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第 1 讲 平面向量
[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答
题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及
向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低等难度．
考点一 平面向量的线性运算
核心提炼
共线定理及推论
(1)已知向量a＝(x，y)，a≠0，b＝(x，y)，
1 1 2 2
则a∥b⇔b＝λa⇔xy－xy＝0.
1 2 2 1
(2)若OA＝λOB＋μOC，
则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
例1 (1)(2022·德州模拟)如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的
六边形开口，可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设
AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，则MN等于( )
A.a＋b B．－a＋b
C．－a＋b D.a＋b
答案 B
解析 由正六边形的性质可知AB＝FO＝OC，AF＝OE＝BO，因为BM＝MC，EF＝3EN，
所以OM＝(OB＋OC)，ON＝OF＋FN＝OF＋FE＝OF＋(OE－OF)＝OE＋OF，
所以MN＝MO＋ON＝－(OB＋OC)＋OE＋OF＝－(－AF＋AB)＋AF＋(－AB)＝AF－AB＋
AF－AB＝AF－AB＝－a＋b.
(2)在△ABC中，AE＝－2CE，F为边AB上一点，BE与CF交于点O，若AO＝AB＋yAC，则y等于( )
A. B. C. D．2
答案 A
解析 如图所示，∵AE＝－2CE，则AC＝AE，
∴AO＝AB＋yAC＝AB＋yAE，
∵O，B，E三点共线，∴＋y＝1，
解得y＝.
规律方法 向量线性运算问题的求解方法
(1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用
平行四边形法则、三角形法则求解．
(2)应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算．
(3)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，
不能盲目转化．
跟踪演练1 (1)(2022·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，
若BM＝a，BN＝b，则BD等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案 B
解析 如图所示，设AB＝m，AD＝n，且BD＝xa＋yb，
则BD＝xa＋yb＝x＋y＝n－m，
因为BD＝n－m，
所以解得所以BD＝a＋b.
(2)(2022·张家口检测)已知向量a＝(1－2m，1)，向量b＝(3m＋1,2)，若a∥b，则实数m＝
________.
答案
解析 因为a∥b，所以3m＋1＝2－4m，所以m＝.
考点二 平面向量的数量积
核心提炼
1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
2．若A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2则|AB|＝.
3．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为a与b的夹角，
1 1 2 2
则cos θ＝＝.
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，
c〉，则t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5.
(2)(2022·益阳调研)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，
则AP·(AB＋AC)( )
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
答案 A
解析 设BP＝λBC(0≤λ≤1)，
则AP·(AB＋AC)＝(AB＋BP)·(AB＋AC)＝AB2＋AB·AC＋λBC·(AB＋AC)，
因为λBC·(AB＋AC)＝λ(BA＋AC)·(AB＋AC)＝λ(AC2－AB2)＝0，
cos∠BAC＝＝＝，
所以AP·(AB＋AC)＝AB2＋AB·AC＝32＋3×3×cos∠BAC＝10.
规律方法 求向量数量积的三种方法
(1)定义法．
(2)利用向量的坐标运算．
(3)利用数量积的几何意义．
跟踪演练2 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中
点，则AF·AE等于( )A．3 B．2 C. D.
答案 B
解析 以A为坐标原点，可建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，E(1,1)，F，∴AF＝，AE＝(1,1)，
∴AF·AE＝＋＝2.
(2)(2022·厦门集美中学模拟)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)·(a－c)＝0，|b－c|＝
9，则|a|＝________.
答案 3
解析 由已知可得a＝－b－c，则(a－b)·(a－c)＝(－2b－c)·(－b－2c)＝(2b＋c)·(b＋2c)＝0，
即2b2＋2c2＋5b·c＝0，
因为|b－c|＝9，则b2＋c2－2b·c＝81，所以b2＋c2＝45，b·c＝－18，
因此|a|2＝a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2b·c＝9，故|a|＝3.
考点三 平面向量的综合应用
核心提炼
向量求最值的常用方法
(1)利用三角函数求最值．
(2)利用基本不等式求最值．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值．
例3 (1)(2022·临川模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|AD|＝|AC|，点Q为线段
BD上任意一点，若实数x，y满足AQ＝xAB＋yAC，则＋的最小值为( )
A．4 B．4 C．8 D．4＋2
答案 D
解析 由题意知点D满足AD＝AC，由AQ＝xAB＋yAC＝xAB＋3yAD，由点Q在线段BD
上，结合向量的三点共线定理可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则＋＝(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，当
且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，即D选项正确．
(2)已知在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余
弦值为( )
A. B. C. D.
答案 D解析 设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x，y轴建立平
面直角坐标系如图所示，则A(，0)，B(0,1)，
E，
则EA＝，EB＝，则cos∠AEB＝＝＝.
规律方法 用向量法解决平面几何问题，通常是建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利
用向量的坐标运算解有关问题，这样可以避免繁杂的逻辑推理，同时加强了数形结合思想在
解题中的应用．
跟踪演练3 (1)在平面四边形ABCD中，AC＝(－2,3)，BD＝(6,4)，则该四边形的面积为(
)
A. B．2 C．13 D．26
答案 C
解析 ∵AC·BD＝－12＋12＝0，∴AC⊥BD，
∴平面四边形ABCD的面积为|AC|·|BD|＝××＝13.
(2)(2022·漳州质检)已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则
PB·PC的取值范围为( )
A. B.
C．[0,2] D．[0,4]
答案 A
解析 取线段AB的中点O，连接CO，则OC⊥AB，
以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(a，0)，则－1≤a≤1，B(1,0)，C(0，)，PB＝(1－a，0)，PC＝(－a，)，
故PB·PC＝a(a－1)＝2－∈.
专题强化练
一、选择题1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.
2．(2022·山东联考)已知a，b是互相垂直的单位向量，若c＝a－2b，则b·c等于( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案 A
解析 b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.
3．(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则
CB等于( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案 B
解析 因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)
＝
－2CA＋3CD＝－2m＋3n.
4．已知向量a，b满足|a|＝3|b|＝2，a·b＝1，若－a＋2b与ma＋3b共线，则|ma＋3b|等于(
)
A．2 B．4 C. D．22
答案 A
解析 因为－a＋2b与ma＋3b共线，所以＝，m＝－.
又|a|＝3|b|＝2，a·b＝1，所以|ma＋3b|＝＝＝＝2.
5．(2022·保定模拟)已知向量a＝(2,1)，|b|＝，|a－b|＝5，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵a＝(2,1)，∴|a|＝＝，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝15－10cos〈a，b〉＝25，
解得cos〈a，b〉＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝，即a与b的夹角为.
6．(2022·南昌模拟)已知向量OA＝(1,1)，将向量OA绕原点O逆时针旋转90°得到向量OB，
将向量OA绕原点O顺时针旋转135°得到向量OC，则下列结论正确的个数是( )
①OA＋OB＋OC＝0；②|BC|＝|CA|；③OA·OB＝0；④CA·AB＝－2.
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
答案 C
解析 由题意得OA＝(1,1)，OB＝(－1,1)，OC＝(0，－)，所以OA＋OB＋OC＝(0,2－)≠0，故①错误；
|BC|＝|CA|＝，故②正确；
OA·OB＝1×(－1)＋1×1＝0，故③正确；
CA·AB＝(1,1＋)·(－2,0)＝－2，故④正确．
7．(2022·深圳模拟)四边形ABCD为边长为1的正方形，M，N分别为边CD，BC的中点，
则下列结论正确的是( )
A.AB＝2MD B.AD＋MC＝MA
C.AM⊥DN D.AM·BC＝
答案 C
解析 A项，AB＝2DM＝－2MD，故A错误；
B项，MA＝MD＋DA＝－DM－AD＝CM－AD，故B错误；
以D为原点，DC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则D(0,0,0)，A(0,1)，M，C(1,0)，B(1,1)，N，
∴AM＝，DN＝，BC＝(0，－1)，
∴AM·DN＝－＝0，∴AM⊥DN，故C正确；
AM·BC＝1，故D错误．
8．(2022·东北师大附中检测)若非零向量AB 和AC 满足·BC＝0, 且·＝， 则△ABC一定是(
)
A．钝角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．有一个内角为的锐角三角形
答案 B
解析 ∵表示与AB同向的单位向量， 根据向量的性质可得＝＝1，
∴＋在∠BAC的角平分线上(设角平分线为AD)，
∵·BC＝0，
∴AD⊥BC，从而有AB＝AC，即C＝B，
又∵·＝·cos C＝，且＝＝1，∴cos C＝，
又0
