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® YIWU JIAOYU JIAOKESHU SHUXUE 义 务 八年级 教 全国优秀教材二等奖 育 教 科 义务教育教科书 上册 书 数学 八年级 上册 B 数 A l C′ C 数学 B′ 学 八 年 级 上 册 绿绿色色印印刷刷产产品品 定价：10.25元 数数学学封封面面六六三三制制八八年年级级上上带带标标志志 11 22002222//55//2200 1100::2299(cid:742) (cid:1195) (cid:2963) (cid:5169) (cid:2963) (cid:4632) (cid:761) (cid:2972) (cid:2021) (cid:1051)(cid:2289)(cid:4894) (cid:700)(cid:1073) (cid:800)(cid:3486)(cid:2963)(cid:5169)(cid:1122)(cid:3999)(cid:4586)(cid:1)(cid:1)(cid:6070)(cid:4653)(cid:2963)(cid:3141)(cid:4496)(cid:4674)(cid:2653) (cid:4995)(cid:5570) (cid:726)(cid:2021)(cid:2972)(cid:2021)(cid:6070)(cid:4653)(cid:2963)(cid:3141)(cid:4496)(cid:4674)(cid:2343)(cid:1318)(cid:726)(cid:2422) ·北 京·主 编：林 群 副 主 编 ：田载今 薛 彬 李海东 本册主编 ：俞求是 主要编写人员 ：薛 彬 宋莉莉 刘长明 李海东 李龙才 王 冰 李 辉 李长武 任韶山 冯万绪 责任编辑 ：李海东 美术编辑 ：王俊宏 插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面） 义务教育教科书 数学 八年级 上册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心 出 版 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081） 网 址 http://www.pep.com.cn 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyjfk.pep.com.cn 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与×××联系调换。电话：×××-××××××××本册导引 亲爱的同学，八年级的数学学习就要开始了。 你将要学习的这本书是我们根据 《义务教育数学课程标准 （２０１１年版）》 编写的教科书，这是你在七～九年级要学习的六册数学教科书中的第三册。 对三角形我们并不陌生，比如我们知道 “三角形的内角和等于１８０°”。这 个结论需要证明吗？又怎样证明呢？怎样利用这个结论求出四边形、五边 形……的内角和呢？请你到 “三角形”一章中去探索，在那里你不仅能够解决 上面的问题，而且能够学到研究几何图形的重要思想和方法，并初步了解所学 的图形知识在日常生活中的广泛应用。 “全等三角形”将带你认识 “全等”这种图形间特殊的关系，并探索判断 两个三角形形状、大小相同的条件，了解角的平分线的性质。学习了这些内 容，你会对几何图形有进一步的认识，进一步学习几何证明的思想，提高推理 论证和解决问题的能力。 在我们周围的世界，你会看到许多美丽的轴对称图形，在 “轴对称”一章 中我们将对轴对称图形作专门的研究，并学习画出各种轴对称图形，了解轴对 称图形的知识在实践中的广泛应用。另外，在这一章，你会对等腰三角形这种 重要的几何图形有进一步的认识。 我们知道，可以用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题中的数量 关系。在 “整式的乘法与因式分解”一章中，通过对整式的乘法运算的讨论， 你将学到许多常用的重要运算性质和公式，知道更多的数量关系，加深对 “从 数到式”这个由具体到抽象的过程的认识。 数有整数与分数之分，式也有整式与分式之别。在 “分式”一章你将看 到，分式与分数就像姐妹一样，有很多共同的特征，在分式的身上你能很容易 地找到分数的影子。学习了分式，你会认识到它是我们研究数量关系并用来解 决问题的重要工具。 数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功，让我们一起 随着这本书，继续畅游神奇、美妙的数学世界吧！目 录 第十一章 三角形 １１．１ 与三角形有关的线段 ２ 信息技术应用 画图找规律 １０ １１．２ 与三角形有关的角 １１ 阅读与思考 为什么要证明 １８ １１．３ 多边形及其内角和 １９ 数学活动 ２６ 小结 ２７ 复习题１１ ２８ 第十二章 全等三角形 １２．１ 全等三角形 ３１ １２．２ 三角形全等的判定 ３５ 信息技术应用 探究三角形全等的条件 ４６ １２．３ 角的平分线的性质 ４８ 数学活动 ５３ 小结 ５４ 复习题１２ ５５第十三章 轴对称 １３．１ 轴对称 ５８ １３．２ 画轴对称图形 ６７ 信息技术应用 用轴对称进行图案设计 ７３ １３．３ 等腰三角形 ７５ 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系 ８４ １３．４ 课题学习 最短路径问题 ８５ 数学活动 ８８ 小结 ９０ 复习题１３ ９１ 第十四章 整式的乘法与因式分解 １４．１ 整式的乘法 ９５ １４．２ 乘法公式 １０７ 阅读与思考 杨辉三角 １１３ １４．３ 因式分解 １１４ 阅读与思考 狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子的 因式分解 １２１ 数学活动 １２２ 小结 １２３ 复习题１４ １２４第十五章 分式 １５．１ 分式 １２７ １５．２ 分式的运算 １３５ 阅读与思考 容器中的水能倒完吗 １４８ １５．３ 分式方程 １４９ 数学活动 １５６ 小结 １５７ 复习题１５ １５８ 部分中英文词汇索引 １６０第十一章 三角形 三角形是一种基本的几何图形．从古埃及的 金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微 小的分子结构，到处都有三角形的形象．为什么 在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结 构呢？这与三角形的性质有关． 一个三角形有三个角、三条边．三个角之间 有什么关系？三条边之间有什么关系？在小学 我们通过测量得知三角形的内角和等于１８０°， 但测量常常有误差，三角形有无数多个，要说 明任意一个三角形都符合这一规律，就不能只 靠测量，而必须通过推理证明．本章中，我们就 来证明这个结论． 三角形是最简单的多边形，也是认识其他 图形的基础．本章将在学习与三角形有关的线段 和角的基础上，学习多边形的有关知识，如借 助三角形的内角和探究多边形的内角和．学习本 章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且 还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和 方法． 书书书１１．１ 与三角形有关的线段 １１．１．１ 三角形的边 在本章引言中，我们提到许多三角形的实际例子． 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相 A 接所组成的图形叫做三角形 （ｔｒｉａｎｇｌｅ）． 在图１１．１１中，线段犃犅，犅犆，犆犃是三角 c b 形的边．点犃，犅，犆是三角形的顶点．∠犃， B C a ∠犅，∠犆是相邻两边组成的角，叫做三角形的内 图１１．１１ 角，简称三角形的角． 顶点是犃，犅，犆的三角形，记作△犃犅犆，读作 “三角形犃犅犆”． △犃犅犆的三边，有时也用犪，犫，犮来表示．如图１１．１１，顶点犃所对的边犅犆 用犪表示，顶点犅所对的边犃犆用犫表示，顶点犆所对的边犃犅用犮表示． 我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形 （图１１．１２ （１））；有 两条边相等的三角形叫做等腰三角形 （图１１．１２ （２））． 图１１．１２ （３）中的三角形是三边都不相等的三角形． A A A B C B C B C
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图１１．１２  我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直 角三角形和钝角三角形．如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你 的想法，并与同学交流． 以 “是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和 等腰三角形． ２ !"#$%&’(我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． 综上，三角形按边的相等关系分类如下： 三边都不相等的三角形 烄    三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 烅 烄 等腰三角形  烅 等边三角形   烆 烆  下面探究三角形三边之间的大小关系．   任意画一个△犃犅犆，从点犅出发，沿三角形的边到点犆，有几条线 路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？ 对于任意一个△犃犅犆，如果把其中任意两个顶点 （例如犅，犆）看成定 点，由 “两点之间，线段最短”可得 犃犅＋犃犆＞犅犆． ① 同理有 犃犆＋犅犆＞犃犅， ② 犃犅＋犅犆＞犃犆． ③ 一般地，我们有 三角形两边的和大于第三边． 由不等式②③移项可得犅犆＞犃犅－犃犆，犅犆＞犃犆－犃犅．这就是说，三角 形两边的差小于第三边． 例 用一条长为１８ｃｍ的细绳围成一个等腰三角形． （１）如果腰长是底边长的２倍，那么各边的长是多少？ （２）能围成有一边的长是４ｃｍ的等腰三角形吗？为什么？ 解：（１）设底边长为狓ｃｍ，则腰长为２狓ｃｍ． 狓＋２狓＋２狓＝１８． 解得狓＝３．６． 所以，三边长分别为３．６ｃｍ，７．２ｃｍ，７．２ｃｍ． （２）因为长为４ｃｍ的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论． ３ !"#$%&’(如果４ｃｍ长的边为底边，设腰长为狓ｃｍ，则 ４＋２狓＝１８． 解得狓＝７． 如果４ｃｍ长的边为腰，设底边长为狓ｃｍ，则 ２×４＋狓＝１８． 解得狓＝１０． 因为４＋４＜１０，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长 是４ｃｍ的等腰三角形． 由以上讨论可知，可以围成底边长是４ｃｍ的等腰三角形． D １．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． A ２．（口答）下列长度的三条线段能否组成三角形？为 什么？ E （１）３，４，８；（２）５，６，１１；（３）５，６，１０． B C （第１题） １１．１．２ 三角形的高、中线与角平分线 与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已 经学过的三角形的高．如图１１．１３，从△犃犅犆的顶点 犃向它所对的边犅犆所在直线画垂线，垂足为犇，所 得线段犃犇叫做△犃犅犆的边犅犆上的高 （ａｌｔｉｔｕｄｅ）． 用同样方法， 你能画出△犃犅犆的 A 另两条边上的高吗？ B D C 图１１．１３ 我们再来看两种与三角形有关的线段． 如图１１．１４ （１），连接△犃犅犆的顶点犃和 用同样方法， 你能画出 △犃犅犆 它所对的边犅犆的中点犇，所得线段犃犇叫做 的另两条边上的中 △犃犅犆的边犅犆上的中线 （ｍｅｄｉａｎ）． 线吗？ ４ !"#$%&’( 书书书A A F E 取一块质地均匀的 O 三角形木板，顶住三条 B D C B D C 中线的交点，木板会保 1  持平衡，这个平衡点就 图１１．１４ 是这块三角形木板的 如图１１．１４ （２），三角形的三条中线相交于 重心． 一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． A B D C 图１１．１５ 画出△犃犅犆的 如图１１．１５，画∠犃的平分线犃犇，交∠犃所 另两条角平分线， 对的边犅犆于点犇，所得线段犃犇叫做△犃犅犆的 观察三条角平分线， 角平分线 （ａｎｇｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ）． 你有什么发现？ １．如图，（１）（２）和 （３）中的三个∠犅有什么不同？这三条△犃犅犆的边犅犆上的 高犃犇在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ A A A C B D B(D) C D B C （１） （２） （３） （第１题） ２．填空： （１）如下页图 （１），犃犇，犅犈，犆犉是△犃犅犆的三条中线，则犃犅＝２ ， １ 犅犇＝ ，犃犈＝ ． ２ （２）如下页图 （２），犃犇，犅犈，犆犉是△犃犅犆的三条角平分线，则∠１＝ １ ，∠３＝ ，∠犃犆犅＝２ ． ２ ５ !"#$%&’(A A 1 2 E F B （１）D C B D（２） C （第２题） １１．１．３ 三角形的稳定性 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架 （图１１．１６ （１）），其 中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上 斜钉一根木条 （图１１．１６ （２））．为什么要这样做呢？ （１） （２） 图１１．１６  如图１１．１７ （１），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？ 如图１１．１７ （２），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？ 如图１１．１７（３），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻 的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ （１） （２） （３） 图１１．１７ 可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这 就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性． ６ !"#$%&’(还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．这是因为斜钉 一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的 窗框在未安装好之前也不会变形． 三角形的稳定性有广泛的应用，图１１．１８表示其中一些例子．你能再举一 些例子吗？ 钢架桥 起重机 图１１．１８ 四边形的不稳定性也有广泛的应用，图１１．１９表示其中一些例子． 活动挂架 伸缩门 图１１．１９ 下列图形中哪些具有稳定性？ （１） （２） （３） （ ４） （５） （６） ７ !"#$%&’(习题１１．１  １．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． A B D E C （第１题） ２．长为１０，７，５，３的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ ３．对于下面每个三角形，过顶点犃画出中线、角平分线和高． A A A B C B C B C （１） （２） （３） （第３题） ４．如图，在△犃犅犆中，犃犈是中线，犃犇是角平分线，犃犉是高．填空： １ （１）犅犈＝ ＝ ； A ２ １ （２）∠犅犃犇＝ ＝ ； ２ （３）∠犃犉犅＝ ＝９０°； B E DF C （第４题） （４）犛 ＝ ． △犃犅犆 ５．选择题． 下列图形中有稳定性的是 （ ）． （Ａ）正方形 （Ｂ）长方形 （Ｃ）直角三角形 （Ｄ）平行四边形  ６．一个等腰三角形的一边长为６ｃｍ，周长为２０ｃｍ，求其他两边的长． ７． （１）已知等腰三角形的一边长等于５，一边长等于６，求它的周长； （２）已知等腰三角形的一边长等于４，一边长等于９，求它的周长． ８ !"#$%&’(８．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝２，犅犆＝４．△犃犅犆的高犃犇与犆犈的比是多少？ （提 示：利用三角形的面积公式．） A E B D C （第８题）   ９．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线．犇犈∥犃犆，犇犈交犃犅于点犈，犇犉∥犃犅，犇犉 交犃犆于点犉．图中∠１与∠２有什么关系？为什么？ A E F 1 2 B C D （第９题） １０．要使四边形木架 （用４根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木 架和六边形木架呢？    （第１０题） ９ !"#$%&’(  画图找规律 １．在计算机上用 《几何画板》软件任意画一个三角形，再画出它的三条中线，你发 现了什么规律？然后随意改变所画三角形的形状，看看这个规律是否改变．三角形的三条 高有这个规律吗？三条角平分线呢？ A F E B D C ２．在计算机上用 《几何画板》软件任意画一个三角形，量出它的各内角并计算它们 的和．然后随意改变所画三角形的形状，再量出变化后的各内角，计算内角和．由此，你 能得出什么结论？ A BAC 76.78e ABC 50.27e BCA 52.95e BAC ABC BCA 180.00e B C ３．在计算机上用 《几何画板》软件任意画一个四边形，量出它的各内角并计算它们 的和．然后随意改变所画四边形的形状，再量出变化后的各内角，计算内角和．由此，你 能得出什么结论？ A BAD 113.30e D ABC 79.43e BCD 86.95e B CDA 80.32e BAD ABC BCD CDA 360.00e C １０ !"#$%&’(１１．２ 与三角形有关的角 １１．２．１ 三角形的内角 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于１８０°．我们是通过 度量或剪拼得出这一结论的． 通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于１８０°．但是，由于测量 常常有误差，这种 “验证”不是 “数学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不 同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于 １８０°．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于１８０°．  在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个 平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 上面的拼合中，有不同的方法．你用了图１１．２１中的哪种方法？ l l A B C A A B C B C B （１） （２） 图１１．２１ 在图１１．２１ （１）中，∠犅和∠犆分别拼在∠犃的左右，三个角合起来形 成一个平角，出现一条过点犃的直线犾，移动后的∠犅和∠犆各有一条边在直 线犾上．想一想，直线犾与△犃犅犆的边犅犆有什么关系？由这个图你能想出证 明 “三角形的内角和等于１８０°”的方法吗？ 由上述拼合过程得到启发，过△犃犅犆的顶点犃作直线犾平行于△犃犅犆的 边犅犆（图１１．２２），那么由平行线的性质与平角的定义就能证明 “三角形的 内角和等于１８０°”这个结论． １１ !"#$%&’(已知：△犃犅犆（图１１．２２）． A l 求证：∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°． 4 5 1 证明：如图１１．２２，过点犃作直线犾，使犾∥犅犆． ∵ 犾∥犅犆， 2 3 B C ∴ ∠２＝∠４ （两直线平行，内错角相等）． 图１１．２２ 同理 ∠３＝∠５． ∵ ∠１，∠４，∠５组成平角， ∴ ∠１＋∠４＋∠５＝１８０°（平角定义）． 由图１１．２ １（２），你能想出 ∴ ∠１＋∠２＋∠３＝１８０°（等量代换）． 这个定理的其他 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都 证法吗？ 等于１８０°，得到如下定理： 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于１８０°． 例１ 如图１１．２３，在△犃犅犆中，∠犅犃犆＝ C ４０°，∠犅＝７５°，犃犇是△犃犅犆的角平分线．求 ∠犃犇犅的度数． D 解：由∠犅犃犆＝４０°，犃犇是△犃犅犆的角平分线，得 A B １ 图１１．２３ ∠犅犃犇＝ ∠犅犃犆＝２０°． ２ 在△犃犅犇中， ∠犃犇犅＝１８０°－∠犅－∠犅犃犇 ＝１８０°－７５°－２０°＝８５°． 例２ 图１１．２４是犃，犅，犆三岛的平面图， C  犆岛在犃岛的北偏东５０°方向，犅岛在犃岛的北  E D 偏东８０°方向，犆岛在犅岛的北偏西４０°方向．从犅 B 岛看犃，犆两岛的视角∠犃犅犆是多少度？从犆岛 A 看犃，犅两岛的视角∠犃犆犅呢？ 图１１．２４ 分析：犃，犅，犆三岛的连线构成△犃犅犆，所求的∠犃犆犅是△犃犅犆的一 个内角．如果能求出∠犆犃犅，∠犃犅犆，就能求出∠犃犆犅． 解：∠犆犃犅＝∠犅犃犇－∠犆犃犇＝８０°－５０°＝３０°． 由犃犇∥犅犈，得 １２ !"#$%&’(∠犅犃犇＋∠犃犅犈＝１８０°． 所以 ∠犃犅犈＝１８０°－∠犅犃犇＝１８０°－８０°＝１００°， 你还能想出其 ∠犃犅犆＝∠犃犅犈－∠犈犅犆＝１００°－４０°＝６０°． 他解法吗？ 在△犃犅犆中， ∠犃犆犅＝１８０°－∠犃犅犆－∠犆犃犅 ＝１８０°－６０°－３０°＝９０°． 答：从犅岛看犃，犆两岛的视角∠犃犅犆是 ６０°，从犆岛看犃，犅两岛的视角∠犃犆犅是９０°． １．如图，从犃处观测犆处的仰角∠犆犃犇＝３０°，从犅处观测犆处的仰角 ∠犆犅犇＝４５°．从犆处观测犃，犅两处的视角∠犃犆犅是多少度？ A C B 40e 150e 40e D A D C B （第１题） （第２题） ２．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形犃犅犆犇，其中∠犃＝１５０°，∠犅＝ ∠犇＝４０°．求∠犆的度数． 如图１１．２５，在直角三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°， 由三角形内角和定理，得 A ∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°， 即 ∠犃＋∠犅＋９０°＝１８０°， 所以 ∠犃＋∠犅＝９０°． B C 图１１．２５ 也就是说，直角三角形的两个锐角互余． 直角三角形可以用符号 “Ｒｔ△”表示，直角 三角形犃犅犆可以写成Ｒｔ△犃犅犆． １３ !"#$%&’(例３ 如图１１．２６，∠犆＝∠犇＝９０°，犃犇， 犅犆相交于点犈．∠犆犃犈与∠犇犅犈有什么关系？ C D E 为什么？ 解：在Ｒｔ△犃犆犈中， A B ∠犆犃犈＝９０°－∠犃犈犆． 图１１．２６ 在Ｒｔ△犅犇犈中， ∠犇犅犈＝９０°－∠犅犈犇． ∵ ∠犃犈犆＝∠犅犈犇， ∴ ∠犆犃犈＝∠犇犅犈．  我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角 互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由． 由三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形． １．如图，∠犃犆犅＝９０°，犆犇⊥犃犅，垂足为犇．∠犃犆犇与∠犅有什么关系？为什么？ A C D 1 E 2 A D B C B （第１题） （第２题） ２．如图，∠犆＝９０°，∠１＝∠２，△犃犇犈是直角三角形吗？为什么？ １１．２．２ 三角形的外角 A 如图１１．２７，把△犃犅犆的一边犅犆延长，得到 ∠犃犆犇．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组 B C D 成的角，叫做三角形的外角． 图１１．２７ １４ !"#$%&’( 如图１１．２８，在△犃犅犆中，∠犃＝７０°，∠犅＝ A ６０°．∠犃犆犇是△犃犅犆的一个外角．能由∠犃，∠犅 70e 求出∠犃犆犇吗？如果能，∠犃犆犇与∠犃，∠犅有 什么关系？ 60e B C D 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个 图１１．２８ 内角是否都有这种关系？ 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面 的推论 （请同学们自己证明）： 推论是由定理直 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 接推出的结论．和定理 一样，推论可以作为 例４ 如图１１．２９，∠犅犃犈，∠犆犅犉，∠犃犆犇 进一步推理的依据． 是△犃犅犆的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的 E 两个内角的和，得 A ∠犅犃犈＝∠２＋∠３， 1 ∠犆犅犉＝∠１＋∠３， 2 3 B ∠犃犆犇＝∠１＋∠２． C D F 所以 图１１．２９ ∠犅犃犈＋∠犆犅犉＋∠犃犆犇＝２（∠１＋∠２＋∠３）． 由∠１＋∠２＋∠３＝１８０°，得 你还有其他解 法吗？ ∠犅犃犈＋∠犆犅犉＋∠犃犆犇＝２×１８０°＝３６０°． 说出下列图形中∠１和∠２的度数： 80e 2 1 1 40e 60e 1 2 30e 2 40e （１） （２） （３） １５ !"#$%&’(A E 60e 2 70e 1 1 2 40e 2 1 60e 20e 30e B C D 犆犈平分∠犃犆犇 （４） （５） （６） 习题１１．２  １．求出下列图形中的狓的值： xe xe 39e 108e xe xe （１） （２） 72e xe xe xe (x−36)e (x+36)e （３） （４） （第１题） ２． （１）一个三角形最多有几个直角？为什么？ （２）一个三角形最多有几个钝角？为什么？ A （３）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 1 ３．△犃犅犆中，∠犅＝∠犃＋１０°，∠犆＝∠犅＋１０°．求 △犃犅犆的各内角的度数． 2 65e ４．如图，犃犇⊥犅犆，∠１＝∠２，∠犆＝６５°．求∠犅犃犆 B D C 的度数． （第４题）  ５．如下页图，犃犅∥犆犇，∠犃＝４０°，∠犇＝４５°．求∠１和∠２的度数． １６ !"#$%&’(B D D C 45e 1 45e O 2 A E A 40e B C （第５题） （第６题） ６．如图，犃犅∥犆犇，∠犃＝４５°，∠犆＝∠犈．求∠犆的度数． ７．如图，犅处在犃处的南偏西４５°方向，犆处在犃处的南偏东１５°方向，犆处在犅处 的北偏东８０°方向，求∠犃犆犅的度数． A A A E  D 100e  F C 1 xe 3 B 2 4 C B B C （第７题） （第８题） （第９题） ８．如图，犇是犃犅上一点，犈是犃犆上一点，犅犈，犆犇相交于点犉，∠犃＝６２°， ∠犃犆犇＝３５°，∠犃犅犈＝２０°．求∠犅犇犆和∠犅犉犇的度数． ９．如图，∠１＝∠２，∠３＝∠４，∠犃＝１００°．求狓的值．   １０．如图，犃犅∥犆犇，∠犅犃犈＝∠犇犆犈＝４５°．填空： ∵ 犃犅∥犆犇， ∴ ∠１＋４５°＋∠２＋４５°＝ ． ∴ ∠１＋∠２＝ ． ∴ ∠犈＝ ． A B E 45e 1 E A 2 45e C D B C D （第１０题） （第１１题） １１．如图，犆犈是△犃犅犆的外角∠犃犆犇的平分线，且犆犈交犅犃的延长线于点犈．求 证∠犅犃犆＝∠犅＋２∠犈． １７ !"#$%&’(  为什么要证明 小明：我们观察任意一个三角形，量出它的每个内角，都能 得出它的内角和等于１８０°，为什么还要证明这个结论呢？ 李老师：通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可 能有误差，试验可能受干扰，考察对象可能不具有一般性等原 因，一般来说由观察、试验等所产生的 “结论”未必正确．例 如，让一个班的学生每人任意画一个三角形，再量出它的每个内 角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是１８０°，可能有的会 比１８０°大些，有的会比１８０°小些． 小明：如果观察细致，仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？ 李老师：仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力．例如， 即使不考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是１８０°时，人们还会 有疑问：“不同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有 限个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证 吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察、 试验的对象也是有限个．因此，要确认 “三角形的内角和等于１８０°”， 就不能依靠度量的手段和观察、试验、验证的方法，而必须进行推理 论证———对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角， 从而得出 “无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于１８０°”． 小明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过理由 充足、使人信服的推理论证才能得出结论．观察、试验等是发现数 学公式、定理的重要途径，而证明则是确认数学公式、定理的必要 步骤． １８ !"#$%&’( 书书书１１．３ 多边形及其内角和 １１．３．１ 多边形 观察图１１．３１中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段 围成的图形的形象，你能从图１１．３１中想象出几个由一些线段围成的图形吗？ 图１１．３１ 我们学过三角形．类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封 闭图形叫做多边形 （ｐｏｌｙｇｏｎ）． 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、 四边形、五边形……三角形是最简单的多边形． 如果一个多边形由狀条线段组成，那么这个多 边形就叫做狀边形．如图１１．３２，螺母底面的 边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形． 图１１．３２ 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．图１１．３３中的∠犃，∠犅， ∠犆，∠犇，∠犈是五边形犃犅犆犇犈的５个内角．多边形的边与它的邻边的延长线组 成的角叫做多边形的外角．图１１．３４中的∠１是五边形犃犅犆犇犈的一个外角． A A 1 B B E E C D C D 图１１．３３ 图１１．３４ １９ !"#$%&’(连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 （ｄｉａｇｏｎａｌ）． 图１１．３５中，犃犆，犃犇是五边形犃犅犆犇犈的两条对角线． A 五 边 形 犃犅犆犇犈共有几条 E B 对角线？请画出它 的其他对角线． C D 图１１．３５ 如图１１．３６ （１），画出四边形犃犅犆犇的任何一条边 （例如犆犇）所在直 线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图 １１．３６ （２）中的四边形犃犅犆犇就不是凸四边形，因为画出边犆犇 （或犅犆）所 在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一 条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是 凸多边形．本节只讨论凸多边形． A A B C B D C D （１） （２） 图１１．３６ 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个 角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （ｒｅｇｕｌａｒｐｏｌｙｇｏｎ）．图１１．３７是 正多边形的一些例子．    图１１．３７ ２０ !"#$%&’(１．画出下列多边形的全部对角线： （第１题） ２．四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可 以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？ １１．３．２ 多边形的内角和  我们知道，三角形的内角和等于１８０°，正方形、长方形的内角和都 等于３６０°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于３６０°呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于３６０°吗？ 要用三角形内角和定理证明四边形的内角和 等于３６０°，只要将四边形分成几个三角形即可． D 如图１１．３８，在四边形犃犅犆犇中，连接对 4 C 角线犃犆，则四边形犃犅犆犇被分为△犃犅犆和 3 2 △犃犆犇两个三角形． A 1 B 由此可得 图１１．３８ ∠犇犃犅＋∠犅＋∠犅犆犇＋∠犇 ＝∠１＋∠２＋∠犅＋∠３＋∠４＋∠犇 ＝（∠１＋∠犅＋∠３）＋（∠２＋∠４＋∠犇）． ∵ ∠１＋∠犅＋∠３＝１８０°， ∠２＋∠４＋∠犇＝１８０°， ∴ ∠犇犃犅＋∠犅＋∠犅犆犇＋∠犇＝１８０°＋１８０°＝３６０°． 即四边形的内角和等于３６０°． 类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？ ２１ !"#$%&’(观察图１１．３９，填空： 图１１．３９ 从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于１８０°× ． 从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于１８０°× ． 通过以上过程，你能发现多边形的内角和与 边数的关系吗？ 把一个多边形 一般地，从狀边形的一个顶点出发，可以作 分成几个三角形，还 有其他分法吗？由新 （狀－３）条对角线，它们将狀边形分为 （狀－２） 的分法，能得出多边 个三角形，狀边形的内角和等于１８０°×（狀－２）． 形内角和公式吗？ 这样就得出了多边形内角和公式： 狀边形内角和等于（狀－２）×１８０°． 例１ 如果一个四边形的一组对角互补，那 么另一组对角有什么关系？ 解：如图１１．３１０，在四边形犃犅犆犇中， C ∠犃＋∠犆＝１８０°． D ∵ ∠犃＋∠犅＋∠犆＋∠犇＝（４－２）×１８０° ＝３６０°， A B ∴ ∠犅＋∠犇＝３６０°－（∠犃＋∠犆） 图１１．３１０ ＝３６０°－１８０°＝１８０°． 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那 么另一组对角也互补． 例２ 如图１１．３１１，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？ ２２ !"#$%&’(分析：考虑以下问题： （１）任何一个外角同与它相邻的内角有什么 E 4 D 5 关系？ 3 （２）六边形的６个外角加上与它们相邻的内 F C 6 角，所得总和是多少？ 2 A 1 B （３）上述总和与六边形的内角和、外角和有 什么关系？ 图１１．３１１ 联系这些问题，考虑外角和的求法． 解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于１８０°．因此六边形 的６个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于６×１８０°． 这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角 和，即外角和等于 ６×１８０°－（６－２）×１８０°＝２×１８０°＝３６０°．  如果将例２中六边形换为狀边形 （狀是不小于３的任意整数），可以 得到同样结果吗？ 由上面的思考可以得到： 多边形的外角和等于３６０°． 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外 角和等于３６０°． 如图１１．３１２，从多边形的一个顶点犃出发， 沿多边形的各边走过各顶点，再回到点犃，然后 转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各 个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等 A 于３６０°． 图１１．３１２ ２３ !"#$%&’(１．求出下列图形中狓的值： 80e 150e2xe 120e 120e 140e xe xe xe 75e xe （１） （２） （３） （第１题） ２．一个多边形的各内角都等于１２０°，它是几边形？ ３．一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？ 习题１１．３  １．画出下面多边形的全部对角线： （第１题） ２．求出下列图形中狓的值： 60e 3xe 4xe D E xe 150e 60e C xe xe 135e A xexe 3xe 2xe B AB CD （１） （２） （３） （第２题） ３．填表： 多边形的边数 ３ ４ ５ ６ ８ １２ 内角和 外角和 ２４ !"#$%&’( 书书书４．计算正五边形和正十边形的每个内角的度数． ５．一个多边形的内角和等于１２６０°，它是几边形？ ６． （１）一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？ （２）一个多边形的内角和是外角和的２倍，它是几边形？  ７．如图，在四边形犃犅犆犇中，∠犃＝∠犆，∠犅＝∠犇，犃犅与犆犇有怎样的位置关 系？为什么？犅犆与犃犇呢？ C 3 1 2 D B 4 O D C 5 6 A B A （第７题） （第８题） ８．如图，犅犆⊥犆犇，∠１＝∠２＝∠３，∠４＝６０°，∠５＝∠６． （１）犆犗是△犅犆犇的高吗？为什么？ （２）∠５的度数是多少？ （３）求四边形犃犅犆犇各内角的度数．   ９．如图，五边形犃犅犆犇犈的内角都相等，且∠１＝∠２，∠３＝∠４，求狓的值． D 1 xe 3 E D E C F C 2 4 60e A A B B （第９题） （第１０题） １０．如图，六边形犃犅犆犇犈犉的内角都相等，∠犇犃犅＝６０°．犃犅与犇犈有怎样的位置 关系？犅犆与犈犉有这种关系吗？这些结论是怎样得出的？ ２５ !"#$%&’(    有些地板的拼合图案如图１所示，它是用 正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴 墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地 面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作 就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部 图１ 分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面 （或平面镶嵌）的 问题． 下面我们来探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并思考为什么会出 现这种结果． （１）分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边 形，如果用其中一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图 案？如果用其中两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平面 图案？ （２）任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板，拼拼看，它们能否 镶嵌成平面图案． 1 2 2 3 1 3 4 三角形 四边形 （３）任意剪出一些形状、大小相同的四边形纸板，拼拼看，它们能否 镶嵌成平面图案． 你还可以搜集一些其他用多边形镶嵌的平面图案，或者设计一些地板 的平面镶嵌图，并与同学互相交流． ２６ !"#$%&’(小 结 一、本章知识结构图                 二、回顾与思考 在本章中，我们进一步研究了三角形，如探索并证明了三角形三边之间的 关系以及三角形内角和定理．类似地，我们研究了多边形，如探索并证明了多 边形内角和公式． 三角形内角和定理是几何中一个很重要的结论，它可以由平行线的性质与 平角的定义证明．由这一定理可以进一步得出直角三角形两个锐角的关系以及 三角形外角的有关结论． 三角形是最简单的多边形．在研究多边形时，我们常常将它分为几个三角 形，再利用三角形的性质得出多边形的有关结论．例如，本章得到的多边形的 内角和公式就是上述方法的应用． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？ ２．三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？ ３．直角三角形的两个锐角有怎样的关系？三角形的一个外角与和它不相邻 的两个内角有怎样的关系？这些结论能由三角形内角和定理得出吗？ ４．狀边形的狀个内角有怎样的关系？如何推出这个结论？ ５．狀边形的外角和与狀有关吗？为什么？ ２７ !"#$%&’(复习题１１  １．如图，在△犃犅犆中，犃犇，犃犈分别是边犅犆上的中线 A 和高，犃犈＝２ｃｍ，犛 ＝１．５ｃｍ２．求犅犆和犇犆的长． △犃犅犇 ２．求出下列图形中狓的值． xe B D E C 50e 40e （第１题） xe xe (x 10)e (x 70)e xe （１） （２） （３） (x 10)e xe xe (x 20)e (x 10)e 60e xe 70e （４） （５） （第２题） ３．填表： 多边形的边数 ７ ２０ 内角和 １５×１８０° ２３×１８０° 外角和 ４．从八边形的一个顶点出发，可以作几条对角线？它们将八边形分成几个三角形？ 这些三角形的内角和与八边形的内角和有什么关系？ ５．一个多边形的内角和比四边形的内角和多５４０°，并且这个多边形的各内角都相等． 这个多边形的每个内角等于多少度？  ６．如图，∠犅＝４２°，∠犃＋１０°＝∠１，∠犃犆犇＝６４°．求证犃犅∥犆犇． A D C 64e1 D 42e A （第６题） B B （第７题） C ２８ !"#$%&’( 书书书７．如上页图，在△犃犅犆中，∠犆＝∠犃犅犆＝２∠犃，犅犇是边犃犆上的高．求∠犇犅犆 的度数． ８．如图，在△犃犅犆中，犃犇是高，犃犈，犅犉是角平分线，它们相交于点犗，∠犅犃犆＝５０°， ∠犆＝７０°．求∠犇犃犆和∠犅犗犃的度数． A A F O P D B E D C B C （第８题） （第９题） ９．如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 犃犅＋犃犇＞ ， D 犘犇＋犆犇＞ ． 将不等式左边、右边分别相加，得 E C 犃犅＋犃犇＋犘犇＋犆犇＞ ， 即 犃犅＋犃犆＞ ． １０．如图，五边形犃犅犆犇犈的内角都相等，犇犉⊥犃犅． A F B 求∠犆犇犉的度数． （第１０题）   １１．如图，△犃犅犆的∠犃犅犆和∠犃犆犅的平分线犅犈，犆犉相交于点犌．求证： １ （１）∠犅犌犆＝１８０°－ （∠犃犅犆＋∠犃犆犅）； ２ １ （２）∠犅犌犆＝９０°＋ ∠犃． ２ A A E D F E G B C B F C （第１１题） （第１２题） １２．如图，在四边形犃犅犆犇中，∠犃＝∠犆＝９０°，犅犈平分∠犃犅犆，犇犉平分 ∠犆犇犃．求证犅犈∥犇犉． ２９ !"#$%&’( 书书书第十二章 全等三角形 在我们的周围，经常可以看到形状、大小完 全相同的图形，这样的图形叫做全等形．研究全等 形的性质和判定两个图形全等的方法，是几何学 的一个重要内容．本章将以三角形为例，对这些问 题进行研究． 上一章我们通过推理论证得到了三角形内角 和定理等重要结论．本章中，推理论证将发挥更大 的作用．我们将通过证明三角形全等来证明线段或 角相等，利用全等三角形证明角的平分线的性质． 通过本章学习，你对三角形的认识会更加深入， 推理论证能力会进一步提高． 书书书１２．１ 全等三角形 图１２．１１所示的例子中都有形状、大小相同的图形，你能再举出一些类 似的例子吗？ 图１２．１１  把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺 的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合 吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也 能够完全重合吗？ 可以看到，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合 的两个图形叫做全等形 （ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｆｉｇｕｒｅｓ）． 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 （ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｔｒｉａｎｇｌｅｓ）．  在图１２．１２ （１）中，把△犃犅犆沿直线犅犆平移，得到△犇犈犉． 在图１２．１２ （２）中，把△犃犅犆沿直线犅犆翻折１８０°，得到△犇犅犆． 在图１２．１２ （３）中，把△犃犅犆绕点犃旋转，得到△犃犇犈． 各图中的两个三角形全等吗？ ３１ !"#$%&’()*A E A D B C A D B C E F B C D （１） （２） （３） 图１２．１２ 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变 化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻 全等用符号 “≌”表 折、旋转前后的图形全等． 示，读作 “全等于”． 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶 记两个三角形全等时， 点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的 通常把表示对应顶点的字 角叫做 对应角．例如，图 １２．１２ （１）中的 母写在对应的位置上．例 如，图１２．１２ （２）中的 △犃犅犆和△犇犈犉全等，记作△犃犅犆≌△犇犈犉， △犃犅犆和△犇犅犆全等，点 其中点犃和点犇，点犅和点犈，点犆和点犉是 犃和点犇，点犅和点犅， 对应顶点；犃犅和犇犈，犅犆和犈犉，犃犆和犇犉 点犆和点犆是对应顶点， 是对应边；∠犃和∠犇，∠犅和∠犈，∠犆和∠犉 记作△犃犅犆≌△犇犅犆． 是对应角．  图１２．１２（１）中，△犃犅犆≌△犇犈犉，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形有这样的性质： 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． １．说出图１２．１２（２）、图１２．１２（３）中两个全等三角形 C B 的对应边、对应角． ２．如图，△犗犆犃≌△犗犅犇，点犆和点犅，点犃和点犇 O 是对应顶点．说出这两个三角形中相等的边和角． A （第２题） D ３２ !"#$%&’()*习题１２．１  １．如图，△犃犅犆≌△犆犇犃，犃犅和犆犇，犅犆和犇犃是对应边．写出其他对应边及对 应角． A A B D B M N C C （第１题） （第２题） ２．如图，△犃犅犖≌△犃犆犕，∠犅和∠犆是对应角，犃犅和犃犆是对应边．写出其他 对应边及对应角．  ３．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠１等于多少度？ 54e 1 a c b c 60e b （第３题） ４．如图，△犈犉犌≌△犖犕犎，∠犉和∠犕是对应角．在△犈犉犌中，犉犌是最长边． 在△犖犕犎中，犕犎是最长边．犈犉＝２．１ｃｍ，犈犎＝１．１ｃｍ，犖犎＝３．３ｃｍ． （１）写出其他对应边及对应角； （２）求线段犖犕及线段犎犌的长度． E H M F G N （第４题）   ５．如下页图，△犃犅犆≌△犇犈犆，犆犃和犆犇，犆犅和犆犈是对应边．∠犃犆犇和∠犅犆犈 相等吗？为什么？ ３３ !"#$%&’()*A C D E D 1 2 A E B B C （第５题） （第６题） ６．如图，△犃犈犆≌△犃犇犅，点犈和点犇是对应顶点． （１）写出它们的对应边和对应角； （２）若∠犃＝５０°，∠犃犅犇＝３９°，且∠１＝∠２，求∠１的度数． ３４ !"#$%&’()*１２．２ 三角形全等的判定 我们知道，如果△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，那么它们的对应边相等，对应角相等． 反过来，根据全等三角形的定义，如果△犃犅犆与△犃′犅′犆′满足三条边分别相 等，三个角分别相等，即 犃犅＝犃′犅′，犅犆＝犅′犆′，犆犃＝犆′犃′， ∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′，∠犆＝∠犆′， 就能判定△犃犅犆≌△犃′犅′犆′（图１２．２１）． 一定要满足三条边分别相等，三个角 A A
也分别相等，才能保证两个三角形全等 吗？上述六个条件中，有些条件是相关的． 能否在上述六个条件中选择部分条件，简 B C B
C
捷地判定两个三角形全等呢？ 图１２．２１ 本节我们就来讨论这个问题．  先任意画出一个△犃犅犆．再画一个△犃′犅′犆′，使△犃犅犆与△犃′犅′犆′满 足上述六个条件中的一个 （一边或一角分别相等）或两个 （两边、一边一 角或两角分别相等）．你画出的△犃′犅′犆′与△犃犅犆一定全等吗？ 通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△犃犅犆与 △犃′犅′犆′不一定全等．满足上述六个条件中的三个，能保证△犃犅犆与 △犃′犅′犆′全等吗？ 我们分情况进行讨论．  先任意画出一个△犃犅犆．再画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，犅′犆′＝ 犅犆，犆′犃′＝犆犃．把画好的△犃′犅′犆′剪下来，放到△犃犅犆上，它们全等吗？ ３５ !"#$%&’()*画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝ A A
犃犆，犅′犆′＝犅犆： （１）画犅′犆′＝犅犆； （２）分别以点犅′，犆′为圆心，线段犃犅，犃犆 B C B
C
长为半径画弧，两弧相交于点犃′； 图１２．２２ （３）连接犃′犅′，犃′犆′． 图１２．２２给出了画△犃′犅′犆′的方法，你是这样画的吗？探究２的结果反 映了什么规律？ 由探究２可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 三边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成 “边边边”或 “ＳＳＳ”）． 我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形 木架的形状、大小就不变了．就是说，三角形三条边的长度确定了，这个三角 形的形状、大小也就确定了． 例１ 在如图１２．２３所示的三角形钢架中， A 犃犅＝犃犆，犃犇是连接点犃与犅犆中点犇的支架．求 证△犃犅犇≌△犃犆犇． B D C 分析：要证△犃犅犇≌△犃犆犇，只需看这两个三 图１２．２３ 角形的三条边是否分别相等． 证明：∵ 犇是犅犆的中点， ∴ 犅犇＝犆犇． 在△犃犅犇和△犃犆犇中， 犃犇既是△犃犅犇 的边又是△犃犆犇的边． 烄犃犅＝犃犆， 我们称它为这两个三 烅犅犇＝犆犇， 角形的公共边． 烆犃犇＝犃犇， ∴ △犃犅犇≌△犃犆犇 （ＳＳＳ）． 由三边分别相等判定三角形全等的结论，还可以得到用直尺和圆规作一个角 等于已知角的方法． 已知：∠犃犗犅． 求作：∠犃′犗′犅′，使∠犃′犗′犅′＝∠犃犗犅． ３６ !"#$%&’()* 书书书B
B D D
O C A O
C
A
图１２．２４ 作法：（１）如图１２．２４，以点犗为圆心，任 意长为半径画弧，分别交犗犃，犗犅于点犆，犇； 想一想，为什 （２）画一条射线犗′犃′，以点犗′为圆心，犗犆 么 这 样 作 出 的 长为半径画弧，交犗′犃′于点犆′； ∠犃′犗′犅′和∠犃犗犅 是相等的？ （３）以点犆′为圆心，犆犇长为半径画弧，与 第２步中所画的弧相交于点犇′； （４）过点犇′画射线犗′犅′，则∠犃′犗′犅′＝∠犃犗犅． １．如图，犆是犃犅的中点，犃犇＝犆犈，犆犇＝犅犈．求证△犃犆犇≌△犆犅犈． A M A C O C D N B B E （第１题） （第２题） ２．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠犃犗犅是一个任意角， 在边犗犃，犗犅上分别取犗犕＝犗犖，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 点犕，犖重合．过角尺顶点犆的射线犗犆便是∠犃犗犅的平分线．为什么？  先任意画出一个△犃犅犆．再画出一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝ 犃犆，∠犃′＝∠犃（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△犃′犅′犆′剪 下来，放到△犃犅犆上，它们全等吗？ ３７ !"#$%&’()*E 画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝ C C
犃犆，∠犃′＝∠犃： （１）画∠犇犃′犈＝∠犃； （２）在射线犃′犇上截取犃′犅′＝犃犅，在射线 A B 犃′犈上截取犃′犆′＝犃犆； A
B
D 图１２．２５ （３）连接犅′犆′． 图１２．２５给出了画△犃′犅′犆′的方法．你是这样画的吗？探究３的结果反映 了什么规律？ 由探究３可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成 “边角边”或 “ＳＡＳ”）． 也就是说，三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角 形的形状、大小就确定了． 例２ 如图１２．２６，有一池塘，要测池塘两 端犃，犅的距离，可先在平地上取一个点犆，从 A B 点犆不经过池塘可以直接到达点犃和犅．连接犃犆 1 C 并延长到点犇，使犆犇＝犆犃．连接犅犆并延长到点 2 犈，使犆犈＝犆犅．连接犇犈，那么量出犇犈的长就 E D 是犃，犅的距离．为什么？ 图１２．２６ 分析：如果能证明△犃犅犆≌△犇犈犆，就可以 得出犃犅＝犇犈．由题意可知，△犃犅犆和△犇犈犆 具备 “边角边”的条件． 证明：在△犃犅犆和△犇犈犆中， 烄犆犃＝犆犇， 想一想，∠１＝ 烅∠１＝∠２， ∠２的根据是什么？ 犃犅＝犇犈的根据是 烆犆犅＝犆犈， 什么？ ∴ △犃犅犆≌△犇犈犆（ＳＡＳ）． ∴ 犃犅＝犇犈． 从例２可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线 段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决． ３８ !"#$%&’()* A 如图１２．２７，把一长一短的两根木棍的一端 固定在一起，摆出△犃犅犆．固定住长木棍，转动短 木棍，得到△犃犅犇．这个实验说明了什么？ B C D 图１２．２７ 图１２．２７中的△犃犅犆与△犃犅犇满足两边和其中一边的对角分别相等， 即犃犅＝犃犅，犃犆＝犃犇，∠犅＝∠犅，但△犃犅犆与△犃犅犇不全等．这说明， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． １．如图，两车从南北方向的路段犃犅的犃端出发，分别向东、向西行进相同的距离， 到达犆，犇两地．此时犆，犇到犅的距离相等吗？为什么？ B A D D A C （第１题） B E （第２题） F C ２．如图，点犈，犉在犅犆上，犅犈＝犆犉，犃犅＝犇犆，∠犅＝∠犆．求证∠犃＝∠犇．  先任意画出一个△犃犅犆．再画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，∠犃′＝∠犃， ∠犅′＝∠犅（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△犃′犅′犆′剪下来，放到 △犃犅犆上，它们全等吗？ E D 画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，∠犃′＝∠犃， C C
∠犅′＝∠犅： （１）画犃′犅′＝犃犅； （２）在犃′犅′的同旁画∠犇犃′犅′＝∠犃，∠犈犅′犃′＝ ∠犅，犃′犇，犅′犈相交于点犆′． A B A
B
图１２．２８ ３９ !"#$%&’()*图１２．２８给出了画△犃′犅′犆′的方法．你是这样画的吗？探究４的结果反 映了什么规律？ 由探究４可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成 “角边角”或 “ＡＳＡ”）． 也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角 形的形状、大小就确定了． 例３ 如图１２．２９，点犇在犃犅上，点犈在犃犆上， A 犃犅＝犃犆，∠犅＝∠犆．求证犃犇＝犃犈． 分析：证明△犃犆犇≌△犃犅犈，就可以得出犃犇＝犃犈． 证明：在△犃犆犇和△犃犅犈中， D E 烄∠犃＝∠犃（公共角）， B C 烅犃犆＝犃犅， 图１２．２９ 烆∠犆＝∠犅， ∴ △犃犆犇≌△犃犅犈（ＡＳＡ）． ∴ 犃犇＝犃犈． 例４ 如图１２．２１０，在△犃犅犆和△犇犈犉中，∠犃＝∠犇，∠犅＝∠犈， 犅犆＝犈犉．求证△犃犅犆≌△犇犈犉． A D C F B E 图１２．２１０ 分析：如果能证明∠犆＝∠犉，就可以利用 “角边角”证明△犃犅犆和 △犇犈犉全等．由三角形内角和定理可以证明∠犆＝∠犉． 证明：在△犃犅犆中，∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°， ∴ ∠犆＝１８０°－∠犃－∠犅． 同理 ∠犉＝１８０°－∠犇－∠犈． 又 ∠犃＝∠犇，∠犅＝∠犈， ∴ ∠犆＝∠犉． ４０ !"#$%&’()*在△犃犅犆和△犇犈犉中， 烄∠犅＝∠犈， 烅犅犆＝犈犉， 烆∠犆＝∠犉， ∴ △犃犅犆≌△犇犈犉（ＡＳＡ）． 因此，我们可以得到下面的结论： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （可以简写成 “角角边”或 “ＡＡＳ”）． 也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这 个三角形的形状、大小就确定了．  三角分别相等的两个三角形全等吗？解答上述问题后，把三角形全等 的判定方法做一个小结． １．如图，犃犅⊥犅犆，犃犇⊥犇犆，垂足分别为犅，犇，∠１＝∠２．求证犃犅＝犃犇． A A 1 2 B C D F B D C E （第１题） （第２题） ２．如图，要测量池塘两岸相对的两点犃，犅的距离，可以在池塘外取犃犅的垂线 犅犉上的两点犆，犇，使犅犆＝犆犇，再画出犅犉的垂线犇犈，使犈与犃，犆在一 条直线上，这时测得犇犈的长就是犃犅的长．为什么？  对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这 两个直角三角形就全等了？ ４１ !"#$%&’()* 书书书由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一直角边及其相对 （或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等， 这两个直角三角形就全等了．如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直 角三角形全等吗？  任意画出一个Ｒｔ△犃犅犆，使∠犆＝９０°．再画一个Ｒｔ△犃′犅′犆′，使 ∠犆′＝９０°，犅′犆′＝犅犆，犃′犅′＝犃犅．把画好的Ｒｔ△犃′犅′犆′剪下来，放到 Ｒｔ△犃犅犆上，它们全等吗？ N 画一个Ｒｔ△犃′犅′犆′，使∠犆′＝９０°，犅′犆′＝ 犅犆，犃′犅′＝犃犅： A A
（１）画∠犕犆′犖＝９０°； （２）在射线犆′犕上截取犅′犆′＝犅犆； （３）以点犅′为圆心，犃犅长为半径画弧，交 B C M B
C
射线犆′犖于点犃′； 图１２．２１１ （４）连接犃′犅′． 图１２．２１１给出了画Ｒｔ△犃′犅′犆′的方法．你是这样画的吗？探究５的结果 反映了什么规律？ 由探究５可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （可以简写成 “斜边、 直角边”或 “ＨＬ”）． 例５ 如图１２．２１２，犃犆⊥犅犆，犅犇⊥犃犇，垂足分别为犆，犇，犃犆＝ 犅犇．求证犅犆＝犃犇． 证明：∵ 犃犆⊥犅犆，犅犇⊥犃犇， ∴ ∠犆与∠犇都是直角． D C 在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犅犃犇中， 烄犃犅＝犅犃， 烅 烆犃犆＝犅犇， A B 图１２．２１２ ∴ Ｒｔ△犃犅犆≌Ｒｔ△犅犃犇 （ＨＬ）． ∴ 犅犆＝犃犇． ４２ !"#$%&’()* 书书书１．如图，犆是路段犃犅的中点，两人从犆同时出发，以相同的速度分别沿两条直 线行走，并同时到达犇，犈两地．犇犃⊥犃犅，犈犅⊥犃犅．犇，犈到路段犃犅的距 离相等吗？为什么？ D A C D C F E E B A B （第１题） （第２题） ２．如图，犃犅＝犆犇，犃犈⊥犅犆，犇犉⊥犅犆，垂足分别为犈，犉，犆犈＝犅犉．求证犃犈＝犇犉． 习题１２．２  １．如图，犃犅＝犃犇，犆犅＝犆犇．△犃犅犆和△犃犇犆全等吗？为什么？ A A D E C B B D C （第１题） （第２题） ２．如图，犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈．求证∠犅＝∠犆． ３．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具 （卡钳）． 在图中，要测量工件内槽宽犃犅，只要测量哪些量？为什么？ D A B
1 B 3 A 2 4 O A
B C （第３题） （第４题） ４３ !"#$%&’()* 书书书４．如上页图，∠１＝∠２，∠３＝∠４．求证犃犆＝犃犇． ５．如图，∠１＝∠２，∠犅＝∠犇．求证犃犅＝犆犇． C A D 1 E D 2 B C A B （第５题） （第６题） ６．如图，从犆地看犃，犅两地的视角∠犆是锐角，从犆地到犃，犅两地的距离相等． 犃地到路段犅犆的距离犃犇与犅地到路段犃犆的距离犅犈相等吗？为什么？ ７．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犃犇是高．求证：（１）犅犇＝犆犇；（２）∠犅犃犇＝∠犆犃犇． A A D B D C C B （第７题） （第８题） ８．如图，犃犆⊥犆犅，犇犅⊥犆犅，垂足分别为犆，犅，犃犅＝犇犆．求证∠犃犅犇＝∠犃犆犇．  ９．如图，点犅，犈，犆，犉在一条直线上，犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉，犅犈＝犆犉．求 证∠犃＝∠犇． A D D C O B E C F A B （第９题） （第１０题） １０．如图，犃犆和犅犇相交于点犗，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇． A 求证犇犆∥犃犅． １１．如图，点犅，犉，犆，犈在一条直线上，犉犅＝犆犈， C B E 犃犅∥犈犇，犃犆∥犉犇．求证：犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉． F D （第１１题） ４４ !"#$%&’()*  １２．如图，犇是犃犅上一点，犇犉交犃犆于点犈，犇犈＝犉犈，犉犆∥犃犅．犃犈与犆犈有 什么关系？证明你的结论． A A F E E D B C B D C （第１２题） （第１３题） １３．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇是犅犆的中点，点犈在犃犇上．找出图中 的全等三角形，并证明它们全等． ４５ !"#$%&’()*  探究三角形全等的条件 用 《几何画板》软件的绘图功能可以方便地根据给定条件画出三角形，还可以测量三 角形中边和角的大小，从而帮助我们探究三角形全等的条件． １．按照下面的步骤画一个△犃犅犆，使得犃犅＝２ｃｍ，犅犆＝５ｃｍ，犃犆＝６ｃｍ． m BAC 51.34e A m ABC 110.46e m BCA 18.20e mAB 2.00 cm mBC 5.00 cm B C mCA 6.00 cm 图１ （１）任意画一条直线犾，在犾上取两点犅，犆，使犅犆＝５ｃｍ； （２）以点犆为圆心，６ｃｍ为半径画一个圆； （３）以点犅为圆心，２ｃｍ为半径画一个圆，与半径为６ｃｍ的圆交于两个点，取其中 的一个点为犃； （４）连接犃犅，犅犆，犆犃，隐藏所有的圆和直线犾． 测量△犃犅犆的三条边的长度和三个角的大小．你画出的三角形及测量结果与图１相 同吗？由此你能得到什么结论？ ２．按照下面的步骤画一个△犃犅犆，使得犃犅＝４ｃｍ，犅犆＝５ｃｍ，∠犃犅犆＝７５°． A m BAC 60.74e m ABC 75.00e m BCA 44.26e mAB 4.00 cm mBC 5.00 cm mCA 5.54 cm B C 图２ （１）任意画一条直线犾，在犾上取两点犅，犆，使犅犆＝５ｃｍ； ４６ !"#$%&’()*（２）连接犅犆，以点犅为中心，将犅犆逆时针旋转７５°，得到犅犆′； （３）在犅犆′上取点犃，使犃犅＝４ｃｍ； （４）连接犃犅，犆犃，隐藏直线犾和犅犆′． 测量△犃犅犆的三条边的长度和三个角的大小．你画出的三角形及测量结果与图２相 同吗？由此你能得到什么结论？ ３．按照下面的步骤画一个△犃犅犆，使得∠犃＝４５°，∠犅＝７５°，∠犆＝６０°． A m BAC 45.00e m ABC 75.00e m BCA 60.00e mAB 6.12 cm mBC 5.00 cm mCA 6.83 cm B C 图３ （１）任意画一条直线犾，在犾上任意取两点犅，犆，连接犅犆； （２）以点犅为中心，将犅犆逆时针旋转７５°，得到犅犆′； （３）以点犆为中心，将犅犆顺时针旋转６０°，得到犆犅′； （４）记犅犆′与犆犅′的交点为犃，连接犃犅，犆犃，隐藏直线犾和犅犆′，犆犅′． 测量△犃犅犆的三条边的长度和三个角的大小．你画出的三角形及测量结果与图３相 同吗？由此你能得到什么结论？ ４．分别按 “角边角”“角角边”和 “边边角”的条件画几个三角形，每组三角形全等 吗？请你总结一下判定三角形全等的条件． ４７ !"#$%&’()*１２．３ 角的平分线的性质 A  图１２．３１是一个平分角的仪器，其中犃犅＝ 犃犇，犅犆＝犇犆．将点犃放在角的顶点，犃犅和犃犇 D B 沿着角的两边放下，沿犃犆画一条射线犃犈，犃犈就 是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？ C E 图１２．３１ 这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法． 已知：∠犃犗犅． 求作：∠犃犗犅的平分线． 作法：（１）以点犗为圆心，适当长为半径画弧， A 交犗犃于点犕，交犗犅于点犖． M １ （２）分别以点犕，犖为圆心，大于 犕犖的长 C ２ O B 为半径画弧，两弧在∠犃犗犅的内部相交于点犆． N （３）画射线犗犆．射线犗犆即为所求 （图１２．３２）． 图１２．３２  如 图 １２．３３，任 意 作 一 个 角 ∠犃犗犅，作 出 A ∠犃犗犅的平分线犗犆．在犗犆上任取一点犘，过点犘 D 画出犗犃，犗犅的垂线，分别记垂足为犇，犈，测量 C P 犘犇，犘犈并作比较，你得到什么结论？在犗犆上再取 O B 几个点试一试． E 图１２．３３ 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么 性质？ ４８ !"#$%&’()*我们猜想角的平分线有以下性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 下面，我们利用三角形全等证明这个性质．首先，要分清其中的 “已知” 和 “求证”．显然，已知为 “一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为 “这 个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在 证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证． 如图１２．３４，∠犃犗犆＝∠犅犗犆，点犘在犗犆上，犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，垂 足分别为犇，犈．求证犘犇＝犘犈． 证明：∵ 犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅， A ∴ ∠犘犇犗＝∠犘犈犗＝９０°． D 在△犘犇犗和△犘犈犗中， C 烄∠犘犇犗＝∠犘犈犗， P O B 烅∠犃犗犆＝∠犅犗犆， E 图１２．３４ 烆犗犘＝犗犘， ∴ △犘犇犗≌△犘犈犗（ＡＡＳ）． ∴ 犘犇＝犘犈． 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 １．明确命题中的已知和求证； ２．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； ３．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．  如图１２．３５，要在犛区建一个集贸市场， 使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁 路的交叉处５００ｍ．这个集贸市场应建于何处 （在图上标出它的位置，比例尺为１∶２００００）？ S 图１２．３５ ４９ !"#$%&’()*我们知道，角的平分线上的点到角的两边的 距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的 平分线上呢？利用三角形全等，可以得到 按照上述证明命 题的步骤，自己证一 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 证这个结论． 平分线上． 根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何 处了． A 例 如图１２．３６，△犃犅犆的角平分线犅犕， D N F 犆犖相交于点犘．求证：点犘到三边犃犅，犅犆， P M 犆犃的距离相等． B E C 证明：过点犘作犘犇，犘犈，犘犉分别垂直于 图１２．３６ 犃犅，犅犆，犆犃，垂足分别为犇，犈，犉． ∵ 犅犕 是△犃犅犆的角平分线，点犘在 犅犕上， 想一想，点犘 ∴ 犘犇＝犘犈． 在∠犃的平分线上 吗？这说明三角形 同理 犘犈＝犘犉． 的三条角平分线有 ∴ 犘犇＝犘犈＝犘犉． 什么关系？ 即点犘到三边犃犅，犅犆，犆犃的距离相等． １．如图，在直线犕犖上求作一点犘，使点犘到射线犗犃和犗犅的距离相等． B D C M N P E O A A B （第１题） （第２题） ２．如图，△犃犅犆的两个外角的平分线犅犇与犆犈相交于点犘．求证：点犘到三边 犃犅，犅犆，犆犃所在直线的距离相等． ５０ !"#$%&’()* 书书书习题１２．３  １．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠犃犗犅的两边上，分别取犗犕＝犗犖，再分别 过点犕，犖作犗犃，犗犅的垂线，交点为犘，画射线犗犘，则犗犘平分∠犃犗犅．为什么？ A M A P O N E F B B D C （第１题） （第２题） ２．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，且犅犇＝犆犇，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆， 垂足分别为犈，犉．求证犈犅＝犉犆． ３．如图，犆犇⊥犃犅，犅犈⊥犃犆，垂足分别为犇，犈，犅犈，犆犇相交于点犗，犗犅＝ 犗犆．求证∠１＝∠２． A A 1 2 D E P O B E D F C B C （第３题） （第４题）  ４．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，犘是犃犇 A 上的一点，犘犈∥犃犅，交犅犆于点犈，犘犉∥犃犆，交 D C 犅犆于点犉．求证：点犇到犘犈和犘犉的距离相等． F ５．如图，犗犆是∠犃犗犅的平分线，犘是犗犆上的一点， P 犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，垂足分别为犇，犈．犉是犗犆上 O E B （第５题） 的另一点，连接犇犉，犈犉．求证犇犉＝犈犉． ５１ !"#$%&’()*  ６．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别是犈，犉，连 接犈犉，犈犉与犃犇相交于点犌．犃犇与犈犉垂直吗？证明你的结论． D C A E E G F B D C A B （第６题） （第７题） ７．如图，∠犅＝∠犆＝９０°，犈是犅犆的中点，犇犈平分∠犃犇犆．求证：犃犈是 ∠犇犃犅的平分线．（提示：过点犈作犈犉⊥犃犇，垂足为犉．） ５２ !"#$%&’()*    图１是两个根据全等形设计的图案．仔细观察一下，每个图案中有哪 些全等形？有哪些全等三角形？ 注意一下你的身边，哪些是全等形？哪些是全等三角形？各找几个例 子与同学交流． 图１ 




 ?  如图２，四边形犃犅犆犇中，犃犇＝犆犇，犃犅＝犆犅．我 D 们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做 “筝形”．请你 自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对 A C 角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的 猜想． B 图２ ５３ !"#$%&’()*小 结 一、本章知识结构图     
          二、回顾与思考 本章我们学习了全等三角形的性质和判定方法．如果两个三角形全等，那 么它们的对应元素 （对应的边、角等）都相等，这就是全等三角形的性质；判 定三角形全等的条件是 “边边边”“边角边”“角边角”或 “角角边”，而对于 直角三角形的全等，还可以用 “斜边、直角边”来判定． 用全等三角形的定义判定三角形全等，需要六个条件．通过画图找规律、 推理论证等方法，我们减少条件，找到了更简便的判定方法．由此看出，实验 操作和推理论证都能帮助我们获得新的结论． 利用全等三角形知识，通过推理论证，我们得到了角的平分线的性质．今 后遇到证明线段相等或角相等的问题，可以尝试先判定两个三角形全等，再利 用其对应边相等或对应角相等解决问题． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？ ２．全等三角形有什么性质？ ３．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定 两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等的条件是什么？ ４．学习本章后，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证 明角的平分线的性质吗？ ５．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？ ５４ !"#$%&’()*复习题１２  １．图中有三个正方形，请你指出图中所有的全等三角形． A D E B F C （第１题） （第２题） ２．如图，在长方形犃犅犆犇中，犃犉⊥犅犇，垂足为犈，犃犉交犅犆于点犉，连接犇犉． （１）图中有全等三角形吗？ （２）图中有面积相等但不全等的三角形吗？ ３．如图，犆犃＝犆犇，∠１＝∠２，犅犆＝犈犆．求证犃犅＝犇犈． A D C D E 2 1 B C A B （第３题） （第４题） ４．如图，海岸上有犃，犅两个观测点，点犅在点犃的正东方，海岛犆在观测点犃的 正北方，海岛犇在观测点犅的正北方．如果从观测点犃看海岛犆，犇的视角∠犆犃犇 与从观测点犅看海岛犆，犇的视角∠犆犅犇相等，那么海岛犆，犇到观测点犃，犅 所在海岸的距离犆犃，犇犅相等．请你说明理由． ５．如图，在△犃犅犆中，犇是犅犆的中点，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别是犈，犉， 犅犈＝犆犉．求证：犃犇是△犃犅犆的角平分线． A E F B （第５ D题） C （第６题） ６．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度 假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ ５５ !"#$%&’()* ７．如图，两车从路段犃犅的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时 间后分别到达犆，犇两地．犆，犇两地到路段犃犅的距离相等吗？为什么？ A A D C E F D B B E C F （第７题） （第８题） ８．如图，犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉，犅犈＝犆犉．求证：犃犅∥犇犈，犃犆∥犇犉． ９．如图，∠犃犆犅＝９０°，犃犆＝犅犆，犃犇⊥犆犈，犅犈⊥犆犈，垂足分别为犇，犈， 犃犇＝２．５ｃｍ，犇犈＝１．７ｃｍ．求犅犈的长． B E C D D C A A E B （第９题） （第１０题） １０．如图的三角形纸片中，犃犅＝８ｃｍ，犅犆＝６ｃｍ，犃犆＝５ｃｍ．沿过点犅的直线折 叠这个三角形，使点犆落在犃犅边上的点犈处，折痕为犅犇．求△犃犈犇的周长． １１．如图，△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，犃犇，犃′犇′分别是△犃犅犆，△犃′犅′犆′的对应边上的 中线．犃犇与犃′犇′有什么关系？证明你的结论． A A
A B D C B
D
C
B D C （第１１题） （第１２题）   １２．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线．求证：犛 ∶犛 ＝犃犅∶犃犆． △犃犅犇 △犃犆犇 １３．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三 角形全等． ５６ !"#$%&’()*第十三章 轴对称 我们生活在一个充满对称的世界中：许多建 筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对 称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生 长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称 给我们带来多少美的感受！ 轴对称是一种重要的对称．本章我们将从生活 中的对称出发，学习几何图形的轴对称，并利用 轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得 到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法， 由此可以体会图形变化在几何研究中的作用． 让我们一起探索轴对称的奥秘吧！ 书书书１３．１ 轴对称 １３．１．１ 轴对称 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至 日常生活用品中，人们都可以找到对称的例子 （图１３．１１）． 图１３．１１ 如图１３．１２，把一张纸对折，剪出 一个图案 （折痕处不要完全剪断），再打 开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花． 观察得到的窗花，你能发现它们有什么 共同的特点吗？ 像窗花一样，如果一个平面图形沿一 条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形就叫做轴对称图形 （ａｘｉ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｆｉｇｕｒｅ），这条直线就是它的对 称轴 （ａｘｉｓｏｆｓｙｍｍｅｔｒｙ）．这时，我们也 说这个图形关于这条直线 （成轴）对称． 图１３．１２ 你能举出一些轴对称图形的例子吗？ ５８ !"#$%&’( 下面的每对图形有什么共同特点？ A B C 图１３．１３ 把图１３．１３中的每一对图形沿着虚线折叠， 左边的图形能与右边的图形重合． 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠， 请你标出图１３．１３ 如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个 中点犃，犅，犆的对称 图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线叫做 点犃′，犅′，犆′． 对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 （ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｐｏｉｎｔｓ）．你能再举出一些两个图形成 轴对称的例子吗？  成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两 个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴 对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称． M  A A
如图１３．１４，△犃犅犆和△犃′犅′犆′关于直线 P 犕犖对称，点犃′，犅′，犆′分别是点犃，犅，犆 的对称点，线段犃犃′，犅犅′，犆犆′与直线犕犖有 B B
什么关系？ C C
N 图１３．１４ ５９ !"#$%&’(图１３．１４中，点犃，犃′是对称点，设犃犃′交对称轴犕犖于点犘，将 △犃犅犆或△犃′犅′犆′沿犕犖折叠后，点犃与犃′重合．于是有 犃犘＝犘犃′，∠犕犘犃＝∠犕犘犃′＝９０°． 对于其他的对应点，如点犅与犅′，点犆与犆′也有类似的情况．因此，对 称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线 （ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｂｉｓｅｃ l ｔｏｒ）．这样，我们就得到图形轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称 A A
轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对 B B
应点所连线段的垂直平分线．例如图１３．１５中，犾 垂直平分犃犃′，犾垂直平分犅犅′． 图１３．１５ １．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． （１） （２） （３） （４） （５） （第１题） ２．如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴， 并找出一对对称点． （１） （２） （３） （第２题） ６０ !"#$%&’( 书书书１３．１．２ 线段的垂直平分线的性质  P 3 如图１３．１６，直线犾垂直平分线段犃犅，犘， P 2 １ P 犘，犘，…是犾上的点，分别量一量点犘，犘， 1 ２ ３ １ ２ A B 犘，…到点犃与点犅的距离，你有什么发现？ ３ l 图１３．１６ 可以发现，点犘，犘，犘，…到点犃的距离与它们到点犅的距离分别相 １ ２ ３ 等．如果把线段犃犅沿直线犾对折，线段犘犃与犘犅、线段犘犃与犘犅、线段 １ １ ２ ２ 犘犃与犘犅……都是重合的，因此它们也分别相等． ３ ３ 由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质． 如图１３．１７，直线犾⊥犃犅，垂足为犆，犃犆＝犆犅，点犘在犾上．求 证犘犃＝犘犅． 证明：∵ 犾⊥犃犅， l ∴ ∠犘犆犃＝∠犘犆犅． P 又 犃犆＝犆犅，犘犆＝犘犆， ∴ △犘犆犃≌△犘犆犅（ＳＡＳ）． A B C ∴ 犘犃＝犘犅． 图１３．１７ 反过来，如果犘犃＝犘犅，那么点犘是否在线段犃犅的垂直平分线上呢？ 通过证明可以得到： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 你能证明这个 直平分线上． 结论吗？ 从上面两个结论可以看出：在线段犃犅的垂直 平分线犾上的点与犃，犅的距离都相等；反过来， 与犃，犅的距离相等的点都在犾上，所以直线犾可 以看成与两点犃，犅的距离相等的所有点的集合． ６１ !"#$%&’(例１ 尺规作图：经过已知直线外一点作这条 C 直线的垂线． 已知：直线犃犅和犃犅外一点犆（图１３．１８） D E 求作：犃犅的垂线，使它经过点犆． A K B 作法：（１）任意取一点犓，使点犓和点犆在 F 图１３．１８ 犃犅的两旁． （２）以点犆为圆心，犆犓长为半径作弧，交 犃犅于点犇和犈． １ （３）分别以点犇和点犈为圆心，大于 犇犈 想一想，为什 ２ 么直线犆犉就是所 的长为半径作弧，两弧相交于点犉． 求作的垂线？ （４）作直线犆犉． 直线犆犉就是所求作的垂线． １．如图，犃犇⊥犅犆，犅犇＝犇犆，点犆在犃犈的垂直平分线上．犃犅，犃犆，犆犈的 长度有什么关系？犃犅＋犅犇与犇犈有什么关系？ A A M B D C E B C （第１题） （第２题） ２．如图，犃犅＝犃犆，犕犅＝犕犆．直线犃犕是线段犅犆的垂直平分线吗？  有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形， 你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平 分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线， 就可以得到这两个图形的对称轴． ６２ !"#$%&’(例２ 如图１３．１９（１），点犃和点犅关于某条直线成轴对称，你能作出这 条直线吗？ C A B A B D （１） （２） 图１３．１９ 分析：我们只要连接点犃和点犅，作出线段犃犅的垂直平分线，就可以 得到点犃和点犅的对称轴．为此作出到点犃，犅距离相等的两点，即线段犃犅 的垂直平分线上的两点，从而作出线段犃犅的垂直平分线． 作法：如图１３．１９（２）． １ （１）分别以点犃和点犅为圆心，大于 犃犅的 ２ 这个作法实际上 就是线段垂直平分线 长为半径作弧 （想一想为什么），两弧相交于犆， 的尺规作图．我们也可 犇两点； 以用这种方法确定线 （２）作直线犆犇． 段的中点． 犆犇就是所求作的直线． 同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组 对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就 得到此图形的对称轴． 例如，对于图１３．１１０中的五角星，我们可 以找出它的一对对应点犃和犃′，连接犃犃′，作出 A A
线段犃犃′的垂直平分线犾，则犾就是这个五角星的 一条对称轴． 类似地，你能作出这个五角星的其他对称 l 轴吗？ 图１３．１１０ ６３ !"#$%&’(１．作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ （第１题） ２．如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ A B C D （第２题） （第３题） ３．如图，与图形Ａ成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴． 习题１３．１  １．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它的对称轴吗？ （第１题） ２．下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴． （第２题） ６４ !"#$%&’(３．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有 几条对称轴？ A A
1 2 3 C B B
C
l （第３题） （第４题） ４．如图，△犃犅犆和△犃′犅′犆′关于直线犾对称，∠犅＝９０°，犃′犅′＝６ｃｍ．求∠犃′犅′犆′ 的度数和犃犅的长． ５．如图，△犃犅犆和△犃′犅′犆′关于直线犾对称，这两个三角形全等吗？一般地，如果 两个三角形全等，那么它们一定关于某条直线对称吗？ A A
A B B
E C C
l B D C （第５题） （第６题） ６．如图，在△犃犅犆中，犇犈是犃犆的垂直平分线，犃犈＝３ｃｍ，△犃犅犇的周长为 １３ｃｍ，求△犃犅犆的周长．  ７．平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ ８．如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？ c d e A C b f O a B D E （第８题） （第９题） ６５ !"#$%&’( 书书书９．如上页图，犃犇与犅犆相交于点犗，犗犃＝犗犆，∠犃＝∠犆，犅犈＝犇犈．求证：犗犈 垂直平分犅犇． １０．如图，某地由于居民增多，要在公路犾上增加一个公共汽车站，犃，犅是路边两个 新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？ A A
B B B
A C C
l l （第１０题） （第１１题） １１．如图，△犃犅犆与△犃′犅′犆′关于直线犾对称，对应线段犃犅和犃′犅′所在的直线相 交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴犾有什么 关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴犾有什么关系？再找几个成 轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？   １２．如图，电信部门要在犛区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个 城镇犃，犅的距离必须相等，到两条高速公路犿和狀的距离也必须相等．发射塔应 修建在什么位置？在图上标出它的位置． m A S B O P A B C n （第１２题） （第１３题） １３．如图，在△犃犅犆中，边犃犅，犅犆的垂直平分线相交于点犘． （１）求证犘犃＝犘犅＝犘犆； （２）点犘是否也在边犃犆的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ ６６ !"#$%&’(１３．２ 画轴对称图形 如图１３．２１，在一张半透明的纸的左边部分，画 一只左脚印．把这张纸对折后描图，打开对折的纸， 就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴 P P
对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任 意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请 l 你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论． 图１３．２１  由一个平面图形可以得到与它关于一条直线犾对称的图形，这个图形 与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一 点关于直线犾的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．  如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称 的图形呢？ 例１ 如图１３．２２（１），已知△犃犅犆和直线犾，画出与△犃犅犆关于直线犾 对称的图形． 分析：△犃犅犆可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点 关于直线犾的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形． B B C C A A l l O A
C
B
（１） （２） 图１３．２２ ６７ !"#$%&’( 书书书画法：（１）如图１３．２２（２），过点犃画直线犾 的垂线，垂足为犗，在垂线上截取犗犃′＝犗犃， 犃′就是点犃关于直线犾的对称点； 画好后，你也可以 通过折叠的方法验证 （２）同理，分别画出点犅，犆关于直线犾的 一下． 对称点犅′，犆′； （３）连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，则△犃′犅′犆′ 即为所求．  几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一 些特殊点 （如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形 的轴对称图形． １．如图，把下列图形补成关于直线犾对称的图形． l l l （第１题） ２．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部 分能够重合，哪些部分不能重合． 下面，我们探究在直角坐标系中，分别以狓轴和狔轴为对称轴时，一对对 称点的坐标之间的关系． ６８ !"#$%&’( 图１３．２３是一幅老北京城的示意 y 图，其中西直门和东直门是关于中轴 线对称的．如果以天安门为原点，分 (3.5
4) 别以长安街和中轴线为狓轴和狔轴建 立平面直角坐标系，根据如图所示的 东直门的坐标，你能说出西直门的坐  x 标吗？ 图１３．２３ 在如图１３．２４的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的 对称点，并把它们的坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律， 再和同学讨论一下． （ ） １ 已知点 犃（２，－３） 犅（－１，２）犆（－６，－５）犇 ，１ 犈（４，０） ２ 关于狓轴的对称点 犃′（ ， ）犅′（ ， ）犆′（ ， ）犇′（ ， ）犈′（ ， ） 关于狔轴的对称点 犃″（ ， ）犅″（ ， ）犆″（ ， ）犇″（ ， ）犈″（ ， ） y 5 4 3 再找几个点，分别 2 画出它们的对称点，检 1 验一下你发现的规律． -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 图１３．２４ ６９ !"#$%&’( 点（狓，狔）关于狓轴对称的点的坐标为（狓，－狔）； 点（狓，狔）关于狔轴对称的点的坐标为（－狓，狔）． 利用上述规律，我们也可以很容易地在平面直角坐标系中画出与一个图形 关于狓轴或狔轴对称的图形． 例２ 如图１３．２５，四边形犃犅犆犇的四个顶点的坐标分别为犃（－５，１）， 犅（－２，１），犆（－２，５），犇（－５，４），分别画出与四边形犃犅犆犇关于狔轴和 狓轴对称的图形． 解：点（狓，狔）关于狔轴对称的点的坐标为（－狓，狔），因此四边形犃犅犆犇 的顶点犃，犅，犆，犇关于狔轴对称的点分别为犃′（ ， ），犅′（ ， ），犆′（ ， ），犇′（ ， ），依次连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犇′，犇′犃′， 就可得到与四边形犃犅犆犇关于狔轴对称的四边形犃′犅′犆′犇′． 类似地，请你在图１３．２５上画出与四边形犃犅犆犇关于狓轴对称的图形． y C 5 C
D 4 D
对于这类问题， 3 只要先求出已知图形 2 中的一些特殊点 （如 A B 1 B
A
多边形的顶点）的对 -5 -4 -3-2-1O 1 2 3 4 5 x -1 称点的坐标，描出并 -2 连接这些点，就可以 -3 得到这个图形关于坐 -4 -5 标轴对称的图形． 图１３．２５ １．分别写出下列各点关于狓轴和狔轴对称的点的坐标： （－２，６），（１，－２），（－１，３），（－４，－２），（１，０）． ７０ !"#$%&’(２．如图，△犃犅犗关于狓轴对称，点犃的坐标为（１，－２），写出点犅的坐标． y y 3 3 2 B C(-3,2) 2 1 A(-4,1) 1 -2 -1O 1 2 3x -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -1 -1 B(-1,-1) -2 A(1,-2) -2 -3 （第２题） （第３题） ３．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△犃犅犆关于狓轴和 狔轴对称的图形． 习题１３．２  １．如图，将各图形补成关于直线犾对称的图形． l l l （第１题） ２．分别写出下列各点关于狓轴和狔轴对称的点的坐标： （３，６），（－７，９），（６，－１），（－３，－５），（０，１０）． ３．如图，以正方形犃犅犆犇的中心为原点建立平面直角坐标系．点犃的坐标为（１，１）， 写出点犅，犆，犇的坐标． y y D A(1,1) A(0,3) C(4,3) O x O x B(3,-2) C B （第３题） （第４题） ７１ !"#$%&’( 书书书４．如上页图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出△犃犅犆关于狓轴和 狔轴对称的图形．  ５．根据下列点的坐标的变化，判断它们进行了怎样的运动： （１）（－１，３）→（－１，－３）； （２）（－５，－６）→（－５，－１）； （３）（３，４）→（－３，４）； （４）（－２，３）→（２，－３）． ６．如图，小球起始时位于（３，０）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所 示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线犾对称的点．如 果小球起始时位于（１，０）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹． l y 4 3 2 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 O （第６题）   ７．如图，分别作出△犘犙犚关于直线犿 （直线犿上各点的横坐标都为１）和直线狀 （直线狀上各点的纵坐标都为－１）对称的图形．它们的对应点的坐标之间分别有 什么关系？ 犙 y m 5 4 P3 2 R 1 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 n -2 -3 -4 -5 （第７题） ７２ !"#$%&’(  用轴对称进行图案设计 利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以直观地发现轴对称的性质，并利用轴 对称进行图案设计．下面以 《几何画板》软件为例说明． 如图１，任意画一个图形，作这个图形关于直线犾对称的图形，改变直线犾的位置， 或者改变其中一个图形的位置，通过观察可以得到对应点所连线段与对称轴的关系． l l 图１ 如图２，画一个△犃犅犆，以狔轴为对称轴作轴对称图形，得到△犃′犅′犆′，度量点犃， 犃′的坐标，可以观察它们的坐标有什么关系；再度量点犅，犅′的坐标，同样可以观察它 们的坐标有什么关系． y 8 A
A 7 B:(-4.16,1.51) A:(2.54,7.07) 6 B
:(4.16,1.51) A
: (-2.54,7.07) 5 4 3 2 B B
1 -8-7-6 -5-4-3-2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 8x -1 -2 C:(-2.68,-2.57) C C
C
:(2.68,-2.57) 图２ 改变三角形的位置，观察它们的坐标有什么变化；再分别度量点犃，犃′，犅，犅′的 ７３ !"#$%&’(坐标，观察它们的坐标有什么关系．由此我们可以得到关于狔轴对称的点的坐标的关系． 用同样的方法，可以得到关于狓轴对称的点的坐标关系． 我们可以利用多次轴对称进行下面的图案设计． 对称轴平行，如图３． 图３ 对称轴不平行，如图４． 图４ 请你利用上面的方法设计一些图案，并与同学交流． ７４ !"#$%&’(１３．３ 等腰三角形 １３．３．１ 等腰三角形 我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形 （ｉｓｏｓｃｅｌｅｓｔｒｉａｎｇｌｅ）．下面， 我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形的性质．  如图１３．３１，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分， 再把它展开，得到的△犃犅犆有什么特点？ B A D C 图１３．３１ 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△犃犅犆中犃犅＝犃犆，所以 △犃犅犆是等腰三角形．  把剪出的等腰三角形犃犅犆沿折痕对折，找出其中重合的线段和角． 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的 猜想． 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一 折．你的猜想仍然成立吗？ ７５ !"#$%&’(我们可以发现等腰三角形的性质： 性质１ 等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）； 性质２ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成 “三线合一”）． 由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质． 如图１３．３２，△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，作底边犅犆的中线犃犇． ∵ 烄犃犅＝犃犆， A 烅犅犇＝犆犇， 烆犃犇＝犃犇， ∴ △犅犃犇≌△犆犃犇 （ＳＳＳ）． ∴ ∠犅＝∠犆． 这样，我们就证明了性质１． B 图１３ D ．３２ C 由△犅犃犇≌△犆犃犇，还可得出∠犅犃犇＝∠犆犃犇，∠犅犇犃＝∠犆犇犃，从 而犃犇⊥犅犆．这也就证明了等腰三角形犃犅犆底边上的中线犃犇平分顶角∠犃 并垂直于底边犅犆． 用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于 底边，底边上的高平分顶角并且平分底边．这也就证明了性质２． 从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可 以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 （顶角平分线、底边上的 高）所在直线就是它的对称轴． 例１ 如图１３．３３，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇在犃犆上，且犅犇＝ 犅犆＝犃犇．求△犃犅犆各角的度数． 解：∵ 犃犅＝犃犆，犅犇＝犅犆＝犃犇， A ∴ ∠犃犅犆＝∠犆＝∠犅犇犆， ∠犃＝∠犃犅犇 （等边对等角）． 设∠犃＝狓，则 D ∠犅犇犆＝∠犃＋∠犃犅犇＝２狓， 从而 B C 图１３．３３ ∠犃犅犆＝∠犆＝∠犅犇犆＝２狓． 于是在△犃犅犆中，有 ７６ !"#$%&’(∠犃＋∠犃犅犆＋∠犆＝狓＋２狓＋２狓＝１８０°． 解得狓＝３６°． 所以，在△犃犅犆中，∠犃＝３６°，∠犃犅犆＝∠犆＝７２°． １．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数． 36° 120° （１） （２） （第１题） ２．如图，△犃犅犆是等腰直角三角形 （犃犅＝犃犆，∠犅犃犆＝９０°），犃犇是底边犅犆 上的高．标出∠犅，∠犆，∠犅犃犇，∠犇犃犆的度数，并写出图中所有相等的线段． A A B D C B D C （第２题） （第３题） ３．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犇＝犇犆，∠犅犃犇＝２６°．求∠犅和∠犆的度数．  我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等． 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 如图１３．３４，在△犃犅犆中，∠犅＝∠犆． A 作△犃犅犆的角平分线犃犇． 1 2 在△犅犃犇和△犆犃犇中， 烄∠１＝∠２， 烅∠犅＝∠犆， 烆犃犇＝犃犇， B 图１３ D ．３４ C ∴ △犅犃犇≌△犆犃犇 （ＡＡＳ）． ∴ 犃犅＝犃犆． ７７ !"#$%&’(由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成 “等角对等边”）． 例２ 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个 三角形是等腰三角形． 已知：∠犆犃犈是△犃犅犆的外角，∠１＝∠２，犃犇∥犅犆（图１３．３５）． 求证：犃犅＝犃犆． 分析：要证明犃犅＝犃犆，可先证明∠犅＝ E ∠犆．因为∠１＝∠２，所以可以设法找出∠犅， ∠犆与∠１，∠２的关系． 1 A D 证明：∵ 犃犇∥犅犆， 2 ∴ ∠１＝∠犅（ ）， ∠２＝∠犆（ ）． 而已知∠１＝∠２，所以 B C ∠犅＝∠犆． 图１３．３５ ∴ 犃犅＝犃犆（ ）． 例３ 已知等腰三角形底边长为犪，底边上的高的长为犺，求作这个等腰 三角形． M C a h A D B N 图１３．３６ 作法：（１）作线段犃犅＝犪． （２）作线段犃犅的垂直平分线犕犖，与犃犅相交于点犇． （３）在犕犖上取一点犆，使犇犆＝犺． （４）连接犃犆，犅犆，则△犃犅犆就是所求作的等腰三角形． ７８ !"#$%&’(１．如图，∠犃＝３６°，∠犇犅犆＝３６°，∠犆＝７２°．分别计算∠１，∠２的度数，并说 明图中有哪些等腰三角形． A D 2 1 B C （第１题） （第２题） ２．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分 是一个等腰三角形吗？为什么？ D C ３．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一 O 半，那么这个三角形是直角三角形． A B ４．如图，犃犆和犅犇相交于点犗，且犃犅∥犇犆，犗犃＝ （第４题） 犗犅．求证犗犆＝犗犇． １３．３．２ 等边三角形 我们知道，等边三角形 （ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌｔｒｉａｎｇｌｅ）是三边都相等的特殊的等腰 三角形．  把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形 的三个内角满足什么条件才是等边三角形？ 由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个 请你自己证明这些 角都等于６０°． 结论． 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形． ７９ !"#$%&’( 书书书例４ 如图１３．３７，△犃犅犆是等边三角形， A 犇犈∥犅犆，分别交犃犅，犃犆于点犇，犈．求证： △犃犇犈是等边三角形． 证明：∵ △犃犅犆是等边三角形， D E ∴ ∠犃＝∠犅＝∠犆． ∵ 犇犈∥犅犆， B C 图１３．３７ ∴ ∠犃犇犈＝∠犅，∠犃犈犇＝∠犆． ∴ ∠犃＝∠犃犇犈＝∠犃犈犇． ∴ △犃犇犈是等边三角形． 想一想，本题还有其他证法吗？ １．试画出等边三角形的三条对称轴．你能发现什么？ A ２．如图，等边三角形犃犅犆中，犃犇是犅犆上的高， ∠犅犇犈＝∠犆犇犉＝６０°，图中有哪些与犅犇相等的 E F 线段？ B D C （第２题）  如图１３．３８，将两个含３０°角的全等的三角 A 尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到 Ｒｔ△犃犅犆的直角边犅犆与斜边犃犅之间的数量 30e 关系吗？ B C D 图１３．３８ ８０ !"#$%&’( 书书书△犃犇犆是△犃犅犆的轴对称图形，因此犃犅＝ 犃犇，∠犅犃犇＝２×３０°＝６０°，从而△犃犅犇是一个 你还能用其他 方法证明吗？ 等边三角形．再由犃犆⊥犅犇，可得犅犆＝犆犇＝ １ 犃犅．于是我们得到： ２ 在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 例５ 图１３．３９是屋架设计图的一部分，点 B 犇是斜梁犃犅的中点，立柱犅犆，犇犈垂直于横 D 梁犃犆，犃犅＝７．４ｍ，∠犃＝３０°．立柱犅犆，犇犈 要多长？ A E C 图１３．３９ 解：∵ 犇犈⊥犃犆，犅犆⊥犃犆，∠犃＝３０°， １ １ ∴ 犅犆＝ 犃犅，犇犈＝ 犃犇． ２ ２ １ ∴ 犅犆＝ ×７．４＝３．７（ｍ）． ２ １ 又 犃犇＝ 犃犅， ２ １ １ ∴ 犇犈＝ 犃犇＝ ×３．７＝１．８５（ｍ）． ２ ２ 答：立柱犅犆的长是３．７ｍ，犇犈的长是１．８５ｍ． Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犅＝２∠犃，∠犅和∠犃各是多少度？边犃犅与犅犆之 间有什么关系？ 习题１３．３  １． （１）等腰三角形的一个角是１１０°，它的另外两个角是多少度？ （２）等腰三角形的一个角是８０°，它的另外两个角是多少度？ ８１ !"#$%&’(２．如图，犃犇∥犅犆，犅犇平分∠犃犅犆．求证犃犅＝犃犇． A A D B M B C （第２题） （第３题） ３．如图，五角星的五个角都是顶角为３６°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要 知道∠犃犕犅的度数．算一算∠犃犕犅等于多少度． ４．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中犃犅＝犃犆，立柱犃犇⊥犅犆，且顶角 ∠犅犃犆＝１２０°．∠犅，∠犆，∠犅犃犇，∠犆犃犇各是多少度？ A D C A E B B D C （第４题） （第５题） ５．如图，∠犃＝∠犅，犆犈∥犇犃，犆犈交犃犅于点犈．求证：△犆犈犅是等腰三角形． ６．如图，点犇，犈在△犃犅犆的边犅犆上，犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈．求证犅犇＝犆犈． A A M D N B D E C B C （第６题） （第７题） ７．如图，犃犅＝犃犆，∠犃＝４０°，犃犅的垂直平分线犕犖交犃犆于点犇．求∠犇犅犆的度数．  ８．尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线． ９．某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检 O 测教室的房梁是否水平： A B 在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另 C 一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁 （第９题） 上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此 确信房梁是水平的．他们的判断对吗？为什么？ ８２ !"#$%&’(１０．如图，△犃犅犆中，犅犗平分∠犃犅犆，犆犗平分 ∠犃犆犅，犕犖经过点犗，与犃犅，犃犆相交于点 A 犕，犖，且犕犖∥犅犆．求证：△犃犕犖的周长等 于犃犅＋犃犆． M N １１．上午８时，一条船从海岛犃出发，以１５ｎｍｉｌｅ／ｈ O B C （海里／时，１ｎｍｉｌｅ＝１８５２ｍ）的速度向正北航 （第１０题） 行，１０时到达海岛犅处．从犃，犅望灯塔犆，测 得∠犖犃犆＝４２°，∠犖犅犆＝８４°．求从海岛犅到灯 塔犆的距离． N C 84° B D A E 42° B C A （第１１题） （第１２题） １２．如图，△犃犅犇，△犃犈犆都是等边三角形．求证犅犈＝犇犆． １３．等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其 中的一个结论．   １４．如图，犘，犙是△犃犅犆的边犅犆上的两点，并且犅犘＝犘犙＝犙犆＝犃犘＝犃犙，求 ∠犅犃犆的度数． A A B P 犙 C C B （第１４题） （第１５题） １５．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果∠犆＝９０°， ∠犅＝３０°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分， 并在图上画出来． ８３ !"#$%&’(   三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角 所对的边也相等．那么，不相等的边 （或角）所对的角 （或边）之间的大小关系怎样呢？ 大边所对的角也大吗？ 如图１，在△犃犅犆中，如果犃犅＞犃犆，那么我们可以将△犃犅犆折叠，使边犃犆落在 犃犅上，点犆落在犃犅上的犇点，折线交犅犆于点犈，则 ∠犆＝∠犃犇犈． ∵ ∠犃犇犈＞∠犅（想一想为什么）， ∴ ∠犆＞∠犅． 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的 角较大． AA A D(C) BB CC B E C 图１ 从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转 化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法． 类似地，应用这种方法，你能说明 “在一个三角形 A 中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所 对的边较大”吗 （图２）？ 利用上面两个结论，回答下面的问题： B C （１）在△犃犅犆中，已知犅犆＞犃犅＞犃犆，那么∠犃， 图２ ∠犅，∠犆有怎样的大小关系？ （２）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这 个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？ （３）直角三角形的哪一条边最长？为什么？ ８４ !"#$%&’(１３．４ 课题学习 最短路径问题 前面我们研究过一些关于 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外 一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短 路径问题．同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最 短路径． 问题１ 如图１３．４１，牧马人从犃地出发，到一条笔直的河边犾饮马，然 后到犅地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ B B A A l l C 图１３．４１ 图１３．４２ 如果把河边犾近似地看成一条直线 （图１３．４２），犆为直线犾上的一个动 点，那么，上面的问题可以转化为：当点犆在犾的什么位置时，犃犆与犆犅的 和最小．由这个问题，我们可以联想到下面的问题： 如图１３．４３，点犃，犅分别是直线犾异侧的两个点，如何在犾上找到一个 点，使得这个点到点犃、点犅的距离的和最短？ A l B 图１３．４３ 利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接犃犅，与 直线犾相交于一点，根据 “两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求． 现在，要解决的问题是：点犃，犅分别是直线犾同侧的两个点，如何在犾 上找到一个点，使得这个点到点犃、点犅的距离的和最短？ ８５ !"#$%&’(如果我们能把点犅移到犾的另一侧犅′处，同时对直线犾上的任一点犆，都 保持犆犅与犆犅′的长度相等，就可以把问题转化为 “图１３．４３”的情况，从而 使新问题得到解决．你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点犅′吗？ 如图１３．４４，作出点犅关于犾的对称点犅′，利用轴对称的性质，可以得 到犆犅′＝犆犅．这样，问题就转化为：当点犆在犾的什么位置时，犃犆与犆犅′的 和最小？ B B A A l l C C
C B
B
图１３．４４ 图１３．４５ 如图１３．４５，在连接犃，犅′两点的线中，线段犃犅′最短．因此，线段 犃犅′与直线犾的交点犆的位置即为所求． 为了证明点犆的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点犆′（图 １３．４５），连接犃犆′，犅犆′，犅′犆′，证明犃犆＋犆犅＜犃犆′＋犆′犅．你能完成这个 证明吗？ 问题２ （造桥选址问题）如图１３．４６，犃和犅两地在一条河的两岸，现 要在河上造一座桥犕犖．桥造在何处可使从犃到犅的路径犃犕犖犅最短？（假 定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．） a A A M M b N N B B 图１３．４６ 图１３．４７ 我们可以把河的两岸看成两条平行线犪和犫（图１３．４７），犖为直线犫上 的一个动点，犕犖垂直于直线犫，交直线犪于点犕，这样，上面的问题可以转 化为下面的问题：当点犖在直线犫的什么位置时，犃犕＋犕犖＋犖犅最小？ ８６ !"#$%&’( 书书书由于河岸宽度是固定的，因此当犃犕＋犖犅最小时，犃犕＋犕犖＋犖犅最 小．这样，问题就进一步转化为：当点犖在直线犫的什么位置时，犃犕＋犖犅 最小？能否通过图形的变化 （轴对称、平移等），把 “图１３．４７”的情况转化 为 “图１３．４３”的情况？ 如图１３．４８，将犃犕沿与河岸垂直的方向平移，点犕移动到点犖，点犃 移动到点犃′，则犃犃′＝犕犖，犃犕＋犖犅＝犃′犖＋犖犅．这样，问题就转化为： 当点犖在直线犫的什么位置时，犃′犖＋犖犅最小？ a a A A M
M M b b A
A
N
N N B B 图１３．４８ 图１３．４９ 如图１３．４９，在连接犃′，犅两点的线中，线段犃′犅最短．因此，线段犃′犅 与直线犫的交点犖的位置即为所求，即在点犖处造桥犕犖，所得路径犃犕犖犅 是最短的． 为了证明点犖的位置即为所求，我们不妨在直线犫上另外任意取一点 犖′，过点犖′作犖′犕′⊥犪，垂足为犕′，连接犃犕′，犃′犖′，犖′犅，证明犃犕＋ 犕犖＋犖犅＜犃犕′＋犕′犖′＋犖′犅．你能完成这个证明吗？  在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问 题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择． ８７ !"#$%&’(   

 

在美术字中，有些汉字、英文字母和阿拉伯数字是轴对称的．如图１， 画出这些汉字、英文字母和数字的对称轴，或者把它们补齐． 图１ 你能再写出几个轴对称的美术字吗？画出它们的对称轴，并与同学 交流． 



利用轴对称，我们可以由一个基本图形得到与它成轴对称的另一个图 形，重复这个过程，可以得到美丽的图案 （图２，图３）． 图２ 自己动手在一张半透明的纸上画一个图形，将 这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？ 改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么？与 图３ 同学交流一下． 有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更丰富的图案，许多镶 边和背景的图案就是这样设计的 （图４）． ８８ !"#$%&’(图４ 展开你的想象，从一个或几个图形出发，利用轴对称或与平移进行组 合，设计一些图案，并与同学交流． 

 

猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图５，你可 以将等腰三角形犃犅犆沿对称轴犃犇折叠，观察犇犈与犇犉的关系，并证 明你的结论． A A F E F E C B C D D B 图５ 如果犇犈，犇犉分别是犃犅，犃犆上的中线或∠犃犇犅，∠犃犇犆的平分 线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可 以得到等腰三角形中哪些线段相等？证明其中的一些结论． ８９ !"#$%&’(小 结 一、本章知识结构图                  二、回顾与思考 轴对称是图形变化的方法之一，它在现实生活中有广泛的应用．本章首先 学习了轴对称图形、轴对称及其性质，然后学习了轴对称图形的画法，并利用 轴对称知识研究等腰三角形，通过推理论证得到了等腰三角形及等边三角形的 性质和判定方法． 等腰三角形是特殊的三角形，也是多边形中最简单的轴对称图形．利用它 的轴对称性，我们不仅发现了等腰三角形的一些性质，同时还从中找到了证明 这些性质的思路．借助图形的变化研究图形的性质，是几何中常用的方法． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对 称的图形有什么特点？ ２．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个 图形有怎样的位置关系？ ３．对于成轴对称的两个图形，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何 作出一个图形的轴对称图形？ ４．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于狓轴或狔轴对称，那么对称 点的坐标有什么关系？请举例说明． ５．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等 三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？ ９０ !"#$%&’(复习题１３  １．下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴． （第１题） ２．画出下列轴对称图形的对称轴． （第２题） ３．如图，犇，犈分别是犃犅，犃犆的中点，犆犇⊥犃犅，垂足为犇，犅犈⊥犃犆，垂足为犈． 求证犃犆＝犃犅． y C C 2 A D E x -4 -2 O 2 4 -2 A D B B E （第３题） （第４题） ４．如图所示的点犃，犅，犆，犇，犈中，哪两个点关于狓轴对称？哪两个点关于狔轴 对称？点犆和点犈关于狓轴对称吗？为什么？ ５．如图，在△犃犅犆中，∠犃犅犆＝５０°，∠犃犆犅＝ A ８０°，延长犆犅至犇，使犇犅＝犅犃，延长犅犆至犈， 使犆犈＝犆犃，连 接 犃犇，犃犈．求 ∠犇，∠犈， ∠犇犃犈的度数． D B C E （第５题） ９１ !"#$%&’(６．如图，犃犇＝犅犆，犃犆＝犅犇，求证：△犈犃犅是等腰三角形． C D C E A （第６题） B B D （第７题） A １ ７．如图，在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇是高，∠犃＝３０°．求证犅犇＝ 犃犅． ４  ８．试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数．一般地，一个正狀边形有多少条对称轴？ （第８题） ９．如图，从图形Ⅰ到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果是轴对称，找出对称轴； 如果是平移，是怎样的平移？ y y 4 4 2 2


-4 -2 O 2 4x -4 -2 O 2 4x
-2 -2 -4 -4 （１） （２） y y 4 4 2 2

-4 -2 O 2 4x -4 -2 O 2 4x
-2 -2
-4 -4 （３） （４） （第９题） ９２ !"#$%&’(１０．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线，犇犈，犇犉分别是△犃犅犇和△犃犆犇的高．求 证：犃犇垂直平分犈犉． A A D E F F B D C B E C （第１０题） （第１１题） １１．如图，在等边三角形犃犅犆的三边上，分别取点犇，犈，犉，使犃犇＝犅犈＝犆犉． 求证：△犇犈犉是等边三角形．   １２．在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形．这五个点应该怎 样画？ １３．如图，△犃犅犆是等边三角形，犅犇是中线，延长犅犆至犈，使犆犈＝犆犇．求证 犇犅＝犇犈． C A D D E F B C E A G B （第１３题） （第１４题） １４． 如图，△犃犅犆为等腰三角形，犃犆＝犅犆， △犅犇犆和△犃犆犈分别为等边三角形，犃犈与 犅犇相交于点犉，连接犆犉并延长，交犃犅于 N 点犌．求证：犌为犃犅的中点．   １５．如图，牧马人从犃地出发，先到草地边某一处 A 牧马，再到河边饮马，然后回到犅处，请画出 M B l 最短路径． （第１５题） ９３ !"#$%&’( p(a+b+c)=pa+pb+pc a b c a pa+pb+pc= p(a+b+c)   书书书 p p b p c p 第十四章 整式的乘法与 因式分解 为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长 狆ｍ，宽犫ｍ的长方形绿地，向两边分别加宽犪ｍ 和犮ｍ，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？ 不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的 角度认识不同的表示方法之间的关系？ 回答上面的问题，要用到整式的乘法与因式 分解的知识．本章我们将在七年级学习整式的加减 法的基础上，继续学习整式的乘法与因式分解， 它们是代数运算以及解决许多数学问题的重要基 础．我们可以类比数的运算，以运算律为基础，得 到关于整式的乘法运算与因式分解的启发．１４．１ 整式的乘法 １４．１．１ 同底数幂的乘法 问题１ 一种电子计算机每秒可进行１千万 亿 （１０１５ ）次运算，它工作１０３ｓ可进行多少次 运算？ 它工作１０３ｓ可进行运算的次数为１０１５×１０３． 怎样计算１０１５×１０３ 呢？ 根据乘方的意义可知 在２０１０年全球超级计算机 排行榜中，中国首台千万亿次 １０１５×１０３＝（１０×…×１０）×（１０×１０×１０） 烏 烐 烑 超级计算机系统 “天河一号” １５个１０ 雄居第一，其实测运算速度可 ＝１０×１０×…×１０ 以达到每秒２５７０万亿次． 烏 烐 烑 １８个１０ ＝１０１８．  根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （１）２５×２２＝２（ ）； （２）犪３ ·犪２＝犪（ ）； （３）５犿×５狀＝５（ ） （犿，狀是正整数）． 一般地，对于任意底数犪与任意正整数犿，狀， 犪犿 ·犪狀＝（犪·犪·…·犪）· （犪·犪·…·犪） 烏 烐 烑 烏 烐 烑 犿个犪 狀个犪 ＝犪·犪·…·犪＝犪犿＋狀． 烏 烐 烑 （犿＋狀）个犪 因此，我们有 犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀都是正整数）． 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ９５ !"#$%&’()*+,’-. 书书书例１ 计算： （１）狓２ ·狓５ ； （２）犪·犪６ ； （３）（－２）×（－２） ４×（－２） ３ ； （４）狓犿 ·狓３犿＋１． 解：（１）狓２ ·狓５＝狓２＋５＝狓７ ； （２）犪·犪６＝犪１＋６＝犪７ ； 犪＝犪１． （３）（－２）×（－２） ４×（－２） ３＝（－２） １＋４＋３＝ （－２） ８＝２５６； （４）狓犿 ·狓３犿＋１＝狓犿＋３犿＋１＝狓４犿＋１． 计算： （ ） （ ） （ ） １ １ ２ １ ３ （１）犫５·犫； （２） － × － × － ； ２ ２ ２ （３）犪２·犪６； （４）狔２狀·狔狀＋１． １４．１．２ 幂的乘方  根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什 么规律？ （１）（３２ ） ３＝３２×３２×３２＝３（ ）； （２）（犪２ ） ３＝犪２ ·犪２ ·犪２＝犪（ ）； （３）（犪犿 ） ３＝犪犿 ·犪犿 ·犪犿＝犪（ ） （犿是正整数）． 一般地，对于任意底数犪与任意正整数犿，狀， 狀个犪犿 狀个犿 烇 烉 烋 烇 烉 烋 （犪犿 ） 狀＝犪犿 ·犪犿 ·…·犪犿＝犪犿＋犿＋…＋犿＝犪犿狀． 因此，我们有 （犪犿 ） 狀＝犪犿狀 （犿，狀都是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例２ 计算： （１）（１０３ ） ５ ； （２）（犪４ ） ４ ； （３）（犪犿 ） ２ ； （４）－（狓４ ） ３． ９６ !"#$%&’()*+,’-. 书书书解：（１）（１０３ ） ５＝１０３×５＝１０１５ ； （２）（犪４ ） ４＝犪４×４＝犪１６ ； （３）（犪犿 ） ２＝犪犿×２＝犪２犿 ； （４）－（狓４ ） ３＝－狓４×３＝－狓１２． 计算： （１）（１０３）３； （２）（狓３）２； （３）－（狓犿）５； （４）（犪２）３·犪５． １４．１．３ 积的乘方  填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？ （１）（犪犫） ２＝（犪犫）·（犪犫）＝（犪·犪）·（犫·犫）＝犪（ 犫） （ ）； （２）（犪犫） ３＝ ＝ ＝犪（ 犫） （ ）． 一般地，对于任意底数犪，犫与任意正整数狀， 狀个犪犫 烇 烉 烋 （犪犫） 狀＝（犪犫）·（犪犫）·…·（犪犫） 狀个犪 狀个犫 烇 烉 烋 烇 烉 烋 ＝犪·犪·…·犪·犫·犫·…·犫＝犪狀犫狀． 因此，我们有 （犪犫） 狀＝犪狀犫狀 （狀为正整数）． 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 例３ 计算： （１）（２犪） ３ ； （２）（－５犫） ３ ； （３）（狓狔２ ） ２ ； （４）（－２狓３ ） ４． 解：（１）（２犪） ３＝２３ ·犪３＝８犪３ ； （２）（－５犫） ３＝（－５） ３ ·犫３＝－１２５犫３ ； ９７ !"#$%&’()*+,’-.（３）（狓狔２ ） ２＝狓２ ·（狔２ ） ２＝狓２狔４ ； （４）（－２狓３ ） ４＝（－２） ４ ·（狓３ ） ４＝１６狓１２． 计算： （ ） １ ３ （１）（犪犫）４； （２） － 狓狔 ； ２ （３）（－３×１０２）３； （４）（２犪犫２）３． １４．１．４ 整式的乘法 问题２ 光的速度约是３×１０５ｋｍ／ｓ，太阳光 照射到地球上需要的时间约是５×１０２ｓ，你知道地 地球与太阳的距离 约是 球与太阳的距离约是多少吗？ 地球与太阳的距离约是（３×１０５ ）×（５×１０２ ）ｋｍ． １５×１０７＝１．５×１０８（ｋｍ）．  （１）怎样计算（３×１０５ ）×（５×１０２ ）？计算过程中用到哪些运算律及运 算性质？ （２）如果将上式中的数字改为字母，比如犪犮５ ·犫犮２ ，怎样计算这个式子？ 犪犮５ ·犫犮２ 是单项式犪犮５ 与犫犮２ 相乘，我们可以利用乘法交换律、结合律及 同底数幂的运算性质来计算： 犪犮５ ·犫犮２＝（犪·犫）·（犮５ ·犮２ ）＝犪犫犮５＋２＝犪犫犮７． 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例４ 计算： （１）（－５犪２犫）（－３犪）； （２）（２狓） ３ （－５狓狔２ ）． 解：（１） （－５犪２犫）（－３犪） ９８ !"#$%&’()*+,’-.＝［（－５）×（－３）］（犪２ ·犪）·犫 ＝１５犪３犫； （２） （２狓） ３ （－５狓狔２ ） ＝８狓３ ·（－５狓狔２ ） ＝［８×（－５）］（狓３ ·狓）·狔２ ＝－４０狓４狔２． １．计算： （１）３狓２·５狓３； （２）４狔·（－２狓狔２）； （３）（－３狓）２·４狓２； （４）（－２犪）３（－３犪）２． ２．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （１）３犪３·２犪２＝６犪６； （２）２狓２·３狓２＝６狓４； （３）３狓２·４狓２＝１２狓２； （４）５狔３·３狔５＝１５狔１５． 下面我们来看本章引言中提出的问题． 为了求扩大后的绿地面积，一种方法是先求扩大后的绿地的边长，再求面 积，即为 狆（犪＋犫＋犮）． ① 我们也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即为 狆犪＋狆犫＋狆犮． ② 由于①②表示同一个数量，所以 狆（犪＋犫＋犮）＝狆犪＋狆犫＋狆犮． 你能根据分 上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法． 配律得到这个等 式吗？ 这个结果也可以由图１４．１１看出． !"#$%&’()*+,’-. p pa pb pc a b c 图１４．１１ ９９一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把 所得的积相加． 例５ 计算： （１）（－４狓２ ）（３狓＋１）； （２ ） １ （２） 犪犫２－２犪犫· 犪犫． ３ ２ 解：（１） （－４狓２ ）（３狓＋１） ＝（－４狓２ ）（３狓）＋（－４狓２ ）×１ 把单项式与多项式 ＝（－４×３）（狓２ ·狓）＋（－４狓２ ） 相乘的问题转化为单项 式与单项式相乘的问题． ＝－１２狓３－４狓２ ； （２ ） １ （２） 犪犫２－２犪犫· 犪犫 ３ ２ ２ １ １ ＝ 犪犫２ · 犪犫＋（－２犪犫）· 犪犫 ３ ２ ２ １ ＝ 犪２犫３－犪２犫２． ３ １．计算： （１）３犪（５犪－２犫）； （２）（狓－３狔）（－６狓）． ２．化简狓（狓－１）＋２狓（狓＋１）－３狓（２狓－５）． !"#$%&’()*+,’-. p a b ap bp aq bq q 问题３ 如图１４．１２，为了扩大街 心花园的绿地面积，把一块原长犪ｍ、 宽狆ｍ的长方形绿地，加长了犫ｍ，加 宽了狇ｍ．你能用几种方法求出扩大后 的绿地面积？ 扩大后的绿地可以看成长为（犪＋犫）ｍ， 宽为（狆＋狇）ｍ的长方形，所以这块绿地 的面积 （单位：ｍ２ ）为 （犪＋犫）（狆＋狇）． 图１４．１２ １００扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成， 所以这块绿地的面积 （单位：ｍ２ ）为 犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇． 因此 （犪＋犫）（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇． 上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法． 计算（犪＋犫）（狆＋狇），可以先把其中的一个多 项式，如狆＋狇，看成一个整体，运用单项式与多 把多项式相乘的 项式相乘的法则，得 问题转化为单项式与 多项式相乘的问题． （犪＋犫）（狆＋狇）＝犪（狆＋狇）＋犫（狆＋狇）， 再利用单项式与多项式相乘的法则，得 犪（狆＋狇）＋犫（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇． 总体上看，（犪＋犫）（狆＋狇）的结果可以看作由犪＋犫的每一项乘狆＋狇的每 一项，再把所得的积相加而得到的，即 （犪＋犫）（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇． 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加． 例６ 计算： （１）（３狓＋１）（狓＋２）； （２）（狓－８狔）（狓－狔）； （３）（狓＋狔）（狓２－狓狔＋狔２ ）． 解：（１） （３狓＋１）（狓＋２） ＝（３狓）·狓＋（３狓）×２＋１·狓＋１×２ ＝３狓２＋６狓＋狓＋２ ＝３狓２＋７狓＋２； （２） （狓－８狔）（狓－狔） ＝狓２－狓狔－８狓狔＋８狔２ ＝狓２－９狓狔＋８狔２ ； （３） （狓＋狔）（狓２－狓狔＋狔２ ） ＝狓３－狓２狔＋狓狔２＋狓２狔－狓狔２＋狔３ ＝狓３＋狔３． １０１ !"#$%&’()*+,’-.!"#$%&’()*+,’-. x x2 qx px pq p １．计算： （１）（２狓＋１）（狓＋３）； （２）（犿＋２狀）（３狀－犿）； （３）（犪－１）２； （４）（犪＋３犫）（犪－３犫）； （５）（２狓２－１）（狓－４）； （６）（狓２＋２狓＋３）（２狓－５）． ２．计算： （１）（狓＋２）（狓＋３）； （２）（狓－４）（狓＋１）； （３）（狔＋４）（狔－２）； （４）（狔－５）（狔－３）． 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： x q （狓＋狆）（狓＋狇）＝（ ）２＋（ ）狓＋（ ）． （第２题） 至此，我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算．在整式运算中，有 时还会遇到两个整式相除的情况．由于除法是乘法的逆运算，因此我们可以利 用整式的乘法来讨论整式的除法． 首先来看同底数幂相除的情况． 我们来计算犪犿÷犪狀 （犪≠０，犿，狀都是正整数，并且犿＞狀）． 根据除法是乘法的逆运算，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个 数，使它与除数的积等于被除数．由于式中的字母表示数，所以可以用类似的 方法来计算犪犿÷犪狀． ∵ 犪犿－狀 ·犪狀＝犪（犿－狀）＋狀＝犪犿 ， ∴ 犪犿÷犪狀＝犪犿－狀． 一般地，我们有 犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀都是正整数，并且犿＞狀）． 即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如犪犿÷犪犿 ，根据 除法的意义可知所得的商为１．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算， 又有犪犿÷犪犿＝犪犿－犿＝犪０． 于是规定 犪０＝１ （犪≠０）． 这就是说，任何不等于０的数的０次幂都等于１． １０２例７ 计算： （１）狓８÷狓２ ； （２）（犪犫） ５÷（犪犫） ２． 解：（１）狓８÷狓２＝狓８－２＝狓６ ； （２）（犪犫） ５÷（犪犫） ２＝（犪犫） ５－２＝（犪犫） ３＝犪３犫３． 对于 单 项 式 除 以 单 项 式，例 如，计 算 １２犪３犫２狓３÷３犪犫２ ，就是要求一个单项式，使它与 ３犪犫２ 的乘积等于１２犪３犫２狓３． １２犪３犫２狓３÷３犪犫２ 是 （１２犪３犫２狓３ ） ÷ ∵ ４犪２狓３ ·３犪犫２＝１２犪３犫２狓３ ， （３犪犫２）的意思． ∴ １２犪３犫２狓３÷３犪犫２＝４犪２狓３． 上面的商式４犪２狓３ 的系数４＝１２÷３，犪的指 数２＝３－１，犫的指数０＝２－２，而犫０＝１，狓的指 数３＝３－０． 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只 在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 对于多项式除以单项式，例如，计算（犪犿＋犫犿）÷犿，就是要求一个多项 式，使它与犿的积是犪犿＋犫犿． ∵ （犪＋犫）犿＝犪犿＋犫犿， ∴ （犪犿＋犫犿）÷犿＝犪＋犫． 把多项式除以单 又 犪犿÷犿＋犫犿÷犿＝犪＋犫， 项式问题转化为单项 ∴ （犪犿＋犫犿）÷犿＝犪犿÷犿＋犫犿÷犿． 式除以单项式问题来 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项 解决． 式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 例８ 计算： （１）２８狓４狔２÷７狓３狔； （２）－５犪５犫３犮÷１５犪４犫； （３）（１２犪３－６犪２＋３犪）÷３犪． 解：（１） ２８狓４狔２÷７狓３狔 ＝（２８÷７）·狓４－３ ·狔２－１ ＝４狓狔； １０３ !"#$%&’()*+,’-.（２） －５犪５犫３犮÷１５犪４犫 ＝［（－５）÷１５］犪５－４犫３－１犮 １ ＝－ 犪犫２犮； ３ （３） （１２犪３－６犪２＋３犪）÷３犪 ＝１２犪３÷３犪－６犪２÷３犪＋３犪÷３犪 ＝４犪２－２犪＋１． １．计算： （１）狓７÷狓５； （２）犿８÷犿８； （３）（－犪）１０÷（－犪）７； （４）（狓狔）５÷（狓狔）３． ２．计算： （１）１０犪犫３÷（－５犪犫）； （２）－８犪２犫３÷６犪犫２； （３）－２１狓２狔４÷（－３狓２狔３）； （４）（６×１０８）÷（３×１０５）． ３．计算： （１）（６犪犫＋５犪）÷犪； （２）（１５狓２狔－１０狓狔２）÷５狓狔． 习题１４．１  １．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （１）犫３·犫３＝２犫３； （２）狓４·狓４＝狓１６； （３）（犪５）２＝犪７； （４）（犪３）２·犪４＝犪９； （５）（犪犫２）３＝犪犫６； （６）（－２犪）２＝－４犪２． ２．计算： （１）狓·狓３＋狓２·狓２； （２）（－狆狇）３； （３）－（－２犪２犫）４； （４）犪３·犪４·犪＋（犪２）４＋（－２犪４）２． ３．计算： （１）６狓２·３狓狔； （２）２犪犫２·（－３犪犫）； （３）４狓２狔·（－狓狔２）３； （４）（１．３×１０５）（３．８×１０３）． １０４ !"#$%&’()*+,’-.４．计算： （ ） １ （１）（４犪－犫２）（－２犫）； （２）２狓２狓－ ； ２ （ ） ２ ４ （３）５犪犫（２犪－犫＋０．２）； （４）２犪２－ 犪－ （－９犪）． ３ ９ ５．计算： （ ）（ ） １ １ （１）（狓－６）（狓－３）； （２）狓＋ 狓－ ； ２ ３ （３）（３狓＋２）（狓＋２）； （４）（４狔－１）（５－狔）； （５）（狓－２）（狓２＋４）； （６）（狓－狔）（狓２＋狓狔＋狔２）． ６．计算： （１）（犪３）２÷（犪２）３； （２）（犪犫２）３÷（－犪犫）２； （３）２４狓２狔÷（－６狓狔）； （４）７犿（４犿２狆）２÷７犿２； （５）（６狓４－８狓３）÷（－２狓２）； （ ） １ １ （６）０．２５犪２犫－ 犪３犫２－ 犪４犫３ ÷（－０．５犪２犫）． ２ ６  １ ７．求值：狓２（狓－１）－狓（狓２＋狓－１），其中狓＝ ． ２ ８．计算： （１）（狓－３）（狓－３）－６（狓２＋狓－１）； （２）（２狓＋１）２－（狓＋３）２－（狓－１）２＋１． ９．信息技术的存储设备常用Ｂ，ＫＢ，ＭＢ，ＧＢ等作为存储量的单位．例如，我们常 说某计算机的硬盘容量是３２０ＧＢ，某移动硬盘的容量是８０ＧＢ，某个文件大小是 １５６ＫＢ等，其中１ＧＢ＝２１０ＭＢ，１ＭＢ＝２１０ＫＢ，１ＫＢ＝２１０Ｂ （字节）．对于一个 存储量为８ＧＢ的闪存盘，其容量有多少Ｂ （字节）？ １０．卫星绕地球运动的速度 （即第一宇宙速度）是７．９×１０３ｍ／ｓ，求卫星绕地球运 行２×１０２ｓ走过的路程． １０５ !"#$%&’()*+,’-. 书书书１１．计算图中阴影所示绿地的面积 （长度单位：ｍ）． !"#$%&’()*+,’-. a5.2 a 2a 2a 2a a a5.1 a b （第１１题） （第１２题） １２．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周 突出部分折起，制成一个高为犪的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为 ４犪２犫，底面长方形的一边长为犫（犫＜４犪），求长方形纸板的长和宽．   １３．已知２犿＝犪，３２狀＝犫，犿，狀为正整数，求２３犿＋１０狀． １４．解方程与不等式： （１）（狓－３）（狓－２）＋１８＝（狓＋９）（狓＋１）； （２）（３狓＋４）（３狓－４）＜９（狓－２）（狓＋３）． １５．确定下列各式中犿的值： （１）（狓＋４）（狓＋９）＝狓２＋犿狓＋３６； （２）（狓－２）（狓－１８）＝狓２＋犿狓＋３６； （３）（狓＋３）（狓＋狆）＝狓２＋犿狓＋３６； （４）（狓－６）（狓－狆）＝狓２＋犿狓＋３６； （５）（狓＋狆）（狓＋狇）＝狓２＋犿狓＋３６，狆，狇为正整数． １０６１４．２ 乘法公式 某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多 项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果． １４．２．１ 平方差公式  计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （１）（狓＋１）（狓－１）＝ ； （２）（犿＋２）（犿－２）＝ ； （３）（２狓＋１）（２狓－１）＝ ． 上面的几个运算都是形如犪＋犫的多项式与形如犪－犫的多项式相乘．由于 （犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犪犫＋犪犫－犫２ ＝犪２－犫２ ， 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我 们可以直接写出运算结果，即 平方差公式是多项 （犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２． 式乘法（犪＋犫）（狆＋狇） 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等 中狆＝犪，狇＝－犫的特 殊情形． 于这两个数的平方差． 这个公式叫做 （乘法的）平方差公式 （ｆｏｒ ｍｕｌａｆｏｒｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｓｑｕａｒｅｓ）．  !"#$%&’()*+,’-. a b a b 你能根据图１４．２１中图形的面积说明平方 差公式吗？ b 图１４．２１ １０７例１ 运用平方差公式计算： （１）（３狓＋２）（３狓－２）； （２）（－狓＋２狔）（－狓－２狔）． 分析：在（１）中，可以把３狓看成犪，２看成犫，即 （３狓＋２）（３狓－２）＝（３狓） ２－２２． ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ （犪＋犫）（犪－犫）＝犪２ －犫２ 解：（１） （３狓＋２）（３狓－２） ＝（３狓） ２－２２ ＝９狓２－４； （２） （－狓＋２狔）（－狓－２狔） 你还有其他的 ＝（－狓） ２－（２狔） ２ 计算方法吗？ ＝狓２－４狔２． 例２ 计算： （１）（狔＋２）（狔－２）－（狔－１）（狔＋５）； 只有符合公式条件 （２）１０２×９８． 的乘法，才能运用公式 解：（１） （狔＋２）（狔－２）－（狔－１）（狔＋５） 简化运算，其余的运算 ＝狔２－２２－（狔２＋４狔－５） 仍按乘法法则进行． ＝狔２－４－狔２－４狔＋５ ＝－４狔＋１； （２）１０２×９８＝（１００＋２）（１００－２） ＝１００２－２２＝１００００－４ ＝９９９６． １．下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （１）（狓＋２）（狓－２）＝狓２－２； （２）（－３犪－２）（３犪－２）＝９犪２－４． ２．运用平方差公式计算： （１）（犪＋３犫）（犪－３犫）； （２）（３＋２犪）（－３＋２犪）； （３）５１×４９； （４）（３狓＋４）（３狓－４）－（２狓＋３）（３狓－２）． １０８ !"#$%&’()*+,’-.１４．２．２ 完全平方公式  计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （１）（狆＋１） ２＝（狆＋１）（狆＋１）＝ ； （２）（犿＋２） ２＝ ； （３）（狆－１） ２＝（狆－１）（狆－１）＝ ； （４）（犿－２） ２＝ ． 上面的几个运算都是形如（犪±犫） ２ 的多项式相乘，由于 （犪＋犫） ２＝（犪＋犫）（犪＋犫）＝犪２＋犪犫＋犪犫＋犫２ ＝犪２＋２犪犫＋犫２ ， （犪－犫） ２＝（犪－犫）（犪－犫）＝犪２－犪犫－犪犫＋犫２ ＝犪２－２犪犫＋犫２ ， 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 （犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２ ， （犪－犫） ２＝犪２－２犪犫＋犫２． 完全平方公式是多 项式乘法（犪＋犫）（狆＋狇） 也就是说，两个数的和 （或差）的平方，等于它 中狆＝犪，狇＝犫的特殊 们的平方和，加上 （或减去）它们的积的２倍． 情形． 这两个公式叫做 （乘法的）完全平方公式 （ｆｏｒｍｕｌａｆｏｒｔｈｅｓｑｕａｒｅｏｆｔｈｅｓｕｍ）．  你能根据图１４．２２和图１４．２３中图形的面积说明完全平方公式吗？ !"#$%&’()*+,’-. a b b a b a a b 图１４．２２ 图１４．２３ １０９例３ 运用完全平方公式计算： （ １） （１）（４犿＋狀） ２ ； （２）狔－ ２． ２ 解：（１）（４犿＋狀） ２＝（４犿） ２＋２·（４犿）·狀＋狀２ ＝１６犿２＋８犿狀＋狀２ ； （ １） １ （１） （２）狔－ ２＝狔２－２·狔· ＋ ２ ２ ２ ２ １ ＝狔２－狔＋ ． ４ 例４ 运用完全平方公式计算： （１）１０２２ ； （２）９９２． 解：（１） １０２２＝（１００＋２） ２＝１００２＋２×１００×２＋２２ ＝１００００＋４００＋４ ＝１０４０４； （２） ９９２＝（１００－１） ２＝１００２－２×１００×１＋１２ ＝１００００－２００＋１ ＝９８０１．  （犪＋犫） ２ 与 （－犪－犫） ２ 相等吗？（犪－犫） ２ 与 （犫－犪） ２ 相等吗？（犪－犫） ２ 与犪２－犫２ 相等吗？为什么？ １．运用完全平方公式计算： （１）（狓＋６）２； （２）（狔－５）２； （ ） ３ ２ ２ （３）（－２狓＋５）２； （４） 狓－ 狔 ． ４ ３ ２．下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？ （１）（犪＋犫）２＝犪２＋犫２； （２）（犪－犫）２＝犪２－犪犫＋犫２． １１０ !"#$%&’()*+,’-.运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号．在第二章中，我们学过去括 号法则，即 犪＋（犫＋犮）＝犪＋犫＋犮； 犪－（犫＋犮）＝犪－犫－犮． 反过来，就得到添括号法则： 犪＋犫＋犮＝犪＋（犫＋犮）； 犪－犫－犮＝犪－（犫＋犮）． 也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符 号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 例５ 运用乘法公式计算： （１）（狓＋２狔－３）（狓－２狔＋３）； （２）（犪＋犫＋犮） ２． 解：（１） （狓＋２狔－３）（狓－２狔＋３） ＝［狓＋（２狔－３）］［狓－（２狔－３）］ ＝狓２－（２狔－３） ２ 有些整式相乘需 ＝狓２－（４狔２－１２狔＋９） 要先作适当变形，然 ＝狓２－４狔２＋１２狔－９； 后再用公式． （２） （犪＋犫＋犮） ２ ＝［（犪＋犫）＋犮］ ２ ＝（犪＋犫） ２＋２（犪＋犫）犮＋犮２ ＝犪２＋２犪犫＋犫２＋２犪犮＋２犫犮＋犮２ ＝犪２＋犫２＋犮２＋２犪犫＋２犪犮＋２犫犮． １．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验． （１）犪＋犫－犮＝犪＋（ ）； （２）犪－犫＋犮＝犪－（ ）； （３）犪＋犫－犮＝犪－（ ）； （４）犪＋犫＋犮＝犪－（ ）． ２．运用乘法公式计算： （１）（犪＋２犫－１）２； （２）（２狓＋狔＋狕）（２狓－狔－狕）． １１１ !"#$%&’()*+,’-.习题１４．２  １．运用平方差公式计算： （ ）（ ） ２ ２ （１） 狓－狔 狓＋狔； （２）（狓狔＋１）（狓狔－１）； ３ ３ （３）（２犪－３犫）（３犫＋２犪）； （４）（－２犫－５）（２犫－５）； （５）２００１×１９９９； （６）９９８×１００２． ２．运用完全平方公式计算： （１）（２犪＋５犫）２； （２）（４狓－３狔）２； （３）（－２犿－１）２； （ ） ２ ２ （４）１．５犪－ 犫 ； （５）６３２； （６）９８２． ３  ３．运用乘法公式计算： （１）（３狓－５）２－（２狓＋７）２； （２）（狓＋狔＋１）（狓＋狔－１）； （３）（２狓－狔－３）２； （４）［（狓＋２）（狓－２）］２． ４．先化简，再求值： １ １ （２狓＋３狔）２－（２狓＋狔）（２狓－狔），其中狓＝ ，狔＝－ ． ３ ２ ５．一个正方形的边长增加３ｃｍ，它的面积就增加３９ｃｍ２，这个 正方形的边长是多少？ a b ６．如图，一块直径为犪＋犫的圆形钢板，从中挖去直径分别为犪 与犫的两个圆，求剩下的钢板的面积． （第６题）   ７．已知犪＋犫＝５，犪犫＝３，求犪２＋犫２ 的值． ８．解不等式（２狓－５）２＋（３狓＋１）２＞１３（狓２－１０）． ９．解方程组 烄（狓＋２）２－（狔－３）２＝（狓＋狔）（狓－狔）， 烅 烆狓－３狔＝２． １１２ !"#$%&’()*+,’-.  杨辉三角 我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的 “数学是我国人民所擅长的学科”一文中 谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人 民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中 “杨辉三角”（图１）就是一例．                              图 １  在我国南宋数学家杨辉 （约１３世纪）所著的 《详解九章算术》 （１２６１年）一书中， 用图１的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪 （１０５０年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为 “杨辉三角”或 “贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是１，其余每个数为它的上方 （左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（犪＋犫）狀 这个三角形被欧洲学 （狀＝０，１，２，３，４，５，６）的展开式 （按犪的次数由大 者称为 “帕斯卡三角”．法国 到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第３行的３ 数 学 家 帕 斯 卡 （Ｐａｓｃａｌ， 个数１，２，１，恰好对应着 （犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２ 展开 １６２３—１６６２）于１６５４年发现 式中的各项的系数；第４行的４个数１，３，３，１，恰好 了此三角形． 对应着（犪＋犫）３＝犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３ 展开式中各项的系 数，等等． 利用上面的三角形，你能写出（犪＋犫）６ 的展开式吗？ 请利用整式的乘法验证你的结果． １１３ !"#$%&’()*+,’-.１４．３ 因式分解 我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多 项式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的 乘积的形式．  请把下列多项式写成整式的乘积的形式： （１）狓２＋狓＝ ； （２）狓２－１＝ ． 根据整式的乘法，可以联想得到 狓２＋狓＝狓（狓＋１）， 狓２－１＝（狓＋１）（狓－１）． 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫 做这个多项式的因式分解 （ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ），也叫做把这个多项式分解因式． 可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即 因式分解 狓２－１幑帯帯帯幐 （狓＋１）（狓－１）． 整式乘法 下面我们学习因式分解的两种基本方法． １４．３．１ 提公因式法 我们看多项式 狆犪＋狆犫＋狆犮， 它的各项都有一个公共的因式狆，我们把因式狆叫做这个多项式各项的公因 式 （ｃｏｍｍｏｎｆａｃｔｏｒ）． 由狆（犪＋犫＋犮）＝狆犪＋狆犫＋狆犮，可得 狆犪＋狆犫＋狆犮＝狆（犪＋犫＋犮）． 这样就把狆犪＋狆犫＋狆犮分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公 因式狆，另一个因式犪＋犫＋犮是狆犪＋狆犫＋狆犮除以狆所得的商． １１４ !"#$%&’()*+,’-.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多 项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因 式法． 下面我们看几个利用提公因式法分解因式的例子． 例１ 把８犪３犫２＋１２犪犫３犮分解因式． 分析：先找出８犪３犫２ 与１２犪犫３犮的公因式，再 提出公因式．我们看这两项的系数８与１２，它们的 最大公约数是４；两项的字母部分犪３犫２ 与犪犫３犮都 如果提出公因式 含有字母犪和犫，其中犪的最低次数是１，犫的最低 ４犪犫，另一个因式是否 还有公因式？ 次数是２，因此我们选定４犪犫２ 为要提出的公因式． 提出公因式４犪犫２ 后，另一个因式２犪２＋３犫犮就不再 有公因式了． 解： ８犪３犫２＋１２犪犫３犮 ＝４犪犫２ ·２犪２＋４犪犫２ ·３犫犮 ＝４犪犫２ （２犪２＋３犫犮）． 例２ 把２犪（犫＋犮）－３（犫＋犮）分解因式． 分析：犫＋犮是这两个式子的公因式，可以直接 如何检查因式分 提出． 解是否正确？ 解： ２犪（犫＋犮）－３（犫＋犮） ＝（犫＋犮）（２犪－３）． １．把下列各式分解因式： （１）犪狓＋犪狔； （２）３犿狓－６犿狔； （３）８犿２狀＋２犿狀； （４）１２狓狔狕－９狓２狔２； （５）２犪（狔－狕）－３犫（狕－狔）； （６）狆（犪２＋犫２）－狇（犪２＋犫２）． ２．先分解因式，再求值： ４犪２（狓＋７）－３（狓＋７），其中犪＝－５，狓＝３． ３．计算５×３４＋４×３４＋９×３２． １１５ !"#$%&’()*+,’-.１４．３．２ 公式法  多项式犪２－犫２ 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 这个多项式是两个数的平方差的形式．由于整式的乘法与因式分解是方向 相反的变形，把整式乘法的平方差公式（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２ 的等号两边互 换位置，就得到 犪２－犫２＝（犪＋犫）（犪－犫）， 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 例３ 分解因式： （１）４狓２－９； （２）（狓＋狆） ２－（狓＋狇） ２． 分析：在（１）中，４狓２＝（２狓） ２ ，９＝３２ ，４狓２－９＝（２狓） ２－３２ ，即可用平方 差公式分解因式；在 （２）中，把狓＋狆和狓＋狇各看成一个整体，设狓＋狆＝ 犿，狓＋狇＝狀，则原式化为犿２－狀２． 解：（１） ４狓２－９ ＝（２狓） ２－３２ ＝（２狓＋３）（２狓－３）； （２） （狓＋狆） ２－（狓＋狇） ２ ＝［（狓＋狆）＋（狓＋狇）］［（狓＋狆）－（狓＋狇）］ ＝（２狓＋狆＋狇）（狆－狇）． 例４ 分解因式： （１）狓４－狔４ ； （２）犪３犫－犪犫． 分析：对于 （１），狓４－狔４ 可以写成（狓２ ） ２－（狔２ ） ２ 的形式，这样就可以利 用平方差公式进行因式分解了；对于 （２），犪３犫－犪犫有公因式犪犫，应先提出公 因式，再进一步分解． 解：（１） 狓４－狔４ ＝（狓２＋狔２ ）（狓２－狔２ ） ＝（狓２＋狔２ ）（狓＋狔）（狓－狔）； １１６ !"#$%&’()*+,’-.（２） 犪３犫－犪犫 ＝犪犫（犪２－１） 分解因式，必须进 ＝犪犫（犪＋１）（犪－１）． 行到每一个多项式因式 都不能再分解为止． １．下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ （１）狓２＋狔２； （２）狓２－狔２； （３）－狓２＋狔２； （４）－狓２－狔２． ２．分解因式： １ （１）犪２－ 犫２； （２）９犪２－４犫２； ２５ （３）狓２狔－４狔； （４）－犪４＋１６．  多项式犪２＋２犪犫＋犫２ 与犪２－２犪犫＋犫２ 有什么特点？你能将它们分解因 式吗？ 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的２倍，这恰是 两个数的和或差的平方，我们把犪２＋２犪犫＋犫２ 和犪２－２犪犫＋犫２ 这样的式子叫做 完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解． 把整式乘法的完全平方公式 （犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２ ， （犪－犫） ２＝犪２－２犪犫＋犫２ 的等号两边互换位置，就得到 犪２＋２犪犫＋犫２＝（犪＋犫） ２ ， 犪２－２犪犫＋犫２＝（犪－犫） ２ ， 即两个数的平方和加上 （或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和 （或差）的平方． １１７ !"#$%&’()*+,’-.例５ 分解因式： （１）１６狓２＋２４狓＋９； （２）－狓２＋４狓狔－４狔２． 分析：在（１）中，１６狓２＝（４狓） ２ ，９＝３２ ，２４狓＝２·４狓·３，所以１６狓２＋ ２４狓＋９是一个完全平方式，即 １６狓２＋２４狓＋９＝（４狓） ２＋２·４狓·３＋３２． ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 犪２ ＋ ２·犪·犫＋犫２ 解：（１） １６狓２＋２４狓＋９ ＝（４狓） ２＋２·４狓·３＋３２ ＝（４狓＋３） ２ ； （２） －狓２＋４狓狔－４狔２ ＝－（狓２－４狓狔＋４狔２ ） ＝－［狓２－２·狓·２狔＋（２狔） ２ ］ ＝－（狓－２狔） ２． 例６ 分解因式： （１）３犪狓２＋６犪狓狔＋３犪狔２ ； （２）（犪＋犫） ２－１２（犪＋犫）＋３６． 分析：（１）中有公因式３犪，应先提出公因式，再进一步分解；（２）中，将 犪＋犫看作一个整体，设犪＋犫＝犿，则原式化为完全平方式犿２－１２犿＋３６． 解：（１） ３犪狓２＋６犪狓狔＋３犪狔２ ＝３犪（狓２＋２狓狔＋狔２ ） ＝３犪（狓＋狔） ２ ； （２） （犪＋犫） ２－１２（犪＋犫）＋３６ ＝（犪＋犫） ２－２·（犪＋犫）·６＋６２ ＝（犪＋犫－６） ２． 可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因 式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做公式法． １１８ !"#$%&’()*+,’-.１．下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （１）犪２－４犪＋４； （２）１＋４犪２； （３）４犫２＋４犫－１； （４）犪２＋犪犫＋犫２． ２．分解因式： （１）狓２＋１２狓＋３６； （２）－２狓狔－狓２－狔２； （３）犪２＋２犪＋１； （４）４狓２－４狓＋１； （５）犪狓２＋２犪２狓＋犪３； （６）－３狓２＋６狓狔－３狔２． 习题１４．３  分解因式 （第１～３题）： １． （１）１５犪３＋１０犪２； （２）１２犪犫犮－３犫犮２； （３）６狆（狆＋狇）－４狇（狆＋狇）； （４）犿（犪－３）＋２（３－犪）． ２． （１）１－３６犫２； （２）１２狓２－３狔２； （３）０．４９狆２－１４４； （４）（２狓＋狔）２－（狓＋２狔）２． ３． （１）１＋１０狋＋２５狋２； （２）犿２－１４犿＋４９； １ （３）狔２＋狔＋ ； （４）（犿＋狀）２－４犿（犿＋狀）＋４犿２； ４ （５）２５犪２－８０犪＋６４； （６）犪２＋２犪（犫＋犮）＋（犫＋犮）２．  ４．利用因式分解计算： （１）２１×３．１４＋６２×３．１４＋１７×３．１４； （２）７５８２－２５８２． ５．分解因式： （１）（犪－犫）２＋４犪犫； （２）（狆－４）（狆＋１）＋３狆； （３）４狓狔２－４狓２狔－狔３； （４）３犪狓２－３犪狔２． ６．如下页图，把犚，犚，犚 三个电阻串联起来，线路犃犅上的电流为犐，电压为 １ ２ ３ 犝，则犝＝犐犚＋犐犚＋犐犚．当犚＝１９．７，犚＝３２．４，犚＝３５．９，犐＝２．５时， １ ２ ３ １ ２ ３ 求犝的值． １１９ !"#$%&’()*+,’-.A I I B R R R 1 2 3 （第６题） ７．如图，在半径为犚的圆形钢板上，挖去半径为狉的四个小圆，计算当犚＝７．８ｃｍ， 狉＝１．１ｃｍ时剩余部分的面积 （π取３．１４）． 2m R r r r r （第７题） !"#$%&’()*+,’-. mx m2 （第８题） ８．如图，某小区规划在边长为狓ｍ的正方形场地上，修建两条宽为２ｍ的甬道，其 余部分种草，你能用几种方法计算甬道所占的面积？   ９．已知４狔２＋犿狔＋９是完全平方式，求犿的值． １０．观察下列式子： ２×４＋１＝９＝３２； ６×８＋１＝４９＝７２； １４×１６＋１＝２２５＝１５２； …… 你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？ １１．在实数范围内分解因式： （１）狓２－２； （２）５狓２－３． （提示：根据平方根的意义把各式写成平方差的形式．） １２０  狓 ２ ＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子的因式分解 狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子 进行因式分解呢？ 在第１０２页的练习第２题中，我们发现，（狓＋狆）（狓＋狇）＝狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇．这个规 律可以利用多项式的乘法法则推导得出： （狓＋狆）（狓＋狇） ＝狓２＋狆狓＋狇狓＋狆狇 ＝狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇． 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇＝（狓＋狆）（狓＋狇）． ① 利用①式可以将某些二次项系数是１的二次三项式分解因式．例如，将式子狓２＋ ３狓＋２分解因式．这个式子的二次项系数是１，常数项２＝１×２，一次项系数３＝１＋２，因 此这是一个狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型的式子．利用①式可得狓２＋３狓＋２＝（狓＋１）（狓＋２）． 上述分解因式狓２＋３狓＋２的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二 次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线 的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数 （图１）． １  １  １ ２ １×２＋１×１＝３ 图１ 这样，我们也可以得到狓２＋３狓＋２＝（狓＋１）（狓＋２）． 利用这种方法，你能将下列多项式分解因式吗？ （１）狓２＋７狓＋１０； （２）狓２－２狓－８； （３）狔２－７狔＋１２； （４）狓２＋７狓－１８． １２１ !"#$%&’()*+,’-.   

我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： １５×１５＝１×２×１００＋２５＝２２５， ２５×２５＝２×３×１００＋２５＝６２５， ３５×３５＝３×４×１００＋２５＝１２２５， …… 你能写出一般的规律吗？你能用本章所学知识证明你的结论吗？ 

（１）计算下列两个数的积 （这两个数的十位上的数相同，个位上的数 的和等于１０），你发现结果有什么规律？ ５３×５７，３８×３２，８４×８６，７１×７９． （２）你能用本章所学知识解释这个规律吗？ （３）利用你发现的规律计算： ５８×５２，６３×６７，７５２ ，９５２． １２２ !"#$%&’()*+,’-.小 结 一、本章知识结构图                二、回顾与思考 本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法．整式的乘法主要包括幂的运算 性质、单项式的乘法、多项式的乘法等．利用 “除法是乘法的逆运算”，学习了 简单的整式除法．并学习了因式分解这种与整式的乘法方向相反的变形．它们都 是进一步学习的重要基础． 由于整式中的字母表示数，因此数的运算律和运算性质在整式的运算中仍 然成立．在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法， 而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算．因此，幂的运算是 基础，单项式的乘法是关键．整式的除法也与此类似． 因式分解是与整式的乘法方向相反的变形．整式的乘法是把几个整式相乘， 得到一个新的整式；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘．知道了这 种关系，不仅有助于理解因式分解的意义，而且也可以把整式乘法的过程反过 来，得到分解因式的方法． 某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成乘法公式的形式，利用它们可 以简化运算．把乘法公式的等号两边交换位置，就得到了分解因式的相应公式． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算？请举例说明． ２．举例说明怎样将多项式乘 （除以）单项式转化为单项式的乘除．多项式 乘多项式是如何转化为单项式相乘的？ １２３ !"#$%&’()*+,’-.３．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何 直观的角度用图形解释乘法公式吗？ ４．举例说明因式分解与整式乘法之间的关系，你学习了哪几种分解因式的 方法？请举例说明． 复习题１４  １．计算： （１）（－２狓２狔３）２·（狓狔）３； （２）（２犪＋３犫）（２犪－犫）； （３）５狓２（狓＋１）（狓－１）； （４）（２狓＋狔－１）２； （５）５９．８×６０．２； （６）１９８２． ２．计算： （ ） ２ ３ （１）（２犪）３·犫４÷１２犪３犫２； （２） － 犪７犫５ ÷ 犪２犫５； ３ ２ （ ） ６ ３ （３） 犪３狓４－０．９犪狓３ ÷ 犪狓３； （４）（７狓２狔３－８狓３狔２狕）÷８狓２狔２． ５ ５ ３．分解因式： （１）２５狓２－１６狔２； （２）（犪－犫）（狓－狔）－（犫－犪）（狓＋狔）； （３）犪２－４犪犫＋４犫２； （４）４＋１２（狓－狔）＋９（狓－狔）２． ４．我国陆地面积约是９．６×１０６ｋｍ２．平均每平方千米的陆 地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧１．３×１０５ｔ煤 所产生的能量．求在我国陆地上，一年内从太阳得到的 1 m 能量约相当于燃烧多少吨煤所产生的能量． ５．在半径犚为０．５ｍ的地球仪的表面之外，距赤道１ｍ拉 O 一条绳子绕地球仪一周，这条绳长比地球仪的赤道的周 长多几米？如果在地球赤道表面也同样做，情况又怎样 （已知地球半径为６３７０ｋｍ，π取３．１４）？ （第５题）  ６．计算： （ ） （ ） １ １ ２ （１）４（狓＋１）２－（２狓＋５）（２狓－５）； （２）２狓 狓２－１ －３狓 狓２＋ ； ２ ３ ３ （３）３（狔－狕）２－（２狔＋狕）（－狕＋２狔）； （４）［狓（狓２狔２－狓狔）－狔（狓２－狓３狔）］÷３狓２狔． １２４ !"#$%&’()*+,’-.７．分解因式： （１）狓３－９狓； （２）１６狓４－１； （３）６狓狔２－９狓２狔－狔３； （４）（２犪－犫）２＋８犪犫． ８．已知（狓＋狔）２＝２５，（狓－狔）２＝９，求狓狔与狓２＋狔２ 的值． ９．如图，水压机有四根空心钢立柱，每根高都是１８ｍ，外径犇为１ｍ，内径犱为 ０．４ｍ．每立方米钢的质量为７．８ｔ，求４根立柱的总质量 （π取３．１４）． D  d       1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 h 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （第９题） （第１０题） １０．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是２０１２年８月份的 日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中４个位置上的数交 叉相乘，再相减，例如：７×１３－６×１４＝７，１７×２３－１６×２４＝７，不难发现， 结果都是７． （１）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （２）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？ （３）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．   １１．求证：当狀是整数时，两个连续奇数的平方差（２狀＋１）２－（２狀－１）２ 是８的倍数． １２．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案： （１）第一次提价狆％，第二次提价狇％； （２）第一次提价狇％，第二次提价狆％； 狆＋狇 （３）第一、二次提价均为 ％． ２ 其中狆，狇是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？ （提示：因为狆≠狇，（狆－狇）２＝狆２－２狆狇＋狇２＞０，所以狆２＋狇２＞２狆狇．） １２５ !"#$%&’()*+,’-.第十五章 分式 一艘轮船在静水中的最大航速为３０ｋｍ／ｈ，它 以最大航速沿江顺流航行９０ｋｍ 所用时间，与以 最大航速逆流航行６０ｋｍ 所用时间相等，江水的 流速为多少？ 如果设江水流速为狏ｋｍ／ｈ，则轮船顺流航行 ９０ ９０ｋｍ所用时间为 ｈ，逆流航行６０ｋｍ所用 ３０＋狏 ６０ ９０ ６０ 时间为 ｈ，由方程 ＝ 可以解出狏 ３０－狏 ３０＋狏 ３０－狏 的值． ９０ ６０ 像 和 这样分母中含有字母的式子 ３０＋狏 ３０－狏 都是分式．本章中，我们将类比分数学习分式，解 一些分式方程，并利用分式的知识解决一些实际 问题． 书书书１５．１ 分式 １５．１．１ 从分数到分式  填空： （１）长方形的面积为１０ｃｍ２ ，长为７ｃｍ， 则宽为 ｃｍ；长方形的面积为犛，长为 同５÷３可以写成 犪，则宽为 ． ５ （２）把体积为２００ｃｍ３ 的水倒入底面积为 ３ 一样，式子犃÷犅 ３３ｃｍ２ 的圆柱形容器中，则水面高度为 ｃｍ； 犃 可以写成 ． 把体积为犞的水倒入底面积为犛的圆柱形容器 犅 中，则水面高度为 ． １０ 犛 ２００ 犞 上面问题中，填出的依次是 ， ， ， ． ７ 犪 ３３ 犛  犛 犞 ９０ ６０ 式子 ， 以及引言中的式子 ， 有什么共同点？它们与 犪 犛 ３０＋狏 ３０－狏 分数有什么相同点和不同点？ 犃 可以发现，这些式子与分数一样都是 （即犃÷犅）的形式．分数的分子犃 犅 与分母犅都是整数，而这些式子中的犃与犅都是整式，并且犅中都含有 字母． 犃 一般地，如果犃，犅表示两个整式，并且犅中含有字母，那么式子 叫 犅 犃 做分式 （ｆｒａｃｔｉｏｎ）．分式 中，犃叫做分子，犅叫做分母． 犅 １２７ !"#$%&’犛 犞 ９０ ６０ 分式是不同于整式的另一类式子．上面的 ， ， 和 等都是分 犪 犛 ３０＋狏 ３０－狏 式．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．例如，分数 ２ 狓 仅表示２÷３的商，而分式 既可以表示２÷３，又可以表示（－５）÷２，８÷ ３ 狔 （－９）等．  我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为０．要使分式有意 义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为０，所以分式的分母不能为０，即当 犃 犅≠０时，分式 才有意义． 犅 例１ 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ ２ 狓 （１） ； （２） ； ３狓 狓－１ １ 狓＋狔 （３） ； （４） ． ５－３犫 狓－狔 ２ 解：（１）要使分式 有意义，则分母３狓≠０， ３狓 即狓≠０； 如无特别声明， 本章出现的分式都有 狓 （２）要使分式 有意义，则分母狓－１≠０， 意义． 狓－１ 即狓≠１； １ ５ （３）要使分式 有意义，则分母５－３犫≠０，即犫≠ ； ５－３犫 ３ 狓＋狔 （４）要使分式 有意义，则分母狓－狔≠０，即狓≠狔． 狓－狔 １．列式表示下列各量： （１）某村有狀个人，耕地４０ｈｍ２，则人均耕地面积为 ｈｍ２． １２８ !"#$%&’（２）△犃犅犆的面积为犛，犅犆边的长为犪，则高犃犇为 ． （３）一辆汽车犫ｈ行驶了犪ｋｍ，则它的平均速度为 ｋｍ／ｈ；一列火车 行驶犪ｋｍ比这辆汽车少用１ｈ，则它的平均速度为 ｋｍ／ｈ． ２．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ １ 狓 ４ ２犪－５ 狓 犿－狀 狓２＋２狓＋１ 犮 ， ， ， ， ， ， ， ． 狓 ３ ３犫３＋５ ３ 狓２－狔２ 犿＋狀 狓２－２狓＋１ ３（犪－犫） ３．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ ２ 狓＋１ ２犿 （１） ； （２） ； （３） ； 犪 狓－１ ３犿＋２ １ ２犪＋犫 ２ （４） ； （５） ； （６） ． 狓－狔 ３犪－犫 狓２－１ １５．１．２ 分式的基本性质 由分数的基本性质可知，如果数犮≠０，那么 ２ ２犮 ４犮 ４ ＝ ， ＝ ． ３ ３犮 ５犮 ５ 分数的基本性质： 一个分数的分子、 犪 一般地，对于任意一个分数 ，有 分母乘 （或除以）同 犫 一个不为０的数，分 犪 犪·犮 犪 犪÷犮 ＝ ， ＝ 犮（≠０）， 数的值不变． 犫 犫·犮 犫 犫÷犮 其中犪，犫，犮是数．  类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘 （或除以）同一个不等于０的整式，分式的值不变． 上述性质可以用式子表示为 犃 犃·犆 犃 犃÷犆 ＝ ， ＝ （犆≠０）， 犅 犅·犆 犅 犅÷犆 其中犃，犅，犆是整式． 例２ 填空： 狓３ （ ） ３狓２＋３狓狔 狓＋狔 （１） ＝ ， ＝ ； 狓狔 狔 ６狓２ （ ） １２９ !"#$%&’ 书书书１ （ ） ２犪－犫 （ ） （２） ＝ ， ＝ （犫≠０）． 犪犫 犪２犫 犪２ 犪２犫 狓３ 解：（１）因为 的分母狓狔除以狓才能化为 狓狔 狔，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质， 看分母如何变化， 分子也需除以狓，即 想分子如何变化． 狓３ 狓３÷狓 狓２ ＝ ＝ ． 狓狔 狓狔÷狓 狔 ３狓２＋３狓狔 同样地，因为 的分子３狓２＋３狓狔除 ６狓２ 以３狓才能化为狓＋狔，所以分母也需除以３狓，即 看分子如何变化， 想分母如何变化． ３狓２＋３狓狔 （３狓２＋３狓狔）÷（３狓）狓＋狔 ＝ ＝ ． ６狓２ ６狓２÷（３狓） ２狓 所以，括号中应分别填狓２ 和２狓． １ （２）因为 的分母犪犫乘犪才能化为犪２犫，为保证分式的值不变，根据分 犪犫 式的基本性质，分子也需乘犪，即 １ １·犪 犪 ＝ ＝ ． 犪犫犪犫·犪犪２犫 ２犪－犫 同样地，因为 的分母犪２ 乘犫才能化为犪２犫，所以分子也需乘犫，即 犪２ ２犪－犫 （２犪－犫）·犫 ２犪犫－犫２ ＝ ＝ ． 犪２ 犪２ ·犫 犪２犫 所以，括号中应分别填犪和２犪犫－犫２． 我们知道，分数的约分和通分在分数的运算中起着非常重要的作用．类似 地，分式的约分和通分在分式的运算中也有非常重要的作用．下面讨论分式的 约分和通分．  联想分数的约分，由例２你能想出如何对分式进行约分吗？ 与分数的约分类似，在例２ （１）中，我们利用分式的基本性质，约去 ３狓２＋３狓狔 ３狓２＋３狓狔 的分子和分母的公因式３狓，不改变分式的值，把 化为 ６狓２ ６狓２ １３０ !"#$%&’狓＋狔 ．像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约 ２狓 狓＋狔 去，叫做分式的约分 （ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆａｆｒａｃｔｉｏｎ）．经过约分后的分式 ，其 ２狓 分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式 狓３ 狓２ 狓２ （ｆｒａｃｔｉｏｎｉｎｌｏｗｅｓｔｔｅｒｍｓ）．同样地， 被约分成 ， 也是最简分式． 狓狔 狔 狔 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简 分式或者整式． 例３ 约分： －２５犪２犫犮３ 狓２－９ （１） ； （２） ； １５犪犫２犮 狓２＋６狓＋９ ６狓２－１２狓狔＋６狔２ （３） ． ３狓－３狔 分析：为约分，要先找出分子和分母的公 如果分子或分 因式． 母是多项式，先分 －２５犪２犫犮３ ５犪犫犮·５犪犮２ ５犪犮２ 解：（１） ＝－ ＝－ ； 解因式对约分有什 １５犪犫２犮 ５犪犫犮·３犫 ３犫 么作用？ 狓２－９ （狓＋３）（狓－３）狓－３ （２） ＝ ＝ ； 狓２＋６狓＋９ （狓＋３） ２ 狓＋３ ６狓２－１２狓狔＋６狔２ ６（狓－狔） ２ （３） ＝ ＝２（狓－狔）． ３狓－３狔 ３（狓－狔）  联想分数的通分，由例２你能想出如何对分式进行通分吗？ 与分数的通分类似，在例２ （２）中，我们利用分式的基本性质，将分子 １ ２犪－犫 和分母乘同一个适当的整式，不改变分式的值，把 和 化成分母相同的 犪犫 犪２ 分式．像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的 分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 （ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎｓｔｏａｃｏｍ ｍｏｎｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ）． １３１ !"#$%&’ 书书书例４ 通分： ３ 犪－犫 ２狓 ３狓 （１） 与 ； （２） 与 ． ２犪２犫 犪犫２犮 狓－５ 狓＋５ 分析：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最 高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母． 解：（１）最简公分母是２犪２犫２犮． ３ ３·犫犮 ３犫犮 ＝ ＝ ， ２犪２犫 ２犪２犫·犫犮 ２犪２犫２犮 犪－犫 （犪－犫）·２犪 ２犪２－２犪犫 ２犪２犫的因式有２， ＝ ＝ ． 犪犫２犮 犪犫２犮·２犪 ２犪２犫２犮 犪２，犫；犪犫２犮的因式有 （２）最简公分母是（狓－５）（狓＋５）． 犪，犫２，犮．两式中所有 因式的最高次幂的积 ２狓 ２狓（狓＋５） ２狓２＋１０狓 狓－５ ＝ （狓－５）（狓＋５） ＝ 狓２－２５ ， 是２犪２犫２犮． ３狓 ３狓（狓－５） ３狓２－１５狓 ＝ ＝ ． 狓＋５ （狓＋５）（狓－５） 狓２－２５  分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是 什么？ １．约分： ２犫犮 （狓＋狔）狔 （１） ； （２） ； 犪犮 狓狔２ 狓２＋狓狔 狓２－狔２ （３） ； （４） ． （狓＋狔）２ （狓－狔）２ ２．通分： 狓 狔 ２犮 ３犪犮 （１） 与 ； （２） 与 ； 犪犫 犫犮 犫犱 ４犫２ 狓 狔 ２狓狔 狓 （３） 与 ； （４） 与 ． 犪（狓＋２）犫（狓＋２） （狓＋狔）２ 狓２－狔２ １３２ !"#$%&’习题１５．１  １．填空并判断所填式子是否为分式： （１）一位作家先用犿天写完了一部小说的上集，又用狀天写完下集，这部小说 （上、下集）共１２０万字，这位作家平均每天的写作量为 ； （２）走一段长１０ｋｍ的路，步行用２狓ｈ，骑自行车所用时间比步行所用时间的一 半少０．２ｈ，骑自行车的平均速度为 ； （３）甲完成一项工作需狋ｈ，乙完成同样工作比甲少用１ｈ，设工作总量为１，则 乙的工作效率为 ． ２．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ １ ３ 犫 犮 犪＋６ ３ 狓２＋２狓＋１ 犿＋狀 ，狓－１， ， ， ， ， （狓＋狔）， ， ． 犪 犿 ３ 犪－犫 ２犫 ４ ５ 犿－狀 ３．狓满足什么条件时下列分式有意义？ １ １ 狓－５ １ （１） ； （２） ； （３） ； （４） ． ３狓 ３－狓 ３狓＋５ 狓２－１６ ４．下列各组中的两个分式是否相等？为什么？ ２狓 ４狓狔 ６犪犮 ２犮 （１） 与 ； （２） 与 ． 狔 ２狔２ ９犪２犫 ３犪犫 ５．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含 “－”号： －５狔 －犪 ４犿 －狓 （１） ； （２） ； （３） ； （４）－ ． －狓２ ２犫 －３狀 ２狔 ６．约分： ５狓 ９犪犫２＋６犪犫犮 （１） ； （２） ； ２５狓２ ３犪２犫 ９犪２＋６犪犫＋犫２ 狓２－３６ （３） ； （４） ． ３犪＋犫 ２狓＋１２ ７．通分： 狓 ３狓 ６犮 犮 （１） 与 ； （２） 与 ； ３狔 ２狔２ 犪２犫 ３犪犫２ 狓－狔 狓狔 ２犿狀 ２犿－３ （３） 与 ； （４） 与 ． ２狓＋２狔 （狓＋狔）２ ４犿２－９ ２犿＋３  ８．狓满足什么条件时下列分式有意义？ １ 狓＋５ （１） ； （２） ． 狓（狓－１） 狓２＋１ １３３ !"#$%&’ 书书书９．小李要打一份１２０００字的文件，第一天她打字２ｈ，打字速度为狑字／ｍｉｎ，第二 天她打字速度比第一天快了１０字／ｍｉｎ，两天打完全部文件，第二天她打字用了 多长时间？ １０．某村种植了犿ｈｍ２ 玉米，总产量为狀ｋｇ；水稻的种植面积比玉米的种植面积多 狆ｈｍ２，水稻的总产量比玉米总产量的２倍多狇ｋｇ．写出表示玉米和水稻的单位 面积产量 （单位：ｋｇ／ｈｍ２）的式子． １１．有四块小场地：第一块是边长为犪ｍ的正方形，第二块是边长为犫ｍ的正方形， 其余两块都是长为犪ｍ、宽为犫ｍ的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积 等于上面四块场地面积的和，它的长为２（犪＋犫）ｍ，用最简单的式子表示出大 长方形的宽．   １２．下列各式对不对？如果不对，写出正确答案： １－犪 １ 狓狔－狓２ 狓 （１） ＝ ； （２） ＝ ． 犪２－２犪＋１ １－犪 （狓－狔）２ 狓－狔 １３．在什么条件下，下列分式的值为０？ 狓－１ ５犪－犫 （１） ； （２） ． 狓 犪＋犫 １３４ !"#$%&’１５．２ 分式的运算 １５．２．１ 分式的乘除 问题１ 一个水平放置的长方体容器，其容积为犞，底面的长为犪，宽为 犿 犫，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？ 狀 犞 犞 犿 长方体容器的高为 ，水面的高度为 · ． 犪犫 犪犫 狀 问题２ 大拖拉机犿天耕地犪ｈｍ２ ，小拖拉机狀天耕地犫ｈｍ２ ，大拖拉机 的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？ 犪 犫 大拖拉机的工作效率是 ｈｍ２ ／天，小拖拉机的工作效率是 ｈｍ２ ／天，大 犿 狀 犪 犫 拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的 ÷ 倍． 犿 狀 从上面的问题可知，为讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算． 分式与分数具有类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运 算法则．  你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能说出分 式的乘除法法则吗？ 类似于分数，分式有： 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的 分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式 相乘． 上述法则可以用式子表示为 １３５ !"#$%&’犪 犮 犪·犮 · ＝ ， 犫 犱 犫·犱 犪 犮 犪 犱 犪·犱 ÷ ＝ · ＝ ． 犫 犱 犫 犮 犫·犮 例１ 计算： ４狓 狔 犪犫３ －５犪２犫２ （１） · ； （２） ÷ ． ３狔 ２狓３ ２犮２ ４犮犱 ４狓 狔 ４狓狔 ２ 解：（１） · ＝ ＝ ； ３狔 ２狓３ ６狓３狔 ３狓２ 犪犫３ －５犪２犫２ 犪犫３ ４犮犱 ４犪犫３犮犱 运算结果应化为 （２） ÷ ＝ · ＝－ ２犮２ ４犮犱 ２犮２ －５犪２犫２ １０犪２犫２犮２ 最简分式． ２犫犱 ＝－ ． ５犪犮 例２ 计算： 犪２－４犪＋４ 犪－１ １ １ （１） · ；（２） ÷ ． 犪２－２犪＋１ 犪２－４ ４９－犿２ 犿２－７犿 犪２－４犪＋４ 犪－１ 分子、分母是多 解：（１） · 犪２－２犪＋１ 犪２－４ 项式时，通常先分解 （犪－２） ２ 犪－１ 因式，再约分． ＝ · （犪－１） ２ （犪－２）（犪＋２） （犪－２） ２ （犪－１） ＝ （犪－１） ２ （犪－２）（犪＋２） 犪－２ ＝ ； （犪－１）（犪＋２） １ １ （２） ÷ ４９－犿２ 犿２－７犿 １ 犿（犿－７） ＝－ ·（犿２－７犿）＝－ 犿２－４９ （犿＋７）（犿－７） 犿 ＝－ ． 犿＋７ 例３ 如图１５．２１，“丰收１号”小麦的试验田是边长为犪ｍ （犪＞１）的正 方形去掉一个边长为１ｍ的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收２号”小麦的 试验田是边长为（犪－１）ｍ的正方形，两块试验田的小麦都收获了５００ｋｇ． １３６ !"#$%&’（１）哪种小麦的单位面积产量高？ （２）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (a-1)m 1m 1m (a-1)m am am 图１５．２１ 图１５．２２ 解：（１）“丰收１号”小麦的试验田面积是（犪２－１）ｍ２ ，单位面积产量是 ５００ ｋｇ／ｍ２ ；“丰收２号”小麦的试验田面积是（犪－１） ２ｍ２ ，单位面积产量 犪２－１ ５００ 是 ｋｇ／ｍ２． （犪－１） ２ ∵ 犪＞１， 因为犪＞１，所以 ∴ （犪－１） ２＞０，犪２－１＞０． （犪－１）２－（犪２－１）＝ 由图１５．２２可得 （犪－１） ２＜犪２－１． （犪２－２犪＋１）－（犪２－ ５００ ５００ ∴ ＜ ． １）＝－２（犪－１）＜０， 犪２－１ （犪－１） ２ 即（犪－１）２＜犪２－１． 所以，“丰收２号”小麦的单位面积产量高． ５００ ５００ ５００ 犪２－１ （２） ÷ ＝ · （犪－１） ２ 犪２－１ （犪－１） ２ ５００ （犪＋１）（犪－１）犪＋１ ＝ ＝ ． （犪－１） ２ 犪－１ 所以，“丰收２号”小麦的单位面积产量是 “丰收１号”小麦的单位面积 犪＋１ 产量的 倍． 犪－１ １．写出第１５．２．１节中问题１和问题２的计算结果． １３７ !"#$%&’２．计算： ３犪 １６犫 １２狓狔 （１） · ； （２） ÷８狓２狔； ４犫 ９犪２ ５犪 ２狔２ 狓＋狔 狔－狓 （３）（－３狓狔）÷ ； （４） · ． ３狓 狓－狔 狓＋狔 ３．计算： ３犪－３犫 ２５犪２犫３ ４狔２－狓２ 狓－２狔 （１） · ； （２） ÷ ． １０犪犫 犪２－犫２ 狓２＋２狓狔＋狔２ ２狓２＋２狓狔 ２狓 ３ 狓 例４ 计算 ÷ · ． ５狓－３ ２５狓２－９ ５狓＋３ ２狓 ３ 狓 解： ÷ · ５狓－３ ２５狓２－９ ５狓＋３ ２狓 ２５狓２－９ 狓 乘除混合运算可 ＝ · · ５狓－３ ３ ５狓＋３ 以统一为乘法运算． ２狓２ ＝ ． ３  （犪） （犪） （犪） ２＝？ ３＝？ １０＝？ 犫 犫 犫 根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得： （犪） 犪 犪 犪·犪 犪２ ２＝ · ＝ ＝ ； 犫 犫 犫 犫·犫 犫２ （犪） 犪 犪 犪 ３＝ · · ＝ ； 犫 犫 犫 犫 （犪） １０＝ ． 犫 一般地，当狀是正整数时， 狀个 烇 烉 烋 （犪） 犪 犪 犪 犪·犪·…·犪 犪狀 狀＝ · ·…· ＝ ＝ ，即 犫 犫 犫 犫 犫·犫·…·犫 犫狀 烏 烐 烑 烏 烐 烑 狀个 狀个 （犪） 犪狀 狀＝ ． 犫 犫狀 这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． １３８ !"#$%&’例５ 计算： （－２犪２犫） （犪２犫） ２犪 （犮） （１） ２； （２） ３÷ · ２． ３犮 －犮犱３ 犱３ ２犪 （－２犪２犫） （－２犪２犫） ２ ４犪４犫２ 解：（１） ２＝ ＝ ； ３犮 （３犮） ２ ９犮２ （犪２犫） ２犪 （犮） （２） ３÷ · ２ －犮犱３ 犱３ ２犪 犪６犫３ ２犪 犮２ 式与数有相同的 ＝ ÷ · －犮３犱９ 犱３ ４犪２ 混合运算顺序：先乘 方，再乘除． 犪６犫３ 犱３ 犮２ ＝ · · －犮３犱９ ２犪 ４犪２ 犪３犫３ ＝－ ． ８犮犱６ １．计算： ２犿２狀 ５狆２狇 ５犿狀狆 １６－犪２ 犪－４ 犪－２ （１） · ÷ ； （２） ÷ · ． ３狆狇２ ４犿狀２ ３狇 犪２＋８犪＋１６ ２犪＋８ 犪＋２ ２．计算： （ ） （ ） （ ） －２狓４狔２ ３ ２犪犫３ ２ ６犪４ －３犮３ （１） ； （２） ÷ · ． ３狕 －犮２犱 犫３ 犫２ １５．２．２ 分式的加减 问题３ 甲工程队完成一项工程需狀天，乙工程队要比甲队多用３天才能 完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？ １ １ 甲工程队一天完成这项工程的 ，乙工程队一天完成这项工程的 ， 狀 狀＋３ （１ １ ） 两队共同工作一天完成这项工程的 ＋ ． 狀 狀＋３ 问题４ ２００９年、２０１０年、２０１１年某地的森林面积 （单位：ｋｍ２ ）分别是 犛，犛，犛，２０１１年与２０１０年相比，森林面积增长率提高了多少？ １ ２ ３ 犛－犛 ２０１１年的森林面积增长率是 ３ ２，２０１０年的森林面积增长率是 犛 ２ １３９ !"#$%&’犛－犛 犛－犛 犛－犛 ２ １，２０１１年与２０１０年相比，森林面积增长率提高了 ３ ２－ ２ １． 犛 犛 犛 １ ２ １ 从上面的问题可知，为讨论数量关系，有时需要进行分式的加减运算．  分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数 １ ２ ３ １ ２ １ １ １ ３ ２ ５ 加减运算的式子： ＋ ＝ ， － ＝－ ， ＋ ＝ ＋ ＝ ， ５ ５ ５ ５ ５ ５ ２ ３ ６ ６ ６ １ １ ３ ２ １ － ＝ － ＝ ．你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？ ２ ３ ６ ６ ６ 类似分数的加减法，分式的加减法法则是： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 上述法则可用式子表示为 犪 犫 犪±犫 ± ＝ ， 犮 犮 犮 犪 犮 犪犱 犫犮 犪犱±犫犮 ± ＝ ± ＝ ． 犫 犱 犫犱 犫犱 犫犱 例６ 计算： ５狓＋３狔 ２狓 １ １ （１） － ； （２） ＋ ． 狓２－狔２ 狓２－狔２ ２狆＋３狇 ２狆－３狇 ５狓＋３狔 ２狓 解：（１） － 狓２－狔２ 狓２－狔２ ５狓＋３狔－２狓 ３狓＋３狔 ３ ＝ ＝ ＝ ； 狓２－狔２ 狓２－狔２ 狓－狔 １ １ （２） ＋ ２狆＋３狇 ２狆－３狇 ２狆－３狇 ２狆＋３狇 结果也可以写成 ＝ ＋ （２狆＋３狇）（２狆－３狇） （２狆＋３狇）（２狆－３狇） ４狆 ． （２狆＋３狇）（２狆－３狇） ２狆－３狇＋２狆＋３狇 ４狆 ＝ ＝ ． （２狆＋３狇）（２狆－３狇） ４狆２－９狇２ １４０ !"#$%&’１．计算： 狓＋１ １ 犪 ２犪 ３犪 （１） － ； （２） ＋ － ． 狓 狓 犫＋１ 犫＋１ 犫＋１ ２．计算： １ １ ３ ２犿－狀 （１） ＋ ； （２） － ； ２犮２犱 ３犮犱２ ２犿－狀 （２犿－狀）２ 犪 １ 犪２ （３） － ； （４） －犪－１． 犪２－犫２ 犪＋犫 犪－１ （２犪） １ 犪 犫 例７ 计算 ２· － ÷ ． 犫 犪－犫 犫 ４ （２犪） １ 犪 犫 解： ２· － ÷ 犫 犪－犫 犫 ４ ４犪２ １ 犪 ４ 式与数有相同的 ＝ · － · 犫２ 犪－犫 犫 犫 混合运算顺序：先乘 方，再 乘 除， 然 后 ４犪２ ４犪 ４犪２ ４犪（犪－犫） ＝ － ＝ － 加减． 犫２ （犪－犫）犫２ 犫２ （犪－犫） 犫２ （犪－犫） ４犪２－４犪２＋４犪犫 ４犪犫 ＝ ＝ 犫２ （犪－犫） 犫２ （犪－犫） ４犪 ＝ ． 犪犫－犫２ 例８ 计算： （ ５ ） ２犿－４ （狓＋２ 狓－１ ） 狓－４ （１） 犿＋２＋ · ； （２） － ÷ ． ２－犿 ３－犿 狓２－２狓 狓２－４狓＋４ 狓 （ ５ ） ２犿－４ 解：（１） 犿＋２＋ · ２－犿 ３－犿 （犿＋２）（２－犿）＋５ ２犿－４ ＝ · ２－犿 ３－犿 ９－犿２ ２（犿－２） ＝ · ２－犿 ３－犿 （３－犿）（３＋犿） －２（２－犿） ＝ · ２－犿 ３－犿 ＝－２（犿＋３）＝－２犿－６； １４１ !"#$%&’（狓＋２ 狓－１ ） 狓－４ （２） － ÷ 狓２－２狓 狓２－４狓＋４ 狓 熿 狓＋２ 狓－１ 燄 狓 ＝ － · 燀 狓（狓－２） （狓－２） ２燅 狓－４ （狓＋２）（狓－２）－（狓－１）狓 狓 ＝ · 狓（狓－２） ２ 狓－４ 狓２－４－狓２＋狓 ＝ （狓－２） ２ （狓－４） １ ＝ ． （狓－２） ２ １．写出第１５．２．２节中问题３和问题４的计算结果． ２．计算： （ ） （ ） （ ） 狓 ２ 狔 狓 ２狔２ 狓＋１ ２狓 ２ １ １ （１） · － ÷ ； （２） · － － ． ２狔 ２狓 狔２ 狓 狓 狓＋１ 狓－１ 狓＋１ １５．２．３ 整数指数幂 我们知道，当狀是正整数时， 犪狀＝犪·犪·…·犪． 烏 烐 烑 狀个 正整数指数幂有以下运算性质： （１）犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀是正整数）； （２）（犪犿）狀＝犪犿狀 （犿，狀是正整数）； （３）（犪犫）狀＝犪狀犫狀 （狀是正整数）； （４）犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀是正整数，犿＞狀）； （犪） 犪狀 （５） 狀＝ （狀是正整数）． 犫 犫狀 其中，第 （５）个性质就是分式的乘方法则． 此外，我们还学习过０指数幂，即当犪≠０时，犪０＝１．  犪犿 中指数犿可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂犪犿 表 示什么？ １４２ !"#$%&’由分式的约分可知，当犪≠０时， 犪３ 犪３ １ 犪３÷犪５＝ 犪５ ＝ 犪３ ·犪２ ＝ 犪２ ． ① 学习了分式后， 对指数的认识会有新 另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质 （４） 发 展．即 将 讨 论 的 犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀是正整数，犿＞狀） 犪－狀 （狀是正整数） 就 中的条件犿＞狀去掉，即假设这个性质对于像 属于分式． 犪３÷犪５ 的情形也能使用，则有 犪３÷犪５＝犪３－５＝犪－２． ② １ 由①②两式，我们想到如果规定犪－２＝ （犪≠０），就能使犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 这 犪２ 条性质也适用于像犪３÷犪５ 这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同 时也可以更简便地表示分式，数学中规定： 一般地，当狀是正整数时， 你现在能说出 １ 当犿分别是正整 犪－狀＝ （犪≠０）． 犪狀 数、０、负整数时， 这就是说，犪－狀 （犪≠０）是犪狀 的倒数． 犪犿 各表示什么意 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推 思吗？ 广到全体整数．  引入负整数指数和０指数后，犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀是正整数）这 条性质能否推广到犿，狀是任意整数的情形？ 我们从特殊情形入手进行研究．例如， 犪３ １ 犪３ ·犪－５＝ 犪５ ＝ 犪２ ＝犪－２＝犪３＋（－５），即 可以换其他整数 指数再验证这个规律． 犪３ ·犪－５＝犪３＋（－５）； １ １ １ 犪－３ ·犪－５＝ · ＝ ＝犪－８＝犪（－３）＋（－５），即 犪３ 犪５ 犪８ 犪－３ ·犪－５＝犪（－３）＋（－５）； １ １ 犪０ ·犪－５＝１· ＝ ＝犪－５＝犪０＋（－５），即 犪５ 犪５ 犪０ ·犪－５＝犪０＋（－５）． １４３ !"#$%&’ 犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 这条性质对于犿，狀是任意整数的情形仍然适用．  类似地，你可以用负整数指数幂或０指数幂对于其他正整数指数幂的 运算性质进行试验，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用． 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算 性质也推广到整数指数幂． 例９ 计算： （犫３ ） （１）犪－２÷犪５ ； （２） －２； 犪２ （３）（犪－１犫２）３ ； （４）犪－２犫２ ·（犪２犫－２）－３． １ 解：（１）犪－２÷犪５＝犪－２－５＝犪－７＝ ； 犪７ （犫３ ） 犫－６ 犪４ （２） －２＝ ＝犪４犫－６＝ ； 犪２ 犪－４ 犫６ 犫６ （３）（犪－１犫２）３＝犪－３犫６＝ ； 犪３ 犫８ （４）犪－２犫２ ·（犪２犫－２）－３＝犪－２犫２ ·犪－６犫６＝犪－８犫８＝ ． 犪８ 根据整数指数幂的运算性质，当犿，狀为整数时，犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 ，犪犿 · 犪－狀＝犪犿＋（－狀）＝犪犿－狀 ，因此犪犿÷犪狀＝犪犿 ·犪－狀 ，即同底数幂的除法犪犿÷犪狀 犪 可以转化为同底数幂的乘法犪犿 ·犪－狀．特别地， ＝犪÷犫＝犪·犫－１ ，所以 犫 （犪） （犪） 狀＝ （犪·犫－１ ） 狀 ，即商的乘方 狀可以转化为积的乘方 （犪·犫－１ ） 狀．这 犫 犫 样，整数指数幂的运算性质可以归结为： （１）犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀是整数）； （２）（犪犿 ） 狀＝犪犿狀 （犿，狀是整数）； （３）（犪犫） 狀＝犪狀犫狀 （狀是整数）． １４４ !"#$%&’１．填空： （１）３０＝ ，３－２＝ ； （２）（－３）０＝ ，（－３）－２＝ ； （３）犫０＝ ，犫－２＝ （犫≠０）． ２．计算： （１）狓２狔－３（狓－１狔）３； （２）（２犪犫２犮－３）－２÷（犪－２犫）３． 我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示．例如，光速约为 ３×１０８ｍ／ｓ，太阳半径约为６．９６×１０５ｋｍ，２０１０年世界人口数约为６．９×１０９ 等． 有了负整数指数幂后，小于１的正数也可以用科学记数法表示．例如， ０．００００１＝１０－５ ，０．００００２５７＝２．５７×１０－５ ，０．０００００００２５７＝２．５７×１０－８ 等， 即小于１的正数可以用科学记数法表示为犪×１０－狀 的形式，其中１≤犪＜１０，狀是 正整数．这种形式更便于比较数的大小，例如２．５７×１０－５ 显然大于２．５７×１０－８ ， 前者是后者的１０３ 倍．  对于一个小于１的正小数，如果小数点后至第一个非０数字前有８个 ０，用科学记数法表示这个数时，１０的指数是多少？如果有犿个０呢？ 例１０ 纳米 （ｎｍ）是非常小的长度单位， １ｎｍ＝１０－９ｍ．把１ｎｍ３ 的物体放到乒乓球上， 纳米技术是一种高 就如同把乒乓球放到地球上．１ｍｍ３ 的空间可以放 新技 术，它可以在微观 多少个１ｎｍ３ 的物体 （物体之间的间隙忽略不计）？ 世界里直接探索０．１～ 解：１ｍｍ＝１０－３ｍ，１ｎｍ＝１０－９ｍ． ５００ｎｍ范围内物质的特 性，从而创造新材料． （１０－３ ） ３÷（１０－９ ） ３＝１０－９÷１０－２７＝１０－９－（－２７） 这项技术有重要应用． ＝１０１８． １ｍｍ３ 的空间可以放１０１８ 个１ｎｍ３ 的物体． １０１８ 是一个非常大的数，它是１亿 （即１０８ ）的１００亿 （即１０１０ ）倍． １．用科学记数法表示下列数： ０．００００００００１， ０．００１２， ０．００００００３４５， ０．０００００００１０８． １４５ !"#$%&’２．计算： （１）（２×１０－６）×（３．２×１０３）； （２）（２×１０－６）２÷（１０－４）３． 习题１５．２  １．计算： （ ） ６犪犫 １０犮 －７狓 ９狔２ （１） · ； （２） · － ； ５犮２ ３犫 ３狔狕 狓２ （ ） ２犿 ４犿２ 狓 ４狓２ （３） ÷ ； （４） ÷ － ． ５狀 １０狀３ ５狔 ５狔２ ２．计算： ４犪＋４犫 １５犪２犫 狓２－４狔２ 狓＋２ （１） · ； （２） · ； ５犪犫 犪２－犫２ 狓２＋４狓＋４ ３狓２＋６狓狔 狓２＋１ 狓２－３６ 狔２－狓２ 狓＋狔 （３） · ； （４） ÷ ． 狓－６ 狓３＋狓 ５狓２－４狓狔 ５狓－４狔 ３．计算： ４犪２犫 ５犮２犱 ２犪犫犮 ８１－犪２ 犪－９ 犪＋３ （１） · ÷ ； （２） ÷ · ； ３犮犱２ ４犪犫２ ３犱 犪２＋６犪＋９ ２犪＋６ 犪＋９ （ ） （ ） （ ） －３狓３狔２ －犪２ ２犪２ ２ 犪 （３） ； （４） ÷ · ． ３狕２ 犫 ５犫 ５犫 ４．计算： 犪 １ ３ ３狓 （１） ＋ ； （２） － ； 犪＋１ 犪＋１ 狓＋１ 狓＋１ 犪 １ ３ ３狓 （３） ＋ ； （４） － ． （犪＋１）２ （犪＋１）２ （狓－１）２ （狓－１）２ ５．计算： ２犪 ３犫 ２犿 ３狀 （１） ＋ ； （２） － ； ５犪２犫 １０犪犫２ ５狀２狆 ４犿狆２ ３狔 ２狓狔 ２狓 １ （３） ＋ ； （４） － ． ２狓＋２狔 狓２＋狓狔 狓２－６４狔２ 狓－８狔 ６．计算： （ ） （ ） （ ） １ １ ２ １ １ ３狓２ ２ ２狔 狓２ ２狔２ （１） ＋ ÷ － ； （２） · ＋ ÷ ； 犪 犫 犪２ 犫２ ４狔 ３狓 ２狔２ 狓 （ ） （ ） 狓 ２狔 狓狔 １ １ （３） ＋ · ÷ ＋ ； 狓＋狔 狓＋狔 狓＋２狔 狓 狔 （ ） 犪＋犫２ ２犪－２犫 犪２ 犪 （４） · － ÷ ． 犪－犫 ３犪＋３犫 犪２－犫２ 犫 １４６ !"#$%&’７．计算： （１）３犪－２犫·２犪犫－２； （２）４狓狔２狕÷（－２狓－２狔狕－１）； （３）（－３犪犫－１）３； （４）（２犿２狀－２）２·３犿－３狀３． ８．用科学记数法表示下列数： ０．００００１， ０．００００２， ０．００００００５６７， ０．００００００３０１． ９．计算： （１）（２×１０－３）×（５×１０－３）； （２）（３×１０－５）２÷（３×１０－１）２．  狆 １０．一艘船顺流航行狀ｋｍ用了犿ｈ，如果逆流航速是顺流航速的 ，那么这艘船逆 狇 流航行狋ｈ走了多少路程？ １１．在一块犪ｈｍ２ 的稻田上插秧，如果１０个人插秧，要用犿天完成；如果一台插秧 机工作，要比１０个人插秧提前３天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作 效率的多少倍？ １２．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，犪天用水犿ｔ，现在改用喷灌方式，可使这些水 多用３天，现在比原来每天节约用水多少吨？ １３．两地相距狀ｋｍ，提速前火车从一地到另一地要用狋ｈ，提速后行车时间减少了 ０．５ｈ，提速后火车的速度比原来速度快了多少？ １４．一块麦田有犿ｈｍ２，甲收割完这块麦田需狀ｈ，乙比甲少用０．５ｈ就能收割完这 块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？   １５．计算下列两式，探索其中的共同规律： 狆 犿 狀 犮－犪 犪－犫 犫－犮 （１） ＋ ＋ ； （２） ＋ ＋ ． 犿狀狀狆 狆犿 （犪－犫）（犫－犮） （犫－犮）（犮－犪） （犮－犪）（犪－犫） １６．一个无盖长方体盒子的容积是犞． （１）如果盒子底面是边长为犪的正方形，这个盒子 的表面积是多少？ （２）如果盒子底面是长为犫、宽为犮的长方形，这 个盒子的表面积是多少？ （３）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等， （第１６题） 那么两种盒子的表面积相差多少？ （不计制造材料的厚度．） １４７ !"#$%&’  容器中的水能倒完吗 请看下面的问题： １ 一个容器装有１Ｌ水，按照如下要求把水倒出：第１次倒出 Ｌ水，第２次倒出的水 ２ １ １ １ １ １ １ 量是 Ｌ的 ，第３次倒出的水量是 Ｌ的 ，第４次倒出的水量是 Ｌ的 ……第狀 ２ ３ ３ ４ ４ ５ １ １ 次倒出的水量是 Ｌ的 ……按照这种倒水的方法，这１Ｌ水经多少次可以倒完？ 狀 狀＋１ 你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出的水量，当倒 出的水量很小时测量的难度非常大．我们不考虑实际操作因素，将上面的问题抽象成数学 模型加以解决． 容易列出倒狀次水倒出的总水量为 １ １ １ １ １ １ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ． ① ２ ２×３ ３×４ ４×５ （狀－１）狀 狀（狀＋１） 根据分式的减法法则， １ １ 狀＋１ 狀 １ － ＝ － ＝ ． 狀 狀＋１ 狀（狀＋１）狀（狀＋１）狀（狀＋１） 反过来，有 １ １ １ ＝ － ． ② 狀（狀＋１） 狀 狀＋１ 利用②可以把①改写为 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ ＋ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＋ － ． ③ ２ ２ ３ ３ ４ ４ ５ 狀－１ 狀 狀 狀＋１ １ 合并③中的相反数，得１－ ，即倒狀次水倒出的总水量为 狀＋１ １ 狀 １－ ＝ （Ｌ）． 狀＋１ 狀＋１ 狀 可以发现，从数学上看，随着倒水次数狀的不断增加，倒出的总水量 也不断增 狀＋１ 狀 加．然而，不论倒水次数狀有多大，倒出的总水量 总小于１．因此，按这种方法，容 狀＋１ 器中的１Ｌ水是倒不完的． １４８ !"#$%&’１５．３ 分式方程 现在回到本章引言中的问题． 为解决引言中提出的问题，我们得到了方程 ９０ ６０ ＝ ． ① ３０＋狏 ３０－狏 方程①的分母中含未知数狏，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程 （ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎ）．我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在 分母中．  如何解分式方程①？ 我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含 未知数，因此解分式方程是一个新的问题．能否将分式方程化为整式方程呢？ 我们自然会想到通过 “去分母”实现这种转变． 分式方程①中各分母的最简公分母是 （３０＋狏）（３０－狏）．把方程①的两边 乘最简公分母可化为整式方程，解这个整式方程可得方程①的解． 解：方程①两边乘（３０＋狏）（３０－狏），得 将方程①化成 ９０（３０－狏）＝６０（３０＋狏）． 整式方程的关键步 解得 骤是什么？ 狏＝６． ５ 检验：将狏＝６代入①中，左边＝ ＝右边，因此狏＝６是分式方程①的解． ２ 由上可知，江水的流速为６ｋｍ／ｈ．  解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是 “去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． １４９ !"#$%&’解下列方程： ５ ７ ２ １ （１） ＝ ； （２） ＝ ． 狓 狓－２ 狓＋３ 狓－１ 下面我们再讨论一个分式方程 １ １０ ＝ ． ② 狓－５ 狓２－２５ 为去分母，在方程两边乘最简公分母（狓－５）（狓＋５），得整式方程 狓＋５＝１０． 解得 狓＝５是原分 式方程的解吗？ 狓＝５． 将狓＝５代入原分式方程检验，发现这时分 母狓－５和狓２－２５的值都为０，相应的分式无意义．因此，狓＝５虽是整式方程 １ １０ 狓＋５＝１０的解，但不是原分式方程 ＝ 的解．实际上，这个分式方 狓－５ 狓２－２５ 程无解．  ９０ ６０ 上面两个分式方程中，为什么 ＝ ①去分母后所得整式 ３０＋狏 ３０－狏 １ １０ 方程的解就是①的解，而 ＝ ②去分母后所得整式方程的解 狓－５ 狓２－２５ 却不是②的解呢？ 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子 （最简公分 母）．方程①两边乘（３０＋狏）（３０－狏），得到整式方程，它的解狏＝６．当狏＝６ 时，（３０＋狏）（３０－狏）≠０，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为０的 式子，因此所得整式方程的解与①的解相同． 方程②两边乘（狓－５）（狓＋５），得到整式方程，它的解狓＝５．当狓＝５时， （狓－５）（狓＋５）＝０，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于０的式子， 这时所得整式方程的解使②出现分母为０的现象，因此这样的解不是②的解． １５０ !"#$%&’一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分 母为０，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方 程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． ２ ３ 例１ 解方程 ＝ ． 狓－３ 狓 解：方程两边乘狓（狓－３），得 ２狓＝３狓－９． 解得 狓＝９． 检验：当狓＝９时，狓（狓－３）≠０． 所以，原分式方程的解为狓＝９． 狓 ３ 例２ 解方程 －１＝ ． 狓－１ （狓－１）（狓＋２） 解：方程两边乘（狓－１）（狓＋２），得 狓（狓＋２）－（狓－１）（狓＋２）＝３． 解得 狓＝１． 检验：当狓＝１时，（狓－１）（狓＋２）＝０，因此狓＝１不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．  解分式方程的一般步骤如下：










  

  x = a   
  
 x = a  
x = a   １５１ !"#$%&’解下列方程： １ ２ 狓 ２狓 （１） ＝ ； （２） ＝ ＋１； ２狓 狓＋３ 狓＋１ ３狓＋３ ２ ４ ５ １ （３） ＝ ； （４） － ＝０． 狓－１ 狓２－１ 狓２＋狓 狓２－狓 解决实际问题中，有时需要列、解分式方程． 例３ 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工１个月完成总工 １ 程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个 ３ 队的施工速度快？ １ 分析：甲队１个月完成总工程的 ，设乙队 ３ 问题中的哪个 １ 单独施工１个月能完成总工程的 ，那么甲队半 等量关系可以用来 狓 列方程？ 个月完成总工程的 ，乙队半个月完成 总工程的 ，两队半个月完成总工程 的 ． 在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程． １ 解：设乙队单独施工１个月能完成总工程的 ．记总工程量为１，根据工 狓 程的实际进度，得 １ １ １ ＋ ＋ ＝１． ３ ６ ２狓 方程两边乘６狓，得 ２狓＋狓＋３＝６狓． 解得 狓＝１． 检验：当狓＝１时，６狓≠０． 所以，原分式方程的解为狓＝１． 由上可知，若乙队单独施工１个月可以完成全部任务，对比甲队１个月 １ 完成任务的 ，可知乙队的施工速度快． ３ １５２ !"#$%&’例４ 某次列车平均提速狏ｋｍ／ｈ．用相同的时间，列车提速前行驶狊ｋｍ， 提速后比提速前多行驶５０ｋｍ，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母狏，狊表示已知数据，设提 速前列车的平均速度为狓ｋｍ／ｈ，那么提速前列车 行驶狊ｋｍ所用时间为 ｈ，提速后列车的 表达问题时，用 平均速度为 ｋｍ／ｈ，提速后列车运行 字母不仅可以表示未 （狊＋５０）ｋｍ所用时间为 ｈ． 知数 （量），也可以表 根据行驶时间的等量关系可以列出方程． 示已知数 （量）． 解：设提速前这次列车的平均速度为狓ｋｍ／ｈ， 狊 则提速前它行驶狊ｋｍ所用时间为 ｈ；提速后列 狓 车的平均速度为（狓＋狏）ｋｍ／ｈ，提速后它行驶 狊＋５０ （狊＋５０）ｋｍ所用时间为 ｈ． 狓＋狏 根据行驶时间的等量关系，得 狊 狊＋５０ ＝ ． ① 狓 狓＋狏 方程两边乘狓（狓＋狏），得 狊（狓＋狏）＝狓（狊＋５０）． 解得 狊狏 狓＝ ． ５０ 狊狏 检验：由狏，狊都是正数，得狓＝ 时狓（狓＋狏）≠０． ５０ 狊狏 所以，原分式方程的解为狓＝ ． ５０ 狊狏 答：提速前列车的平均速度为 ｋｍ／ｈ． ５０ 上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找 规律时经常出现．方程①是以狓为未知数的分式方程，其中狏，狊是已知数， 根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数． １５３ !"#$%&’１．八年级学生去距学校１０ｋｍ的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 ２０ｍｉｎ后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车 学生速度的２倍，求骑车学生的速度． ２．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做６个，甲做９０个所用的时 间与乙做６０个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个． 习题１５．３  １．解下列方程： １ ５ 狓 ３ （１） ＝ ； （２） ＝ －２； 狓 狓＋３ 狓－１ ２狓－２ ２ ４ ３ １ （３） ＝ ； （４） － ＝０； ２狓－１ ４狓２－１ 狓２＋２狓 狓２－２狓 狓 狓＋１ 狓－３ ３ （５） ＝ ； （６） ＋１＝ ； 狓－３ 狓－１ 狓－２ ２－狓 ２狓＋１ ５ ３ １ ５ （７） ＝ ； （８） － ＝ ． 狓２＋狓 ６狓＋６ ２ ３狓－１ ６狓－２  ２．解方程求狓： １ 犿 １ （１） ＋犪＝１（犪≠１）； （２） － ＝０（犿≠０，且犿≠１）． 狓－１ 狓 狓＋１ ３．甲、乙两人分别从距目的地６ｋｍ和１０ｋｍ的两地同时出发，甲、乙的速度比是 ３∶４，结果甲比乙提前２０ｍｉｎ到达目的地．求甲、乙的速度． １５４ !"#$%&’４．Ａ，Ｂ两种机器人都被用来搬运化工原料，Ａ型机器人比Ｂ型机器人每小时多搬运 ３０ｋｇ，Ａ型机器人搬运９００ｋｇ所用时间与Ｂ型机器人搬运６００ｋｇ所用时间相等， 两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ ５．张明３ｈ清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作 １．２ｈ清点完另一半图书．如果李强单独清点这批图书需要几小时？ ６．一个圆柱形容器的容积为犞ｍ３，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到 容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水，向容器中注满水的 全过程共用时间狋ｍｉｎ．求两根水管各自的注水速度．（提示：要考虑大水管的注 水速度是小水管注水速度的多少倍．）   ７．改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量犪ｔ，原来产犿ｔ玉米的一块土 地，现在的总产量增加了２０ｔ．原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？ ８．两个小组同时开始攀登一座４５０ｍ高的山，第一组的攀登速度是第二组的１．２ 倍，他们比第二组早１５ｍｉｎ到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？如果山高 为犺ｍ，第一组的攀登速度是第二组的犪倍，并比第二组早狋ｍｉｎ到达顶峰，则 两组的攀登速度各是多少？ ９．联系实际问题，编出关于分式方程的应用题，并求出应用题的答案． １５５ !"#$%&’ 书书书   


   犪 犮 找一组都不为０的数犪，犫，犮，犱，使得分式 ＝ 成立 （即犪，犫， 犫 犱 犮，犱成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之 间有什么关系． 犪 犫 犫 犱 （１） 和 ； （２） 和 ； 犮 犱 犪 犮 犪＋犫 犮＋犱 犪＋犫 犮＋犱 （３） 和 ； （４） 和 （犪≠犫，犮≠犱）． 犫 犱 犪－犫 犮－犱 多找几组这样的数犪，犫，犮，犱试一试． 试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明你的猜想． １５６ !"#$%&’小 结 一、本章知识结构图                                  二、回顾与思考 分式与分数具有类似的形式，也具有类似的性质和运算．本章通过与分数 进行类比，得出分式的基本性质，引入分式的运算．本章还讨论了可化为一元 一次方程的分式方程的解法，并应用它解决了一些实际问题．解分式方程的基 本思路是：先通过去分母将分式方程化归为整式方程，求出整式方程的解，再 经过检验得到分式方程的解． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．如何用式子形式表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式 的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么 作用？ ２．分式怎样约分和通分？依据是什么？ ３．狀是正整数时，犪－狀 （犪≠０）表示什么意思？整数指数幂有哪些运算 性质？ ４．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？ ５．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分 式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？ １５７ !"#$%&’复习题１５  １．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 狓 １ １ 犪＋犫 狕 ２犪犫 ， ， ， ， ， ． ３ 狀 犪＋５ １５ 狓２狔 （犪＋犫）２ ２．计算： 狊－２狋 ６狊２ 狓－狔 （１） · ； （２） ÷（狓－狔）２； ３狊 狊＋２狋 狓＋狔 ２犪 ２ 狌－２狏 ２ （３） ＋ ； （４） － ； 犪＋１ 犪＋１ 狌＋２狏 狌２－４狏２ （ ） －３狓２ （５）（狓－２狔３）－３； （６） ． 狔３狕 ３．计算： （ ） ２犿 ３狀２ 犿狀 （１） · ÷ ； （２）犪２犫３·（犪犫２）－２； ３狀 狆 狆２ （ ） 狓２－１６ 狓 狆狇３ ２狆 １ （３） ＋ ； （４） ÷ ＋ ； 狓２＋８狓＋１６ 狓－４ ２狉 狉２ ２狇 （ ） （ ） １－狓２ 犪－犫 ２犪犫－犫２ （５）１÷２狓＋ ； （６） ÷犪－ ； 狓 犪 犪 （ ）（ ） 犪－犫 犪２－犫２ ４狓狔 ４狓狔 （７）１－ ÷ ； （８）狓－狔＋ 狓＋狔－ ． 犪＋２犫 犪２＋４犪犫＋４犫２ 狓－狔 狓＋狔 ４．解下列方程： ５狓＋２ ３ ２狓 ２ （１） ＝ ； （２） － ＝１． 狓２＋狓 狓＋１ ２狓－５ ２狓＋５  ５．狓满足什么条件时下列分式有意义？ 狓－２ １ ３狓 狓－２ （１） － ； （２） ÷ ． ２狓＋１ 狓－２ 狓＋２ ２狓－３ ６．填空： ３狓－６ （１）当狓为 时，分式 的值为０； ２狓＋１ ２狓＋１ （２）当狓（狓≠０）为 时，分式 的值为正； 狓２ 狓－２ （３）当狓（狓≠０）为 时，分式 的值为负． 狓２ ７．什么情况下２（狓＋１）－１ 与３（狓－２）－１ 的值相等？ １５８ !"#$%&’８．某工厂现在平均每天比原计划多生产５０台机器，现在生产６００台机器所需时间 与原计划生产４５０台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？ ９．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的１５０倍，用这台机器收割 １０ｈｍ２ 小麦比１００个农民人工收割这些小麦要少用１ｈ，这台收割机每小时收割多 少公顷小麦？ １０．一辆汽车开往距离出发地１８０ｋｍ的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度 匀速行驶，一小时后以原来速度的１．５倍匀速行驶，并比原计划提前４０ｍｉｎ到 达目的地．求前一小时的行驶速度．   狓２－１ 狓＋１ １－狓 １ １１． （１）先化简，再求值： ÷ · ，其中狓＝ ． 狓２－２狓＋１ 狓－１ １＋狓 ２ 狓２－４狓＋４ 狓－２ （２）当狓＝－３．２时，求 ÷ ＋３的值． 狓２－４ 狓２＋２狓 １２．如图，运动场两端的半圆形跑道外径为犚，内径为狉，中间为直跑道，整个跑道 总面积为犛，试用含犛，犚，狉的式子表示直跑道的长犪． R r a （第１２题） 犪 犫 犮 １３． （１）式子 ＋ ＋ 的值能否为０？为什么？ 犫犮犮犪犪犫 犪－犫 犫－犮 犮－犪 （２）式子 ＋ ＋ 的值能否为０？为什么？ （犫－犮）（犮－犪） （犪－犫）（犮－犪） （犪－犫）（犫－犮） １５９ !"#$%&’部分中英文词汇索引 中文 英文 页码 三角形 ｔｒｉａｎｇｌｅ ２ 高 ａｌｔｉｔｕｄｅ ４ 中线 ｍｅｄｉａｎ ４ 角平分线 ａｎｇｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ ５ 多边形 ｐｏｌｙｇｏｎ １９ 对角线 ｄｉａｇｏｎａｌ ２０ 正多边形 ｒｅｇｕｌａｒｐｏｌｙｇｏｎ ２０ 全等形 ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｆｉｇｕｒｅｓ ３１ 全等三角形 ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｔｒｉａｎｇｌｅｓ ３１ 轴对称图形 ａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｆｉｇｕｒｅ ５８ 对称轴 ａｘｉｓｏｆｓｙｍｍｅｔｒｙ ５８ 对称点 ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｐｏｉｎｔｓ ５９ 垂直平分线 ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ ６０ 等腰三角形 ｉｓｏｓｃｅｌｅｓｔｒｉａｎｇｌｅ ７５ 等边三角形 ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌｔｒｉａｎｇｌｅ ７９ 平方差公式 ｆｏｒｍｕｌａｆｏｒｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｓｑｕａｒｅｓ １０７ 完全平方公式 ｆｏｒｍｕｌａｆｏｒｔｈｅｓｑｕａｒｅｏｆｔｈｅｓｕｍ １０９ 因式分解 ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ １１４ 公因式 ｃｏｍｍｏｎｆａｃｔｏｒ １１４ 分式 ｆｒａｃｔｉｏｎ １２７ 约分 ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆａｆｒａｃｔｉｏｎ １３１ 最简分式 ｆｒａｃｔｉｏｎｉｎｌｏｗｅｓｔｔｅｒｍｓ １３１ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎｓｔｏａｃｏｍｍｏｎ 通分 １３１ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ 分式方程 ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎ １４９ １６０ !"#$%&’() 书书书后 记 本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发 中心依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，经国家基础 教育课程教材专家工作委员会2013年审查通过。 本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课 改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧。我们感谢 所有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。 本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、 画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感 谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支 付稿酬。 我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝 贵意见，并将这些意见和建议及时反馈给我们。让我们携起手来，共同完成义 务教育教材建设工作！ 联系方式 电 话：010-58758331 电子邮箱：jcfk@pep.com.cn 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 2013年5月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU SHUXUE 义 务 八年级 教 全国优秀教材二等奖 育 教 科 义务教育教科书 上册 书 数学 八年级 上册 B 数 A l C′ C 数学 B′ 学 八 年 级 上 册 绿绿色色印印刷刷产产品品 定价：10.25元 数数学学封封面面六六三三制制八八年年级级上上带带标标志志 11 22002222//55//2200 1100::2299