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专题05 平面向量与复数
能力提升检测卷
时间：60分钟 分值：100分
一、选择题（每小题只有一个正确选项，共60分）
1．已知复数 和 满足 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．1
2．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后
人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方
形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若 ， ， ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
6．已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，若点 满足 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B．C． D．
8．已知M，N为单位圆O∶ 上的两个动点，且满足 ，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9． 是坐标原点，已知 ， ， ．若点M为直线 上一动点，当
取得最小值时，此时 （ ）
A． B． C． D．
10．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式 ，
（其中 是虚数单位， 是自然对数的底数， ），这个公式在复变论中有非常重要的
地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知复数
①在复平面内 对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为 ；
③复数的共轭复数为 ；
④ ；
⑤复数 是方程 在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若复数 是虚数，则实数 取值的集合是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，共20分）
13．在正方形 中， ， 点在正方形区域内（含边界），且满足 ，
则 的最大值为________.
14．设两个向量 和 ＝ ，其中 为实数.若，则 的取值范围是________.
15．已知平面向量 ，其中 ， 的夹角是 ，则 ____________；
若 为任意实数，则 的最小值为____________．
16．已知复数 ，则 ____________， _____________
三、解答题（共20分）
17．如图，在四边形 中， ， ， ， 为等边三角形， 是
的中点.设 ， .
（1）用 ， 表示 ， ，
（2）求 与 夹角的余弦值.
18．已知向量 ， ， ．
（1）若点 ， ， 三点共线，求 的值；
（2）若 为直角三角形，且 为直角，求 的值．
