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第 04 讲 空间向量在立体几何中的应用
一、单选题
1．如图所示，若正方体 的棱长为a，体对角线 与 相交于点O，则
有（ ）．
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ， ，若 ， ， 三向量共面，则实数
（ ）
A． B．2 C． D．3
3．如图，在平行六面体 中，E，F分别在棱 和 上，且 .
记 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱
称为堑堵．已知在堑堵 中， ， ， ，若直线
与直线 所成角为 ，则 ( )
A． B．2 C． D．
二、填空题
5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中， ，且 ，若
， ，则二面角A-PB-C的余弦值为______．
6．下列结论中，正确的序号是________．
①若 、 、 共面，则存在实数x、y，使得 ；
②若 、 、 不共面，则不存在实数x、y，使得 ；
③若 、 、 共面， 、 不共线，则存在实数x、y，使得 ；
④若 ，则 、 、 共面．
三、解答题
7．如图，在三棱柱 中， 平面 为线
段 上的一点.(1)求证： ；
(2)若 为线段 上的中点，求直线 与平面 所成角大小.
8．如图，已知圆锥的顶点为 ，点 是圆 上一点， ，点 是
劣弧 上的一点，平面 平面 ，且 .
(1)证明： .
(2)求点 到平面 的距离.
9．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是
AB，AD，CD的中点．设 ， ， .
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
10．如图，在四棱柱 中， 平面 ，底面 满足 ，
且 .
(1)求证: 平面 ;(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
一、单选题
1．在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，P为正方体内一动点(包括表面)，若 ＝x
1 1 1 1
＋y ＋z ，且 . 则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是
（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，在直三棱柱 中， ，点 在棱
上，点 在棱 上.若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
3．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边
形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，
这是一个棱数为24，棱长为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，
可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点 为线段 上的动点，则直线
与直线 所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．4．如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ，
， ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且
二面角 的平面角大小为 ，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．化学中，晶体是由大量微观物质单位（原子、离子、分子等）按一定规则有序排列的结
构．构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体
晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点），则图
中原子连线BF与 所成角的余弦值为______．
6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形
构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，
即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF
的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 ________.三、解答题
7．如图所示，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 ，直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中
点．
(1)求证：PA∥平面MBD；
(2)若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．
9．如图所示，多面体 中， ∥ ∥ ，平面 平面 ，
，且 ， ， .(1)证明： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
10．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， .
(1)证明： 为等腰三角形.
(2)若平面 平面 ，求二面角 的余弦值的取值范围.
11．如图多面体 中，四边形 是菱形， ， 平面 ，
，
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在棱 上有一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ，求点 到平面
的距离.
一、解答题
1．（2022·天津·高考真题）直三棱柱 中，，D为 的中点，E为 的中点，F为 的中
点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
2．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体 中，
，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面
所成的角的正弦值．
3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ，
， ， ， ， ，二面角 的平面
角为 ．设M，N分别为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
4．（2022·全国·高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
5．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
6．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的
正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．7．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为
．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦
值．
8．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的
中点，F为棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
9．（2021·全国·高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
10．（2021·全国·高考真题（理））如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面
， ， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
11．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
