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微专题：求平面向量的模
【考点梳理】
求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝，将模的运算转化为向量的数量积.
【典例分析】
典例1．已知 为单位向量， 且 ， 则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
典例2．已知空间向量 两两夹角均为60°，其模均为1，则 ＝（ ）
A．5 B．6 C． D．
典例3．已知两个单位向量 ， 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
典例4．已知 ， ， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
典例5．已知 ， 为两个互相垂直的单位向量， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
典例6．已知 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
7．已知向量 ， ，若 则 （ ）
A． B．5 C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．已知 ， 为单位向量， ，记 是与 方向相同的单位向量，则 在 方向上的投影向量
为（ ）
A． B． C． D．
9．设向量 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 的值为 B．若 ，则 的值为2
C． 的最小值为1 D．若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
11．若单位向量 满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知 ，则 等于（ ）
A． B．97 C． D．61
14．已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知 ，且 ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．5
16．已知向量 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
17．已知平面向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
18．已知不共线向量 ， ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．两个非零向量 、 互相垂直的充要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
20．在平面直角坐标系 中，设 ，向量 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【高分突破】
一、单选题
21．向量 、 满足 , ， 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
22．已知向量 的夹角是 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
23．已知单位向量 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
24．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与
哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若 ，且 ，则
的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
25．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
26．若平面向量 与 的夹角为120°， ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
27．已知非零向量 ， 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
二、多选题
28．已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
29．已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
30．设向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
31．设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为1，则（ ）
A．若 确定，则 唯一确定 B．若 确定，则 唯一确定
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．若 确定，则 唯一确定 D．若 确定，则 不唯一确定
三、填空题
32．已知 、 满足： ， ， ，则 _________.
33．设 为单位向量，且 ，则 ______________.
34．已知 ， ， 是空间单位向量， ，若空间向量 满足， （ ， ），
，则 的最大值是________．
35．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 边上的中线长的取值范围是
______．
36．如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且 ，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A
顺时针旋转 得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．
37．已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的最小值是___________.
四、解答题
38．在复平面内，平行四边形 的顶点 ， ， ，对应复数分别为 ， ， ．
（1）求 ， 及 ， ；
（2）设 ，求 ．
39．如图所示， 是 的一条中线，点 满足 ，过点 的直线分别与射线 ，射线 交于 ，
两点.
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证： ；
(2)设 ， ， ， ，求 的值；
(3)如果 是边长为 的等边三角形，求 的取值范围.
40．已知 ， 为不共线的向量， .
(1)求 的最小值及相应的t值；
(2)求存在两个正数 ， 且 ，使 的充要条件.
41．已知平面内两个不共线的向量 ， .
（1）求 ；
（2）求 与 的夹角.
42．如图所示，矩形 的顶点 分别在 轴， 轴正半轴（含坐标原点）滑动，其中 .
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最大值.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用已知条件求出向量数量积为0，推出 ，然后求解向量的模即可.
【详解】
为单位向量， 且 ，
可得 ，
所以 ，则
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
直接利用向量模的公式计算得解.
【详解】
解：由题得
.
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
先由题给条件求得 ，再利用向量的数量积去求 的值
【详解】
由题意得 ，即 ， ，
则 .
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
先由 ，得 可求出 ，从而求出 的坐标，进而可求得
【详解】
因为 ， ， ，
第 7 页所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
由题意可设 ， ，由 可得 ，再由向量长度的坐标表示结
合三角函数的性质求解即可
【详解】
因为 ， 为两个互相垂直的单位向量，
故可设 ， ，
则 ，
由 得： ，
即 ，
即 在圆 上，
所以 （ 为参数）
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
利用向量模长的坐标运算可直接构造方程求得结果.
【详解】
， ，解得： .
第 8 页故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
由向量的数量积可得 ，再利用向量的坐标运算即得.
【详解】
由向量 ， ，
∴ ，所以 ，
∴ ，∴ ，即 .
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
利用向量投影的定义求解.
【详解】
由题设可得 ，即 ，则 ，
设 与 的夹角为 ，则 .
又 ，故 ,
因为 是与 方向相同的单位向量，所以 在 方向上的投影向量为 .
故选: C
9．C
【解析】
【分析】
A.根据模长公式进行计算；B.根据数量积公式进行计算；C.计算数量积并判断结果是否为 ；D.验证平行对应的坐
标关系并判断.
【详解】
A.因为 ，所以 ，故错误；
B. ，故错误；
C.因为 ，所以 ，故正确；
D.因为 ，所以 不成立，故错误；
故选：C.
10．D
【解析】
第 9 页【分析】
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若 ，则 ，A选项说法正确.
B选项，若 ，两边平方并化简得 ，即 ，B选项说法正确.
C选项， ，当 时，有最小值为 ，C选项说法正确.
D选项，若 与 的夹角为钝角，则 ，D选项说法不正确.
故选：D
11．C
【解析】
【分析】
先由已知条件求出 ，再由 即可求出答案.
【详解】
解：因为 为单位向量，
所以 ，所以 ,
所以 ，
故选：C.
12．D
【解析】
【分析】
先求得 ，然后求得 .
【详解】
因为 ，所以 .
故选：D
13．C
【解析】
【分析】
根据向量的平方等于向量模的平方利用平方法即可求出 的值.
【详解】
因为 ，
第 10 页所以 .
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
首先求向量 的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】
由条件可知 ，
则
，当 时， .
故选：B
15．D
【解析】
【分析】
利用向量的垂直，求出 ，然后求解向量的模．
【详解】
解： ， ，且 ，可得 ，解得 ，
所以 ，则 ．
故选： ．
16．D
【解析】
【分析】
根据 ，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得 ，结合向量夹角范围可得结果.
【详解】
， ，
，解得： ，
又 ， ，即 与 的夹角为 .
故选：D.
17．A
【解析】
【分析】
根据向量数量积的定义及运算性质即得．
【详解】
第 11 页∵ ， ，且 与 的夹角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A.
18．A
【解析】
先由已知等式求出 ，再利用向量模的求法即可求得 .
【详解】
， ， 即 ，
.
故选：A
【点睛】
本题考查向量模的求法，属于基础题.
19．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合 和 垂直时 ，以及向量的数量积公式，一一判断即可.
【详解】
对于选项A，若 和 垂直，则 ，故A错误；
对于选项B，由 ，得 ，即 ，无法得到 和 垂直，故B错误；
对于选项C，由 ，得 ，即 ，因此 和 垂直，故C正确；
对于选项D，由 ，得 ，即 和 的夹角为 ，不满足题意，故D错误.
故选：C.
20．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算求得向量 ，再根据 ，将 用 表示，再根据平面向量的模的坐标表示结
合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解： ，
则 ，
第 12 页由 ，得 ，则 ，
所以 ，
则 ，
当 时， .
故选：D.
21．C
【解析】
【分析】
因为 ， 与 的夹角为 ，由 ，根据 ，可得 ，即可求得答案.
【详解】
， 与 的夹角为
可得：
故
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了求向量的模长，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
22．A
【解析】
【分析】
先求出 ，再求出 ，即得解.
【详解】
向量 的夹角是 ， ，∴ .
第 13 页∴ ，
.
∴ .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
23．B
【解析】
【分析】
由已知得 ，进而两边平方得 ，故 或 （舍），故
，进而得答案.
【详解】
由 ，得 ，两边平方，得 ，
即 ，整理得 ，
所以 或
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选:B.
【点睛】
本题考查向量模的运算，考查方程思想与运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知将问题转化为关于
的方程，进而得 ，最后结合向量模与二次函数性质求最值即可.
24．A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算，结合数量积 ，可求得 ，确定其取值范围，再根据 平
方后的式子，即可求得答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，则 ．
第 14 页因为点P是圆O内部一点，所以 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是3,
故选：A.
25．B
【解析】
【分析】
计算出 和 的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数 的等式，进而可求得结果.
【详解】
已知向量 ， ，则 ， ，
由 可得 ，解得 .
故选：B.
26．B
【解析】
直接化简 ，求出答案.
【详解】
化简 ，
或 （舍去）.
故选：B.
27．A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系 ，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于 ，
故选：A.
28．AC
【解析】
【分析】
A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量
数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
第 15 页【详解】
A： ， ，所以 ， ，故
，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
29．ACD
【解析】
由 ， 的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项的正误.
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故A正确；
∵ ，
∴ 与 不平行，故B错误；
又 ，C正确；
∵ ，又 ，
∴ 与 的夹角为 ， D正确.
故选：ACD
30．CD
【解析】
【分析】
根据给定条件对各选项逐一推理计算并判断作答.
【详解】
第 16 页因向量 ， ，则 ， ，A不正确；
，而 ，即 与 不共线，B不正确；
而 ，则 ， ，C正确；
，又 ，于是得 ，即 与 的夹角为 ，D正确.
故选：CD
31．BD
【解析】
【分析】
根据向量的数量积表示出 ，进而转化为二次函数求最值问题，再根据选项可求得答案.
【详解】
解：因为
令 ，
则当 时， 取得最小值1，
即有 ，
可见当 确定时， 唯一确定下来；但 确定时， 的值在 可能有两个．
故选：BD．
32．
【解析】
将 两边平方展开可得 的值，再计算 的值，进而可得 的值.
【详解】
，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
可得 ，
故答案为： .
33．
【解析】
【分析】
第 17 页整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得：
，问题得解.
【详解】
因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
34．
【解析】
【分析】
由 ，及模长公式，求得 ，从而求得
，将问题化为 求得结果.
【详解】
由题知，
则
则
，当且仅当 时，等号成立.
故答案为：
35．
【解析】
【分析】
第 18 页设 是 中点，用向量表示 ，平方转化为数量积求中线长，然后由 求出 取值范围，
即可得结论．
【详解】
设 是 中点，则 ，
，
又 ，所以 ，当且仅当 时等号成立．
所以 ， ．
故答案为： ．
36．
【解析】
【分析】
以 点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设 ，则 ，即可表示出 点坐标，从而
得到 ，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：如图以 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 ，则 ， ，则
，
过点 、 分别作 轴、 轴，交 轴于点 、 ，显然 与 全等，所以 ，
，
从而得到 ，即 ，
所以
第 19 页所以当 ，即 时
故答案为：
37．3
【解析】
【分析】
由 得 ，结合模长求解过程，得到 ，根据二次函数的性质，结合基本
不等关系，求得最小值.
【详解】
，则 ，
，易知当 时， 最
小为 ，
此时 ， ， 同向.
故答案为：3
【点睛】
关键点点睛：由题干条件 ，求得 ，最后把模长表达出来后，利用基本不等关系求解，最后要
考虑等号成立条件，满足则可以取得最小值.
38．（1） ， ； ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）因为 ，再根据复数的几何意义可知向量 的坐标，再表示 的坐标，再
根据向量模的计算公式计算；
第 20 页（2）分别求向量 和 的坐标，再根据夹角公式 计算.
【详解】
解：（1）因为
所以 所对应的复数
所以 ，
因为
所以 所对应的复数
所以 ，
（2）由题
因为 ，
所以 ，
，
所以
【点睛】
本题考查复数，向量，以及坐标的关系，向量数量积的坐标表示，重点考查定义，公式，属于基础题型，本题的
关键是理解向量坐标和复数的几何意义的关系.
39．(1)见详解
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用 和 表示 ， 结合 ， ， 三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用 和 分别表示出 和 ，进而可以表示出 ，再结合均值不
等式与二次函数的最值，即可求解.
(1)
证明：因 ，所以 ，又因 为 的中点，所以 ，所以
.
(2)
因 ， ， ， ，所以 ， ，又因 ，所以
第 21 页，又因 ， ， 三点共线，所以 ，即 .
(3)
设 ， ， ， ，由（1）（2）可知 ， ，即 .
因 ， ，
所以
，
又因 是边长为 的等边三角形，
所以 ，
令 ，因 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，所以 .
因此 ，
又因 ，所以 ，所以 .
40．(1)当 时，最小值为 ；(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据向量的模与数量积的关系求 ，结合二次函数的性质求其最小值，(2)由(1) 与 的夹角为锐角，又
等价于 有两正解，由此可得使 成立的充要条件.
【详解】
（1）
，其中 为向量 ， 的夹角.
故当 时， 有最小值 .
（2）由（1）及 知， ，即 与 的夹角为锐角.
在此前提下，存在 、 ，且 ，使 的充要条件是 有两正解.
，
第 22 页即 亦即 ， .
故所求充要条件为 与 的夹角为锐角，且
.
41．（1）2；（2） .
【解析】
（1）根据条件可求出 ，然后根据 进行数量积的运算即可求出 的值；
（2）可求出 的值，进而可求出 的值，从而可求出 与 的夹角．
【详解】
解：（1） ，
，
；
（2） ，
，且 ，
与 的夹角为 ．
【点睛】
对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．
42．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由条件得： ，从而求得 ；
（2）设 ，则 ， ；
算出 ，求出 最大值.
【详解】
解：（1）若 ，
则可得： ，
，
（2）如图，
第 23 页过点 作 ，垂足为 ，
过点 作 ，垂足为 ，
设 ，则 ；
∴点 ， ；
则
，
，
，
当 ，即 时， 取最大值 ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，向量的模的运算，三角函数的应用.解决此题第（2）问，关键在于选
择合适的变量，用三角函数表示出 ，属于中档题.
第 24 页第 25 页
