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培优点 6 向量极化恒等式
平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且
复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清
晰简单．
考点一 向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝2－2.
变式：(1)a·b＝－，a·b＝－.
(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则AB·AC＝AM2－CB2＝AM2－MB2.
考向1 利用向量极化恒等式求值
例1 (1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，
则AE·AF＝________.
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．BA·CA＝4，BF·CF
＝－1，则BE·CE的值为________．
考向2 利用向量极化恒等式求最值、范围
例2 (1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在
平面上任意一点，则(PA＋PB)·PC的最小值是________．
(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________．
规律方法 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特
别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD＝λBC，AD·AB
＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|MN|＝1，则DM·DN的最小值为________．
(2)如图所示，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面
1 1 1 1
上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，
PM·PN的取值范围是________．
考点二 等和(高)线解基底系数和(差)问题
等和(高)线
平面内一组基底OA，OB及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB
上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB
平行的直线称为等和(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k，k 互为相反数；
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(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
例 3 (1)在△ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点，AN＝λAB＋μAC(λ，
μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D．1
(2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任
意一点，BM＝xBA＋yBD(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为( )A. B.
C．2 D．2
易错提醒 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此
来求其他的等和(高)线．
跟踪演练2 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为，如图所示，点C在以
O为圆心的AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．
