热点专题6-1平面向量重难点题型17类题型汇总（原卷版）-2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题6-1 向量重难点题型汇总（17类题型） 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第3题，5分 平面向量数量积的运算、化简、 证明及数量积的应用问题，如证 2024年甲卷(理)第9题，5分 明垂直、距离等是每年必考的内 (1)向量的有关概念 容，单独命题时，一般以选择、 2023年I卷第3题，5分 (2)向量的线性运算和向量 填空形式出现．交汇命题时，向 共线定理及其推论 量一般与解析几何、三角函数、 2023年II卷第13题，5分 平面几何等相结合考查，而此时 (3)投影向量 向量作为工具出现．向量的应用 2023年乙卷(理)第12题，5分 是跨学科知识的一个交汇点，务 (4)平面向量的坐标表示及 2022年北京卷第10题，5分 必引起重视． 坐标运算 2020年新高考I卷，第7题,5分 预测命题时考查平面向量数量积 (5)平面向量的数量积及其 的几何意义及坐标运算，同时与 几何意义 三角函数及解析几何相结合的解 答题也是热点 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理.....................................................................................................2【题型2】 向量的垂直与共线...................................................................................................................3 【题型3】 向量的夹角与模长计算...........................................................................................................4 【题型4】投影向量.....................................................................................................................................6 【题型5】用其他向量表示已知向量.........................................................................................................7 【题型6】平面向量共线定理.....................................................................................................................9 【题型7】平面向量共线定理的推论.......................................................................................................10 【题型8】极化恒等式求数量积...............................................................................................................13 【题型9】投影法求数量积.......................................................................................................................16 【题型10】拆分向量求数量积.................................................................................................................18 【题型11】建立坐标系解决向量问题.....................................................................................................20 【题型12】三角形四心的识别.................................................................................................................23 【题型13】向量的四心运算.....................................................................................................................26 【题型14】等和线问题.............................................................................................................................28 【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值.................................................................................32 【题型16】奔驰定理.................................................................................................................................34 【题型17】向量中的隐圆问题.................................................................................................................37 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理 1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． 4、若两向量共线,则两向量所在的直线有平行和重合两种可能 5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意 6、向量相等具有传递性,即若a=b,b=c,则a=c。而向量的平行不具有传递性,即若a//b,b//c,未必有 a//c。因为零向量平行于任意向量,当b=0时,a,c可以是任意向量,所以a与c不一定平行。但若b≠0,则必 有a//b,b//c⇒a//c 1．（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若 ，则B．若 ，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“ ”的充要条件是“ 且 ” 2．有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若 ，则 ， 不是共线向量； ③若 ，则四边形 是平行四边形； ④若 ， ，则 ； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习1】下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若 满足 ，且 与 同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若 ，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【巩固练习2】（多选）下列叙述中错误的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 与 的方向相同或相反 C．若 ， ，则 D．对任一非零向量 ， 是一个单位向量【题型2】 向量的垂直与共线 （1）向量共线定理：如果 且 ，则 ；反之 且 ，则一定存在唯一一个实数 ， 使 ． （2）两个向量 ， 的夹角为锐角⇔ 且 ， 不共线； 两个向量 ， 的夹角为钝角⇔ 且 ， 不共线． （3） （4）若 ，则 向量共线运算：已知 ，则向量 ， 共线的充要条件是 3．向量 ， ， ，若 ∥ ，且 ，则 的值为 （ ） A．2 B． C．3 D． 【巩固练习1】已知向量 （1，1）， （﹣1，1）， （4，2），若 ，λ、μ∈R，则 λ+μ＝（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【巩固练习2】设向量 ， ，其中 . (1)若 ，求实数x的值；(2)已知 且 ，若 ，求 的值域.【巩固练习3】（多选）已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 与 的夹角为 ，则 D．若 与 方向相反，则 在 上的投影向量的坐标是 【题型3】 向量的夹角与模长计算 与 夹角公式： 与 夹角公式： 模长公式： 或 ， 注意：涉及 这类条件时一般要进行平方 4．已知向量 与 的夹角为 ，则 （ ） A．6 B． C．3 D． 5．已知向量 满足 ，则6．已知向量 ，若 与 垂直，则 与 夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．设向量 ， ，向量 与 的夹角为锐角，则x的范围为 . 【巩固练习1】向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的范围是________ 【巩固练习2】已知 ， 为单位向量，且 ，则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量 ， 的夹角为 ，若 ， 则 的值为 . 【巩固练习4】已知 ， 表示两个夹角为 的单位向量， 为平面上的一个固定点， 为这个平面上 任意一点，当 时，定义 为点 的斜坐标.设点 的斜坐标为 ，则 . 【巩固练习5】（2024·江西宜春·三模）已知 ， 均为非零向量，若 ，则 与 的夹 角为 ． 【题型4】投影向量 向量 在 上的投影向量： ，其中 是与 同方向的单位向量向量 在 上的投影向量模长： 8．已知 是夹角为 的两个单位向量，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ） A． B．2 C． D． 9．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点P在直线 上.若向量 ， 则 在 上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 10．已知向量 ，则 在 方向上的投影向量为 . 11．已知点A(1,1)、B(1, 2)、C(2, 1)、D(3, 4)，则向量  A  B  在C  D  方向上的投影向量的模长为 3 2 3 15 3 2 3 15 A． B． C． D． 2 2 2 2 【巩固练习1】已知 ， 与 的夹角为 ， 是与 同向的单位向量，则 在 方向上的投影向 量为（ ） A．1 B． C． D． 【巩固练习2】已知 ， 是与 方向相同的单位向量.若向量 在 方向上的投影向量是 ，则______.    【巩固练习3】若向量ax,2,b2,3,c2,4 ，且a  ∥c  ，则a  在b  上的投影向量为（ ）  8 12  8 12 4 13 A． 13 , 13   B．   13 , 13   C．8,12 D． 13 【巩固练习4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 满足 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【题型5】用其他向量表示已知向量 (1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式 (2)坐标表示：待定系数法 (3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 在 中，D是BC上的点，如果 ，则 A m n B C D 12．在 中，点 满足 ，则（ ）A． B． C． D． 13．若向量 ， ， ，则 可用向量 ， 表示为（ ） A． B． C． D． 14．如图所示的 中，点D、E分别在边BC、AD上，且 . ，则向量 （ ） A． B． C． D． 15．已知 的边 的中点为D，点E在 所在平面内，且 ，若 ，则 （ ） A．7 B．6 C．3 D．2 【巩固练习1】如图所示，点 在线段 上，且 ，则 （ ）A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，在 中， 是 的中点，若 ，则 （ ） A． B．1 C． D． 【巩固练习3】已知在 中， 是边 的中点，且 ，设 与 交于点 ．记 ， ． (1)用 ， 表示向量 ， ； (2)若 ，且 ，求 的余弦值． 【题型6】平面向量共线定理 平面向量共线定理：三点 ， ， 共线 ， 共线（功能：证明三点共线） 16．已知向量 ， ， ，若A，B，D三点共线，则 _________．17．已知 ，则下列结论中成立的是（ ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 18．如图，在 中，点M为AB的中点，点N在BD上， . 求证：M，N，C三点共线. 【巩固练习1】已知 ， ， ，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 【巩固练习2】已知不共线的向量 ，且 ， ， ，则一定共线的三 点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【巩固练习3】如图，在 中， ． (1)用 ， 表示 ， ； (2)若点 满足 ，证明： ， ， 三点共线．中档题型 【题型7】平面向量共线定理的推论 平面向量共线定理的推论——系数和为1： 已知 A C P B ①若 ，则 三点共线； ②若则 三点共线，则 . 证明 证明①:由 A，B，C三点共线. 由 得： . 即 ， 共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线 . 由A，B，C三点共线得 ， 共线，即存在实数 使得 . 故 .即 ，则有 .19．在 中，N是AC上的一点，且 ，P是BN上的一点，设 ，则实数m 的值为______. 20．（深圳二模）已知 中， ， ， 与 相交于点 ， ，则 有序数对 （ ） A． B． C． D． 21．在 中，已知 ， ， 与 交于点O.若 ，则 . 22．已知点 为 的重心， 分别为 ， 边上一点， ， ， 三点共线， 为 的中点， 若 ，则 ________； 的最小值为________. 2024届·湖南师大附中月考（二） 23． 中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足 为正 实数，则下列结论正确的是（ ） A． 的最小值为 B． 的最大值为1 C． 的最小值为4 D． 的最大值为16【巩固练习1】如图，在 ABC中， ，P是BN上的一点，若 ，则 △ 实数m＝________． A N P B C 【巩固练习2】江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一) 在 中，已知 ， ， 与 交于点O.若 ，则 . 【巩固练习3】如图所示，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 于不同的两 点 ，若 ，则 的值为（ ） A．2 B．3 C． D．5 【巩固练习 4】在 中， ， ，E 是 AB 的中点，EF 与 AD 交于点 P，若 ，则 （ ） A． B． C． D．1 【巩固练习5】如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过点 的直线分别交直线 ， 于点 ， .若 ， ，则 的最小值是 .【巩固练习6】已知三点A，B，C共线， 不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若 ，则 的最小值为（ ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【题型8】极化恒等式求数量积 极化恒等式求数量积 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B M C 证明（基底法）：因为 ，所以24．如图，已知圆 的半径为2，弦长 ， 为圆 上一动点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2022·北京高考T10——隐圆+极化恒等式 25．在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 2024届长沙一中月考（二） 26．已知正四面体ABCD的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体ABCD表面上   任意一点，则PMPN的最小值为 ． 27．（2017年全国2卷（理）T12）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是 A． B． C． D． 28．（2019江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点 ， ，则 的值是________． A E F B C D【巩固练习1】如图， 是圆O的直径，P是圆弧 上的点，M、N是直径 上关于O对称的两点， 且 ，则 （ ） A．13 B．7 C．5 D．3 【巩固练习2】如图，边长为2的菱形 的对角线相交于点 ，点 在线段 上运动，若 ， 则 的最小值为 . 【巩固练习3】如图，Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝ ，M点是线段AC一动点，若以 M为圆心半径为1的圆与△线段AC交于P，Q两点，则 的最小值为（ ） A P M Q B C【巩固练习4】平行四边形ABCD中， ，点P满足 ，则 ________． 【巩固练习5】莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示， 分别以正三角形 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角 形，已知 两点间的距离为2，点 为 上的一点，则 的最小值为 ． 【巩固练习6】已知圆 的半径为 ，点 满足 ， ， 分别是 上两个动点，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习7】半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足 ，点P是圆内一点， 则 的取值范围是________． 【巩固练习8】（等和线+极化恒等式）正方形 的边长为 ，中心为 ．过 的直线 与边 分别交于点 ，点 满足条件： ，则 的最小值为（ ） A．0 B． C． D．【巩固练习9】在ABC 中，BC 3，AC 4，ACB90，D在边AB上（不与端点重合）．延长CD 13   3  到 ，使得 ．当 为 中点时， 的长度为 ；若PC mPA( m)PB(m为常数 P CP9 D AB PD 2 2 m0 3 且m )，则 的长度是 ． 2 BD 【题型9】投影法求数量积 投影法求数量积 如图， B 对于 ，其中 是 在 上的投影， P H A 在Rt△PBH中 ，故 ， 考虑到 可能为钝角，故写成 . 29．（2020·新高考1卷T7）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D．   30．已知圆 半径为2，弦AB2，点C为圆O上任意一点，则ABAC的最大值是 O C A B2023全国乙卷(理)T12——投影法求最值 31．已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】在边长为1的正六边形 中，点P为其内部或边界上一点，则 的取值范围 为________ 【巩固练习 2】平面四边形 是边长为 4 的菱形，且 ．点 N 是 DC 边上的点，满足 ．点M是四边形 内或边界上的一个动点，则 的最大值为（ ） A．13 B．7 C．14 D． 【巩固练习3】如图， 是边长2的正方形， 为半圆弧 上的动点（含端点）则 的取值 范围为 ． 【题型10】拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动 点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点32．如图，在等腰梯形ABCD中， ， ， ，E为BC边上一点，且满足 ， 若 ，则 （ ） A． B． C．4 D．8 ABCD AB8,AD5 33．如图在平行四边形 中，已知 ， ， ，则 的值是 . D P C A B 34．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮）， 圆 （后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长为 的等边三角形.设点 为后轮上的 一点，则在骑行该自行车的过程中， 的最大值为 . 35．在 平 面 四 边 形 中 ， ， ， ， ， . 若 ，则 （ ）A. 2 B. C. 4 D. 6 【巩固练习1】在 中， ， ， ，则 边上中线 的长为_____. 【巩固练习2】如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，若 ， ，则 的值为（ ）. A． B． C． D． 【巩固练习 3】已知菱形M={0,1,2⋯q−1}的边长为A={x|x=x 1 +x 2 q+⋯x n qn−1,x i ∈M,i=1,2,⋯n}，q=2,n=3，点s,t∈A,s=a 1 +a 2 q+⋯+a n qn−1,t=b 1 +b 2 q+⋯b n qn−1,，a i ,b i ∈M,i=1,2,⋯n,分别在边a n