ,B {x|x20} 4、（2021·山东德州市·高三期末）设集合 ，则AB（ ） [1,2) [3,2) [2,2) (2,6] A． B． C． D． 【答案】A A  x|x2 5x6�0  x|1 x6, 【解析】 B {x|x20} 又 ABx|1 x2 所以 故选：A 5、（多选题）已知全集 ，集合 ， 满足 ，则下列选项正确的有 A． B． C． D． 【答案】B、D 【解析】 ， ， ， ， ， 考向一 集合的基本概念 例1、下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合； （3） 这些数组成的集合有5个元素； （4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A． 【解析】（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性； （2）中集合{y|y＝x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}的元素是点； （3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素； （4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点． 故选：A． 变式1、已知集合A＝，则集合A的子集的个数为( ) A． 7 B． 8 C． 15 D．16 【答案】B 【解析】由≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x<2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A＝{－ 1,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8. 变式2、若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A. B. C.0 D.0或 【答案】D 【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根. 当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝， 所以a的取值为0或. 方法总结： 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合； 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满 足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性 考向二 集合间的基本关系 例2、（2021·苏州·一模）如图，阴影部分表示的集合为 A．A ( B) B．B ( A) C．A ( B) D．B ( A) 【答案】B 【解析】从图中可以看出阴影部分在 A内，同时也在集合B内，故选B．例3、（2021·连云港·一模）若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M N＝M，N P＝P，则M P＝ A． B．M C．N D．P 【答案】D 【解析】M ≠ N，N ≠ P，则 M∪P＝P，故选 D. 变式1、已知集合M＝，集合N＝，则( ) A．M∩N＝∅ B．M N C．N M D．M⊆∪N＝M 【答案】B⊆ 【解析】由题意可知，M＝ ＝， N＝， 所以M N，故选B。 变式2、已知⊆集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋10}，则∁R A＝( ) A．{x|－12} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} 【答案】B 【解析】方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B。 方法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。 方法总结： 集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 考向四 集合的新定义问题 例6、.若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数 是( ) A.1 B.3 C.7 D.31 【答案】B 【解析】：具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，. 【变式】给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三 个结论： ①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ③若集合A，A 为闭集合，则A∪A 为闭集合． 1 2 1 2 其中正确结论的序号是________． 【答案】② 【解析】：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n 1 ，n 2 ∈A，n 1 ＝3k 1 ，n 2 ＝3k 2 ，k 1 ， k∈Z，则n＋n∈A，n－n∈A，所以②正确；③中，令A＝{n|n＝3k，k∈Z}，A＝{n|n＝k，k∈Z}，则 2 1 2 1 2 1 2A 1 ，A 2 为闭集合，但3k＋k∉(A 1 ∪A 2 )，故A 1 ∪A 2 不是闭集合，所以③不正确． 方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定 义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这 类问题的突破口。 1、【2020年高考天津】设全集 ，集合 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意结合补集的定义可知 ，则 . 故选C． 2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】由题意可得 ，则 . . 故选A 3、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合 ， ，则 中 元素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C【解析】由题意， 中的元素满足 ，且 ， 由 ，得 ， 所以满足 的有 ， 故 中元素的个数为4. 故选C． 4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|20}，B={x|x–1<0}，则A∩B= A．(–∞，1) B．(–2，1) C．(–3，–1) D．(3，+∞) 【答案】A 【解析】由题意得， 或 ， ，则 ．故选A． 6、（2021·无锡·一模）1设集合M= ， ，则M∩N＝（ ） A．[0，1) B．(0，1) C．(－1，+∞) D．(1，+∞) 【答案】B 【解析】 7、（2021·扬州·一模）设集合A= ， ，则A∩B＝（ ） A．(－2，3) B．(－2，2) C．(0，3) D．(0，2)【答案】D 【解析】由已知得， ， ,故 ，选D． C(A) 8、（2021·浙江绍兴市·高三期末）用 表示非空集合A中元素的个数，定义 C(A)C(B),C(A)C(B) AB  C(B)C(A),C(A)C(B)，已知集合A  x|x2 x0  ， B   x|  x2 ax  x2 ax1  0  ，且AB 1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C(S)（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D A  x|x2 x0  A1,0 【解析】由 ，可得 (x2 ax)(x2 ax1)0 x2+ax=0 x2 ax10 因为 等价于 或 ， A1,0,AB 1 且 ，所以集合B要么是单元素集，要么是三元素集． B x2+ax=0 x2 ax10 a0 （1）若 是单元素集，则方程 有两个相等实数根，方程 无实数根，故 ； B x2+ax=0 x2 ax10 （2）若 是三元素集，则方程 有两个不相等实数根，方程 有两个相等且异于 x2+ax=0 a2 40a2 a0 方程 的实数根，即 且 ． a0 a 2 S 0,2，2 C(S)3 综上所求 或 ，即 ，故 ， 故选：D．