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第 04 讲 空间向量在立体几何中的应用
一、单选题
1．如图所示，若正方体 的棱长为a，体对角线 与 相交于点O，则
有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．
【详解】如图所示，以 为坐标原点，以 、 、 分别为 、 、 建立空间直角
坐标系：
由上图以及已知条件可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A(a，0，a)，C (0，
1 1
a，a)，C(0，a，0)，O ．
因为 (0，a，0)， (﹣a，a，0)， a2，故A错误；因为 (﹣a，a，a)，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 (﹣a，0，0)， (a，0，a)，所以 ，故D错误．
故选：C．
2．已知向量 ， ， ，若 ， ， 三向量共面，则实数
（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可.
【详解】∵ ， ， 三向量共面，
∴存在实数 ， ，使得 ，即 ，
∴ ，解得 ， ， ．
故选：B.
3．如图，在平行六面体 中，E，F分别在棱 和 上，且 .
记 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，由空间向量的线性运算可得 ，由空间向量基本定理即可求解.
【详解】设 ，因为
，
所以 ， ， .
因为 ，所以 .故选:B.
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱
称为堑堵．已知在堑堵 中， ， ， ，若直线
与直线 所成角为 ，则 ( )
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出 和 夹角余弦值即可求
出 竖坐标，从而得到答案．
【详解】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
，
解得 ，故 ．故选：B．
二、填空题
5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中， ，且 ，若
， ，则二面角A-PB-C的余弦值为______．【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，结合二面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.
【详解】在平面 内作 ，垂足为 ，
因为 ，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而
AB⊥平面PAD，故 ，可得 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标
系 .
所以 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则
即
可取 .
设 是平面 的法向量，则即 可取 .
则 ，
由图可知二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
故答案为： .
6．下列结论中，正确的序号是________．
①若 、 、 共面，则存在实数x、y，使得 ；
②若 、 、 不共面，则不存在实数x、y，使得 ；
③若 、 、 共面， 、 不共线，则存在实数x、y，使得 ；
④若 ，则 、 、 共面．
【答案】②③④
【分析】根据共面向量的基本定理逐一判断即可.
【详解】对于①，若 ， 共线，且 ， 不共线，
则不存在实数x，y，使 ，故①错误；
由共面向量的基本定理可知②、③、④均正确，
故正确的个数是②③④．
故答案为：②③④.
三、解答题
7．如图，在三棱柱 中， 平面 为线
段 上的一点.(1)求证： ；
(2)若 为线段 上的中点，求直线 与平面 所成角大小.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）由题意可得 两两垂直，所以以 为原点，分别以 所
在的直线为 建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，
（2）先求出平面 的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.
（1）
证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 两两垂直，
所以以 为原点，分别以 所在的直线为 建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ,
设 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
（2）
因为 为线段 上的中点，所以 ，
所以 ， ,
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
因为 ，所以 ，所以直线 与平面 所成角的大小为 .
8．如图，已知圆锥的顶点为 ，点 是圆 上一点， ，点 是
劣弧 上的一点，平面 平面 ，且 .
(1)证明： .
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由线面平行的判定和性质，推得 ，再由 和圆的对称性，
求出相关的角的大小，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用点到平面的距离公式计算可得
所求值．
（1）
证明：因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，且平面 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
（2）
解：如图，以 为坐标原点，以 的方向分别为 轴的正方向，建立空间直
角坐标系 ，如图所示：
则 .
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
因为 ，
所以点 到平面 的距离为 .
9．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是
AB，AD，CD的中点．设 ， ， .
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出 ，从而得到线面垂直，
进而证明线线垂直；
（2）用 表达 与 ，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余
弦值.
（1）
证明：连接DE，
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，
所以 ，
故 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 .
（2）
由题意得： 均为等边三角形且边长为1，
所以
， ，
所以，
设异面直线AG和CE所成角为 ，
则
10．如图，在四棱柱 中， 平面 ，底面 满足 ，
且 .
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四棱柱的性质得到四边形 是平行四边形，得到 ，故证明
出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.
（1）
证明：在四棱柱 中， ，故四边形 是平行四边形
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 两两垂直，以A为坐标原点，分别以 为 轴， 轴, 轴建立空间直
角坐标系，
则
所以
设平面 的法向量为
即 令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
.
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 .
一、单选题
1．在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，P为正方体内一动点(包括表面)，若 ＝x
1 1 1 1
＋y ＋z ，且 . 则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面线性规划的方法，我们类比推理，可得若 ，则 点只能再现
在三棱柱 中，若 ，则 点只能再现在三棱柱 中，进而确
定出满足条件的 点只能再现在三棱锥 中，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
【详解】解：若 ，则 点只能再现在三棱柱 中，
若 ，则 点只能再现在三棱柱 中，若要同时满足 ，则 点只能再现在三棱锥 中，
又三棱锥 的体积 .
故选：D.
2．如图，在直三棱柱 中， ，点 在棱
上，点 在棱 上.若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.
【详解】以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，则 .
设 ， .
因为 ，
所以 ，解得 ，即 .
故选：B3．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边
形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，
这是一个棱数为24，棱长为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，
可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点 为线段 上的动点，则直线
与直线 所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设
，利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦
值的取值范围.
【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为半正多面体的棱长为 ，故正方体的棱长为
所以 ， .
设 ，则 .
所以
.
令 ，则 ，
因为 ，所以 .
故直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围为 .
故选：C
4．如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ，
， ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且
二面角 的平面角大小为 ，则 面积的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q运动轨迹，进而求得 面积的取值范
围
【详解】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由二面角 的平面角大小为 ，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，
又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段.
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为 ，由题意可知 ， ，
，所以 ， ， ．
易知平面APD的一个法向量为 ，
设平面PDG的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ， ，所以 是平面PDG的一个法向量，
则二面角 的平面角的余弦值为
，
解得 或 （舍去），
所以Q在DG上运动，所以 面积的取值范围为 ．故选：B．
二、填空题
5．化学中，晶体是由大量微观物质单位（原子、离子、分子等）按一定规则有序排列的结
构．构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体
晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点），则图
中原子连线BF与 所成角的余弦值为______．
【答案】
【分析】构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并求 、 的坐标，利用空间向量夹角
的坐标表示求BF与 所成角的余弦值.
【详解】如图示，以 为原点， ， ， 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直
角坐标系，设立方体的棱长为 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ．
，
∴原子连线BF与 所成角的余弦值为 ．
故答案为：
6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形
构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，
即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF
的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 ________.
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用空间向量的一个基底表示 ，再利用数量积运算律计算
作答.
【详解】正八面体ABCDEF中， 不共面，而P，Q分别为棱AB，AD的中点，
有 ， ，则 ，
，
.故答案为：1
三、解答题
7．如图所示，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 ，直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定证明 平面 即可；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，再根据直线PB与
平面PCD所成的角为30°，结合线面角的向量求法求解即可.
（1）
因为 底面 ， 平面 ，故 ，又 ， ，
平面 ，故 平面 .
又 平面 ，故平面 平面
（2）
作 于 ，因为 ， ，故 .
由（1）可得 两两互相垂直，故以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设
，依题意有 ， ， ， ，
，故 ， ， .
设平面PCD的一个法向量为 ，则 ，即 ，设 则 ，
由 ，即 ，故
，即 ,解得 或 （舍去）．所以 ．
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中
点．
(1)求证：PA∥平面MBD；
(2)若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质，可得答案；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求的两平面的法向量，由向量
夹角的计算公式，可得答案.
（1）连接AC交BD于点O，连接OM，可知O为AC中点，M为PC中点，所以
OM∥PA，
且 平面 ， 平面 ，所以PA∥平面MBD.（2）由题意可得平行四边形ABCD为菱形，建立如图坐标系，如下图：
在菱形ABCD， AB=AD= 2，∠BAD=120°， ，
所以： ，
所以 ， ， ， ，
设平面MBA的法向量 ，则 ，得 ，
令 ，则 则面MBA的法向量 ，
同理可得：平面MDA的法向量 ，
所以 ，所以
故二面角 的正弦值为 .
9．如图所示，多面体 中， ∥ ∥ ，平面 平面 ，
，且 ， ， .(1)证明： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】(1)由题意可得四边形 为平行四边形，利用 ∥ ，由 ∥ ，
，可得 ，平面 平面 ，得 平面 ，即可证明
.
（2）由题意可证明故 ， ， 两两垂直，建立坐标系，利用空间向量求解即可.
（1）
证明：∵ ∥ 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，
又 ∥ ， ，
∴ ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ .
（2）
解：连接 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 ∥ ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ，
故 ， ， 两两垂直，因为 ， ，所以 .
如图所示建系， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
直线 与平面 所成角正弦值为：
.
10．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， .
(1)证明： 为等腰三角形.
(2)若平面 平面 ，求二面角 的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，由题意可得 ， ，根
据线面垂直的判定定理可得 平面 ，再由线面垂直的性质定理可得答案；（2）设 ，以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间
直角坐标系，求出平面 、平面 的法向量，由二面角的向量求法和 的范围可得答
案.
（1）
如图，取 的中点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形， ，所以 为等边三角形，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
故 为等腰三角形；
（2）
设 ，以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的
空间直角坐标系，则 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
二面角 的大小等于二面角 与二面角 的大小之和，
因为二面角 为直角，所以二面角 为钝角，
故二面角 的余弦值的取值范围为 .11．如图多面体 中，四边形 是菱形， ， 平面 ，
，
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在棱 上有一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ，求点 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，证明 ，利用
平面 ，证明 平面 ，从而平面 平面 ；
（2）建立平面直角坐标系，设 ，求出二面角，再求得 的值，即可得到 的
坐标，再利用空间向量法求出点到面的距离．
（1）
证明：取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，
因为 是菱形，所以 ，且 是 的中点，
所以 且 ，又 ， ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）
解：取 的中点 ，由四边形 是菱形， ，则 ，
是正三角形， ， ，又 平面 ，
所以以 为原点， ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系，
设在棱 上存在点 使得平面 与平面 的夹角为 ，
则 ， ， ， ， ， ，
则设 ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ， ，
得
平面 的法向量可以为 ，
，解得 ，
所以 ，则
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，取 ，得 ，
所以点 到平面 的距离 .
一、解答题
1．（2022·天津·高考真题）直三棱柱 中，
，D为 的中点，E为 的中点，F为 的中
点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 、 、、 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，则 ，故 ，
平面 ，故 平面 .
（2）
解： ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， .
因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 .
（3）
解： ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，则 ，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
2．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体 中，
，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面
所成的角的正弦值．【解析】（1）因为 ，E为 的中点，所以 ；
在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为E为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）
连接 ，由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 最小，即 的面积最小.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
因为E为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ,
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角的正弦值为 ，
所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ，
， ， ， ， ，二面角 的平面
角为 ．设M，N分别为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ，
由平面知识易得 ，再根据二面角的定义可知， ，由此可知，
， ，从而可证得 平面 ，即得 ；
（2）由（1）可知 平面 ，过点 做 平行线 ，所以可以以点 为原点，
， 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面
的一个法向量，以及 ，即可利用线面角的向量公式解出．
（1）
过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ，
，由平面几何知识易知，
，则四边形 和四边形 是
矩形，∴在Rt 和Rt ， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而 ，∴ 平面 ，而 平面 ．
（2）
因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、
所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ．
4．（2022·全国·高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E
是 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到
，再根据直角三角形的性质得到 ，即可得到 为 的中点从而得到
，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同
角三角函数的基本关系计算可得.
（1）
证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以
，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面（2）
解：过点 作 ，如图建立平面直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
，所以 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
所以 .
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .5．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ；
（2）
解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
，
则 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
6．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的
正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
（2）
因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ，
所以 ，故 ，
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
7．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为
．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦
值．
【解析】（1）在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，
则 ，
解得 ，
所以点A到平面 的距离为 ；
（2）取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
8．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的
中点，F为棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
【解析】（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 , , , , , , ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，
所以 , , ,设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（II）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
（III）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
9．（2021·全国·高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【解析】
（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.
则 ，故 .
设平面 的法向量 ，则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，故 .
二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .
10．（2021·全国·高考真题（理））如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面
， ， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【解析】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所
在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，设 ，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，则 ，解得 ，故 ；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结 ．因为 底面 ，且 底面 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
从而 ．
因为 ，所以 ．所以 ，于是 ．
所以 ．所以 ．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结 交 于点N．
由[方法二]知 ．
在矩形 中，有 ，所以 ，即 ．
令 ，因为M为 的中点，则 ， ， ．
由 ，得 ，解得 ，所以
．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，，
所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体 ，联结 ，交点记为H，由于 ，
，所以 平面 ．过H作 的垂线，垂足记为G．
联结 ，由三垂线定理可知 ，
故 为二面角 的平面角．
易证四边形 是边长为 的正方形，联结 ， ．
，
由等积法解得 ．
在 中， ，由勾股定理求得 ．
所以， ，即二面角 的正弦值为 ．
11．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
【解析】（1）[方法一]：几何法
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正方
体 ，如图所示，
过E作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ，
因为E，F分别为 和 的中点，所以 是BC的中点，
易证 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱 是直三棱柱， 底面 ，
， ， ，又 ， 平面 ．所以
两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．， ．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
[方法三]：因为 ， ，所以 ，故 ， ，所
以
，所以
．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，此时 取最大值为 ．
所以 ，此时 ．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长 交 的延长线于点S，联结 交 于点T，则平面 平面
．
作 ，垂足为H，因为 平面 ，联结 ，则 为平面 与
平面 所成二面角的平面角．
设 ，过 作 交 于点G．
由 得 ．
又 ，即 ，所以 ．
又 ，即 ，所以 ．
所以 ．
则 ，
所以，当 时， ．
[方法三]：投影法如图，联结 ，
在平面 的投影为 ，记面 与面 所成的二面角的平面角为 ，
则 ．
设 ，在 中， ．
在 中， ，过D作 的平行线交 于点Q．
在 中， ．
在 中，由余弦定理得 ，
， ，
， ，
当 ，即 ，面 与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为 ．
