文档内容
第 4 讲 素养提升之三角函数与解三角形选填专项冲刺
目录
第一部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系
突破二：弧长与面积
突破三：三角函数中参数ω专题常考小题
角度1： 的取值范围与单调性相结合
角度2： 的取值范围与对称性相结合
角度3： 的取值范围与三角函数的最值相结合
角度4： 的取值范围与三角函数的零点相结合
角度5： 的取值范围与三角函数的极值相结合
突破四：三角函数的实际应用
突破五：利用正余弦解决三角形问题
突破六：解三角形的实际应用
第二部分：冲刺重难点特训
突破一：三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系
1．（2022·安徽·高三阶段练习）设角 是第一象限角，且满足 ，则 的终边所在的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】由角 是第一象限角，有 ，可得 ，可知 为第一或第三
象限角，又由 ，可得 为第三象限角.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知角 的终边过点 ，则 可以为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】根据题意可知角 为第四象限角，则A、B错误
过 作 轴，垂足为 ，则
∴
结合象限角的概念可得： 可以为
故选：C．
3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角 ，角 ， 终边上有一点 ，
则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，即点 在第三象限，
且 ，且 ，
所以 .
故选：D
4．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设 是第二象限角， 为其终边上的一点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 为其终边上的一点，且 ，
所以 ，解得 ，
因为 是第二象限角，所以 ，
故选：C5．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：C．
6．（2022·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【详解】由 得， ，即 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
因此 .
联立 解得 ，
所以 .
故答案为：
7．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）若 ， 且 ， 则_______．
【答案】 ##-0.2
【详解】由 得 ，故 ，
所以 ，解得 ，或 .
因为 ，所以 ，
所以
.
故答案为：
8．（2022·北京·东直门中学高三期中）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边与单位圆交于
点 ，则 ____________．
【答案】
【详解】由余弦值的定义得 ，则 .
故答案为： .
9．（2022·江苏·楚州中学高三开学考试）已知 ，求 _________.
【答案】
【详解】 ，
.
故答案为： .
突破二：弧长与面积1．（2022·江苏常州·高三期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．
为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当 时， ，则 的值
约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，则 ，
， ，
∴ ，
故选：D
2．（2022·河北沧州·高三阶段练习）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面
展开图的扇环所对的圆心角为 ，则母线长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】A
【详解】如图， 弧长为 ， 弧长为 ，因为圆心角为 ， ， ，则母线
.
故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习（理））“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出
人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角
为 时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长 与弧长 之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设扇形的弧长为 ，半径为 ，如图，取 的中点
圆心角 为 ，则
所以弦
又弧长
所以弦长 与弧长 之比为
故选：C
4．（2022·上海市延安中学高三期中）已知扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则此扇形的面积为
_________.（结果保留π）
【答案】 ##
【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径 ，
此扇形的面积 .故答案为：
5．（2022·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）已知一扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为
_________.
【答案】25
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，扇形的面积为：
，
当 时， 取得最大值，最大值为25，
所以扇形面积的最大值为25.
故答案为：25.
突破三：三角函数中参数ω专题常考小题
角度1： 的取值范围与单调性相结合
1．（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）已知函数 在区间
上单调，且当 时， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【详解】 .
因为 ，
所以 ，则 ，从而 .
因为 ，所以 .
因为 在区间 上单调，所以 ， .
解得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 或 ，所以 或 .
因为 ， ，所以 .故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 在 上单调递增，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得： ，当 时， ，
在 上单调递增， ，又 ，解得： ，
的最大值为 .
故选：B.
3．（2022·河南河南·三模（理））已知函数 （ ， ），将 图象上所
有点向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若 是奇函数， 在 上单调递增，则
的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】依题意， 为奇函数，
所以 ，
由于 ，所以 .
，
，
由于 在 上单调递增，
所以 ，所以 的最大值为 .
故选：C
4．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（文））若函数 在 上单调递减，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】解：因为函数 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
因为函数 在 上单调递减，
所以，函数 在 上单调递减，则有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，即 的最大值为 .
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递增，则 的最大值
为______．
【答案】
【详解】 对应的增区间应满足
，解得 ，当
时， ，要使 在 上是增函数，则应满足， ，解得
，则 的最大值是1
故答案为：1
角度2： 的取值范围与对称性相结合
1．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知函数 ．若对于任意实数x，都有
，则 的最小值为（ ）．
A．2 B． C．5 D．8【答案】C
【详解】函数 ，由 可知函数图像的一个对称中心为 ，
所以有 ，解得 ，
由 ，当 时， 有最小值5.
故选：C
2．（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数 ，将 的图像先向右
平移 个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数 的图像，若 图像关于 对
称，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知 .
将 的图像先向右平移 个单位长度，然后再向下平移1个单位长度.
得到 .若 图像关于 对称，
则 ，所以 .
故 ，又因为 ，所以 .
故选：B
3．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）函数 的图象向左平移 个单位长
度，所得图象关于 轴对称，则 的一个可能取值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，化简得 ，函数 的图象向左平移 个单位长
度，可得 的图象，根据所得图象关于 轴对称，可得 ， ，
，则 的一个可能取值为 ，
故选：B.
4．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 在 内恰有三条对称轴，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ．
故选：C.
5．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）若存在唯一的实数 ，使得曲线 关
于直线 对称，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ， ，得 ， ，
，
因为存在唯一的实数 ，使得曲线 关于直线 对称，
所以 只有唯一的值落在 （ ）中，
所以 ，解得 ，
故选：C．角度3： 的取值范围与三角函数的最值相结合
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 ，若 的最大值
为 ，则 的取值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】∵ ，则
若 的最大值为 ，分两种情况讨论：
①当 ，即 时，根据正弦函数的单调性可知， ，解得 ；
②当 ，即 时，根据正弦函数的单调性可知， 在 上单调递增，所以
，结合函数 与 在 上的图像可知，存在唯一的
，使得 .
综上可知，若 的最大值为 ，则 的取值最多有2个.
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 在区间 上恰有两个最小值点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】令 ，因为 ，所以 ，
问题转化为函数 在 时恰有两个最小值点，
所以有 ，因为 ，所以 ，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，对任意的实数a，
在 上既能取得最大值，也能取得最小值，则整数 的最小值是______.
【答案】4
【详解】由题意可得
，
则 的最小正周期 .
因为对任意的实数a， 在 上既能取得最大值，也能取得最小值，
所以 ，解得 .
因为 ，所以整数 的最小值是4.
故答案为： .
角度4： 的取值范围与三角函数的零点相结合
1．（2022·河南·一模（理））把函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的曲线上所有点的
横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象．若函数 的图象与直线 在
上至少有3个交点，则正数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】把函数 的图象向左平移 个单位，得到 ，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到 ，
∵ ， ，则 ，
若函数 的图象与直线 在 上至少有3个交点，则 ，解得 ，
故正数 的取值范围是 .
故选：D.
2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数 的图象与直线
的两相邻交点间的距离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由正切型函数的性质可知，函数 的最小正周期为 ，
因此， .
故选：B.
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数 经过 点，且
在 上只有一个零点 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】因为 经过 点，
所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，令 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上只有一个零点 ，所以有 ，所以 的最大值为 ，
故选：C
4．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知 在 有且仅有6
个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由 ，
得 ，即 .
设 ，
即 在 有且仅有6个实数根，
因为 ，
故只需 ，
解得 ，
故选：D．
5．（2022·广东·三模）已知函数 ，且f（x）在[0， ]有且仅有3个零点，则
的取值范围是（ ）
A．[ ， ） B．[ ， ） C．[ ， ） D．[ ， ）
【答案】D
【详解】因为 ，当 时， ，
因为函数 在 上有且只有3个零点，由余弦函数性质可知 ，解得 .
故选：D．
6．（2022·四川·遂宁绿然学校高三开学考试（理））已知函数 在 上有且
仅有两个零点，则 的取值范围是______.
【答案】
【详解】∵ ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
故 的取值范围为 .
故答案为： .
角度5： 的取值范围与三角函数的极值相结合
1．（2022·四川绵阳·一模（理））若函数 （ ）在区间 上恰有唯一极值点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 ， ，
由于 （ ）在区间 上恰有唯一极值点，故满足 ，解得
，
故选：C
2．（2022·江苏扬州·高三阶段练习）定义在[0，π]上的函数 (ω> 0)存在极值点，且值域
，则ω的范围是（ ）
A．[ ,2] B． C． D．[ ]
【答案】B【详解】定义在[0,π]上的函数 ,
,
因为函数存在极值点，所以 ，即 .
又因为值域 ，所以 ，
即有： ,
综上： .
故选：B
3．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数 （ ， ）在 上
恰有2个极大值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
因为 ，则 ，故 ，
又函数 为偶函数，故 ，解得 ，
故 ，
因为函数 在 上恰有2个极大值，故当 时， ，
即 .
故选：D.
突破四：三角函数的实际应用
1．（2022·江苏南通·高三期中）如图，由于建筑物AB的底部B是不可能到达的，A为建筑物的最高点，
需要测量AB，先采取如下方法，选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在一条直线上在G，H两点用
测角仪测得A的仰角为 ， ， ，测角仪器的高度是h，则建筑物AB的高度为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，可得 ， ，
， ， ，
， ，
故选：C.
2．（2022·江西·高三开学考试（理））天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家
比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地
球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高 （如图①），再于山顶T处悬一
直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得 ．由此可以
算得地球的半径 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由图可知， ,故 ，解得 ，
故选：A．
3．（2022·四川绵阳·一模（理））某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学
离地面的高度为______米．
【答案】10.5
【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为 轴，
建立直角坐标系，设 时刻的坐标为 ，转过的角度为 ，
根据三角函数的定义有 ，
地面与坐标系交线方程为 ，
则第10分钟时他距离地面的高度大约为 米.
故答案为：
4．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们
叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲
线），它对应的方程为 （其中记 为不超过 的最大整数），且过点
，若葫芦曲线上一点 到 轴的距离为 ，则点 到 轴的距离为_______.
【答案】
【详解】解：因为 过点 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为葫芦曲线上一点 到 轴的距离为 ，
所以 ，
所以 ，
，
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习（文））2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为
的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标
准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人
喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图"见图.
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别 阈值
饮酒驾车
醉酒驾车
且如图所示的函数模型为 .假设该人喝一瓶啤酒后至少经过 小时
才可以驾车，则n的值为___________.(参考数据： )
【答案】6【详解】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，
所以有 ，解得 ，解得 .
因为 ，所以n的最小值为6.
故答案为：6
突破五：利用正余弦解决三角形问题
1．（2022·山东菏泽·高三期中）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 外接圆面积与 面积之比的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 可得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ，则 或 （舍去），
设 外接圆半径为 ，
则 外接圆面积为： ，
面积为
所以 ，
而
，
因为 ，所以 ，
，当 时，即 时，
.
故选：B.
2．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知 是三角形 的外心，若
，且 ，则实数 的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．3
【答案】D
【详解】如图所示：设 .
由题意可得， ，化简可得 ，由 是三角形
的外心可得， 是三边中垂线交点，
则 ，代入上式得， ，即
依据题意， 为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入 得 ，则
结合不等式可得 ， 的最大值为3
故选：D
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝4，c＝2b－
2，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由a＝4，c＝2b－2得， ．
由余弦定理知， .
令b－1＝m，则 ，b＝m＋1，
所以 ，（当且仅当 ，即
， ， 时取等号）．
故选：C．
4．（2022·贵州遵义·高三期中（理））已知锐角 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，故三角形外接圆直径为 ，
所以 ，所以 ， ，
故
，
因为三角形为锐角三角形，故 ，故 ，
故 ，故 ，
所以故 的取值范围为 ，
故选：A.
5．（2022·湖北·高三期中）在 中，角 ， ， ，所对的边分别为 ， ， ， ， 点
为 上一点且 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在 中，设 ，由于 ，则 ， ，
因为 ，故 ,
在 中，由正弦定理得 ,
即 ；
在 中，由正弦定理得 ,
即 ；
故，
因为 ，所以 ，则 ，
故当 ，即 时， 取到最小值 ，
即 的最小值为 ，
故选：B.
6．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））钝角 的内角 的对边分别是 ，已知
，且 ，则 的周长为（ ）
A．9 B． C．6 D． 或9
【答案】A
【详解】解：因为 ，
所以，根据正弦定理边化角得 ，
因为 ，
所以 ，即
所以，当 为钝角时， ，即 ，解得 ， ，周长
为 ；
当 为钝角时， ，即 ，解得 ， ，此时与
为钝角时 矛盾，故不成立；
综上， 的周长为 .
故选：A
7．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）在 中，点D在边BC上，且 ， ，
记 中点分别为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
在 中， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，可整理得
即 ，
所以 整理得 ，
因为 ， 中点分别为 ，
所以
，
所以在 中， ，
因为 ，且 即 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
8．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）在 中， ， ， 为 边上的中点，
且 的长度为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
在 中， ；
在 中， ；
， ，又 ，
，
整理可得： ，即 ，
， ；
在 中， ，
，解得： （舍）或 ，
.
故选：A.
9．（2022·辽宁·沈阳二中高三期中）在 中， 为 的中点，若 ， ，
，则 ______．
【答案】
【详解】由 得
在 中，利用正弦定理 得 ,
在 中利用余弦定理得故答案为： .
10．（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且满足 ．若 的外接圆的面积为 ，则三角形面积的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由
∴
得
，
所以 ，
因为 所以 ，所以 ，
而 ，所以 ．
又由 的外接圆的面积为 ，所以外接圆直径 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，
的面积取值范围为 ．
故答案为： .
突破六：解三角形的实际应用
1．（2022·全国·模拟预测（文））某学习小组的学习实践活动是测量图示塔 的高度．他们选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点 ， ，测得 ， ，且基点 ， 间的距离为
，同时在点 处测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设 则 .
由题得 .
.
在△ 中，由正弦定理得 .
所以塔高 m.
故选：A
2．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D
处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C
处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D．40海里
【答案】A
【详解】由题意可知 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，得 ，在 中，因为 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得
，
故选：A
3．（2022·河南郑州·三模（理））位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古
代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南
北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭
面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市
的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即 ）约为32.5°，夏至正午太
阳高度角（即 ）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 的长）为14米，则表高
（即 的长）约为（ ）（其中 ， ）
A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米
【答案】C
【详解】解：如图， ，
设表高 ，则由题知， ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以，表高（即 的长）约为 米.
故选：C4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，在某次
小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时 ，假设甲沿着平行
边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳的射门角度（即 最大），则射门时甲离上
方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，并根据题意作如下示意图，由图和题意得： ， ，
所以 ，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，即 ，
设 ， ，则 ，
，所以在 中，
有 ，令 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则要使 最大，
即 要取得最小值，即 取得最大值，
即 在 取得最大值，
令 ， ，
所以 的对称轴为： ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，即 最大，此时 ，即 ，
所以 ，所以 ，即为获得最佳的射门角度（即 最大），
则射门时甲离上方端线的距离为： .
故选：B.
5．（2022·全国·模拟预测（理））如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结
合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小
组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度 （ 与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物 ，
测得 的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物 之间的地面上的点E处测得A
点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得 约为60
米，则 的高h约为（ ）米（参考数据： ， ， ）
A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8
【答案】C
【详解】解：由题意可得 ，
则 ，
在 中， ，
在 中，因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 （米）.
故选：C.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一
个观景台 ，已知射线 ， 为湿地两边夹角为 的公路（长度均超过4千米），在两条公路 ，
上分别设立游客接送点 ， ，且 千米，若要求观景台 与两接送点所成角 与
互补且观景台 在 的右侧，并在观景台 与接送点 ， 之间建造两条观光线路 与 ，
则观光线路之和最长是_________（千米）.
【答案】2【详解】在 中，因为 ， ，
所以 ，
又 与 互补，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以观光线路之和最长是2.
故答案为：2
7．（2022·全国·高三专题练习）神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若
由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面．空中分队
和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A，B，C，
1 1
且在C点测得B的仰角为26.6°，在C点测得A的仰角为45°，在B点测得A的仰角为26.6°，BB=7 km，
1
∠BAC=120°．则CA 的长为________km．（参考数据： ）
1 1 1
【答案】10
【详解】解：如图：
设 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，由题意得 ， ， ，则 ，
平面 ， 平面 ，
，
又 ， 平面 ，
， ，
因为 ，
所以 ，
四边形 为平行四边形，
，
，
在 中 ，
，
平面 ， 平面 ， ，
，
在△ 中， ，
由余弦定理得 ，
化简得 ，
或 （舍去）．
的长为 ．
故答案为：10.
8．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台 如图所示
，其中 ， 为两条公路， ， ， 为公路上的两个景点，测得 ，
，为了获得最佳观景效果，要求 对的视角 现需要从观景台 到 ， 建造两条
观光路线 ， ，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为 米，每平方造价为 元，则该景区预
算需投入___万元可完成改造【答案】
【详解】在 中，由余弦定理得：
，
解得 （千米）；
设 ， ， ，
在 中，由正弦定理，得 ，
，
， ，
又因为 ，
所以
所以 ，即观光线路 长的最大值为 ，
该景区预算需投入 元 万元．
故答案为：265.
9．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15°的观礼
台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端
的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度为_______米． (参考值：
)
【答案】29.4
【详解】设旗杆高为 米，最后一排为点 ，第一排为点 ，旗杆顶端为点 ，则 ，在
中， , , ,即
，
由正弦定理可得 ，
所以 ，解得：
故答案为：29.4
10．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算
术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所
示，邪长为 ，东畔长为 ，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为______．（注： ）
【答案】
【详解】由题可得， ，在 中，由余弦定理可得
，代入得 ，即 ，因为
，故 ，故
故答案为：
第二部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
所以 ，解得： .
故选：C
2．（2022·广西北海·一模（理））已知函数 ，将 的图象上所有点的横
坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，已知 在 上恰有5个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】 ，令 ，由题意 在 上恰有5个零点，即 在
上恰有5个不相等的实根，由 的性质可得 ，解得 ．
故选：D．
3．（2022·广西北海·一模（理））如图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于
圆的半径，顶角为 的等腰三角形．如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率
为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设圆的半径为 ，则圆的面积为 ，
所以，四个三角形的面积为 ，
因为，在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为
所以， ，解得 ，
因为 ，所以 ．
故选：A
4．（2022·河南河南·一模（文））把函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的曲线上所有
点的横坐标变为原来的 倍， 纵坐标不变， 得到函数 的图象. 若函数 在 上恰有 3
个零点， 则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】把函数 的图象向左平移 个单位，得到 ，
再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到 ，
∵ ， ，则 ，
令 则 ， ，
若函数 的图象在 上恰有3个交点，则 .
故正数 的取值范围是 .
故选：B.
5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知 中，内角A，B，C的对边分別为a，b，c，若点A
到直线BC的距离为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为点A到直线BC的距离为 ，所以 的面积 ，又 ，所以
，故 ，又 ，所以 ；由 及正弦定理可得 ，故
，故 ．
故选：A．
6．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，若 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．【答案】B
【详解】 ，化简得 ．
由正弦定理、余弦定理，得 ，化简得 ，
由 ，展开整理得 ，
则 ，即 ，
所以 ，
故选：B．
7．（2022·广西南宁·三模（理））函数 ，则 的图象在 内的零点之和为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】由 可得 ，
则函数 与函数 的图象在 内交点的横坐标即为函数 的零点，
又函数 与函数 的图象都关于点 对称，
作出函数 与函数 的大致图象，
由图象可知 在 内有四个零点，则零点之和为4．故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测（理））如图所示，在△ABC中， ， ，记△ABC外接圆的面积
为 ，取△ABC三边的中点分别为D，E，F，记△DEF外接圆的面积为 ，再取△DEF三边的中点分别
为P，Q，R，记△PQR外接圆的面积为 ，依次类推，若△ABC的内切圆半径为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
如图连接 ，
因为 ， 为 的中点，
所以 平分 ， ， 的内切圆圆心在 上，设为 ，
因为 ，所以 ，
因为△ABC的内切圆半径为 ，
所以 ，
所以 ，
设△ABC的外接圆半径为 ，则由正弦定理得
， ，解得 ，
所以
因为 分别为 的中点，所以 ∥ ， ，
所以△DEF外接圆的半径为1，
所以 ，
同理可得△PQR外接圆的半径为 ，则 ，
， ，
故选：D
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的图象过点 ，下列说法中正
确的有（ ）
A．若 ，则 在 上单调递减
B．若把 的图象向左平移 个单位后得到的函数为偶函数，则 的最小值为2
C．若 在 上有且仅有4个零点，则
D．若 ，且 在区间 上有最小值无最大值，则
【答案】BC
【详解】依题意， ，即 ，而 ，则 ， ，
对于A，当 时， ，由 ，得 ，则 在 上不单调，A
不正确；
对于B， 的图象向左平移 个单位后得函数 ，
依题意， ，解得： ，因此 的最小值为2，B正确；
对于C，当 时， ，因 在 上有且仅有4个零点，
则 ，解得： ，C正确；
对于D，因 ，且 在区间 上有最小值无最大值，则直线 是 图象的对称
轴，且 在 处取得最小值， ，因此， ，且 ，
即 ，且 ，所以 或 ，D不正确.
故选：BC
10．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模） 的内角A， ， 的对边分别为a，b，c，下列说法正确
的是 （ ）
A．若 ，则
B．若 ，则此三角形为等腰三角形
C．若 ， ， ，则解此三角形必有两解
D．若 是锐角三角形，则
【答案】AD
【详解】由正弦定理可知 ，又 ，所以 ，可得 ，因为
，所以 ，A正确；
因为 ，且角2A，2 最多有一个大于 ，所以由 可知， 或
，即 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
由正弦定理可得 ，因为 ，所以 ，故此三角形有唯一解，C错误；
因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，又 在 上单调递增，所以
，同理 ，
所以 ，D正确.
故选：AD
三、填空题
11．（2022·辽宁·鞍山一中二模）若 ，且 ，则 ______．
【答案】
【详解】解：因为 ，且 ，所以 ，
所以
故答案为：
12．（2022·河南濮阳·模拟预测（理））已知a,b,c分别为 的三个内角A,B,C的对边,且
,则 的最小值为______．
【答案】
【详解】由正弦定理得
所以 ,所以 .
因为 所以 ,所以 .
所以 .
所以 的最小值为
故答案为：
13．（2022·上海普陀·二模）若 ，则等式 成立的一个 的值可以是
________.
【答案】 ##
【详解】 可得 ，
即 ，所以 （舍去）或 ，解得 ， ，
当 时， ，
故答案为：
14．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中， ， ，
， ，则四边形ABCD面积的最大值为______．
【答案】
【详解】在 中， ， ； ；
在 中， ，
化简得： ，即： ，
；
四边形的面积最大为： ；
故答案为： .
