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专题03 圆中的重要模型-圆弧的中点模型
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，
弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注
意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的
综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，
这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率
模型1、与垂径定理相关的中点模型
O O O
A B A B A B
M N M N
P P P
图1 图2 图3
1）如图1，已知点P是 中点，连接OP，则OP⊥AB．
2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．
3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．
例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 是半径为8的 的弦，点C是优弧 的中点，
，则弦 的长度是（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，过点O作 ，证明 是等边三角形，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接 ，过点O作 ，如图所示，
∵点C是优弧 的中点，∴ ，∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ 的半径为8，∴ ，∴ ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到等边三角形的判定和证明，正确作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023·山东临沂·统考一模）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆 上，点 为 的中点，连
接 ， ， ， 与 相交于点 ，过点 作直线 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接 ，由垂径定理得 ，由平行线的性质推出 ，即可得证；
（2）连接 、 ，过点 作 ，垂足是 ，由圆周角定理可得 ，则 ，
，推出 是等边三角形，解 求得 ，根据三线合一求得 ，利用
求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，点 为 的中点， ， ， ． 是 的切线．
（2）解：如图所示，连接 、 ，过点 作 ，垂足是 ，
，点 为 的中点， ，
， ，
又 ， 是等边三角形， 是半圆 的直径， ，
在 中， ， ，
， ， ，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定和
性质以及解直角三角形，掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
例3．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点C是 的中点，直线 与 相切于点C，直线 与切线
相交于点E，与 相交于另一点D，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接 ， ，先证明 ，再利用等腰三角形的三线合一性质得出 ，
由切线的性质可得 ，最后根据平行线的判定即可得证；（2）利用等边对等角和三角形外角的性质可得 ，利用三角形内角的定理并结合条件“
”可求出 ，最后利用三角形外角的性质即可求出 的度数．
【详解】（1）证明：连接 ， ，
∵点C是 的中点，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∵直线EF与 相切于点C，∴ ，∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，∴ ，
由（1）知， ，∴ ，即 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是
解题的关键．
例4．（2023·山东潍坊·统考二模）如图， 为 的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C
为 的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分 ．(1)求证： 为 的切线；
(2)作 ， ，垂足分别为点D，F，若 ， ，求AE的长．
【答案】(1)见解析(2) ．【分析】（1）利用圆周角定理，得到 ，由点C为 的中点，得到
，再等量代换证明 ，即可证明结论；（2）延长 交 于点G，延长
交 于点Ｈ，连接 ，证明四边形 为矩形，求得 ，再证明
，利用相似三角形的性质求得 ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，则 ，
∵点C为 的中点，∴ ， ，则 ，
∵AC平分 ，∴ ，则 ，
∴ ，∴ 为 的切线；
（2）解：延长 交 于点G，延长 交 于点Ｈ，连接 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 为 的直径，∴ ，
∵ ，∴ ，∴四边形 为矩形，
∴ ，在 中， ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ．
【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三
角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记掌握相似三角形的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、三
角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型）
C C C
A B
O O O
A B A B
P P P
图1 图2 图3
1）如图1，已知点P是 中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．
2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．
3）如图 3，已知点 P 是 中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；
△PDB∽△PBC．
C C C C
O O O O
D
A B A B A B A B
D D D
P P P P
可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．
例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点A是 的中点，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解： 点 是 的中点， ， ．故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．
例2．（2023·山东德州·统考二模）如图1， 内接于 ，点 是劣弧 的中点，且点 与点 位
于 的异侧．
(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧 的中点 ；
(2)在图1中，连接 交 于点 ，连接 ，求证 ；
(3)如图2，点 是半圆的中点，若⊙O的直径 ，求 和 的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3) ，
【分析】（1）作线段 的垂直平分线与 的交点即为 点；
（2）根据 ，证得 ，进而证明 ∽ ，对应线段成比例，从而推出结论；
（3）连接 ，因为 为半圆中点，则 为等腰直角三角形，已知斜边可求出 的长，可证明
∽ ，得到 ，求解关于 的方程即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 点为所作点：（2）证明：∵点D是劣弧 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ∽ ∴ ，∴
（3）解：连结BD，∵点D是 的中点，∴ ，∵ 是 的直径，∴
∴ 为等腰直角三角形，∴
由（1）得 ∽ ， ，即 ，
∴ ，∴ ，解得 或 （负值舍去）∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，数量掌握垂径定理和相似三角形
的性质是求解的关键．
例3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知 是圆 的直径，点 在圆 上，且
，过点 作弦 的平行线与 的延长线交于点
(1)若圆 的半径为 ，且点 为弧 的中点时，求线段 的长度；
(2)在（1）的条件下，当 ， α时，求线段 的长度；（答案用含α的代数式表示）
(3)若 ，且 ，求 的面积．【答案】(1) ；(2) ；(3)108．
【分析】（1）过 作 于 ，连接 ，根据点 为弧 的中点，可得 ，进而得出
，再根据圆 的半径为 ，即可得到 ，从而得解；
（2）先判定 ，从而根据相似三角形的性质即可求解；
（3）连接 ， ， ，并延长 至 点，依据 ， ，判定
，即可得到 ，设 ，再根据 ，得
即 ，再利用勾股定理求出 ，可得 ，从而即可得解．
【详解】（1）解∶如图，过 作 于 ，连接 ，则 ，
∵ 是圆 的直径，∴ ，
∵点 为弧 的中点，∴弧 弧 ， ∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵圆 的半径为 ，即 ，∴ ，∴ ；
（2）解：∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
由 可知 ，∴ ；
（3）解：如图，连接 ， ， ，并延长 至 点，
∵ 是圆 的直径，∴ ，
∵ ， ，∴ 垂直平分 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ 即 ，
设 ，则 ，∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，
∴ ， 即 ，解 ，
∴ ，∴ 的面积 ．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理以及等腰三角形的性质的
综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例得到方程得出结
论．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图
形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
例4．（2023·四川巴中·统考一模）如图， 是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），
连接 ，点C为 的中点，过点C作 ，交 的延长线于点F，连接 ， 交于点E．
(1)求证： 是半圆O的切线．(2)求证： ．(3)若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据点C为弧 的中点，得出 ，然后得出 ，根据平行线的性质得出 ，进而即可证明结果；
（2）连接 ，根据圆周角定理可得 ，证明 ，即可得出结果；
（3）根据 ，可得 ，从而可证 是等边三角形，即得
，即 ，从而可得 ，由（2）可知， ，从而求出 ，
最后根据 即可求出结果．
【详解】（1）证明：连接 ，∵点C为弧 的中点，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ 是半圆O的切线；
（2）证明：连接 ，∵ 是半圆O的直径，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）解：∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵由（2）可知， ，∴ ，∴圆O的半径为 ，
．
【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角
三角函数及扇形面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
P P
P C C
C
D D
D A B A B
A B H O H O
H O
Q
如图，AB是直径，点P是 中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．
以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．
例1．（2023·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学统考一模）如图，已知 是 的直径， 与 相切
于点 ， 与 相交于点 ， 是弧 的中点，现有如下几个结论： ， ，
， ，其中正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据圆的切线定理，同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一
半等依次判断，即可．【详解】解：∵ 是 的直径， 与 相切于点 ，∴ ，∴ 正确；
∵ 是弧 的中点、∴
∴ ， ，
∵ 所对的圆周角是 ，∴ ，
∴ ∴ ，∴ 正确；
∵ 所对的圆心角是 ， 所对的圆周角是 ，
∴ ，∴ 正确；∵ ， ，
但无法证明 与 的等量关系，∴ ，∴ 错误；
综上所述，正确的为： 共3个．故选：C．
【点睛】本题考查圆的知识，解题关键是掌握圆的基本性质，圆的切线定理，圆周角，圆心角，弦的关系．
例1．（2023·浙江金华·校联考二模）如图， 是 的直径，C是 上一点，点D是弧 的中点，
于点E，交 于点F，已知 ， 的半径为2，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】延长 交 于点G，连接 、 ，先由同弧或等弧所对的圆周角相等得 ，
得 ，由直径所对的圆周角等于 得 ，勾股定理得 ，则 ，再
由勾股定理求出 ，则 ，设 ，则 ，然后在 中，由勾
股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：延长 交 于点G，连接 、 ，如图所示：∵点D是弧 的中点，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 是 的直径， 的半径为2，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ∴ ，∴ ；即： ，
∵ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得：
，解得： ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握
圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
例3．（2023·河南信阳·统考一模）如图， 是 的直径，点 是圆上一点，点 是 的中点，
，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；(2)若 ， 的半径是3，求 的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）连接 ，先根据切线定理，得 ，再根据等弧所对的圆周角相等，得到
，再根据垂径定理及等角的余角相等可推出结论．（2）由已知 ，结合（1）中结论得 即可求出 的长．
【详解】（1）证明：连接 ．
∵ 是 的切线，∴ ．
∵点 是 的中点，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ∴ ，∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的性质。熟练掌握圆的切线的性质及圆中的相关计算
是解题的关键．
例4．（2023·四川成都·统考二模）如图， 是 的一条弦，点 是 中点，连接 ， ， 交
于点 ．过点 作 的切线交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，
连接 ．(1)求证： ；(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）由切线的性质，圆周角定理得到 ，又 ，即可证明问题；（2）由 得到 ，由 ，得到 ，因此
，于是得到 ．
【详解】（1）证明：∵ 切 于 ，∴直径 ，∴ ，
∵ 是 的直径， ， ， ，
∵ ，∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵C是 中点， ，
∵ ， ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
，由（1）知 ，
∴ ， ，
， ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由 ，
，得到 ．
模型4、与托勒密定理相关的中点模型图1 图2
1）同侧型:
条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD= 2AD×cosθ；
特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD+CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）； 结论：BD+CD= AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）； 结论：BD+CD= AD
2）异侧型:
条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD-CD= 2AD×cosθ；
特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD-CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）； 结论：BD-CD= AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）； 结论：BD-CD= AD
例1．（2023·浙江·九年级期中）如图， 为圆内接四边形 的对角线，且点D为 的中点；
(1)如图1，若 、直接写出 与 的数量关系；(2)如图2、若 、 平分 ， ，求 的长度．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）如图： 绕B逆时针旋转交 于E,即 ，先说明 是等边三角形可得
；再说明 是等边三角形可得 ，进而证明
可得 ，最后根据 即可证明结论；
（2）如图：连接 , 交 于E，先说明 为 直径,即 ，再运用圆周角定理和勾
股定理可得 ，进而求得 、 ，最后运用勾股定理即可解答
【详解】（1）解：如图： 绕B逆时针旋转交 于E，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ,
∵点D为 的中点∴ ，∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ,即 ,
∴ ，∴ ,
∴ ,即 ．
（2）解：如图：连接 ， 交 于E，
∵ ，∴ 为 直径,即
∵点D为 的中点，∴ ，∴ ,即 ,解得： ,
∵ 平分 ，∴ ,
又∵ ,∴ 垂直平分 ,即 ，∴ ,
∵ ．∴ 是 的中位线，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判
定与性质等知识点，灵活运用相关定理是解答本题的关键．
例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在 中， 为 的直径，过点C作射线 ， ，
点B为弧 的中点，连接 ， ， ．点P为弧 上的一个动点（不与B，C重合），连接 ，
， ， ．(1)若 ，判断射线 与 的位置关系；(2)求证： ．
【答案】(1) 与 相切，理由见解析(2)证明见解析
【分析】（1）根据 为 的直径，得出 ，根据 ，得出 ，即可
证明结论；（2）在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ，求出
，过点B作 于点H，根据三角函数求出 ，得出
，即可证明结论．【详解】（1）解： 与 相切，理由如下：
∵ 为 的直径，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 且 为 半径，∴ 为 的切线．
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，如图3，
∵点B为弧 的中点， ，∴ ，
∴ ， ，
∵ 与 同对弧 ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
过点B作 于点H，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，全等三角形的判断和性质，圆周角定理，解题的关
键是理解题意，作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
依据1： 依据2：
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： （请写出定理名
称）.
（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的
长.
【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；两角分别对应相等的两个三角形相似（2）勾股定理（3） AC =
【分析】（1）根据圆周角定理的推论以及三角形相似的判定定理，即可得到答案；
（2）根据矩形的性质和托勒密定理，即可得到答案；
（3）连接BD，过点C作CE⊥BD于点E．由四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，可得∆BCD
是底角为30°的等腰三角形，进而得BD=2 DE= CD，结合托勒密定理，列出方程，即可求解．【详解】（1）依据1指的是：同弧所对的圆周角相等；
依据2指的是：两角分别对应相等的两个三角形相似 ．
故答案是：同弧所对的圆周角相等；两角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）∵当圆内接四边形ABCD是矩形时，∴AC=BD，BC=AD，AB=CD，
∵由托勒密定理得：AC·BD=AB·CD+BC·AD，∴ ．故答案是：勾股定理；
（3）如图，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD =180°，∵∠BAD=60°， ∴∠BCD =120°，
∵点C是弧BD的中点，∴ 弧BC=弧CD，∴ BC =CD，∴∠CBD =30°.
在Rt△CDE中，DE=CD·cos30°，∴DE= CD ，∴ BD=2 DE= CD．
由托勒密定理得： AC·BD=AB·CD+BC·AD．∴AC· CD=3CD+5CD．∴AC = ．
【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质与相似三角形的综合，添加辅助线，构造底角为30°的等腰
三角形，是解题的关键．课后专项训练
1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图， ， 是 的两条直径，点 是劣弧 的中点，连接 ，
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，由题意易得 ，则有 ，然后可得 ，进而根
据圆周角定理可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵E是劣弧 的中点，∴ ，∴ ；故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
2．（2023·重庆·三模）如图， 是半径为6的 的直径， 是弦， 是弧 的中点， 与 相交
于点 ，若 为 的中点，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理得到 ，根据垂径定理得到 ， ，则可证明 为
的中位线，所以 ，通过证明 得到 ，所以 ，则可
计算出 ，然后利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长．
【详解】解： 是半径为6的 的直径， ，
是弧 的中点， ， ，
， 为 的中位线， ， 为 的中点， ，
在 和 中， ， ， ， ，
，即 ， ，解得： ，
在 中， ， ，故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理和圆周角定理．
3．（2023·浙江温州·校考二模）如图，点A，B在以 为直径的半圆上，B是 的中点，连接
交于点E，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】连接AD，根据点B是 中点求出 ，根据三角形内角和可求解．
【详解】解：连接 ，
∵B是 的中点， ，∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，∴ ，∴ ．故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质，掌握圆内弧和圆周角的关系以及三角形内角和是解题的关键．
4．（2023·山东德州·统考一模）如图， 是 的直径，点E，C在 上，点A是 的中点，过点A
作 的切线，交 的延长线于点D，连接 ．若 ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据圆周角定理得到
，进而求出 ，根据垂径定理得到 ，进而得出答案．
【详解】解：∵过点A作 的切线，交 的延长线于点D，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，∴ ，
∵点A是 的中点，∴ ，∴ 故选：B．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，圆内接四边形 的边 过圆心O，过点C的切线与边 的延
长线交于点E，若点D是 的中点， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，先根据切线的性质证明 ，再求出 的度数，再根据圆内接四边形的性
质求出 的度数，再根据点D是 的中点，得 ，即可求出结果．
【详解】解：连接 ，
∵过点C的切线与边 的延长线交于点E， ，即 ，
，
， ，
∵四边形 是圆内接四边形， ，
∵点D是 的中点， ， ，故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理以及圆内接四边形，掌握切线的性质，
等腰三角形性质，三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质是正确解答的关键．
6．（2023·重庆·校考二模）如图，在 中， 是圆的直径，过点B作 的切线 ，连接 交于点D，点E为弧 中点，连接 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 、 ，根据点E是 中点，得出 ，根据 是圆的直径，
，根据 ，得出 ，进而得出 ， ，求
出 ，即可得出 ．
【详解】解：连接 、 ，∵点E是 中点，∴ ，∴ ，
∵ 是圆的直径，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
∵ 与 相切，∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，在
同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角．
7．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，⊙O的内接四边形 中， ， ， ，点C为弧 的中点，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形 ， 可得 ，根据角平分线的性质可得
，将 绕点C逆时针旋转 得 ，根据旋转的性质得出 ，
， ，可得 ，即A、B、E三点共线，过C作 于M，求出
，根据解直角三角形即可求出．
【详解】如图：
∵A、B、C、D四点共圆， ∴
∵ ， 平分 ∴
将 绕点C逆时针旋转 得
则 ， ，
∴
∴A、B、E三点共线过C作 于M∵ ∴
在 中， 故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，角平分线的性质，旋转的性质，解直角三角形，能正确作出辅助
线是解此题的关键．8．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，四边形 内接于 ， A为 中点，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 A为 中点得到 ，由 得到 的度数为 ，则 的
度数为 ，即可得到 的度数．
【详解】解：∵ A为 中点，∴ ，
∵ ，∴ 的度数为 ，
∴ 的度数为 ，∴ ,故选：A
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2023·河南三门峡·统考二模）如图，在扇形 中， ， ，点 是 中点，点
分别为线段 上的点，连接 ，当 的值最小时，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】【分析】当 时， 最小，连接 ，根据点 是 中点， ，可得
，由 ，可得 为等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理以及锐角三角
函数可得 ，分别计算出 、 、 ，由
，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，当 时， 最小，连接 ，
， 当 在同一条线上时，即 最小时， 最小，
当 时， 最小，
点 是 中点， ， ，
， 是等边三角形，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算—求不规则图形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，
解直角三角形，添加适当的辅助线，掌握等边三角形的判定与性质，将不规则图形面积进行转换为
，是解题的关键．
10．（2022·广东东莞·九年级校考期末）如图，A，B，C，D是圆 上的四个点，点 是弧 的中点，如果 ，那么 ．
【答案】 /54度
【分析】根据圆内接四边形的性质可知 ，由此可得 的度数，再依据等弧所对圆
周角相等可得 的度数．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，∴ ，
∵点B是优弧 的中点，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，解决这类问题的技巧是找到同弧或等弧推理
角相等．
11．（2023·安徽安庆·校考二模）已知，如图，点 是优弧 的中点， ， ，则 的半
径是 ．
【答案】2
【分析】如图所示，连接 ，先根据题意得到 ，进而证明 平分 ，则
，由圆周角定理得 ，再证明 是等边三角形，得到
，则 的半径是2．
【详解】解：如图所示，连接 ，∵点 是优弧 的中点，∴ ，∴ ，
∵点O是 的外接圆，∴ ，∴ 平分 ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ 的半径是2，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，弧与弦之间的关系等等，推出 平分
是解题的关键．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图， 是 的内接三角形，点D是弧 的中点，已知
， ，则 度．
【答案】100
【分析】连接 ，易得 ，根据三角形内角和定理得 ，由点 是
弧 的中点得 ，所以 ，然后利用 进行
计算．
【详解】解：连接 ，如图，， ， ，
点 是弧 的中点， ，
∵ ∴ 是等边三角形， ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半，等边三角形的判定与性质．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在 中， 为直径， 为弦，点 为 的中点，以点
为切点的切线与 的延长线交于点 ．
（1）若 ，则 的长是 （结果保留 ）；（2）若 ，则 ．
【答案】
【分析】（1）连接 ，根据点 为 的中点，根据已知条件得出 ，然后根据弧长公
式即可求解；（2）连接 ，根据垂径定理的推论得出 ， 是 的切线，则 ,得出
，根据平行线分线段成比例得出 ，设 ，则 ，勾股定理求得 ,J进而即可
求解．【详解】解：（1）如图，连接 ，
∵点 为 的中点，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故答案为： ．
（2）解：如图，连接 ，
∵点 为 的中点，∴ ，∴ ，
∵ 是 的切线，∴ ,∴
∴ ，∵ ，∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，
综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
14．（2023·辽宁鞍山·统考三模）如图， 是 的直径， 是 中点，若 ，则
．【答案】
【分析】根据圆周角定理可求出 的度数，根据D为 的中点，可得 的度数，根据等腰三角
形的性质即可得答案．
【详解】解：如下图，连接 ，
分别是 所对的圆周角和圆心角， ，
为 的中点， ， ，
， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半．
15．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 是 的直径，点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
，则 的长是 ．【答案】4
【分析】根据圆周角定理得出 ，再由勾股定理确定 ，半径为 ，利用垂径定理确定
，且 ，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 是 的直径，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
∴ ，且 ，∴ ，
∴ ，故答案为：4．
【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解
题关键．
16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图， 是 的切线， 为切点，直线 交 于
两点，连接 ， ．过圆心 作 的平行线，分别交 的延长线、 及 于点 ．
(1)求证： 是 的中点；(2)求证： ；(3)若 是 的中点， 的半径为6，求阴影部分的面
积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据圆周角定理、平行线的性质、垂径定理即可得到结论；（2）连接 ，由切线的性质得出 ，由圆周角定理得出 ，证出
，即可得出结论；
（3）求出 ，由三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明： 为 的直径， ，
， ，即 ， 是 的中点；
（2）证明：连接 ，
是 的切线， ， ，
为 的直径， ， ， ， ，
， ， ， ；
（3）解： 为 的中点， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
， ，
．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、
扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角
定理，是解题的关键．
17．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图， 是 的直径， 是半圆 上的一点， 平分
，垂足为 ， 交 于 ，连接 ．(1)求出： 是 的切线；(2)若 ，求 的长；
(3)若 是弧 的中点， 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）由 平分 得 ，加上 ，则 ，于是可判断 ，由于
，所以 ，则可根据切线的判定定理得到 是 的切线；
（2）如图，过点 作 与 ，根据垂径定理得 ，再证明四边形 为矩形，得到
， ，在 中利用勾股定理计算出 ，则 ，然后
在 中根据勾股定理可计算出 的长；
（3）如图，连接 ，点 是弧 的中点得到 ，先证明四边形 为菱形，得到
， ， 和 为等边三角形，从而得到 ，
， ，
在 中，可计算出 ， ，所以 ，然后利用 即可得出结
论．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 为 的切线．（2）解：如图，过点 作 与 ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ∴四边形 为矩形，
∵ ， ，∴ ， ，
在 中，∵ ， ，∴ ，∴ ，
在 中，∵ ， ，∴ ．∴ 的长为 ．
（3）如图，连接 ，∵ 是弧 的中点， 的半径为 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴四边形 为平行四边形，∵ ，∴四边形 为菱形，
∴ ， ，∴ 和 为等边三角形，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的
判定，勾股定理，直角三角形中 所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，三角形的
面积，扇形的面积，弓形的面积等知识点，运用了等积变换的思想．根据题意作适当的辅助线是解题的关
键．
18．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图， 为 的直径，点C、D为 上两点，且点D
为 的中点，连接 ．过点D作 于点F，过点D作 的切线 ，交 的延长
线于点E．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析(2)6
【分析】（1）连接 ，由点D为 的中点可得 ，再根据同圆的半径相
等得 ，进而得到 ，然后再根据切线的性质得到结论；
（2）根据勾股定理求出 的长，再根据圆内接四边形的性质得到 ，即可得到
，从而得出结果．
【详解】（1）证明：连接 ，∵点D为 弧的中点，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 为 的半径， 为 的切线，∴ ，即： ，∴ ．
（2）解：∵ 由勾股定理得： ，
∵四边形 内接于 ，∴ ，由（1）可知： ，∴ ，
在 和 中， ∴ ，∴
【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性
质，解题的关键是掌握圆的有关性质．
19．（2022·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 过原点 ，与 轴交于
，与 轴交于 ，点 为劣弧 的中点，连接 并延长到 ，使 ，连接 ．
(1)求 的半径．(2)证明： 为 的切线．
【答案】(1) (2)证明见解析【分析】（1）先根据90度的圆周角所对的弦是直径得到 是 的直径，再利用勾股定理求出 的长
即可得到答案；（2）如图所示，设 与 交于E，连接 ，利用勾股定理得到 ，进而利
用勾股定理求出 ，则 ，再由圆周角定理得到 ，利用勾股定理求
出 进而求出 ，最后利用勾股定理的逆定理证明 即可．
【详解】（1）解：∵ 都在 上，∴ 是 的直径，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ 的半径为 ；
（2）证明：如图所示，设 与 交于E，连接 ，
∵点 为劣弧 的中点，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 是 的直径，∴ 是 的切线．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，坐标与图形等等，熟知切线的
判定定理和圆周角定理是解题的关键．
20．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图， 为 的直径， 为 上的点， 是 的中点，
交 的延长线于点 ．(1)填空： ________ （选填“>”“=”或“<”）；(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)已知 ， ，求点 到 的距离．
【答案】(1) (2) 与 相切，理由见解析(3)4
【分析】（1）利用圆周角定理和相等的弧所对的圆心角相等即可求解；（2）利用切线的判定即可求解；
（3）构造相似三角形，利用相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识即可求解．
【详解】（1）＝ 理由：连接 ，∴ ，
∵ 是 的中点，∴ ，
∴ ，∴
（2） 与 相切，理由如下：
由（1）知 ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．
∵ 为 半径，∴ 为 切线．∴ 与 相切．
（3）过点 作 于点 ，连接 ，则 ．∵ 为 直径，∴ ．∴ ．
∵由（1）知 ，∴ ．∴ ．
∵ ， ， ，∴ ，解得 ．
∵ 中， ， ，∴ ．∴点 到 的距离为4．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、圆心角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股
定理等知识，解题关键是构造相似三角形．
