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专题 05 平面向量
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
先求得 ，然后求得 .
【详解】
因为 ，所以 .
故选：D
2．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知两个非零向量 与 ，定义 ，其中
为 与 的夹角，若 ， ，则 的值为（ ）
A．8 B．7 C．2 D．
【答案】B
【分析】
先求得 、 、 的值，代入即可求得 的值
【详解】
由已知得： ， ，则 ，
又 ，所以 ， 则
故选：B3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知向量 ， ，则 ， 的
夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由两向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】
，可得 ，
所以 与 的夹角为 .
故选：C.
4．（2022·四川·模拟预测（文））已知平面直角坐标系内 三个顶点的坐标分别为
，D为 边的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得.
【详解】
∵D为 边的中点， ，
∴ .
故选：B.
5．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知点 ，向量 ，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量加法的坐标运算可得答案.
【详解】
， .
故选：C.
6．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若平面向量 的夹角为 ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用数量积的运算律分别计算每一个选项的向量的数量积即得解.
【详解】
解：对于选项A, ,所以该选项不正确；
对于选项B, ,所以 ，所以该选项正确；
对于选项C, ,所以该选项不正确；
对于选项D, ，所以该选项不正确.
故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中， ，G为EF的中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.
【详解】
．
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中， ，P是BN上的一点，若
，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要利用向量的线性运算 和 即可求解.【详解】
解：由题意得：
设 ，则
又由 ， 不共线
，解得：
故选：D
9．（2022·全国·模拟预测）设向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的数量积的坐标运算计算出 ，然后再写出答案即可
【详解】
向量 ， ， ，解得，
故选：D
10．（2022·全国·高考真题（理））已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
11．（2022·全国·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，所以 ．
故选：B．
12．（2022·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
解： , ,即 ,解得 ,
故选：C
二、填空题
13．（2021·全国·高考真题（理））已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
14．（2022·全国·高考真题（文））已知向量 ．若 ，则 ______________．
【答案】 ##
【分析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
由题意知： ，解得 .
故答案为： .
15．（2021·全国·高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【分析】
由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
16．（2022·全国·高考真题（理））设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运算律计算
可得．
【详解】
解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
