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第 02 讲 复数
1．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算，先求出复数z,再求 即可.
【详解】解：由 ，
得 ，
所以 .故选：C.
2．若复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数的除法法则求解．
【详解】由 ，得 .故选：C.
3．若复数 ，则（ ）
A．
B．复数 在复平面上对应的点在第二象限
C．复数 的实部与虚部之积为
D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，化简得到 ，结合复数的基本概念，共轭复数的概
念，以及复数的模的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，复数 ，
可得 ，所以A正确；
复数 在复平面对应的点 位于第三象限，所以B错误；
复数 的实部为 ，虚部为 ，可得实部与虚部之积为 ，所以C错误；
由复数 的共轭复数为 ，所以D错误.故选：A.4．若复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据共轭复数的定义，求出 ，再将 转化为复数的标准形式即可.
【详解】由题意， ， ，
∴其虚部为 ；故选：D.
5．已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均小于0列不等式组求解.
【详解】因为 ，
在复平面内对应的点在第三象限，
，解得 .
故选：A.
6．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求得 ，结合模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，复数 ，所以 .
故选：B.
二、填空题
7．已知复数 为纯虚数，则 ______.
【答案】4
【分析】由复数为纯虚数求得 的值，然后代入模的计算公式得答案．【详解】因为复数z为纯虚数，则 ，解得 .
所以 ，所以 .故答案为：4.
8．规定运算 ，若 ，设 为虚数单位，则复数 __________.
【答案】
【分析】根据新定义运算直接列方程求解.
【详解】因为规定运算 ，且 ，
所以 ， ，得 ，故答案为：
9．若复数 为实数，则实数 ________．
【答案】
【分析】根据复数代数形式的乘方及加法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值.
【详解】解：因为 为实数，所以 ，即 ．
故答案为：
10．若实数 满足 ，则 _____________．
【答案】 #
【分析】根据复数相等充要条件，列出方程组，求得 的值，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，解得 ，所以 .
故答案为：
11．已知 ， ，则“ ”是“ ”的
________条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】当 时，必有 且 ，解得 或 ，
显然“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要.
一、单选题
1．已知复数z满足 ，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，由复数相等，得出 的关系式，消去 得到关于 的一
元二次方程有实数解，利用 ，求解即可得出答案.
【详解】设 ，则 ，
整理得： ,
所以 ，消去 得 ,
因为方程有解，所以 ，解得： .故选：D.
2．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法及加法法则，结合复数的摸公式即可求解.
【详解】 ，
所以 .故选：A.
3．已知虚数z是关于x的方程 的一个根，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【分析】设 ，代入原方程，根据复数相等和 可得答案.
【详解】设 （ 且 ），
代入原方程可得 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 .
故选：D.
4．已知复数z的实部为1，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】设 ,由 列方程，即可求出b，进而得到复数z.
【详解】由题意可设： ,则 .
因为 ，所以 ，解得： .
所以 .故选：C
5．若复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为 B． 的共轭复数为
C． 对应的点在第二象限 D．
【答案】C
【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几
何意义及复数的摸公式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
对于A，复数 的虚部为 ，故A不正确；
对于B，复数 的共轭复数为 ，故B 不正确；
对于C，复数 对应的点为 ，所以复数 对应的点在第二象限，故C正确；
对于D， ，故D不正确.
故选：C.
6．已知命题 ： 的虚部为 ；命题 ：在复平面内，复数 对应的点位于第
二象限.则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由复数的除法和乘法运算化简复数，再由复数的概念和几何意义可判断命题
的真假，再对各个选项进行判断，即可得出答案.
【详解】 ，其虚部为 ，命题 正确.
，在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第三象限，命题 错误.
故命题 为真命题.
故选:C.
7．已知复数 ，若 ，则当 时，实数m的
取值范围是______________．
【答案】
【分析】先对已知式子化简计算出复数 ，从而可得 ，复数 ，代入 中化简可得
，从而可求出实数m的取值范围.
【详解】 ，
所以 ， ．
由 得 ，
所以 ，即 ，
解得 ．
故答案为：
8．已知 ，则 ____________．
【答案】
【分析】利用复数四则运算法则，计算 ，然后利用复数相等，得 ，
得答案.
【详解】 ，所以 ，从而 ．
故答案为： .
9．设 （x， ），若 ，则 的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义可得复数 对应的点的轨迹方程为圆，再转化为圆上的点到
定点的距离的最值问题即可得解.
【详解】解：由 ，可得 ，表示 在以 为圆心，2为半径的圆上，
，
的几何意义表示复平面内点 与点 的距离，
即圆 圆上的点与点 的距离，
圆心 到点 的距离为 ，
由圆的几何意义得到范围是 ．
故答案为： .
10．复数 为纯虚数，则 ___________.
【答案】
【分析】解不等式组 即得解.
【详解】解：∵ 为纯虚数，
∴ 解得 ∴ .
故答案为：
11．已知复数z满足 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据复数模的几何意义判断复数z对应点的轨迹，数形结合法判断 的范围.
【详解】由 ，则z在复平面内对应的点Z是以 为圆心，2为半径的圆上及
圆内，
所以 表示Z到 的距离，故其范围为 .
故答案为： .
1．（2022·全国（理））已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】先算出 ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由 ,得 ,即 故选:
2．（2022·全国（文））设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.
3．（2022·全国（文））若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.
4．（2022·全国（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
5．（2022·全国）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求 .
【详解】由题设有 ，故 ，故 ，故选：D
6．（2022·全国） （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求 .
【详解】 ，故选：D.
7．（2022·北京）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模．
【详解】由题意有 ，故 ．故选：B．
8．（2022·浙江）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求 .
【详解】 ，而 为实数，故 ，故选：B.
9．（2021·全国（文））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得： .故选：C.
10．（2021·全国（理））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，
解出这两个未知数的值，即可得出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
11．（2021·全国（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】 ，
.
故选：B.
12．（2021·全国）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】 ，所以该复数对应的点为 ，
该点在第一象限，故选：A.
13．（2021·浙江）已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 的值.
【详解】 ，
利用复数相等的充分必要条件可得： .故选：C.
