热点专题6-1平面向量重难点题型17类题型汇总（原卷版）-2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题6-1 向量重难点题型汇总（17类题型）
近5年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年I卷第3题，5分 平面向量数量积的运算、化简、
证明及数量积的应用问题，如证
2024年甲卷(理)第9题，5分 明垂直、距离等是每年必考的内 (1)向量的有关概念
容，单独命题时，一般以选择、
2023年I卷第3题，5分 (2)向量的线性运算和向量
填空形式出现．交汇命题时，向
共线定理及其推论
量一般与解析几何、三角函数、
2023年II卷第13题，5分
平面几何等相结合考查，而此时
(3)投影向量
向量作为工具出现．向量的应用
2023年乙卷(理)第12题，5分
是跨学科知识的一个交汇点，务 (4)平面向量的坐标表示及
2022年北京卷第10题，5分 必引起重视． 坐标运算
2020年新高考I卷，第7题,5分 预测命题时考查平面向量数量积 (5)平面向量的数量积及其
的几何意义及坐标运算，同时与 几何意义
三角函数及解析几何相结合的解
答题也是热点
模块一
热点题型解读（目录）
【题型1】向量的概念辨析易错题梳理.....................................................................................................2【题型2】 向量的垂直与共线...................................................................................................................3
【题型3】 向量的夹角与模长计算...........................................................................................................4
【题型4】投影向量.....................................................................................................................................6
【题型5】用其他向量表示已知向量.........................................................................................................7
【题型6】平面向量共线定理.....................................................................................................................9
【题型7】平面向量共线定理的推论.......................................................................................................10
【题型8】极化恒等式求数量积...............................................................................................................13
【题型9】投影法求数量积.......................................................................................................................16
【题型10】拆分向量求数量积.................................................................................................................18
【题型11】建立坐标系解决向量问题.....................................................................................................20
【题型12】三角形四心的识别.................................................................................................................23
【题型13】向量的四心运算.....................................................................................................................26
【题型14】等和线问题.............................................................................................................................28
【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值.................................................................................32
【题型16】奔驰定理.................................................................................................................................34
【题型17】向量中的隐圆问题.................................................................................................................37
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】向量的概念辨析易错题梳理
1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．
4、若两向量共线,则两向量所在的直线有平行和重合两种可能
5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意
6、向量相等具有传递性,即若a=b,b=c,则a=c。而向量的平行不具有传递性,即若a//b,b//c,未必有
a//c。因为零向量平行于任意向量,当b=0时,a,c可以是任意向量,所以a与c不一定平行。但若b≠0,则必
有a//b,b//c⇒a//c
1．（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“ ”的充要条件是“ 且 ”
2．有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若 ，则 ， 不是共线向量；
③若 ，则四边形 是平行四边形；
④若 ， ，则 ；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【巩固练习1】下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若 满足 ，且 与 同向，则
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若 ，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【巩固练习2】（多选）下列叙述中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 与 的方向相同或相反
C．若 ， ，则 D．对任一非零向量 ， 是一个单位向量【题型2】 向量的垂直与共线
（1）向量共线定理：如果 且 ，则 ；反之 且 ，则一定存在唯一一个实数 ，
使 ．
（2）两个向量 ， 的夹角为锐角⇔ 且 ， 不共线；
两个向量 ， 的夹角为钝角⇔ 且 ， 不共线．
（3）
（4）若 ，则
向量共线运算：已知 ，则向量 ， 共线的充要条件是
3．向量 ， ， ，若 ∥ ，且 ，则 的值为
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【巩固练习1】已知向量 （1，1）， （﹣1，1）， （4，2），若 ，λ、μ∈R，则
λ+μ＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【巩固练习2】设向量 ， ，其中 .
(1)若 ，求实数x的值；(2)已知 且 ，若 ，求 的值域.【巩固练习3】（多选）已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 的夹角为 ，则
D．若 与 方向相反，则 在 上的投影向量的坐标是
【题型3】 向量的夹角与模长计算
与 夹角公式： 与 夹角公式：
模长公式： 或 ，
注意：涉及 这类条件时一般要进行平方
4．已知向量 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．6 B． C．3 D．
5．已知向量 满足 ，则6．已知向量 ，若 与 垂直，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．设向量 ， ，向量 与 的夹角为锐角，则x的范围为 .
【巩固练习1】向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的范围是________
【巩固练习2】已知 ， 为单位向量，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量 ， 的夹角为 ，若 ，
则 的值为 .
【巩固练习4】已知 ， 表示两个夹角为 的单位向量， 为平面上的一个固定点， 为这个平面上
任意一点，当 时，定义 为点 的斜坐标.设点 的斜坐标为 ，则 .
【巩固练习5】（2024·江西宜春·三模）已知 ， 均为非零向量，若 ，则 与 的夹
角为 ．
【题型4】投影向量
向量 在 上的投影向量： ，其中 是与 同方向的单位向量向量 在 上的投影向量模长：
8．已知 是夹角为 的两个单位向量，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
9．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点P在直线 上.若向量 ，
则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量 ，则 在 方向上的投影向量为 .
11．已知点A(1,1)、B(1, 2)、C(2, 1)、D(3, 4)，则向量  A  B  在C  D  方向上的投影向量的模长为
3 2 3 15 3 2 3 15
A． B． C． D．
2 2 2 2
【巩固练习1】已知 ， 与 的夹角为 ， 是与 同向的单位向量，则 在 方向上的投影向
量为（ ）
A．1 B． C． D．
【巩固练习2】已知 ， 是与 方向相同的单位向量.若向量 在 方向上的投影向量是 ，则______.
  
【巩固练习3】若向量ax,2,b2,3,c2,4
，且a

∥c

，则a

在b

上的投影向量为（ ）
 8 12  8 12 4 13
A．
13
,
13


B．


13
,
13


C．8,12 D．
13
【巩固练习4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 满足 ，则向量
在向量 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【题型5】用其他向量表示已知向量
(1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式
(2)坐标表示：待定系数法
(3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图）
在 中，D是BC上的点，如果 ，则
A
m n
B C
D
12．在 中，点 满足 ，则（ ）A． B．
C． D．
13．若向量 ， ， ，则 可用向量 ， 表示为（ ）
A． B．
C． D．
14．如图所示的 中，点D、E分别在边BC、AD上，且 . ，则向量 （ ）
A． B． C． D．
15．已知 的边 的中点为D，点E在 所在平面内，且 ，若
，则 （ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【巩固练习1】如图所示，点 在线段 上，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
【巩固练习2】如图，在 中， 是 的中点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【巩固练习3】已知在 中， 是边 的中点，且 ，设 与 交于点 ．记 ，
．
(1)用 ， 表示向量 ， ；
(2)若 ，且 ，求 的余弦值．
【题型6】平面向量共线定理
平面向量共线定理：三点 ， ， 共线 ， 共线（功能：证明三点共线）
16．已知向量 ， ， ，若A，B，D三点共线，则 _________．17．已知 ，则下列结论中成立的是（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线
18．如图，在 中，点M为AB的中点，点N在BD上， .
求证：M，N，C三点共线.
【巩固练习1】已知 ， ， ，则（ ）
A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线
C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线
【巩固练习2】已知不共线的向量 ，且 ， ， ，则一定共线的三
点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【巩固练习3】如图，在 中， ．
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若点 满足 ，证明： ， ， 三点共线．中档题型
【题型7】平面向量共线定理的推论
平面向量共线定理的推论——系数和为1：
已知
A
C
P B
①若 ，则 三点共线；
②若则 三点共线，则 .
证明
证明①:由 A，B，C三点共线.
由 得： .
即 ， 共线，故A，B，C三点共线.
(2)由A，B，C三点共线 .
由A，B，C三点共线得 ， 共线，即存在实数 使得 .
故 .即 ，则有 .19．在 中，N是AC上的一点，且 ，P是BN上的一点，设 ，则实数m
的值为______.
20．（深圳二模）已知 中， ， ， 与 相交于点 ， ，则
有序数对 （ ）
A． B． C． D．
21．在 中，已知 ， ， 与 交于点O.若 ，则
.
22．已知点 为 的重心， 分别为 ， 边上一点， ， ， 三点共线， 为 的中点，
若 ，则 ________； 的最小值为________.
2024届·湖南师大附中月考（二）
23． 中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足 为正
实数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为1
C． 的最小值为4 D． 的最大值为16【巩固练习1】如图，在 ABC中， ，P是BN上的一点，若 ，则
△
实数m＝________．
A
N
P
B
C
【巩固练习2】江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)
在 中，已知 ， ， 与 交于点O.若 ，则
.
【巩固练习3】如图所示，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 于不同的两
点 ，若 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【巩固练习 4】在 中， ， ，E 是 AB 的中点，EF 与 AD 交于点 P，若
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【巩固练习5】如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过点 的直线分别交直线 ，
于点 ， .若 ， ，则 的最小值是 .【巩固练习6】已知三点A，B，C共线， 不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若
，则 的最小值为（ ）
A．不存在最小值 B． C．4 D．
【题型8】极化恒等式求数量积
极化恒等式求数量积
在三角形ABC中（M为BC的中点），则有：
A
B M C
证明（基底法）：因为 ，所以24．如图，已知圆 的半径为2，弦长 ， 为圆 上一动点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2022·北京高考T10——隐圆+极化恒等式
25．在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2024届长沙一中月考（二）
26．已知正四面体ABCD的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体ABCD表面上
 
任意一点，则PMPN的最小值为 ．
27．（2017年全国2卷（理）T12）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则
的最小值是
A． B． C． D．
28．（2019江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点 ，
，则 的值是________．
A
E
F
B C
D【巩固练习1】如图， 是圆O的直径，P是圆弧 上的点，M、N是直径 上关于O对称的两点，
且 ，则 （ ）
A．13 B．7 C．5 D．3
【巩固练习2】如图，边长为2的菱形 的对角线相交于点 ，点 在线段 上运动，若 ，
则 的最小值为 .
【巩固练习3】如图，Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝ ，M点是线段AC一动点，若以
M为圆心半径为1的圆与△线段AC交于P，Q两点，则 的最小值为（ ）
A
P
M
Q
B C【巩固练习4】平行四边形ABCD中， ，点P满足 ，则 ________．
【巩固练习5】莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，
分别以正三角形 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角
形，已知 两点间的距离为2，点 为 上的一点，则 的最小值为 ．
【巩固练习6】已知圆 的半径为 ，点 满足 ， ， 分别是 上两个动点，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习7】半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足 ，点P是圆内一点，
则 的取值范围是________．
【巩固练习8】（等和线+极化恒等式）正方形 的边长为 ，中心为 ．过 的直线 与边
分别交于点 ，点 满足条件： ，则 的最小值为（
）
A．0 B． C． D．【巩固练习9】在ABC 中，BC 3，AC 4，ACB90，D在边AB上（不与端点重合）．延长CD
13   3 
到 ，使得 ．当 为 中点时， 的长度为 ；若PC mPA( m)PB(m为常数
P CP9 D AB PD 2 2 m0
3
且m )，则 的长度是 ．
2 BD
【题型9】投影法求数量积
投影法求数量积
如图， B
对于 ，其中 是 在 上的投影，
P H A
在Rt△PBH中 ，故 ，
考虑到 可能为钝角，故写成 .
29．（2020·新高考1卷T7）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
 
30．已知圆 半径为2，弦AB2，点C为圆O上任意一点，则ABAC的最大值是
O
C
A B2023全国乙卷(理)T12——投影法求最值
31．已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两点，D为BC的中点，若
，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】在边长为1的正六边形 中，点P为其内部或边界上一点，则 的取值范围
为________
【巩固练习 2】平面四边形 是边长为 4 的菱形，且 ．点 N 是 DC 边上的点，满足
．点M是四边形 内或边界上的一个动点，则 的最大值为（ ）
A．13 B．7 C．14 D．
【巩固练习3】如图， 是边长2的正方形， 为半圆弧 上的动点（含端点）则 的取值
范围为 ．
【题型10】拆分向量求数量积
把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动
点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点32．如图，在等腰梯形ABCD中， ， ， ，E为BC边上一点，且满足 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．8
ABCD AB8,AD5
33．如图在平行四边形 中，已知 ， ， ，则
的值是 .
D P C
A B
34．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮），
圆 （后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长为 的等边三角形.设点 为后轮上的
一点，则在骑行该自行车的过程中， 的最大值为 .
35．在 平 面 四 边 形 中 ， ， ， ， ， . 若
，则 （ ）A. 2 B. C. 4 D. 6
【巩固练习1】在 中， ， ， ，则 边上中线 的长为_____.
【巩固练习2】如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足
，若 ， ，则 的值为（ ）.
A． B． C． D．
【巩固练习 3】已知菱形M={0,1,2⋯q−1}的边长为A={x|x=x 1 +x 2 q+⋯x n qn−1,x i ∈M,i=1,2,⋯n}，q=2,n=3，点s,t∈A,s=a 1 +a 2 q+⋯+a n qn−1,t=b 1 +b 2 q+⋯b n qn−1,，a i ,b i ∈M,i=1,2,⋯n,分别在边a n <b n ,、s<t上，
a,b,c ，a−c= √6 b．若 ，则 cosA的值为________．
6
【巩固练习4】（向量的拆分）如图， 中， ， ， .在 所在的平面
内，有一个边长为1的正方形 绕点 按逆时针方向旋转（不少于1周），则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【题型11】建立坐标系解决向量问题
y a 3 y y y
C ( 2 , 2 a) D (0, a) C(a,a)
C (bcosθ，bsinθ) D(0,b) C(a,a)
θ
A B(a, 0) x A B (a, 0) x A B(a, 0) x A B(a, 0) x
边长为a的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
y y
y y
D(bcosθ，bsinθ) C(a+bcosθ，bsinθ) D (0，asinθ) C(a-acosθ，asinθ) D(bcosθ,bsinθ)C(a-bcosθ,bsinθ) A(rcosθ,rsinθ)
x
O
θ x x x
A B(a, 0) A B(a, 0) A B(a, 0)
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
36．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则
=_______.
A
D
O
E
B C
37．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足 ，设
，则 的最小值为_______
38．（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中， ，若点M在线段AD上运动，则
的取值范围为 ．
39．如图，已知正方形 的边长为 ，且 ，连接 交 于 ，则40．（2024·广东深圳·一模）设点 ，若动点 满足 ，且
，则 的最大值为 ．
41．给定两个长度为 的平面向量 和 ，它们的夹角为 ．如图所示，点 在以 为圆心的圆弧
上运动．若 ，其中 、 ，则 的最大值为 ．
【巩固练习1】如图，正八边形 中，若 ，则 的值为 ．【巩固练习2】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介
绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形 均为正
方形， ，则 .
【巩固练习3】菱形 的边长为 ，中心为O， ，M为菱形ABCD的内切圆上任意一点，
且 ，则 的最大值为 .
【巩固练习4】（2024·天津·二模）已知菱形 边长为1，且 为线段 的中点，若
在线段 上，且 ，则 ，点 为线段 上的动点，过点 作 的平行
线交边 于点 ，过点 做 的垂线交边 于点 ，则 的最小值为 .
【巩固练习5】已知正三角形 的边长为2，D是边 的中点，动点P满足 ，且
，其中 ，则 的最大值为 ．【题型12】三角形四心的识别
1、若O为△ABC重心
A
O
B C
（1） ；
（2） ；
（3）动点P满足 ，(0，)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心
（4）动点P满足 ， ，则动点P的轨迹一定通过△ABC
的
（5）重心坐标为： .
2、若O为△ABC垂心
A
O
B C
（1）
（2）
（3）动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过
的垂心
3、若O为△ABC内心A
O
BB CC
（1）
（2）
（3）动点P满足 ， 则P的轨迹一定通过△ABC的内心
（4）
4、若O为△ABC外心
A
O
BB CC
（1） ；
（2）动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过
的外心；
（3）若 ，则 是 的外心；
42．已知点 为 所在平面内一点，若 ，则点 的轨迹必通过 的
.（填：内心，外心，垂心，重心）
43．已知 所在平面内的动点M满足 ，且实数x，y形成的向量 与向量共线，则动点M的轨迹必经过 的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选
择）
44．已知O，N，P，I在 所在的平面内，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则O是 的外心
B．若 ，则I是 的内心
C．若 ，则P是 的垂心
D．若 ，则N是 的重心
45．已知 在 所在平面内，满足 ， ，且
，则点 依次是 的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
46．（多选）点O在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若 ，则点O是 的重心
B．若 ，则点O是 的内心
C．若 ，则点O是 的外心
D．若 ，则点O是 的垂心
【巩固练习1】点 为 所在平面内的点，且有 ，
， ，则点 分别为 的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【巩固练习2】已知点 ， ， 在 所在平面内，且 ， ，
，则点 ， ， 依次是 的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【巩固练习 3】若 O 是△ABC 所在平面上一定点，H，N，Q 在△ABC 所在平面内，动点 P 满足
， ，则直线AP一定经过 的____心，点H满足 ，
则 H 是 的 ____ 心 ， 点 N 满 足 ， 则 N 是 的 ____ 心 ， 点 Q 满 足
，则Q是 的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心
【题型13】向量的四心运算
基本思路：利用三角形外心、内心、垂心的几何特征，结合向量运算的几何意义计算求值
47．设 为 的外心， ， ，则 ．
48．（高一下·湖北武汉·期末） 中， ， ， ，点 为 的外心，若，则实数 ．
49．已知 外接圆的半径为1，圆心为点 ，且满足 ，则 ，
.
50．已知 中， ， ， ， 为 的外心，若 ，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
51．（多选）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂
心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧
拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的
中点，则（ ）
A． B．
C． D．
52．已知三角形ABC中，点G、O分别是 的重心和外心，且 ， ，则边 的长为
.
【巩固练习1】在 中， ， ，若点G是 的重心，则
.
【巩固练习2】（2023高一下·山东青岛·期末）记 的三个内角 的对边分别为 ， ， ，且
， ，若 是 的外心，则 ．
【巩固练习3】（2023高一下·广东珠海·期末）在 中， ， ， 为 的外心， ，
， 分别为 ， ， 的中点，且 ，则 .【巩固练习4】已知点O是△ABC的外心， ，若 ，则
．
【巩固练习5】（多选）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若点H满足 ，则点H是 的外心
B．若 ，则AP所在直线经过 的内心
C．若 ， ， ，则 的范围为
D．若 ， ， ， ，则
【巩固练习6】（2023高一下·湖北武汉·期末）已知 是边 上的点，且
为 的外心，则 的值为（ ）
A． B．10 C． D．9
【巩固练习7】在 中， ， 是 的外心， 为 的中点， ， 是直线
上异于 、 的任意一点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
压轴题型【题型14】等和线问题
和线相关性质
O⃗A,O⃗B ⃗OP ⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线
λ+μ=k
上，则 （定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
1．当等和线恰为直线AB时，k等于1．
2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
O⃗A,O⃗B ⃗OP ⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线
λ+μ=k
上，则 （定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
1．当等和线恰为直线AB时，k等于1．
2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
2017全国3卷（理）T12
53．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 = +
，则 + 的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
2020年江苏省高考
54．在ABC 中，BC 3，AC 4，ACB90，D在边AB上（不与端点重合）．延长CD到P，使
  3 
得 ．当 为 中点时， 的长度为 ；若PC mPA( m)PB(m为常数 且
CP9 D AB PD 2 m03
m )，则 的长度是 ．
2 BD
55．如图正六边形 ABCDEF 中，P 点三角形 CDE 内（包括边界）的动点，设
⃗AP=x⃗AB+y⃗AF
，则
x+y的取值范围是________．
E P D E P D
E D
C H C
C F F
F Q G
Q
A B A B A B
56．给定两个长度为3的平面向量 和 ，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧
上运动，若 ，其中 ，则 的最大值是_____； 的最大值是
______.
B C
A
O
【巩固练习1】2024届·湖南师大附中月考（二）
中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足 为正实数，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为1
C． 的最小值为4 D． 的最大值为16
【巩固练习2】如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意
一点，设 ，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3D C
P
E
A B
【巩固练习3】直角梯形
ABCD中,CB⊥CD，AD//BC，ΔABD是边长为2的正三角形，P是平面上的
动点，|C⃗P|=1，设 ⃗AP=λ⃗AD+μ⃗AB(λ,μ∈R)，则λ+μ的值可以为（
）
A. 0 B.1 C.2 D.3
【巩固练习4】（多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对
边AB，DC的延长线交于点F,若 ， ， ，则（ ）
A. A
B.
D
B E
C. 的最大值为1 C
F
D.
【巩固练习5】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若 ，则
的最大值为（ ）A． B．2 C． D．1
【巩固练习 6】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若
，则 的最大值为________
P
B C
M
H
A D
【巩固练习7】如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，动点 在以点
为圆心，且与直线 相切的圆上或圆内移动，设 ，则 取值范围是
．
【巩固练习8】（多选）已知四边形 是边长为1的菱形， ，动点 在菱形内部及边界
上运动，设 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的最大值为2
C．
D．当 时，点 的轨迹长度是【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值
（1）已知 ，则 是 三点共线的充要条件
（2）结合基本不等式乘“1”法求出最值
57．在 中，过重心 的直线交边 于点 ，交边 于点 （ 、 为不同两点），且
，则 的最小值为 .
uuur 1uur uuur 1uuur
58．如图，在 中，OC  OA，OD OB，AD与BC相交于点M，设 ， .
 AOB 4 2 OAa OB b
  
a b OM
(1)试用 ， 表示向量 ；
   
OEOA OF OB 
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设 ， ，求
的最小值.
 ABC G AB P AC Q P,Q B,C △APQ
59．在 中，过重心 的直线与 边交于 ，与 边交于 ，点 不与 重合.设 面积
   
S ABC S ,APxPB,AQ yQC
为 1， 面积为 2 .
  
GAGBGC
（1）求 ；
1 1
（2）求证：  1；
x yS
1
（3）求 的取值范围.
S
2
【巩固练习1】如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，
1 1
    ，则 ；求  的最小值为 .
AB3mAD(m0) AC 3nAE(n0) mn m n
【巩固练习3】如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线．
BD M  A  B   A  C   A  M 
(1)取 的中点 ，试用 和 表示 ；
uuur uuur
 
AD AG2GD EF AB AC AEAB
(2)若G是 上一点，且 ，直线 过点G，交 交于点E，交 于点F．若 ，

A

F



A

C
 ,R

，求 的最小值．
 
【巩固练习4】经过 OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OPmOA，

 
OQnOBm0,n0
.
1 1
(1)证明：  为定值；
m n
(2)求m＋n的最小值.【题型16】奔驰定理
OAOBOC 0
（1）奔驰定理：若O为ABC内一点，且满足
1 2 3
，则△AOB、△AOC、
△BOC ::
的面积之比等于 3 2 1
（2）三角形四心与奔驰定理的关系及证明
   
O △ABC S :S :S 1:1:1OAOBOC 0
① 是 的重心： △BOC △COA △A0B ．
   
S :S :S 1:1:1OAOBOC 0
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 △BOC △COA △A0B
② O 是 △ABC 的内心：
S
BOC
:S
COA
:S
AOB
a:b:c
 aOAbOBcOC 0
1 1 1
S  ar S  br S  cr
证明： BOC 2 ， COA 2 ， AOB 2 （r为ABC内切圆的半径），所以
S :S :S a:b:c
aOAbOBcOC 0
BOC COA AOB ，再由奔驰定理可得
   
O △ABC S :S :S sin2A:sin2B:sin2C sin2AOAsin2BOBsin2COC 0
③ 是 的外心： △B0C △COA △AOB ．
1
S  OB OC sinCOB
证明： BOC 2 ，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得COB 2A，所以
1 1 1
S  OB OC sin2A R2sin2A S  R2sin2B
BOC 2 2 （R为ABC外接圆的半径），同理可得 COA 2 ，
1
S  R2sin2C
AOB 2 ，所以 S :S :S sin2A:sin2B:sin2C ，再由奔驰定理可得
BOC COA AOB
sin2AOAsin2BOBsin2COC 0
S :S :S tan A:tanB:tanC  tan APA tanBPBtanCPC 0
④P是△ABC的垂心：
BPC CPA APBPD PD
tanA tanB
BD : AD tan A:tanB
证明：如图P为△ABC的垂心，则有 AD ， BD ，所以 ，所以
1 1
S :S  CP  BD : CP  AD  BD : AD
BPC APC 2 2  tanA:tanB，同理可得 S :S 
APC APB
S :S :S  tan A:tanB:tanC
tanB:tanC
，所以 BPC APC APB ，再由奔驰定理可得
S :S :S tan A:tanB:tanC  tan APA tanBPBtanCPC 0
BPC CPA APB
60．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是 ABC内一点，
    △
S S S S OAS OBS OC 0
BOC， AOC， AOB的面积分别为 A， B， C，且 A B C ．设O是锐角
△ △ △
ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的 ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
△ △
   
OA2OB3OC 0 S :S :S 1:2:3
A．若 ，则 A B C
  5π 9
B．若OA  OB 2，AOB ，    ，则S 
6 2OA3OB4OC 0 ABC 2
π
C．若O为 ABC的内心，    ，则C
3OA4OB5OC 0 2
△
6
    cosAOB
D．若O为 ABC的垂心，3OA4OB5OC 0，则 6
△
【巩固练习1】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是 ABC内的一点，
   

BOC，

AOC，

AOB的面积分别为S
A
、S
B
、S
C
，则有S
A
OAS
B
OBS
C
OC0，设O是锐角

ABC内的一点，BAC，ABC，ACB分别是 ABC的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
   
OAOBOC 0 ABC
A．若 ，则O为 的重心
    S :S :S 1:2:3
B．若
OA2OB3OC 0
，则 A B C
   
ABC tanBACOAtanABCOBtanACBOC 0
C．若O为 （不为直角三角形）的垂心，则
  5π 9
D．若OA  OB 2，AOB ，    ，则S 
6 2OA3OB4OC 0 ABC 2
【巩固练习2】（多选）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车
的logo非常相似，该结论如下：如图，已知O是 ABC内部一点，将 BOC， AOC， AOB的面积分别
   
记为S ，S ，S ，则S OAS OBS OC 0.根据上述结论，下列命题中正确的有（ ）
A B C A B C
   
2OA3OB4OC 0 S :S :S 4:3:2
A．若 ，则 A B C
 1 2
B．若AO AB AC，则S
:S :S 2:1:2
5 5 A B C
π
C．若 为 的内心，且    ，则ACB
O ABC 5OA12OB13OC 0 2

   
O ABC tanBACOAtanABCOBtanACBOC0

D．若 为 的垂心，则P  ABC A,B,C a,b,c
【巩固练习3】（多选）如图. 为 内任意一点，角 的对边分别为 ，总有优美等式
   
S PAS PBS PC 0
PBC PAC PAB 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（ ）
   
P  ABC PAPBPC 0
A．若 是 的重心，则有
   
B．若 aPAbPBcPC 0 成立，则 P 是 ABC 的内心
 2 1
C．若AP AB AC，则S
:S 2:5
5 5
△ABP △ABC
π 
A    mn 2,1
D．若 P 是  ABC的外心， 4 ，PAmPBnPC，则 
【题型17】向量中的隐圆问题
角度一、定值圆（由模长是构造圆）
     
记A,B,C为定点，若出现 AP ， AP AC ， AP AB AC  ，都可以得出隐圆
  
有时也会出现 cab 这种形式，我们可以设  ，  ，  ，也能转化成上面第三种
a OA b OB c OC
形式
角度二、直径圆
圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两
个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量 a，b的垂直条件体现为，
a,b 90
ab＝0，ab＝0等．
角度三、外接圆（定边定角）   
ab ,a,b均为定值时，可以构造圆
在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的
道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，
可以考虑构造外接圆模型进行解题．
角度四、四点共圆（对角互补）
圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题
中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条
件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸．
61．平面内非零向量a，b，c，有 a  3， b  4，ab＝0且 c  a  b  2，则 c 的最大值为______．
62．已知a  ,b  是平面内两个互相垂直单位向量，若向量c 满足(a  c  )(b  c  )0，则|c  |的最
大值为_______.
63．已知平面向量a,b  ,c 满足|a|1，|b  |2，且a  b  1，若向量ac，b  c的夹角为60°，则|c|的最
大值是________
【巩固练习1】2024届湖南师大附中高三开学考
在直角 中， ，平面 内动点 满足 ，则 的最小值为
.
        
【巩固练习2】已知a,b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值是________.
 
【巩固练习3】已知平面内非零向量a  ,b  ，c  ，满足 a 2， b 3， a  b  3 ，若 c 2 2b  c  80 ，则
 
c a
的取值范围是_______.
 1
【巩固练习4】设向量a，b，c满足 a  = b  1， a   b  ， ac,bc 60，则|c|的最大值等于
2
______.
【巩固练习5】已知线段 是圆 上的一条动弦，且 ，设点 为坐标原点，则 的最大值为 ；如果直线 与 相交于点 ，
则 的最小值为 .