易错点9平面向量-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 09 平面向量 平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热 点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来． 本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、 考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率． 易错点1：忽略零向量；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺 ⃗a⋅ ⃗b 易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量 与实数a·b； 易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”； (1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 (夹 角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说 明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. ⃗a⋅ ⃗b | ⃗b| cosθ ⃗b ⃗a 易错点4：向量数量积 的几何意义中 的叫做 在 方向上的正射影的数量，它 是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分. ⃗a⋅ ⃗b ⃗a ⃗b 易错点5：向量数量积 >0并不等价于向量 与 的夹角为锐角； 易错点6：三点共线问题 O⃗A=λO⃗B+μO⃗C λ+μ=1 1.若A、B、C三点共线，且 ,则 2. 中 确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程 ，可考虑两边 对同一向量作数量积运算，从而得到关于 的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到 关于 的方程，再进行求解 3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使 ，则A，B，C三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. 易错点7：向量与三角形的综合 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、 相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量 表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、 提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的 三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 题组1：线性运算 1（2018年新课标1卷）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( ) A．AB - AC B． AB - AC C．AB + AC D． AB + AC 2．(2015高考数学新课标1理科)设D为 ABC所在平面内一点 ，则 ( ) A． B．C． D． D,E,F ΔABC BC,CA,AB 3.（2014新课标1）设 分别为 的三边 的中点， ⃗EB+ ⃗FC= 则 1 1 ⃗AD ⃗BC A． ⃗AD B． 2 C． 2 D． ⃗BC   4.(2013新课标2理科)已知正方形 ABCD 的边长为2 , E为 CD 的中点,则AEBD ． 题组2：共线定理的应用 5．（2021 新高考 1 卷）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则 A．当 时， 的周长为定值 B．当 时，三棱锥 的体积为定值 C．当 时，有且仅有一个点 ，使得 D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 6．（2020年江苏卷）在△ABC中， D在边BC上，延长AD 到P，使得AP＝9，若 （m为常数），则CD的长度是________． 7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点P在以点    C 为圆心且与BD相切的圆上，若 APABAD ，则  的最大值为 ( ) A． 3 B． 2 2 C． 5 D．2 题组3:共线向量的坐标运算 8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量 ， ， ，若 ，则 ．更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺 9．(2015高考数学新课标2理科)设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实 数 _________．题组4：垂直向量 10．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量 ，若 ，则 __________． 11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直， 则k=__________． 题组5：向量的数量积运算 11．（2021上海卷）如图，正方形 的边长为3，求 ________． D C A B 12. （2021 新高考 2 卷）已知向量 满足 ， ，则 ________. 题组6：求夹角 13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足 ， ， ，则 ( ) A． B． C． D． 14．(2019 年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 ( ) ． B． C． D． A 15．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知 ， 为单位向量，且 ，若 ， 则 ___________． 16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量 , ,则( ) A． B． C． D． 题组6：求向量的模 17．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设 为单位向量，且 ，则 ______________．     a 2 b 1 a b 60 18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量 , 的夹角为 , , ,则   a2b __________． 题组8：求最值更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺 19.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 20.（2017新课标2卷）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点， 则 的最小是_____. 1．在平行四边形 中， ，则 （ ） A．-5 B．-4 C．-3 D．-2 2．正方形 中，P，Q分别是边 的中点， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．如图，平面四边形 中 ， ， ．则 （ ）A． B． C． D．3 4．已知向量 、 满足 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．已知向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 （ ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，在 中， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 7．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ） A．5 B．7 C． D． 8．已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 9．已知 ， ， ， ，则 _______更多免费资源，关注公 众号拾穗者的杂货铺 10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边 ，使得点A，P位于直线MN的两侧，则 的最小值为______．