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专题13.11 等腰三角形（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．18
2．若等腰三角形的顶角为 ，则它的一个底角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3． ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC； （2）∠B=∠C；（3）AD平分
∠B△AC，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 、 是两格点，如果 也是图中的格点，
且使得 为等腰三角形，则点 的个数是（ ）
A．10 B．6 C．7 D．8
5．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在 中， ， ， 交 于点 ， ，则 的长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．67．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若 ， ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
8．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．有一个角是45度的直角三角形
B．有两个角相等的三角形
C．有一个角是40度，另一个角是100度的三角形
D．有一个角是30度的直角三角形
9．如图，在 中， 平分 ， 平分 ， ， ， ，则 周长
为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
10．如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ， 交 的延长线于点 ，若 恰
好平分 ， ．给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的结论共有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 ．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则其底角为 度．
13．若 ，则以 、 为边长的等腰三角形的周长为 ．
14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l、l 相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °．
1 2
15．如图，在 中，AB＝AC，AD，CE是 的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，
BP＋EP的最小值是 ．
16．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作
DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的长为 cm．
17．如图，在 中， 和 的角平分线相交于点 ，过点 作 交 于点 ，
交 于点 ，若 ， ， ，则 的周长为 ．18．如图，在 中， ， 分别是 和 的平分线， ，交 于点D，
于点F．若 ， ， ，则 的面积为 ．
三、解答题
19．已知： 中，边 上一点D．
求作：等腰 ，使 为等腰 的底边，且点P到 、 两边的距离相等．（保留作图痕迹，
不必写作法）
20．如图，在 中， ，点 在 边上，点 在 边上，连接 ， ．已知 ，
．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，求 的长．
21．如图， 中， ，点P在 上， ， ，垂足分别为D，E，已知 ．
(1)试说明 ；
(2)求BE多长？
22．在 中， ， 平分 ， 于 ， ，点 是 边的中点，连接
，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)求 的度数．
23．已知 在平面直角坐标系内的位置如图， ， ， 、 的长满足关系
式 ．
（1）求 、 的长；
（2）求点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点 的坐标，若
不存在，请说明理由．24．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角 的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交
AB、CA的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；
（3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°；
（4）求证：S PFC－S PBE＝ S ABC．
△ △ △参考答案
1．B
【分析】分两种情况：当4为腰长，8为底边长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当8为腰
长，4为底边长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长．
【详解】解：分两种情况：
当4为腰长，8为底边长时，
∵ ，不符合三角形三边关系，
∴该三角形不存在；
当8为腰长，4为底边长时，
∵ ，符合三角形三边关系，
∴该三角形周长为： ；
故选：B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是
解题的关键．
2．C
【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为 ，
∴一个底角为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”是解题关键．
3．D
【分析】由等腰三角形的等边对等角判断（1），等腰三角形的三线合一，可判断（2），（3），从而可
得答案．
【详解】解：如图， 为 的中点，平分
故（1）（2）（3）正确．
故选：
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的等边对等角，三线合一是解题的关键．
4．D
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰
三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都
可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰 ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
△
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定．解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论
思想是数学解题中很重要的解题思想．
5．B
【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【详解】∵∠A=36°，∠DBC=36°，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°，
而∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴△BDC为等腰三角形，∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°，
∴∠ABC=∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
6．D
【分析】 得 ， ， ，可得 ，由 ， ，
可知等腰三角形 ， ， ， 是等腰三角形，即 ，
由此即可求解．
【详解】解：根据题意得， 得 ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴等腰三角形 ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，即 ，
∴ ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，含 角的直角三角形的特性，掌握等腰三角形的性质和含特
殊角的直角三角形的性质是解题的关键．
7．A
【分析】根据等角对等边进行判断即可．
【详解】解： ， ，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定三角形为等腰三角形是解本题的关键．
8．D
【分析】根据选项描述，判断出A、B、C所说的图形均是等腰三角形，结合等腰三角形是轴对称图形即可
得出答案．
【详解】A.有一个角是45度的直角三角形是等腰直角三角形，是轴对称图形，不符合题意；B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形，是轴对称图形，不符合题意；
C. 有一个角是40度，另一个角是100度的三角形，第三个角也为40度，其是等腰三角形，是轴对称图形，
不符合题意；
D. 有一个角是30度的直角三角形，另一个角是60度，不是等腰三角形，不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称图形的定义，解答本题的关键是判断出每个选项涉及的三角形的特点．
9．B
【分析】由 平分 ， 平分 ，过点 作 ，易得 与 是等腰三角形，
即可得 的周长等于 ，又由 ， ，即可求得答案．
【详解】解： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
的周长为： ．
故选：B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，整体思想的利用和有效的
进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
10．B
【分析】首先证明 ，根据等腰三角形的性质即可判断②③正确，由 ，推出
， ，故①正确；由 ，推出 ，故④错误．
【详解】解： ，
，
平分 ，
，
，
，
是 的角平分线，
， ，故②③正确，在 与 中，
，
，
， ，故①正确；
，
，故④错误；
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是
正确使用等腰三角形的性质三线合一，属于中考常考题型．
11．15
【分析】根据等腰三角形的定义及构成三角形的条件即可求解．
【详解】解：若腰为3时，则 ，故不能构成三角形，
则腰只能为6，则周长为： ，
故答案为：15．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义和构成三角形的条件，熟练掌握等腰三角形的定义和构成三角形的
条件是解题的关键．
12． 或
【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可．
【详解】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意， ，
又∵BM是AC边上的高，
∴ ，
∴ ，∴
②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意， ，
∵EN是DF边上的高
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为 或
【点拨】本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，涉及了三角形内角和和外角和的性质，解题的关键是能
够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．
13．17
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分情况讨论求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
①若 是腰长，则底边为7，三角形的三边分别为3、3、7，
∵ ，
∴3、3、7不能组成三角形；
②若 是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，
周长为： ，
∴以 、 为边长的等腰三角形的周长为17，
故答案为：17．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和平方的非负性，以及三角形的三边关系，难点在于要分
类讨论求解．14．78
【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，OC=OB，根据等腰三角形的性质、
三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：连接BO并延长至D，
∵线段AB、BC的垂直平分线l、l 相交于点O，
1 2
∴OA=OB，OC=OB，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，
∴∠AOD=2∠OBA，∠COD=2∠OBC，
∴∠AOC=2（∠OBA+∠OBC）=2∠ABC=78°，
故答案为：78．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，以及等边对等角，掌握线段的垂直平分线上的点到线段
的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．6
【分析】连接PC，根据等腰三角形的性质得出BD=CD，从而得出PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由
PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【详解】解：如图，连接PC，
∵AB=AC，AD是 的两条中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6，
故答案为：6
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．4
【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，
∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．
【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=7-3=4，
∴CE=4cm．
故答案为4．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明
是本题的特点．
17．
【分析】根据角平分线的定义可得 ，再根据两直线平行，内错角相等可得 ，
等量代换得 ，根据等角对等边的性质可得 ，同理可得 ，然后求出
的周长，代入数据即可得解．
【详解】解：∵ 平分 ， 平分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的周长为：
∵
∴ 的周长为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形、平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的定义，平行线的性
质，等角对等边的性质．
18．
【分析】过E作 于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得 ，根据平行线和角平
分线的性质易证 ，根据等角对等边求得 ，从而求得 ，最后根据三角形面积公式求解
即可．
【详解】解：过E作 于M，
平分 ， ， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟
练掌握相关性质．19．见解析
【分析】作BD的垂直平分线和∠ACB的平分线，两条线的交点即为点P，顺次连接即可．
【详解】解：如图所示：
则 即为所求.
【点拨】本题考查了尺规作图，解题关键是明确垂直平分线和角平分线的性质及作法．
20．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据等边对等角可得： ，利用全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可得 ， ，由图形中各边的关系计算即可得出．
【详解】（1）证明： ∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题
关键．
21．(1)见解析，
(2)2．【分析】（1）根据已知易得 ，再由 ， ，利用同角的余角相等易得
，进而证明 ；
（2）由全等三角形性质可知 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
（2）由（1）得 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据利用同角的余角相等证明角相等是证明关键．
22．(1)见解析；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得 ，再证 ，然后利用 证明
即可；
（2）由等腰三角形的性质得 ，得 ，再由全等三角形的性质得 ，即可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质得 ， ，则 ，再由直角三角形的性质得 的
度数．
【详解】（1）∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，在 和 中，
，
∴
（2）∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，点 是 边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握
等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）OA=4，OC=3；（2） ；（3）存在， ， ，
【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；
（2）作 轴与点D， ，再由全等三角形的对应边相等性质解题；（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，或当点P在x轴的负半轴时，使
CP=AC=5，或当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP时，根据等腰三角形的性质解题．
【详解】解：⑴由 .可知，
，
∴ .
⑵作 轴与点D，
⑶存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则 为等腰三角形，P的坐标为 ；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则 为等腰三角形，P的坐标为
；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则 为等腰三角形，
， ；
所以存在，点P 或 或 ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股
定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．
【分析】（1）先证明 ，得 ，再由已知条件即可求证；
（2）根据（1）的结论结合题意即可得证；
（3）根据（1）的结论，进行角的等量代换，即可求证；
（4）根据（1）的结论，利用全等的性质，可得，S PFC－S PBE＝S PFC－ ，进而可求证．
△ △ △
【详解】（1）如图，连接 ，P是BC中点，
AB＝AC，∠BAC＝90°,
， ,
， ,
,
,
,
,
,
,
在 和 中：
（ASA）,
,,
,
即 ．
（2）由（1）可知 ： ，
，
是直角，
△EPF是等腰直角三角形．
（3）如图，连接 ,
是等腰直角三角形，
即∠FEA＋∠PFC＝45°；
（4） ，
S PFC－S PBE＝S PFC－
△ △ △
P是BC中点，
S ABC．
△
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知
识是解题的关键．
