热点专题6-1平面向量重难点题型17类题型汇总（解析版）-2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题6-1 向量重难点题型汇总（17类题型） 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第3题，5分 平面向量数量积的运算、化简、 证明及数量积的应用问题，如证 2024年甲卷(理)第9题，5分 明垂直、距离等是每年必考的内 (1)向量的有关概念 容，单独命题时，一般以选择、 2023年I卷第3题，5分 (2)向量的线性运算和向量 填空形式出现．交汇命题时，向 共线定理及其推论 量一般与解析几何、三角函数、 2023年II卷第13题，5分 平面几何等相结合考查，而此时 (3)投影向量 向量作为工具出现．向量的应用 2023年乙卷(理)第12题，5分 是跨学科知识的一个交汇点，务 (4)平面向量的坐标表示及 2022年北京卷第10题，5分 必引起重视． 坐标运算 2020年新高考I卷，第7题,5分 预测命题时考查平面向量数量积 (5)平面向量的数量积及其 的几何意义及坐标运算，同时与 几何意义 三角函数及解析几何相结合的解 答题也是热点 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理.....................................................................................................2【题型2】 向量的垂直与共线...................................................................................................................4 【题型3】 向量的夹角与模长计算...........................................................................................................7 【题型4】投影向量.....................................................................................................................................9 【题型5】用其他向量表示已知向量.......................................................................................................12 【题型6】平面向量共线定理...................................................................................................................16 【题型7】平面向量共线定理的推论.......................................................................................................18 【题型8】极化恒等式求数量积...............................................................................................................27 【题型9】投影法求数量积.......................................................................................................................37 【题型10】拆分向量求数量积.................................................................................................................42 【题型11】建立坐标系解决向量问题.....................................................................................................47 【题型12】三角形四心的识别.................................................................................................................56 【题型13】向量的四心运算.....................................................................................................................64 【题型14】等和线问题.............................................................................................................................74 【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值.................................................................................85 【题型16】奔驰定理.................................................................................................................................91 【题型17】向量中的隐圆问题.................................................................................................................99 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理 1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． 4、若两向量共线,则两向量所在的直线有平行和重合两种可能 5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意 6、向量相等具有传递性,即若a=b,b=c,则a=c。而向量的平行不具有传递性,即若a//b,b//c,未必有 a//c。因为零向量平行于任意向量,当b=0时,a,c可以是任意向量,所以a与c不一定平行。但若b≠0,则必 有a//b,b//c⇒a//c 1．（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若 ，则B．若 ，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“ ”的充要条件是“ 且 ” 【答案】BC 【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可. 【详解】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同； 对于B，由平面向量相等可得B正确； 对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当 时， 且 ，故四边形ABCD为 平行四边形； 当四边形ABCD为平行四边形时， 且 ，故且 同向，故 ，故C正确； 对于D，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，故D错误； 故选：BC 2．有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若 ，则 ， 不是共线向量； ③若 ，则四边形 是平行四边形； ④若 ， ，则 ； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案. 【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若 也有可能 ， 长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误； 对于③，若 ，则 ， 不一定相等，所以四边形 不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若 ， ，则 ，④正确； 对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误. 综上，错误的是②③⑤，共3个. 故选：B.【巩固练习1】下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若 满足 ，且 与 同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若 ，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 向量有方向，不能比较大小，故③错误； 向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误； 当 时，可满足 ，但 与 不一定平行，故⑤错误； 综上，正确的个数是0 【巩固练习2】（多选）下列叙述中错误的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 与 的方向相同或相反 C．若 ， ，则 D．对任一非零向量 ， 是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断. 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若 为零向量，则 与 可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量 ， 表示与 同向的单位向量，故D正确． ⃗a 故选：ABC 【题型2】 向量的垂直与共线 （1）向量共线定理：如果 且 ，则 ；反之 且 ，则一定存在唯一一个实数 ， 使 ．（2）两个向量 ， 的夹角为锐角⇔ 且 ， 不共线； 两个向量 ， 的夹角为钝角⇔ 且 ， 不共线． （3） （4）若 ，则 向量共线运算：已知 ，则向量 ， 共线的充要条件是 3．向量 ， ， ，若 ∥ ，且 ，则 的值为 （ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出 ，再利用向量的坐标表示得到 关于 、 的方程组进行求解. 【详解】由题意，得 ， ， 因为 ，所以 ，解得 ， 则 ， 即 ，解得 ，故 . 【巩固练习1】已知向量 （1，1）， （﹣1，1）， （4，2），若 ，λ、μ∈R，则 λ+μ＝（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案. 【详解】由 ，则 ，即 ，解得 ， 故 ， 故选：D.【巩固练习2】设向量 ， ，其中 . (1)若 ，求实数x的值； (2)已知 且 ，若 ，求 的值域. 【答案】(1) ； (2) . 【分析】(1)根据给定条件结合向量的坐标运算，向量共线的坐标表示计算得解. (2)由向量垂直的坐标表示求出 ，再借助数量积建立函数关系求解作答. 【详解】（1）因向量 ， ，则 ， 又 ，则有 ，即 ，于是得 ， 而 ，解得 ， 所以实数x的值是 . （2）因为 且 ，则 ，即 ，有 ， ，因 ，则 ， ， 即 ，所以 的值域 . 【巩固练习3】（多选）已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 与 的夹角为 ，则 D．若 与 方向相反，则 在 上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【分析】利用向量共线的坐标表示判断 A；利用垂直的坐标表示判断 B；利用数量积的运算律求解判断 C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】向量 ， ，对于A，由 ，得 ，因此 ，A正确； 对于B，由 ，得 ，因此 ，B正确； 对于C， 与 的夹角为 ， ， ， 因此 ，C错误； 对于D， 与 方向相反，则 在 上的投影向量为 ，D正确. 故选：ABD 【题型3】 向量的夹角与模长计算 与 夹角公式： 与 夹角公式： 模长公式： 或 ， 注意：涉及 这类条件时一般要进行平方 4．已知向量 与 的夹角为 ，则 （ ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由数量积公式结合 得出答案. 【详解】解：因为向量 与 的夹角为 ， 所以 所以 5．已知向量 满足 ，则【答案】 【解析】 可得 ， 故 6．已知向量 ，若 与 垂直，则 与 夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 与 垂直，故 ，解得 ，则 , ，设 与 夹角为 ，则 .故选：A. 7．设向量 ， ，向量 与 的夹角为锐角，则x的范围为 . 【答案】 且 【分析】根据已知可得 ，且 不共线，求解即可. 【详解】向量 ， ，由 得， ，所以 . 由已知得， ，所以 ，即 ，且 不共线. 则 ，所以 . 又 不共线，则 .所以x的取值范围为 且 . 故答案为： 且 . 【巩固练习1】向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的范围是________ 【答案】 且 【解析】若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线， ，得 . 向量 ， 共线时， ，得 .此时 . 所以 且 . 【巩固练习2】已知 ， 为单位向量，且 ，则 与 的夹角为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 与 夹角为 ，利用 求出 ，在利用夹角公式计算即可. 【详解】因为 ， 为单位向量， 由 ， 所以 ， 即 ，设 与 夹角为 ， 则 ，又 ，所以 【巩固练习3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量 ， 的夹角为 ，若 ， 则 的值为 . 【答案】 【解析】由 两边平方得 ， ， ，解得 【巩固练习4】已知 ， 表示两个夹角为 的单位向量， 为平面上的一个固定点， 为这个平面上 任意一点，当 时，定义 为点 的斜坐标.设点 的斜坐标为 ，则 . 【答案】 【详解】由题知 ，又 ， 表示两个夹角为 的单位向量， 所以 【巩固练习5】（2024·江西宜春·三模）已知 ， 均为非零向量，若 ，则 与 的夹 角为 ．【答案】 【解析】由 ，可得 ，即 ，解得 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ． 故答案为： . 【题型4】投影向量 向量 在 上的投影向量： ，其中 是与 同方向的单位向量 向量 在 上的投影向量模长： 8．已知 是夹角为 的两个单位向量，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】 在向量 上的投影向量为 . . 9．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点P在直线 上.若向量 ， 则 在 上的投影向量为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可设 ，则 ， 所以 ，又 ， 故 在 上的投影向量为 10．已知向量 ，则 在 方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】 在 方向上的投影向量为 故答案为： 11．已知点A(1,1)、B(1, 2)、C(2, 1)、D(3, 4)，则向量  A  B  在C  D  方向上的投影向量的模长为 3 2 3 15 3 2 3 15 A． B． C． D． 2 2 2 2 【答案】A 【解析】AB=（2，1），CD=（5，5），则向量AB在向量CD方向上的射影为 ABCD (2,1)(5,5) 2515 3 2 ABcos    CD 52 52 5 2 2 【巩固练习1】已知 ， 与 的夹角为 ， 是与 同向的单位向量，则 在 方向上的投影向 量为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D【解析】 在 方向上的投影向量为 ，故选：D 【巩固练习2】已知 ， 是与 方向相同的单位向量.若向量 在 方向上的投影向量是 ，则 ______. 【答案】 【分析】先求得 在 方向上的投影，再乘以与 方向相同的单位向量 ，即得到投影向量，利用向量的 数量积运算即可得到 的值. 【详解】设 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 ， 所以向量 在 方向上的投影向量为 ，故 ， 故 .    【巩固练习3】若向量ax,2,b2,3,c2,4 ，且a  ∥c  ，则a  在b  上的投影向量为（ ）  8 12  8 12 4 13 A． 13 , 13   B．   13 , 13   C．8,12 D． 13 【答案】A    【解析】由题意知向量ax,2,b2,3,c2,4 ， 因为a  ∥c  ，所以4x40，得x=1，所以a  1,2 ，|a  | 5，    b  2 3    ab 26 4  , ,cos a,b    又 ，所以     ， b2,3 b  13 13 a b 5 13 65     b 4  2 3   8 12 所以 在 上的投影向量为： a cos a,b    5  ,   , ，故选：A.   b 65 13 13 13 13 a b 【巩固练习4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 满足 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为 ， ， 所以 ，得 ， 所以向量 在向量 方向上的投影向量为 . 【题型5】用其他向量表示已知向量 (1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式 (2)坐标表示：待定系数法 (3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 在 中，D是BC上的点，如果 ，则 A m n B C D 12．在 中，点 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出 并确定点 的位置，即可以向量 为基底表示出 . 【详解】根据题意如下图所示：根据向量加法法则可知 ，又 ，所以 即 ， 可得 .故选：A 13．若向量 ， ， ，则 可用向量 ， 表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量基本定理，设 ，代入计算得到方程组，解出即可. 【详解】设 ，即 ， 则有 ，解得 ，则 . 14．如图所示的 中，点D、E分别在边BC、AD上，且 . ，则向量 （ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】 ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， .故选：B. 15．已知 的边 的中点为D，点E在 所在平面内，且 ，若 ，则 （ ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， ，故 .故选：A． 【巩固练习1】如图所示，点 在线段 上，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】因为 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，即 .故选：C. 【巩固练习2】如图，在 中， 是 的中点，若 ，则 （ ）A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算求得 ，由此求得 ，进而求得 . 【详解】因为 是 的中点，所以 ． 所以 ，所以 ，所以 ． 【巩固练习3】已知在 中， 是边 的中点，且 ，设 与 交于点 ．记 ， ． (1)用 ， 表示向量 ， ； (2)若 ，且 ，求 的余弦值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据平面向量的基底与三角形法则即可用 ， 表示向量 ， ；（2）由 得 ，代入向量数量积公式即可求得 的余弦值. 【详解】（1） （2）∵ 三点共线， 由 得 ， ，即 ， ∴ ， ∴ ，∴ 的余弦值为 . 【题型6】平面向量共线定理 平面向量共线定理：三点 ， ， 共线 ， 共线（功能：证明三点共线） 16．已知向量 ， ， ，若A，B，D三点共线，则 _________． 【答案】6 【分析】根据给定条件，求出 ，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因 ， ，则 ， 又 ，且A，B，D三点共线，即 ，因此 ，解得 ， 所以 . 故答案为：6 17．已知 ，则下列结论中成立的是（ ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得 ，从而可求解.【详解】解： , 所以A，D，C三点共线. 故选:C. 18．如图，在 中，点M为AB的中点，点N在BD上， . 求证：M，N，C三点共线. 【详解】设 ， 则 所以 ， 又因为 有公共起点C，所以M，N，C三点共线. 【巩固练习1】已知 ， ， ，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 【答案】B 【解析】 ， ， ， ， ， 由平面向量共线定理可知， 与 为共线向量， 又 与 有公共点 ， ， ， 三点共线，故选：B． 【巩固练习2】已知不共线的向量 ，且 ， ， ，则一定共线的三 点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A 【分析】利用向量的共线定理一一判断即可. 【详解】对A， , 所以 ，则 三点共线，A正确； 对B， , 则不存在任何 ，使得 ，所以 不共线,B错误； 对C， , 则不存在任何 ，使得 ，所以 不共线，C错误； 对D， , 则不存在任何 ，使得 ，所以 不共线，D错误 【巩固练习3】如图，在 中， ． (1)用 ， 表示 ， ； (2)若点 满足 ，证明： ， ， 三点共线． 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可. （2）利用三点共线的判定证明即可. 【详解】（1）因为 ， ，. （2）由 ， 可得 ， 所以 ， ，即 ， 所以 ， ， 三点共线. 中档题型 【题型7】平面向量共线定理的推论 平面向量共线定理的推论——系数和为1： 已知 A C P B ①若 ，则 三点共线； ②若则 三点共线，则 . 证明 证明①:由 A，B，C三点共线. 由 得： .即 ， 共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线 . 由A，B，C三点共线得 ， 共线，即存在实数 使得 . 故 .即 ，则有 . 19．在 中，N是AC上的一点，且 ，P是BN上的一点，设 ，则实数m 的值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基底向量 表示出 ，再借助平面向量基本定理列式计算作答. 【详解】在 中，由 得： ，因为P是BN上的一点，则有 ， 即 ， ， 又 ，且 不共线，于是得 ，解得 ， 所以实数m的值为 . 20．（深圳二模）已知 中， ， ， 与 相交于点 ， ，则 有序数对 （ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据平面向量共线定理得到 ， ，利用 、 分别表示出 ，再根据平 面向量基本定理得到方程组，解得 、 ，再代入计算可得. 【详解】依题意 、 、 三点共线，故 ， 所以 ， 又 、 、 三点共线，故 ， 则 ， 所以 ，解得 ， 所以 ，又 ，所以 ， 所以有序数对 . 21．在 中，已知 ， ， 与 交于点O.若 ，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的几何表示可得 ， ，然后利用共线向量的推论 即得. 【详解】因为 ， ， 所以 ， ，又 ， 所以 ， ，又 与 交于点O，所以 ， 所以 ，即 ， 故答案为： . 22．已知点 为 的重心， 分别为 ， 边上一点， ， ， 三点共线， 为 的中点， 若 ，则 ________； 的最小值为________. 【答案】 ，6 【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了 ，即 ，由三点共线定理可知 ，所以 ， .得 【详解】因为点 为 的重心，所以 ，则 . 因为 三点共线， ， 所以 ， ，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故 的最小值为6. 2024届·湖南师大附中月考（二） 23． 中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足 为正 实数，则下列结论正确的是（ ） A． 的最小值为 B． 的最大值为1C． 的最小值为4 D． 的最大值为16 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得 的最大值为 ，判断A、B；将 化为 ，结合 基本不等式可求得其最小值，判断C； ，结合 可判断D. 【详解】 为正实数， ， ，而 共线， ， 当且仅当 时，结合 ，即 时取等号，A，B错误； ， 当且仅当 ，即 ，即 时取等号， 即 的最小值为4，C正确； 又 ， 由于 为正实数， ，则 ， 则 ， 时 取最大值 ， 当 趋近于0时， 可无限趋近于0， 故 ，故 无最大值，D错误， 【巩固练习1】如图，在 ABC中， ，P是BN上的一点，若 ，则 △ 实数m＝________．A N P B C 【答案】 【简析】 【巩固练习2】江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一) 在 中，已知 ， ， 与 交于点O.若 ，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的几何表示可得 ， ，然后利用共线向量的推论 即得. 【详解】因为 ， ， 所以 ， ，又 ， 所以 ， ，又 与 交于点O， 所以 ， 所以 ，即 【巩固练习3】如图所示，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 于不同的两 点 ，若 ，则 的值为（ ） A．2 B．3 C． D．5【答案】A 【分析】根据 及 三点共线结论求得 的值. 【详解】因为点 是 的中点， 所以 ， 又因为 所以 ， 因为 三点共线， 所以 ，所以 . 【巩固练习 4】在 中， ， ，E 是 AB 的中点，EF 与 AD 交于点 P，若 ，则 （ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求得 ，由此求得m，n，进而求得. 【详解】 因为 ，所以 ， 则 . 因为A，P，D三点共线，所以 . 因为 ，所以 . 因为E是边AB的中点， 所以 .因为E，P，F三点共线， 所以 ， 则 ，解得 ，从而 ， ，故 .【巩固练习5】如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过点 的直线分别交直线 ， 于点 ， .若 ， ，则 的最小值是 . 【答案】 【分析】平面向量基本定理，借助 三点共线，找出 的关系式， 的最值利用消元法求解范 围即可. 【详解】平面向量基本定理，借助 三点共线可知： ， 得 解 得 ， 所 以 【巩固练习6】已知三点A，B，C共线， 不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若 ，则 的最小值为（ ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，由三点共线的充要条件可知 ，所以 ，由“乘1”法结合基本不 等式即可求解. 【详解】设 ，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设 ， 所以 ，由题意有 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以 的最小值为 . 【题型8】极化恒等式求数量积 极化恒等式求数量积 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B M C 证明（基底法）：因为 ， 所以 24．如图，已知圆 的半径为2，弦长 ， 为圆 上一动点，则 的取值范围为（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】取 的中点 ，连接 、 ，根据数量积的运算律得到 ，再求出 即可 求出 的范围，从而得解. 【详解】取 的中点 ，连接 、 ， 则 ， 又 ， 所以 ， ， 即 ， 所以 ， ． 故 的取值范围为 ． 2022·北京高考T10——隐圆+极化恒等式 25．在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 法一：极化恒等式 取AB中点M， ， ， ，则 法二：建系法 意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动， 设 ， ， 所以 ， ， 所以 ，其中 ， ， 因为 ，所以 ，即 2024届长沙一中月考（二） 26．已知正四面体ABCD的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体ABCD表面上   任意一点，则PMPN的最小值为 ． 【答案】8      【分析】设正四面体外接球球心为O，把PM,PN 用PO,OM,ON 表示并计算数量积后可得． 【详解】设正四面体外接球球心为O， 正四面体ABCD的外接球半径为3， 1 1 设正四面体 内切球半径为 ，一个面的面积为 ，高为 ，则V 4 Sr Sh，所以 ， ABCD r S h ABCD 3 3 h4r 显然r3h4r，所以r 1，即 PO min 1．       2   2 PMPN (POOM)(POON)PO OMON PO 9�198． 故答案为：8．27．（2017年全国2卷（理）T12）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 法一：极化恒等式 取BC中点D，则 则 再去AO中点M， 当 时取到最小值，故 法二：建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点， 则 ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 则 当 ， 时，取得最小值 ， 故选： ． 28．（2019江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点 ， ，则 的值是________． A E F B C D【答案】 【解析】极化恒等式 ， 解得 ，故 . 【巩固练习1】如图， 是圆O的直径，P是圆弧 上的点，M、N是直径 上关于O对称的两点， 且 ，则 （ ） A．13 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法法则表示 、 ，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出结果． 【详解】连结 ，则 ， ，， 所以 . 【巩固练习2】如图，边长为2的菱形 的对角线相交于点 ，点 在线段 上运动，若 ， 则 的最小值为 .【答案】 /-0.75 【分析】根据已知条件求出 ，再表示出 ，进而求其最小值. 【详解】由题菱形 边长为2， 则 ， ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 ， 令 ， 则 ， 所以 ， 则当 时， 取最小值为 . 【巩固练习3】如图，Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝ ，M点是线段AC一动点，若以 M为圆心半径为1的圆与△线段AC交于P，Q两点，则 的最小值为（ ） A P M Q B C【答案】B 【解析】 【巩固练习4】平行四边形ABCD中， ，点P满足 ，则 ________． 【答案】3． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝＝ ＝＝ ∵＝＝8， ∴＝＝ === ==8-5=3．故答案为：3． 【巩固练习5】莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示， 分别以正三角形 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角 形，已知 两点间的距离为2，点 为 上的一点，则 的最小值为 ． 【答案】 【详解】设 为 的中点， 为 的中点，如图所示， 则 ， 在正三角形 中， ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 的最小值为： 【巩固练习6】已知圆 的半径为 ，点 满足 ， ， 分别是 上两个动点，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 思路二：极化恒等式取EF中点D 则 而 ，即 ，故 思路二：拆分 ， 设 的中点为 ，在半径为 的圆 中， ，得 ， ， ， 即 ， 当 与 反向共线时， 取得最小值 ； 当 与 同向共线时， 取得最大值 ；即 的取值范围是 【巩固练习7】半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足 ，点P是圆内一点， 则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】结合图像＋极化恒等式 易知 ，且 ，由平行四边形性质可知□ABOC 为菱形，且△ABO 与 △ACO均为等边三角形． 取AO中点M，由极化恒等式得 ∴ ，易知 ， ∴ 的范围是 A B C O 【巩固练习8】（等和线+极化恒等式）正方形 的边长为 ，中心为 ．过 的直线 与边 分别交于点 ，点 满足条件： ，则 的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ,可知Q在直线BC上，P为线段 中点，过P作BC平行线 ， 显然P点在直线 上， .A D A D M M O O N N l l P P B Q C B Q C 【巩固练习9】在ABC 中，BC 3，AC 4，ACB90，D在边AB上（不与端点重合）．延长CD 13   3  到 ，使得 ．当 为 中点时， 的长度为 ；若PC mPA( m)PB(m为常数 P CP9 D AB PD 2 2 m0 3 且m )，则 的长度是 ． 2 BD 【解答】解：当D为AB中点时， 在ABC 中，BC 3，AC 4，ACB90，则AB5， 1 5 所以CD AB ，又 ， 2 2 CP9 5 13 所以PDCPCD9  ， 2 2 13 即当 为 中点时， 的长度为 ． D AB PD 2   3  3 PC mPA( m)PB(m为常数 且m )， 2 m0 2 如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x， y 轴建立平面直角坐标系， 则A(4,0)，B(0,3)，   3    3   由PC mPA( m)PBm(PCCA)( m)(PCCB)， 2 2    整理得PC 2mCA(32m)CB， 2m(4，0)(2m3)(0，3)(8m，6m9)． 27 由 ，得 ，解得m 或 （舍 ． CP9 64m2 (6m9)2 81 25 m0 ) 96m 所以直线 的方程为y x， PC 8m x y 直线 的方程为  1， AB 4 38 联立两直线方程可得x m， ． 3 y32m 72 21 即D( ， )， 25 25 72 21 18 |BD| ( )2 ( 3)2  ． 25 25 5 18 的长度是 ． BD 5 13 18 故答案为： ； ． 2 5 【题型9】投影法求数量积 投影法求数量积 如图， B 对于 ，其中 是 在 上的投影， P H A 在Rt△PBH中 ，故 ， 考虑到 可能为钝角，故写成 . 29．（2020·新高考1卷T7）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ， 结合向量数量积的定义式， 可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积， 所以 的取值范围是   30．已知圆 半径为2，弦AB2，点C为圆O上任意一点，则ABAC的最大值是 O C A B 【答案】6 【详解】设C在AB上的投影为G，则 ，过点O作AB平行线交圆 于H，当C点在   H时，ABAC有最大值， . 2023全国乙卷(理)T12——投影法求最值 31．已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 法一：投影法 取PO中点E， ，将P，A，O看成定点，则D为圆E上的定点 作DH⊥PA，则 ，当DH∥AO时取到最值 D D H P P E O P E O E O H D A A H A 取PA中点G 最小值计算：此时 ，故 最大值计算：此时 ， D 2 H 2 P E P O E O G G D A A H 法二：构造函数 如图所示， ，则由题意可知: ， 由勾股定理可得当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ， 则： ，则 当 时， 有最大值 . 当点 位于直线 同侧时，设 ， 则：， ，则 当 时， 有最大值 . 综上可得， 的最大值为 . 【巩固练习1】在边长为1的正六边形 中，点P为其内部或边界上一点，则 的取值范围 为________ 【答案】 【详解】易得 所以 是等边三角形， 所以 ，因为 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 过 过 交 于 ， 当 点与 点重合时， 取得最大值为 ； 当 点与 点重合时，取得最小值为 ， 的取值范围是 ． 【巩固练习 2】平面四边形 是边长为 4 的菱形，且 ．点 N 是 DC 边上的点，满足 ．点M是四边形 内或边界上的一个动点，则 的最大值为（ ）A．13 B．7 C．14 D． 【答案】C 【分析】当 在 点时， 在 上的投影向量与 同向，且长度最长，所以此时 最大，由 ， ，求 可得答案. 【详解】如图， 由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的 乘积，及点M是四边形 内或边界上的一个动点，则当 在 点时， 在 上的投影向量与 同向，且长度最长，所以此时 最大， 因为 ，又 ， 所以 ， 所以 的最大值为 . 【巩固练习3】如图， 是边长2的正方形， 为半圆弧 上的动点（含端点）则 的取值 范围为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义，由投影的几何意义并结合图形即可求得其范围. 【详解】 ，由投影的定义知 ， 结合图形得，当与半圆弧 相切于P点的直线平行于BC时， 最大为 ， 此时 ； 当P在C或B点重合时， 最小为 ，此时 即可得 故答案为： 【题型10】拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动 点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点 32．如图，在等腰梯形ABCD中， ， ， ，E为BC边上一点，且满足 ， 若 ，则 （ ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可 【详解】由题可知 ， 故 ，从而易知 ． ， ． 故 ABCD AB8,AD5 33．如图在平行四边形 中，已知 ， ， ，则 的值是 .D P C A B 【答案】22 【解析】法一：拆分 法二：极化恒等式 取AB中点M，延长AD，MP交于点F ， （平行四边形性质）， F D P C A B M 34．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮）， 圆 （后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长为 的等边三角形.设点 为后轮上的 一点，则在骑行该自行车的过程中， 的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算可得 ，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到 ，由此可求得最大值. 【详解】 ，则当 与 同向，即 时， 取得最大值为 35．在 平 面 四 边 形 中 ， ， ， ， ， . 若 ，则 （ ） A. 2B. C. 4D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对 ，分别两边同乘以 和 ，得到关于 方程组，解出 ，就 可以求出 . 【详解】 因为 ，③ ③式同乘以 ，得： ， 即 ，即 ①. ③式同乘以 ，得： ， 即 ，即 ②. ①②联立解得： ， 所以 . 【巩固练习1】在 中， ， ， ，则 边上中线 的长为_____. 【答案】 【分析】作出图象，由图可知 ，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】因为 ，所以 所以 ，所以 ，故答案为： 【巩固练习2】如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，若 ， ，则 的值为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 P、C、D 三点共线及 ，可求 m 的值，再用 、 作基底表示 ，进而求 即可. 【详解】∵ ， ， 即 且 ， ∴ ， 又C、P、D共线，有 ，即 ， 即 ，而 ， ∴∴ = . 【巩固练习 3】已知菱形M={0,1,2⋯q−1}的边长为A={x|x=x 1 +x 2 q+⋯x n qn−1,x i ∈M,i=1,2,⋯n}，q=2,n=3，点s,t∈A,s=a 1 +a 2 q+⋯+a n qn−1,t=b 1 +b 2 q+⋯b n qn−1,，a i ,b i ∈M,i=1,2,⋯n,分别在边a n