文档内容
考点 02 常用逻辑用语（6 种题型 2 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022天津、浙江、北京 充分必要条件 充分必要条件的判断
二、命题规律与备考策略
本专题是高考热考题型，难度小，分值5分，重点考察充分必要条件的判定和含有一个量
词命题的否定，充分必要条件常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考察基
本概念、定理等，复习时以基础知识为主。
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
1．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；
2x+1为整数时，x不一定是整数，如x＝ 时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，是基础题．
6．（2022•浙江）设x R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
∈
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，
①当sinx＝1时，则cosx＝0，∴充分性成立，
②当cosx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，
∴sinx＝1是cosx＝0的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
14．（2022•北京）设{a }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a }为递增数列”是“存在
n n
正整数N ，当n＞N 时，a ＞0”的（ ）
0 0 n
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．
学科网（北京）股份有限公司 1【解答】解：因为数列{a }是公差不为0的无穷等差数列，当{a }为递增数列时，公差
n n
d＞0，
令a ＝a +（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣ ，[1﹣ ]表示取整函数，
n 1
所以存在正整数N ＝1+[1﹣ ]，当n＞N 时，a ＞0，充分性成立；
0 0 n
当n＞N
0
时，a
n
＞0，a
n﹣1
＜0，则d＝a
n
﹣a
n﹣1
＞0，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．
四、考点清单
一．充分条件与必要条件
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必
要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，
⇒
则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：
⇒ ⇒
p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称
∈ ∈ ∉ ∉
条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
⇒ ⇒
【解题方法点拨】
⇔
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必
要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件
必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、
反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
⇒ ⇒
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
⇒ ⇒
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⇒ ⇒
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断
⇒ ⇒
命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几
乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，
所以命题的范围特别广．
二．全称量词和全称命题
学科网（北京）股份有限公司 2【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
∀
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任
给”、“对每一个”等词，用符号“ ”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、
∀
“有些”、“有的”等词，用符号“ ”表示．
【全称命题】
∃
含有全称量词的命题．“对任意一个x M，有p（x）成立”简记成“ x M，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
∈ ∀ ∈
命题 全称命题 x M，p（x） 特称命题 x M，p（x ）
0 0
表述方 ①所有的x ∀M，∈使p（x）成立 ①存在x M∃，∈使p（x ）成立
0 0
法
②对一切x∈M，使p（x）成立 ②至少有一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
③对每一个∈x M，使p（x）成立 ③某些x M，∈ 使p（x）成立
④对任给一个∈x M，使p（x）成立 ④存在某一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
⑤若x M，∈则p（x）成立 ⑤有一个x M∈，使p（x ）成立
0 0
解题方法点拨：该部分∈内容是《课程标准》新增加的内容，要求我∈们会判断含有一个量词
的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特
称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟
练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且
全，多以小题形式出现．
三．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“ ”．
∃
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、
∃
“有些”、“有的”等词，用符号“ ”表示．
【特称命题】含有存在量词的命题．“ x M，有 p（x ）成立”简记成“ x M，p
∃ 0 0 0
（x
0
）”．
∃ ∈ ∃ ∈
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题 全称命题 x M，p（x） 特称命题 x M，p（x ）
0 0
表述方 ①所有的x ∀M，∈使p（x）成立 ①存在x M∃，∈使p（x ）成立
0 0
法
②对一切x∈M，使p（x）成立 ②至少有一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
∈ ∈
学科网（北京）股份有限公司 3③对每一个x M，使p（x）成立 ③某些x M，使p（x）成立
④对任给一个∈x M，使p（x）成立 ④存在某一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
⑤若x M，∈则p（x）成立 ⑤有一个x M∈，使p（x ）成立
0 0
解题方法点拨：由于全∈称量词的否定是存在量词，而存在量词的否∈定又是全称量词；因此
全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一
个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题
是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
词语 是 一定是 都是 大于 小于
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于
词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立
词语的否定 或 一个也没有 至多有n﹣1个 至少有两个 存在一个x不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
四．命题的否定
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的
否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联
系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P
是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．
注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）
只对结论进行否定．将量词“ ”与“ ”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多
∀ ∃
以小题形式出现，是课改地区常考题型．
五、题型方法
一．充分条件与必要条件（共8小题）
1．（2023•黄山模拟）“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
【解答】解：∵直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行，
∴a×（a﹣3）﹣1×4＝0，解得a＝4或a＝﹣1，
学科网（北京）股份有限公司 4当a＝4，两直线分别为4x+y+4＝0，4x+y+9＝0，两直线平行，符合题意；
当a＝﹣1，两直线分别为﹣x+y﹣1＝0，4x﹣4y+4＝0，即为x﹣y+1＝0，x﹣y+1＝0，
两直线重合，不符合题意；
综上所述：a＝4．
故“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
（多选）2．（2023•沙县模拟）下列命题正确的有（ ）
A． x R，
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
∀ ∈
C．x＞1是x＞0的充分不必要条件
D．若命题p： x R，x2+x+1＜0，则￢p： x R，x2+x+1≥0
【分析】举反例判断A，根据一元二次函数的性质判断B，根据充分条件和必要条件的
∃ ∈ ∀ ∈
定义判断C，根据含量词的命题的否定方法判断D．
【解答】解：当x＝﹣1时， ，所以 x R， 是假命题，A错误；
因为x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1＞0恒成立，则不等式 x2﹣4x+5＞0的解集为R，B正确；
∀ ∈
因为x＞1，则x＞0，又当x＝0.5时，x＞0，但x＜1，所以由x＞0不能推出x＞1，所以
x＞1是x＞0的充分不必要条件，C正确；
若命题p： x R，x2+x+1＜0，则¬p： x R，x2+x+1≥0，D正确．
故选：BCD．
∃ ∈ ∀ ∈
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
3．（2023•山西模拟）已知正实数a，b，则“2a+b＝4”是“ab≥2”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用基本不等式由2a+b＝4可得ab≤2，可得充分性不成立；当a＝2，b＝2时
可得必要性不成立，即可得出结果．
【解答】解：根据基本不等式可得 ，即 ，可得ab≤2，
所以充分性不成立；
若ab≥2，可令a＝2，b＝2满足ab≥2，此时2a+b＝6≠4；
即必要性不成立；
所以“2a+b＝4”是“ab≥2”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，考查了充分条件和必要条件的定义，属于
基础题．
4．（2023•佛山二模）记数列{a }的前n项和为S ，则“S ＝3a ”是“{a }为等差数列”
n n 3 2 n
学科网（北京）股份有限公司 5的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用等差数列前n项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答．
【解答】解：数列{a }的前n项和为S ，则S ＝a +a +a ＝3a ，
n n 3 1 2 3 2
数列{a }的前n项和为S ，取a ＝1，a ＝2，a ＝3，a ＝5，显然S ＝3a ，
n n 1 2 3 4 3 2
而a ﹣a ≠a ﹣a ，即数列{a }不是等差数列，
4 3 3 2 n
所以“S ＝3a ”是“{a }为等差数列”的必要不充分条件．
3 2 n
故选：B．
【点评】本题考查了充要条件的判定方法、等差数列的性质，考查了推理能力，属于基
础题．
（多选）5．（2023•五华区校级模拟）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|xm+1＝
0}，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A． B． C．﹣ D．0
【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可．
【解答】解：设A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，B＝{x|xm+1＝0}，
因为p是q的必要条件，所以B A，
①当B＝ 时，由mx+1＝0无解可得m＝0，符合题意；
⊆
②当B≠ 时，B＝{2}或B＝{﹣3}，
∅
∅
若B＝{2}时，由2m+1＝0解得 ，
若B＝{﹣3}时，由﹣3m+1＝0解得 ．
综上，m的取值为0， ， ．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，以及集合间的包含关系，属于基
础题．
6．（2023•安徽二模）设a R，则“a＝1”是“ 为奇函数”的（
）
∈
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：①若a＝1时，f（x）＝ln（ +x），
函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
学科网（北京）股份有限公司 6∵f（﹣x）+f（x）＝ln（ ﹣x）+ln（ +x）＝ln1＝0，
即f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数，即充分性成立，
②若 为奇函数，
则f（﹣x）+f（x）＝ln（ ﹣ax）+ln（ +ax）＝ln[（1﹣a2）x2+1]＝0，
∴（1﹣a2）x2+1＝1，∴（1﹣a2）x2＝0，
此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a＝±1，即必要性不成立，
则a＝1是 为奇函数的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义和性质结合
对数的运算是解决本题的关键．
7．（2023•大荔县一模）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）当a＞0时，若“x A”是“x B”的充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先解一元二次不等式求出A，再利用交集运算求解即可．
∈ ∈
（2）将充要条件转化为A B，得到不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当a＝4时，
⊆
A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}＝{x|（x﹣4）（x+5）≤0}＝{x|﹣5≤x≤4}，
又∵B＝{x|x≤3或x≥6}，
∴A∩B＝{x|﹣5≤x≤3}．
（2）当a＞0时，A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}＝{x|﹣a﹣1≤x≤a}，
∵x A是x B的充分条件，∴A B，
∵B＝{x|x≤3或x≥6}，
∈ ∈ ⊆
∴a≤3或﹣a﹣1≥6，又∵a＞0，
∴0＜a≤3，
∴实数a的取值范围为（0，3]．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集运算，充要条件的应用，属于中档题．
8．（2022•安徽模拟）已知函数f（x）＝lg 的定义域为A，函数g（x）＝22x﹣2x+1+3
的值域为B．
（Ⅰ）当a＝1时，求（ A）∩B；
R
（Ⅱ）若“x A”是“x B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
∁
【分析】根据对数函数有意义的条件可得集合A，结合换元法与二次函数的图象与性质，
∈ ∈
可得集合B，
（Ⅰ）把a＝1代入，可得A，再对（ A）∩B进行运算，即可；
R
∁
学科网（北京）股份有限公司 7（Ⅱ）由“x A”是“x B”的必要不充分条件，知B A，从而得a+3＜2，解之即可．
∈ ∈ ⫋
【解答】解：由题意知， ＞0，解得x＞a+3或x＜a，所以A＝（﹣∞，a）∪
（a+3，+∞），
令t＝2x （0，+∞），则h（t）＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2≥2，
所以B＝[2，+∞），
∈
（Ⅰ）当a＝1时，A＝（﹣∞，a）∪（a+3，+∞）＝（﹣∞，1）∪（4，+∞），
所以 A＝[1，4]，
R
所以
∁
（
R
A）∩B＝[2，4]．
（Ⅱ）若“x A”是“x B”的必要不充分条件，则B A，
∁
所以a+3＜2，解得a＜﹣1，
∈ ∈ ⫋
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查函数的定义域与值域的求法，充分必要条件的应用，熟练掌握指数函
数和对数函数的定义域或值域的求法，充分必要条件与集合的联系是解题的关键，考查
逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．全称量词和全称命题（共2小题）
9．（2023•哈尔滨二模）命题“ x [1，2]，x2﹣a≤0”是真命题的充要条件是（ ）
A．a＞4 B．a≥4 C．a＜1 D．a≥1
∀ ∈
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【解答】解：命题“ x [1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则a≥x2在[1，2]上恒成立，
∵x [1，2]，∴x2 [1，
∀
4∈]，则a≥4．
故选：B．
∈ ∈
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
10．（2020•涪城区校级模拟）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝
x2+2x．
（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）如果对 x R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．
【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项
∀ ∈
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲
解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣
（x2﹣2x），
∴g（x）＝﹣x2+2x，x R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．
∈
上面不等价于下列二个不等式组： …①，或 …②，
由①得 ，而②无解．∴原不等式的解集为 ． …（5
学科网（北京）股份有限公司 8分）
（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．
作出函数F（x）＝2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．
由此可得函数F（x）的最小值为 ，∴实数c的取值范围是 ． …（10
分）
【点评】本题考查二次函数图象与性质．
三．存在量词和特称命题（共5小题）
11．（2023•郑州模拟）若“ x R，x2﹣6ax+3a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为
∃ ∈
．
【分析】由“ x R，x2﹣6ax+3a≥0”为真命题，利用判别式法求解．
【解答】解： ∀ 由条 ∈ 件可知“ x R，x2﹣6ax+3a≥0”为真命题，
∀ ∈
则Δ＝36a2﹣12a≤0，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
12．（2023•桃城区校级模拟）若命题“ x [1，3]，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的最
∃ ∈
大值为 ．
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：由题知命题的否定“ x [1，3]，x2+ax+1≤0”是真命题，
令f（x）＝x2+ax+1（x [1，3]），
∀ ∈
∈
则 解得 ，故实数a的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
13．（2023•九江二模）已知命题p： x R，x2+2x+2﹣a＜0，若p为假命题，则实数a的
取值范围为（ ）
∃ ∈
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
【分析】先由p为假命题，得出¬p为真命题，即 x R，x2+2x+2﹣a≥0恒成立，由
Δ≤0，即可求出实数a的取值范围．
∀ ∈
【解答】解：因为命题p： x R，x2+2x+2﹣a＜0，
所以¬p： x R，x2+2x+2﹣ ∃a≥ ∈0，
又因为p为假命题，所以¬p为真命题，
∀ ∈
学科网（北京）股份有限公司 9即 x R，x2+2x+2﹣a≥0恒成立，
所
∀
以 ∈Δ≤0，即22﹣4（2﹣a）≤0，
解得a≤1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了符合命题真假关系的应用，属于基础题．
14．（2023•银川一模）下列判断不正确的是（ ）
A．“若x，y互为相反数，则x+y＝0”是真命题
B．“ x N，x2+2x＝0”是特称命题
C．若xy≠0，则x，y都不为0
∃ ∈
D．“x＞1且y＞1”是“x+y＞2”的充要条件
【分析】根据命题的相关概念和充分、必要条件逐项分析判断．
【解答】解：对A：若x，y互为相反数，则x＝﹣y，即x+y＝0，
故“若x，y互为相反数，则x+y＝0”是真命题，A正确；
对B：“ x N，x2+2x＝0”含有存在量词，
故“ x N∃ ， ∈x2+2x＝0”是特称命题，B正确；
对C：若xy≠0，则x≠0且y≠0，即x，y都不为0，
∃ ∈
故若xy≠0，则x，y都不为0，C正确；
对D：若“x＞1且y＞1”，则“x+y＞2”，
但“x+y＞2”，不一定能得到“x＞1且y＞1”，例如x＝4，y＝﹣1，
故“x＞1且y＞1”是“x+y＞2”的充分不必要条件，D不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了特称命题的定义，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基
础题．
15．（2023•河南模拟）已知命题“ x [﹣1，1]，﹣x 2+3x +a＞0”为真命题，则实数a的
0 0 0
取值范围是（ ）
∃ ∈
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，4） C．（﹣2，+∞） D．（4，+∞）
【分析】由题知x [﹣1，1]时， ，再根据二次函数求最值即可得答
0
案．
∈
【解答】解：因为命题“ x [﹣1，1]， ”为真命题，
0
∃ ∈
所以命题“ x [﹣1，1]， ”为真命题，
0
∃ ∈
所以x [﹣1，1]时， ，
0
∈
因为 ，
所以当x [﹣1，1]时，y ＝﹣2，当且仅当x＝1时取得等号，
min
∈
学科网（北京）股份有限公司 10所以x [﹣1，1]时， ，
0
即实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．
∈
故选：C．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，不等式能成立问题，属于基础题．
四．命题的否定（共2小题）
16．（2023•河东区一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数
B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数
D．任意一个偶数都不是素数
【分析】根据存在量词命题p： x M，p（x），否定为¬p： x M，¬p（x），即可解得
正确结果．
∃ ∈ ∀ ∈
【解答】解：由于存在量词命题p： x M，p（x），否定为¬p： x M，¬p（x），
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
∃ ∈ ∀ ∈
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
（多选）17．（2023•安宁市校级模拟）下列命题的否定中，是真命题的有（ ）
A．某些平行四边形是菱形
B． x R，x2﹣3x+3＜0
C． ∃x∈R，|x|+x2≥0
D． ∀x∈R，x2﹣ax+1＝0有实数解
【分析】根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求解．
∀ ∈
【解答】解：对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；
对于B，Δ＝9﹣12＝﹣3＜0，
则原命题是假命题；
对于C， x R，|x|+x2≥0，是真命题；
对于D，
∀
只有
∈
Δ＝a2﹣4≥0，即a≤﹣2或a≥2时，x2﹣ax+1＝0有实数解，是假命题；
根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题否定的定义，属于基础题．
五．全称命题的否定（共1小题）
18．（2023•达州模拟）命题p： x R，2x+x2﹣x+1＞0，则¬p为（ ）
A． x R，2x+x2﹣x+1≤0 ∀ ∈
B． ∀x∈R，2x+x2﹣x+1＜0
∀ ∈
C． x R，
0
∃ ∈
学科网（北京）股份有限公司 11D． x R，
0
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出¬p．
∃ ∈
【解答】解：因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p： x R，2x+x2﹣x+1＞0的否定为： x R， ．
0
故选：D．
∀ ∈ ∃ ∈
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
六．特称命题的否定（共2小题）
19．（2023•新城区校级模拟）命题： x ＞0， ﹣x ﹣1≤0的否定是（ ）
0 0
∃
A． x ≤0， ﹣x ﹣1＞0 B． x≤0，x2﹣x﹣1＞0
0 0
∃ ∀
C． x ＞0， ﹣x ﹣1＜0 D． x＞0，x2﹣x﹣1＞0
0 0
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
∃ ∀
【解答】解：命题： x ＞0， ﹣x ﹣1≤0的否定是 x＞0，x2﹣x﹣1＞0．
0 0
故选：D．
∃ ∀
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
（多选）20．（2023•海南一模）已知命题p：“ x R，x2﹣2x+a+6＝0”，q：“ x R，
x2+mx+1＞0”，则下列正确的是（ ）
∃ ∈ ∀ ∈
A．p的否定是“ x R，x2﹣2x+a+6≠0”
B．q的否定是“ ∀x∈R，x2+mx+1＞0”
C．若p为假命题，则a的取值范围是a＜﹣5
∃ ∈
D．若q为真命题，则m的取值范围是﹣2＜m＜2
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实
数解，用判别式计算a的取值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围．
【解答】解：含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，
B不正确；
若p为假命题，则p的否定“ x R，x2﹣2x+a+6≠0”是真命题，即方程x2﹣2x+a+6＝0
在实数范围内无解，Δ＝4﹣4（a+6）＜0，得a＞﹣5，C不正确；
∀ ∈
x R，x2+mx+1＞0，等价于Δ＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，D正确．
故选：AD．
∀ ∈
【点评】本题主要考查特称和全称命题的否定，属于基础题．
六、易错分析
易错点1：对含有一个量词的命题否定不完全
例1：已知命题p：存在一个实数x，使得x－x－2<0，写出綈p.
0 0
学科网（北京）股份有限公司 12【错解一】 ¬¿¿p：存在一个实数x
0
，使得x－x
0
－2≥0.
【错解二】¬¿¿p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
【错因】该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈 p仍是特称命题，
显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否
定，而没有对结论进行否定．
【正解】¬¿¿p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
易错点2：判断充要条件时出错
例2：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
【错解】若向量a与向量b的夹角θ为锐角，
则cos θ＝>0，即a·b>0，反之也成立，所以p是q的充要条件．
【错因】判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．
【正解】若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cos θ＝>0 a·b>0；而a·b>0时，θ＝
0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．
⇒
【答案】充分不必要
七、刷基础
一．选择题
1．（2023•北京模拟）设{a }为等比数列，若m，n，p，q N*，则m+n＝p+q是a •a ＝
n m n
a p •a q 的（ ） ∈
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：设等比数列的公比为r，
则 ，a •a ＝ ，
p q
若m+n＝p+q，则a •a ＝a •a 成立，即充分性成立，
m n p q
当r＝1时，若a •a ＝a •a ，则m+n＝p+q不一定成立，即必要性不成立，
m n p q
故m+n＝p+q是a •a ＝a •a 的充分不必要条件．
m n p q
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
2．（2023•保定一模）设 ， 是两个不同的平面，则“ 内有无数条直线与 平行”是
“ ∥ ”的（ ）
α β α β
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
α β
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
学科网（北京）股份有限公司 13长方体ABCD﹣A B C D 中，A B ∥平面ABCD．
1 1 1 1 1 1
在平面ABB A 内，除直线AB外，其他所有与A B 平行的直线，都与平面ABCD平行，
1 1 1 1
但是平面ABB A 与平面ABCD不平行；
1 1
若 // ，根据面面平行的定义可知，平面 内的直线都与平面 平行．
所以“ 内有无数条直线与 平行”是“ ∥ ”的必要不充分条件．
α β α β
故选：B．
α β α β
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
3．（2023•遂川县校级一模）设f（x）是定义在R上的函数，则“f（x）不是奇函数”的
充要条件是（ ）
A． x R，f（﹣x）＝﹣f（x） B． x R，f（﹣x）≠f（x）
C． x R，f（﹣x ）≠﹣f（x ） D． x R，f（﹣x ）≠f（x ）
∀ 0∈ 0 0 ∀ ∈0 0 0
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，进行判断即可．
∃ ∈ ∃ ∈
【解答】解：f （x）不是奇函数，则等价为 x R，f（﹣x）＝﹣f（x）不恒成立，
即 x R，f（﹣x ）≠﹣f（x ），
0 0 0 ∀ ∈
故选：C．
∃ ∈
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据含有量词的命题的否定进行判
断是解决本题的关键．
4．（2023•重庆模拟）“x2﹣x＜0”是“ex＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：由x2﹣x＜0得，0＜x＜1，
由ex＞0得，x R，
因为{x|0＜x＜1∈} R，所以“x2﹣x＜0”是“ex＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
⫋
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5．（2023•亭湖区校级一模）不等式（x﹣ ）（x﹣e）≤0成立的一个充分不必要条件是
（ ）
π
A．x （ ，e） B．x [e， ] C．x （e， ） D．x （﹣∞， ]
【分析】解出不等式，由充分必要的条件判断选项．
∈ π ∈ π ∈ π ∈ π
【解答】解：不等式（x﹣ ）（x﹣e）≤0解得e≤x≤ ，x （e， ）时，一定有
π π ∈ π
学科网（北京）股份有限公司 14x [e， ]，而x [e， ]时，不一定满足x （e， ），
所以不等式（x﹣ ）（x﹣e）≤0成立的一个充分不必要条件是x （e， ），
∈ π ∈ π ∈ π
故选：C．
π ∈ π
【点评】本题考查了一元二次不等式的解集，充分必要条件的定义，属于基础题
6．（2023•浑南区校级三模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣3mx+2m2+m﹣1＜
0}，若“x A”是“x B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
∈ ∈
A．[﹣3，2] B．[﹣1，3] C． D．
【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出B A，由此列
出不等式组，即可求得答案．
⫋
【解答】解：由题意集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}＝[﹣3，4]，B＝{x|x2﹣3mx+2m2+m﹣1＜
0}＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣2m+1）＜0}，
若m＞2，则2m﹣1＞m+1，此时B＝（m+1，2m﹣1），
因为“x A”是“x B”的必要不充分条件，故B A，
∈ ∈ ⫋
故 ，∴ ；
若m＜2，则2m﹣1＜m+1，此时B＝（2m﹣1，m+1），
因为“x A”是“x B”的必要不充分条件，故B A，
∈ ∈ ⫋
故 ，∴﹣1≤m＜2；
若m＝2，则2m﹣1＝m+1，此时B＝ ，满足B A，
∅ ⫋
综合以上可得 ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于
基础题．
7．（2023•迎泽区校级一模）“sin2 ﹣2sin cos ＝0”是“tan ＝2”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
α α α α
C．必要不充分条件 D．充要条件
【分析】化简条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
【解答】解：因为sin2 ﹣2sin cos ＝0，
所以sin （sin ﹣2cos ）＝0，sin ﹣2cos ＝0或sin ＝0，
α α α
所以tan ＝2或tan ＝0，
α α α α α α
故“sin2 ﹣2sin cos ＝0”是“tan ＝2”的必要不充分条件．
α α
故选：C．
α α α α
学科网（北京）股份有限公司 15【点评】本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
8．（2023•河北模拟）已知函数f（x）＝ ，则“k2＝1”是“函数f（x）是偶函
数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出函数为偶函数时，对应的k值，进而得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝ ，
当f（﹣x）＝f（x）时，可得 ＝ ，
即2x+k•2﹣x＝﹣（2﹣x+k•2x），可得（1+k）•（2x+2﹣x）＝0，
故当函数f（x）是偶函数时，可得k＝﹣1，
故“k2＝1”是“函数f（x）是偶函数”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了偶函数的性质，属于基础题．
9 ． （ 2023• 门 头 沟 区 一 模 ） 已 知 非 零 向 量 ， 则 “ 与 共 线 ” 是 “
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】取 ， 为方向相反的单位向量，得到不充分，根据（ ﹣ ）2≤（| |﹣| |）2
得到 ＝0，得到必要性，从而可得答案．
【解答θ 】解：若 与 共线，取 为方向相反的单位向量，则| ﹣ |＝2，|| |﹣| ||
＝0，
，充分性不成立；
若 ，则（ ﹣ ）2≤（| |﹣| |）2，整理得到| || |≤ • ，
若 ＝ 或 ＝ ，不等式成立，且 与 共线，
若 ≠ 且 ≠ ，设a， 夹角为 ，则 [0， ]，即| || |≤| |•| |cos ，即1≤cos ，
即 ＝0，故 与 共线，必要性成立θ ． θ∈ π θ θ
综上θ所述，“ 与 共线”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，向量共线的条件，考查逻辑推理能力，属
于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 1610．（2023•湖北模拟）已知m＞0，则“a＞b＞0”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“a＞b＞0”和“ ”之间的
逻辑推理关系，可得答案．
【解答】解：由题意 ，
若a＞b＞0，结合m＞0，则 ，
故“a＞b＞0”是“ ”的充分条件；
者 ，则 ，
取a＝3，m＝2，b＝﹣1满足 ，但不满足a＞b＞0，
故“a＞b＞0”不是“ ”的必要条件．
于是“a＞b＞0”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了不等式的性质，属于基础
题．
八.刷易错
一．选择题（共5小题）
1．（2023•鄠邑区模拟）设离心率为e的双曲线C： 的右焦
点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条
件是（ ）
A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜1
【分析】设直线方程为：y＝k（x﹣c）代入双曲线方程得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣
a2k2c2﹣a2b2＝0，方程有两根，x •x ＝（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，因﹣a2k2c2
1 2
﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，由此能求出结果．
【解答】解：由题意可设直线方程为：y＝k（x﹣c）代入双曲线方程得：
（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2＝0，方程有两根，可设为x ＞0，x ＜0：
1 2
x •x ＝（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，
1 2
学科网（北京）股份有限公司 17因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，
b2﹣a2k2＝c2﹣a2﹣a2k2＝a2e2﹣a2﹣a2k2＝a2（e2﹣1﹣k2）＞0
e2﹣1﹣k2＞0，
e2﹣k2＞1．
故选：C．
【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，
注意双曲线的性质的灵活运用．
2．（2022•新乡县校级模拟）已知命题p： x （0，+∞）， ，若p为假命题，
0
则a的取值范围为（ ）
∃ ∈
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2]
【分析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出￢p，利用基本不等式求得a的取值
范围．
【解答】解：依题意可知￢p： x （0，+∞），x+ ≥a，为真命题，
∀ ∈
因为x+ ≥2 ＝2，当且仅当x＝ ，即x＝1时等号成立，
所以a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与它的否定命题应用问题，是基础题．
3．（2020•山东模拟）命题p：已知a＞1， x＞0，使得x+ ≤1，则该命题的否定为（
）
∃
A．已知a≤1， x≤0，使得x+ ≥1
∀
B．已知a＞1， x＞0，使得x+ ＞1
∀
C．已知a≤1， x＞0，使得x+ ≥1
∃
D．已知a＞1， x≤0，使得x+ ＞1
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论（主要前提不动）．
∃
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为：已知a＞1， x＞0，使得x+ ＞1；
故选：B．
∀
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（2023•泰和县一模）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域
上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b
学科网（北京）股份有限公司 18为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2（x R），g（x）＝ （x＜
0），h（x）＝2elnx．有下列命题：
∈
①F（x）＝f（x）﹣g（x）在x （﹣ ，0）内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；
∈
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2 x﹣e．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，检验在x （﹣ ，0）内的导数符
号，即可判断；
∈
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有
△ ≤0，又 ≤kx+b对一切x＜0成立，△ ≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出
1 2
k，b的范围，即可判断②③；
④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为
k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值．
【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣ ，∴x （﹣ ，0），F′（x）
∈
＝2x+ ＞0，
∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x （﹣ ，0）内单调递增，故①对；
②、③设f（x）、g（x）的隔
∈
离直线为y＝kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有
△ ≤0，k2+4b≤0，
1
又 ≤kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△ ≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，
2
即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k ﹣4≤k≤0，同理 ﹣4≤b≤0，故②对，
③错；
⇒ ⇒
④函数f（x）和h（x）的图象在x＝ 处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离
直线，
那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e＝k（x﹣
），即y＝kx﹣k +e，
学科网（北京）股份有限公司 19由f（x）≥kx﹣k +e（x R），可得x2﹣kx+k ﹣e≥0当x R恒成立，
则△≤0，只有k＝2 ，此∈ 时直线方程为：y＝2 x﹣e， ∈
下面证明h（x）≤2 x﹣e，令G（x）＝2 x﹣e﹣h（x）＝2 x﹣e﹣2elnx，
G′（x）＝ ，
当x＝ 时，G′（x）＝0，当0＜x＜ 时G′（x）＜0，当x＞ 时G′（x）＞
0，
则当x＝ 时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）＝2 x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2 x﹣e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y＝2 x﹣e，故④正确．
故选：C．
【点评】本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，
利用导数求最值，属于难题．
5．（2023•南宁模拟）已知函数 ， 在区间
[0， ]上有且仅有2个解，对于下列4个结论：①在区间（0， ）上存在x ，x ，满足
1 2
f（x
1π
）﹣f（x
2
）＝2；②f（x）在区间（0， ）有且仅有1个最
π
大值点；③f（x）在区
π
间 上单调递增；④ 的取值范围是 ，其中所有正确结论的编号
是（ ）
ω
A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④
【分析】①f（x ）﹣f（x ）＝2则为最大值1减最小值﹣1，我们需要找到在（0， ）
1 2
π
上是否存在最大值1和最小值﹣1；②我们需要先确定 范围从而确定 的范围，
根据整体思想确定它的单调性．
ω
【解答】解析：∵x [0， ]，∴ ，
∈ π
令 ，则
由题意， 在 上只能有两解 和
∴ ， （ * ） 因 为 在 上 必 有
，
故在（0， ）上存在x ，x 满足 f（x ）﹣f（x ）＝2；①成立；
1 2 1 2
π
学科网（北京）股份有限公司 20对应的x（显然在[0， ]上）一定是最大值点，因 对应的x值有可能在[0，
]上，故②结论错误；
π
π
解（*）得 ，所以④成立；
当 时 ， ， 由 于 ， 故
，
此时y＝sinz是增函数，从而f（x）在 上单调递增．
综上，①③④成立，
故选：B．
【点评】本题为三角函数与简易逻辑的综合考查，本题的关键为确定 的范围，难度比
较大．
ω
二．填空题（共1小题）
6．（2023•大荔县一模）给出下列命
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；
④若命题的逆否命题为真，则它的否命题一定为真；
⑤“若m＞1，则 mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是 ②③⑤ ．（把你认为正确命题的序号都填在横线上）
【分析】①举例说明原命题为真时，它的否命题不一定为假；
②举例说明原命题为真时，它的逆命题不一定为真；
③根据互为逆否命题的两个命题真假性相同进行判定；
④根据命题的逆否命题与它的否命题真假性不一定相同进行判定；
⑤写出它的逆命题并判定真假．
【解答】解：①是假命题，原命题为真时，它的否命题不一定为假，如 a≥0时，|a|＝
a，它的否命题是a＜0时，|a|≠a，都是真命题；
②是真命题，如对顶角相等是真命题，它的逆命题不是真命题；
③是真命题，命题的逆命题与它的否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同；
④是假命题，命题的逆否命题为真时，它的否命题不一定为真；
⑤是真命题，它的逆命题是 mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R，则m＞1；即4
（m+1）2﹣4m（m+3）＝﹣4m+4＜0，解得m＞1．
综上，正确的命题是②③⑤．
故答案为：②③⑤．
学科网（北京）股份有限公司 21【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判定问题，解题时应对每一个
命题进行分析与判定，是综合题．
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