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专题 22 新高考新题型第 19 题新定义压轴解答题归
纳
目 录
01 集合新定义......................................................................................................................................1
02 函数与导数新定义...........................................................................................................................5
03 立体几何新定义.............................................................................................................................11
04 三角函数新定义.............................................................................................................................19
05 平面向量与解三角形新定义..........................................................................................................22
06 数列新定义....................................................................................................................................27
07 圆锥曲线新定义.............................................................................................................................34
08 概率与统计新定义.........................................................................................................................42
09 高等数学背景下新定义.................................................................................................................45
01 集合新定义1．（2024·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知 元正整数集合 满足：
，且对任意 ，都有
(1)若 ，写出所有满足条件的集合 ；
(2)若 恰有 个正约数，求证： ；
(3)求证：对任意的 ，都有 .
【解析】（1） 或 或 ．
根据题意可知，若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，满足题意；
显然易知当 时， ，所以 或 ；
当 , 时，又满足 ，所以可得 满足题意；
因此可得所有满足条件的集合 为 或 或 .
（2）证明：由题分别令 ， ，
可知
即 这 个小于 的数均为 的正约数．
因为 的正约数的个数恰为 个(其中最大的是 ，最小的是1)，
而所以 ，
可得
（3）证明：由题可知
且
所以
将最后一个不等式整理得 ，即 ；
又 ，所以 ，
所以 .
2．（2024·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）设集合 ，其中
.若集合 满足对于任意的两个非空集合 ，都有集合 的所有元素之和与集合
的元素之和不相等，则称集合 具有性质 .
(1)判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，求证： ；
(3)若集合 具有性质 ，求 的最大值.
【解析】（1）对于集合 ，因为 ，故集合 的元素和相等，
故 不具有性质 .对于 ，其共有15个非空子集：
，
，
各集合的和分别为： ，它们彼此相异，
故 具有性质 .
（2）因为 具有性质 ，故对于任意的 ， 也具有性质 ，
否则 有两个非空子集 ，它们的元素和相等，
而 也是 的子集，故 不具有性质 ，矛盾.
注意到 共有 个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为 ，最小为 ，故 .
（3）假设集合 具有性质 ，
不妨设 ，
设 ，则 ，由（2）可得 ，且 .
而
，故 ，
当且仅当 时等号成立，
即此时任意的正整数 ， 即 ，
故此时 时等号成立，故 的最大值为 .
则当 时，即对集合 具有性质 ，
则 的最大值为 .
3．（2024·北京门头沟·统考一模）已知集合 .若对于集合M的任意k元子集
A，A中必有4个元素的和为 ，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作 .
(1)当 ，即集合 .
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为 ；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于 ；
(2)证明： ；
(3)证明： .
【解析】（1）取 ，则 ，满足条件；
取 ，则 ； ；
； ； ；
满足条件.
（2）若 ， ， ，从大到小取 个元素，
， ，或 ， ，
则 中任意4个元素之和 ，不成立，故 .（3）当 时，把集合 的元素按和为 分组，得：
，
易得， 中至少有2个二元子集满足 ．
若把集合 的元素按和为 分组，得：
．
易得， 中至少有3个二元子集满足 ．
而集合 两两互不相交， 与 中每一个至多有一个公共元素，
所以， 中必有一个与 没有公共元素，不妨设 ，
则 的4个元素就是 的4个互异元素，而这4个元素的和为 ．
又 ，所以 ．
02 函数与导数新定义
4．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）对于函数 的导函数 ，若在其定义域
内存在实数 和 ，使得 成立，则称 是“跃点”函数，并称 是函数
的“ 跃点”.
(1)若函数 是“ 跃点”函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 是定义在 上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求
实数 的取值范围；
(3)若函数 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的导函数为 ，
因为函数 ， 是“ 跃点”函数，则方程 有解，即 有解，
而 ，因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）函数 的导函数为 ，
依题意，方程 ，即 在 上有两个不等实根，
令 ，因此函数 在 上有两个不同零点，
则 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3）函数 的导函数为 ，
因为函数 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”，
则方程 ，显然 ，所以 在 上恰有一个实数根，
令 ，求导得 ，
由 ，得 ；由 ，得 且 ， ，
于是函数 在 上单调递减， 恒成立，函数 的取值集合是 ，
在 上单调递减，函数 的取值集合是 ，
在 上单调递增，函数 的取值集合是 ，函数 的图象，如图，当 时，直线 与函数 的图象有唯一公共点，
即方程 恰有一个实数根，从而 ，
所以b的取值范围为 .
5．（2024·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-
1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合 上的函数 ，以及函数
，切比雪夫将函数 ， 的最大值称为函数 与 的“偏
差”.
(1)若 ， ，求函数 与 的“偏差”；
(2)若 ， ，求实数 ，使得函数 与 的“偏差”取得最小值，并求
出“偏差”的最小值.
【解析】（1） ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以函数 与 的“偏差”为 .（2）令 ，
，
因为 ，所以 ， ，
当 ，即 时，此时 ，
则 的“偏差”为 ，此时 ，
当 ，即 时，此时 ，
则 “偏差”为 ，此时 ，无最小值，
当 ， ，且 ，
即 时，则 “偏差”为 ，
此时 ，无最小值，
当 ， ，且 ，
即 时，则 的“偏差”为 ，
此时 ，无最小值，
当 ， ，且 ，即 时，则 的“偏差”为 ，此时 ，
当 ， ，即 时，
则 的“偏差”为 ，
此时 ，无最小值，
当 ， ，即 时，
则 的“偏差”为 ，此时 ，
综上， 时，函数 与 的“偏差”取得最小值为 .
6．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设 是定义域为 的函数，如果对任意的 、
均成立， 则称 是“平缓函数”.
(1)若 ， 试判断 和 是否为“平缓函数” ? 并说明理由; (参考公
式: 时， 恒成立)
(2)若函数 是“平缓函数”， 且 是以 1为周期的周期函数， 证明:对任意的 、 ，
均有 ;
(3)设 为定义在 上函数， 且存在正常数 使得函数 为“平缓函数”. 现定义数
列 满足: ， 试证明:对任意的正整数 .
【解析】（1）对于函数 ，由对任意的 、 ，
，可知函数 是 上的“平缓函数”. 对于函数 ，由对任意的 、 ，
，
因此函数 也是 上的“平缓函数”；
（2）由已知可得 ，由于函数 是周期函数，
故不妨设 、 .
当 时，由 为 上的“平缓函数”得 ；
当 时，不妨设 ， ，此时由 为 上的“平缓函数”得
综上所述，命题得证；
（3）由 为 上的“平缓函数”，且 得 ，则对任意的 ，
，
因此
7．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）若定义域为D的函数 满足是定义域为D的严格增函数，则称 是一个“T函数”.
(1)分别判断 ， 是否为T函数，并说明理由；
(2)已知常数 ，若定义在 上的函数 是T函数，判断 和
的大小关系，并证明；
(3)已知T函数 的定义域为R，不等式 的解集为 ．证明： 在R上严格增.
【解析】（1） ，定义域为R， 是R上的严格增函数，故 是“T函数”；
，定义域为R， 不是R上的严格增函数，故 不是“T函数”.
（2） ，证明如下
因为定义在 上的函数 是T函数，则 在 上严格递增，
设 ，则 ，
故 在 上单调递增，故 ，
即 ，
即 .
（3）T函数 的定义域为R，故 在R上严格增，
，设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
故 ，即 ，
当 时， 恒成立，则 恒成立，
故 ，
若存在 ，使 ，则当 时， ，
这与 ， 矛盾，
故不存在 使 ，
， 恒成立，
故 在R上严格增.
03 立体几何新定义
8．（2024·江苏·高三专题练习）如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥
和 构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为 ，底面
中心为 ，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点 与天花板的距离为
，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y．
（1）设∠OAO = (rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；
1（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小．
【解析】（1）在直角三角形OAO 中， ， ，
1
由 ，所以 ，
所以θ的范围是 ，其中 ， ．
从而有
，
所以 ， （ ， ）．
（2）令 ，所以 ，
令 ，则 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
函数 的单调性与 关系列表如下：
0 +
极小值
所以当 ，其中 时 取得最小值，即y最小．
故当角 满足 （ ）时，金属条总长y最小．
9．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构
是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将
， ， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开
口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶
点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体
在各顶点的曲率为 .
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 ；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值.
【解析】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，
根据定义其度量值等于 减去三个菱形的内角和 ，
再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和 ，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为 .
（2）（i）如图所示，连接AC，SH，则 ，设点 在平面 的射影为O，
则 ，则 ，
菱形SAHC的面积为 ，
侧面积 ，
所以蜂房的表面积为 .（ii） ，
令 得到 ，
所以 在 递增；在 递增.
所以 在 处取得极小值，也即是最小值.
此时 ，在 中，令 ，由余弦定理得 ，
又顶点 的曲率为 ，
.
10．（2024·北京·高三统考期末）用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线
叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成
的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形
在平面 内的平行投影是四边形 .
图
图
图
(1)若平行四边形 平行于投影面（如图 ），求证：四边形 是平行四边形；
(2)在图 中作出平面 与平面 的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图 ，已知四边形 和平行四边形 的面积分别为 ，平面 与平面 的交线是直
线 ，且这个平行投影是正投影.设二面角 的平面角为 （ 为锐角），猜想并写出角 的余弦值
（用 表示），再给出证明.
【解析】（1）依题意， ，故 共面.面 面 ，面 面 ，面 面 ，
，同理 .
又平行四边形 ，则 ，
，同理 ，
四边形 是平行四边形.
（2）如图，直线 为平面 与平面 的交线.
（3）猜想： .
不妨将平行四边形 平移，使 与 重合，如图所示.
则面 与面 的交线 即为 .
过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，连接 .
由正投影，则 面 ，又 面 ，故 .
又 ， 面 ，则 面 ，
而 面 ，故 ，又 ，
是二面角 的平面角 ，同理 是二面角 的平面角 .
，且 ，，
，即 .
11．（2024·山东济南·高三统考期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，
如图， 为透视中心，平面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 ．对于四个有
序点 ，定义比值 叫做这四个有序点的交比，记作 ．
(1)证明： ；
(2)已知 ，点 为线段 的中点， ，求 ．
【解析】（1）在 、 、 、 中，
，
所以 ，又在 、 、 、 中，
，
所以 ，
又 ， ， ，
所以 ，
所以 .
（2）由题意可得 ，所以 ，
即 ，所以 ，又点 为线段 的中点，即 ，
所以 ，又 ，则 ， ，
设 ， 且 ，
由 ，所以 ，
即 ，解得 ①，
在 中，由正弦定理可得 ②，
在 中，由正弦定理可得 ③，
且 ，② ③得 ，即 ④
由①④解得 ， （负值舍去），即 ，
所以 .
04 三角函数新定义
12．如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、
b、c，如果函数 使得三个数 、 、 仍为“三角形数”，则称 为“保三角
形函数”．
对于“三角形数” 、 、 ，其中 ，若 ，判断函数 是否是
“保三角形函数”，并说明理由；
对于“三角形数” 、 、 ，其中 ，若 ，判断函数 是否
是“保三角形函数”，并说明理由．
【解析】 函数 不是“保三角形函数”，理由如下，
设 ，
，则 ，
，
，
，
，则 ，
且 ，
，
故 ， ， 不能构成三角形，
不是“保三角形函数”；
函数 是“保三角形函数”，理由如下，
，
，
当 时， 最大，且 ，
，
当 时， 最大，
，
综上所述， ， ， 能构成三角形，
所以 是“保三角形函数”．
13．数学家发现： ，其中 n! 利用该公式可以得到：当时，
证明：当 时，
设 ，当 的定义域为 时，值域也为 ，则称 为 的“和谐区间”．
当 时， 是否存在“和谐区间”?若存在，求出 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明
理由．
【解析】 证明：由已知当 时， ，
得 ，所以当 时，
时，假设存在，则由 知
若 ，则由 知 ，与值域是 矛盾，
故不存在“和谐区间”，同理， 时，也不存在，
下面讨论 ，
若 ，则 ，故 最小值为 ，于是 ，
所以 ，
所以 最大值为2，故 ，此时 的定义域为 ，值域为 ，符合题意．
若 ，当 时，同理可得 ，舍去，当 时， 在 上单调递减，所以
，于是 ，
若 即 ，则 ，故 ，
与 矛盾；
若 ，同理，矛盾，
所以 ，即 ，
由 知当 时， ，
因为 所以 ，从而， ，从而 ，矛盾，
综上所述， 有唯一的“和谐区间”
14．已知函数 ，若存在实数 m、 ，使得对于定义域内的任意实数 x，均有
成立，则称函数 为“可平衡”函数；有序数对 称为函数 的
“平衡”数对．
若 ，求函数 的“平衡”数对；
若 ，判断 是否为“可平衡”函数，并说明理由；
若 、 ，且 、 均为函数 的“平衡”数对，求 的
取值范围．
【解析】 根据题意可知，对于任意实数 x ， ，即 对于任意实数 x 恒成立，
只有 ， ，故函数 的“平衡”数对为 ；
若 ，则 ，
，
要使得 为“可平衡”函数，需使 对于任意实数 x 均成立，只
有 ，
此时 ， ，故 k 存在使得 是“可平衡”函数．
假设存在实数 m、 ，对于定义域内的任意 x 均有 成立
则
，
，
均为函数 的“平衡”数对，
，
，设 ，函数单调递增，
即 ，
所以 的取范围为
05 平面向量与解三角形新定义
15．古希腊数学家托勒密对凸四边形 凸四边形是指没有角度大于 的四边形 进行研究，终于有重大
发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．
且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形ABCD中，
若 图 ，求线段BD长度的最大值；
若 图 ，求四边形ABCD面积取得最大值时角A 的大小，并求出四边形
ABCD面积的最大值．
【解析】 设 ，则 ，
由材料可知， ，
即 ，
解得 ，所以线段 BD 长度的最大值为 ．
由材料可知，当 A、B、C、 四点共圆时，四边形 ABCD 的面积达到最大．
连接 BD ，在 中，由余弦定理，得
，①
在 中，由余弦定理，得
，②
因为 A、B、C、 四点共圆，所以 ，从而 ，③
由①②③，解得 ，
因为 ，所以 ．
从而 ，
，
所以 ．
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量 ， ，作： ，当 ， 不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为 ；当 ，
共线时，规定
Ⅰ 分别根据下列已知条件求 ：
① ， ；② ， ；
Ⅱ 若向量 ，
求证： ；
Ⅲ 若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记 ， ，
ⅰ 当 时，求 的最大值；
ⅱ 写出 的最大值． 只需写出结果
【解析】 Ⅰ 因为 ，
且 ，
所以 ；
又 ，
是 ；
Ⅱ 因为向量 ，
且向量 ，
则 ，
所以 ，同理
所以 ；
Ⅲ 设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
当 ，即 时，
取得最大值 ；
的最大值为
17．（2024·全国·模拟预测）定义：一个几何体的表面积与体积之比称为几何体的相对表面积.
（1）若一个直三棱柱高为 ，底面三角形的内切圆半径为 ，相对表面积为 ，求证： ；
（2）如图，一块直三棱柱形状的蛋糕，底面三边长分别为3，4，5，若蛋糕的最外层包裹着薄薄的一层巧
克力（厚度忽略不计），用刀垂直于底面将蛋糕切开，使之成为两块直棱柱状的小蛋糕，要求两块小蛋糕
的相对表面积相等，且包裹的巧克力面积相等，有几种切法.
【解析】（1）设直三棱柱的底面三角形的面积为 ，周长为 ，则 ，
所以直三棱柱的表面积为 ，体积为 ，所以相对表面积 .
（2）用刀垂直于底面将蛋糕切开时，两块小蛋糕的高相等.
又由两块小蛋糕外层包裹的巧克力面积相等，可知两块小蛋糕的表面积相同.
因为两块小蛋糕的相对表面积相等，
所以两块小蛋糕的体积相等，从而底面积也相等，
由两块小蛋糕的表面积相同可知两块小蛋糕的侧面积也相等，故而其底面周长也相等，
故可将问题转化为一条直线将三边长分别为3，4，5的三角形分成两个图形，这两个图形的周长和面积都
相等.
如图1，当直线与边 ， 分别交于 ， 时，设 ， ，
则 ， ，
即 ，解得： ，
由 ， 可知 ，所以此时无解；
如图2，当直线与边 ， 分别交于 ， 时，设 ， ，
则 ， ，
即 ，所以此时无解；
如图3，当直线与边 ， 分别交于 ， 时，设 ， ，，
即 ，解得 ，
由 ， 可知 ，
所以 ，
综上所述：只有一种切法满足题意，当直线与边 ， 分别交于 ， 且 .
06 数列新定义
18．（2024·上海徐汇·统考三模）对于数列 ，记 ．
(1)若数列 通项公式为： ，求 ；
(2)若数列 满足： ， ，且 ，求证： 的充分必要条件是 ；
(3)已知 ，若 ， ．求 的最大值．
【解析】（1）由通项公式 得： .
所以
（2）充分性:若数列 的前n项单调不增,即 .
此时有： .
必要性：用反证法. 若数列 不满足 ,则存在k( ),使得 ,那么由于 ,所以 .与已知 矛盾
所以,假设不成立,必要性得证.
综上所述： 的充分必要条件是
（3）由 ，令 ，则
.
所以
所以
.
（因为 ）
当且仅当 时, 取得最大值2021.19．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考开学考试）若实数数列 满足
，则称数列 为 数列.
(1)请写出一个5项的 数列 ，满足 ，且各项和大于零；
(2)如果一个 数列 满足：存在正整数 使得 组成首项为
1，公比为 的等比数列，求 的最小值；
(3)已知 为 数列，求证： 为 数列且 为 数列”的充要
条件是“ 是单调数列”.
【解析】（1）由题设， ，又 ，
所以 ，存在 满足条件，
又 ，则 ，
综上，满足题设的 数列 有 .
（2）由题设， 为 ，
所以 数列 从 开始依次往后各项可能出现的数字如下：
， ， ， ，
， ， ，
，…，
要使 的最小即正整数 且 间的间隔尽量小，又 ，则
，综上， 的最小值为 .
（3）由 为 数列，则 ，由 为 数列，则 ，
又 为 数列，即 ，
若 不是单调数列，
则存在 ，即 ，显然与 矛盾；
或存在 ，即 ，显然与 矛盾；
综上， 是单调数列，充分性得证；
由 是单调数列且为 数列，
所以 ，则 ，
则 ，即 ，
所以 、 均为 数列，必要性得证；
综上， 为 数列且 为 数列”的充要条件是“ 是单调数列”.
20．（2024·北京丰台·高三统考期末）若有穷数列 且 满足
，则称 为M数列．
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M数列 中各项互不相同． 令 ，求证：数列 是等差数列的充
分必要条件是数列 是常数列；(3)已知M数列 是 且 个连续正整数 的一个排列．若 ，求 的
所有取值．
【解析】（1）①因为 ，所以该数列不是M数列；
②因为 ，所以该数列是M数列．
（2）必要性：
若数列 是等差数列，设公差为 ，
则 ．
所以数列 是常数列．
充分性：
若数列 是常数列，
则 ，即 ．
所以 或 ．
因为数列 的各项互不相同，
所以 ．
所以数列 是等差数列．
（3）当 时，因为 ，所以 ，不符合题意；
当 时，数列为 ．此时 ，符合题意；
当 时，数列为 ．此时 ，符合题意；
下证当 时，不存在 满足题意．
令 ，则 ，且 ，
所以 有以下三种可能：
① ；
② ；
③ ．
当 时，因为 ，
由（2）知： 是公差为1（或−1）的等差数列．
当公差为1时，由 得 或 ，
所以 或 ，与已知矛盾．
当公差为−1时，同理得出与已知矛盾．
所以当 时，不存在 满足题意．
其它情况同理可得．
综上可知， 的所有取值为4或5．
21．（2024·北京石景山·高三统考期末）记实数 ， 中的较大者为 ，例如 ，
，对于无穷数列 ，记 ，若对于任意的 ，均有 ，则称数
列 为“趋势递减数列”.
(1)已知数列 的通项公式分别为 ， ，判断数列 是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
(2)已知首项为 公比为 的等比数列 是“趋势递减数列”，求 的取值范围；
(3)若数列 满足 ， 为正实数，且 ，求证： 为“趋势递减数列”的充要条件为
的项中没有 .
【解析】（1）数列 是“趋势递减数列”.
由 通项公式知：公差为 ，故 是单调递减数列，
∴ ，且 ，故数列 是“趋势递减数列”.
数列 是“趋势递减数列”.
由 为奇数， 为偶数，则 ，
∴ ，且 ，故数列 是“趋势递减数列”.
（2）当 时，数列 为单调递增数列，此时 ，且 不满足题意；
当 时，数列 为常数列，不满足题意；
当 时，数列 为单调递减数列，此时 ，且 ，满足题意；
当 时，此时 ，且 ，满足题意；
当 时，此时 ，且 ，不满足题意；
综上， 的取值范围为 .
（3）先证必要性：
假设存在正整数 ≥ 使得 ，令 .
因为 ， 为正实数，且 ，
∴ ≥ ，故 ≥ ，则数列 从 开始以后的各项为 ，当 ≥ 时， ， 与 为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，
的项中没有 .
再证明充分性：
得： ，
由 的项中没有 ，故对于任意正整数 ， ，
∴ ，即 .
当 时， ，
当 时， ，
∴ 为“趋势递减数列”.
综上： 为“趋势递减数列”的充要条件为 的项中没有 .
22．（2024·北京海淀·统考）已知数列 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数 ，使得
，对任意的 成立，则称数列 具有性质 ．
（1）分别判断下列数列 是否具有性质 ；（直接写出结论）① ；②
（2）若数列 满足 ，求证：“数列 具有性质 ”是“数列 为常数列的
充分必要条件；
（3）已知数列 中 ，且 ．若数列 具有性质 ，求数列 的通项公式．
【解析】（1）① ，对于 ， ，所以数列 具有“性质 ”；
② ，对于 ， ， ，故 ，所以数列 不具有“性质 ”．
（2）证明：先证“充分性”：
当数列 具有“性质 ”时，有 ，
又因为 ，
所以 ，
进而有
结合 有 ，
即“数列 为常数列”；
再证“必要性”：
若“数列 为常数列”，
则有 ，
即“数列 具有“性质 ”．
（3）首先证明： ．
因为 具有“性质 ”，
所以 ．
当 时，有 ．
又因为 ，且 ，
所以有 ， ，
进而有 ，
所以 ，
结合 可得： ．然后利用反证法证明： ．
假设数列 中存在相邻的两项之差大于3，
即存在 满足： 或 ，
进而有
．
又因为 ，
所以
依此类推可得： ，矛盾，
所以有 ．
综上有： ，
结合 可得 ，
经验证，该通项公式满足 ，
所以 ．
07 圆锥曲线新定义
23．已知点 是圆 上一动点，点 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 .
(1)求动点 的轨迹方程 ；
(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线 与曲线 相似，且焦点在
同一条直线上，曲线 经过点 .过曲线 上任一点 作曲线 的切线，切点分别为 ，
这两条切线 分别与曲线 交于点 （异于点 ），证明： .
【解析】（1）依题意， ，由椭圆的定义知，交点 的轨迹是以点 为左右焦点的椭圆，且长轴长 ，焦距 ，
则 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）由（1）知，曲线 的离心率为 ，且焦点在x轴上，则曲线 的离心率为 ，
曲线 的焦点在x轴上，而曲线 经过点 ， ，
因此曲线 的长半轴长 ，半焦距 ，短半轴长 有 ，
于是曲线 的方程为 ，设 ，
当切线 的斜率不存在时， 的方程为 ，代入 得 ，
此时 、 与曲线 都相切， 为 的中点， 为 的中点，则 ；
当切线 的斜率不存在时，同理有 ；
当切线 和 的斜率都存在时，设切线 的方程为 ，分别代入 和 ，化简得 ①， ②，
依题意，方程①有两个相等的实数根 ，方程②有两个不相等的实数根 ，
于是 ，即 ，
则 ，此时 为 的中点.
同理可证， 为 的中点，因此 ，
所以 .
24．椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线 ． 关于x轴的对称点记为 ．C在点
处的切线是指曲线 在点P处的切线．定义“ ”运算满足：①若 ，且直线PQ
与C有第三个交点R，则 ；②若 ，且PQ为C的切线，切点为P，则 ；③
若 ，规定 ，且 ．
(1)当 时，讨论函数 零点的个数；
(2)已知“ ”运算满足交换律、结合律，若 ，且PQ为C的切线，切点为P，证明：
；
(3)已知 ，且直线PQ与C有第三个交点，求 的坐标．
参考公式：
【解析】（1）由题设可知 ，有 ，
若 ，则 ，则 ，此时 仅有一个零点；若 ，令 ，解得 ．
当 或 时， ，当 时， ，
故 在 ， 上为单调递增；
在 上 单调递减.
因为 ，
若 ，则 ，
此时 ，而
故此时 有2个零点；
若 ，则 ，
此时 ，而
故此时 有2个零点；
综上，
当 ，所以 有2个零点．当 ，所以 有2个零点．
当 ，有 ，则 有1个零点．
（2）因为 为C在点P处的切线，且 ，所以 ，
故 ，故 ，
因为“ ”运算满足交换律、结合律，故 ，
故 .
（3）直线 的斜率 ，设 与C的第三个交点为 ，
则 ，代入 得
，
而 ，
故 ，
整理得到： ，
故 即 ，
同理可得 ，
两式相减得： ，
故 ，
所以 ，故 ，故 ，
所以 ，
因此 的坐标为：
．
25．（2024·全国·高三专题练习）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点P( ， )和直线
l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对
于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ，
)对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写出与点P对应的
极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆 过点P(4,0)，
则 ，得 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 .根据阅读材料，与点P对应的极线方程为 ，即 ；
（2）由题意，设点Q的坐标为( , )，
因为点Q在直线 上运动，所以 ，
联立 ，得 ，
，该方程无实数根，
所以直线 与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，
又QM，QN都与椭圆C相切，
所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆 ，与点Q( , )对应的极线方程为 ，
将 代入 ，整理得 ，
又因为定点T的坐标与 的取值无关，
所以 ，解得 ，
所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.
当 时，T是线段MN的中点，
设 ，直线MN的斜率为 ，
则 ，两式相减，整理得 ，即 ，
所以当 时，直线MN的方程为 ，即 .
26．（2024·上海虹口·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.
(1)设 ，若 的焦距为2，l过点 ，求l的方程；
(2)设 ，若 是 上的一点，且 ，l与 交于不同的两点A、B，Q为 的上顶点，
求 面积的最大值；
(3)设 是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义 .用a、b、k、m表示
，并利用 与 的大小关系，提出一个关于l与 位置关系的真命题，给出该命题的证明.
【解析】（1）设椭圆的左焦点 的坐标为 ，则椭圆的右焦点 的坐标为 ，
因为 的焦距为2，所以 ，故 ，所以左焦点 的坐标为 ，
因为l过点 ，直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为 ；
（2）因为 是 上的一点，所以 ，化简可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 的方程为 ，
因为直线l的斜率为k，在y轴上的截距 ，所以直线l的方程为 ，
设 ，由对称性可得 ，
因为 的面积 ， 为坐标原点，
所以 ，又 ，
所以 ，此时直线l的斜率为0，
所以 面积的最大值为2；（3）因为直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m，所以直线l的方程为 ，则向量 为直线
l的一个法向量，
取 ，因为M是l上一点，故设 ，
设椭圆的左焦点 的坐标为 ，则椭圆的右焦点 的坐标为 ，
则 ， ，
由已知 ， ，
所以 ，
提出如下命题：椭圆 的左、右焦点分别为 ，
直线l的方程为 ，若 ，则直线 与椭圆相切，证明如下：
联立方程 ，化简可得 ，
所以 ，
方程 的判别式
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以方程组 只有一组解，
所以直线 与椭圆 只有一个交点，所以直线 与椭圆 相切.
08 概率与统计新定义
27．（2024·北京东城·高三统考期末）已知随机变量 的取值为不大于 的非负整数值，它的分布列为：
0 1 2 n
其中 （ ）满足： ，且 ．定义由 生成的函数
，令 ．
（I）若由 生成的函数 ，求 的值；
（II）求证：随机变量 的数学期望 ， 的方差 ；
（ ）
（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量 表示两次掷出的点数之和，此时由 生成的函数记为 ，求
的值．
【解析】（I） ．
（II）由于 ，
，
所以 ．
由 的方差定义可知由于 ，所以有
，这样
，所以有
．
（III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量 的生成的函数为：
．
投掷骰子两次次对应的生成函数为: ．
所以 ．
方法2： 的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．
则 的分布列为
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
．则
．
28．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中 ．而在n维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的项
点坐标可表示为n维坐标 ，其中 ．现有如下定义：在n维空间中
两点间的曼哈顿距离为两点 与 坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于 ．
（已知对于正态分布 ，P随X变化关系可表示为 ）
【解析】（1）对于n维坐标 有 两种选择（ ）．
故共有 种选择，即 个顶点
（2）①对于 的随机变量，在坐标 与 中有k个坐标值不同，
即 ，剩下 个坐标值满足 ．
此时所对应情况数为 种．
即
故分布列为：
0 1 2 …
…
数学期望倒序相加得
即 ．
②当n足够大时， ．
设正态分布 ，正态分布曲线为 ，
由定义知该正态分布期望为 ，方差为 ．
设题中分布列所形成的曲线为 ．
则当 与 均在 处取最大值，若当 时，
且 ，则可认为方差 ．
I． ：当 时，有
即 ．
II．
当n足够大时，有当 时，
当 时，
故 ．
综上所述，可以认为 ．
09 高等数学背景下新定义
29．（2024·吉林长春·东北师大附中模拟预测）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由
两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不
等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有 ，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期
望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 其中 ，则对任意
， ，其中符号 表示对所有满足 的
指标 所对应的 求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量 的期望为 ，方差为 ，则对任意 ，均有
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 ．现随机选择了100名患者，经过使用该
药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
【解析】（1）法一：对非负离散型随机变量 及正数 使用马尔科夫不等式，有 ．
法二：设 的分布列为
其中 ，记 ，则对任意 ，
.
（2）设在100名患者中治愈的人数为 ．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，
那么在此假设下， ．
由切比雪夫不等式，有 ．
即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
30．（2024·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶
建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名
字命名的离散型切比雪夫不等式：设 为离散型随机变量，则 ，其中 为任意
大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量 的分布未知的情况下，对事件 的概率作
出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数 .在一次抽奖游戏中，有 个不透明的箱子依次编号为
，编号为 的箱子中装有编号为 的 个大小､质地均相同的小球.主持人邀请 位
嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为 的箱子中抽取的小球号码为 ，并记 .对任意的 ，是否总能保证 （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量 满足 ，则
有 .
【解析】（1）设 的所有可能取值为 取 的概率为 .
则 ，
（2）（2）由参考公式， .
，用到
而 ，故 .
当 时， ，因此，不能保证 .
31．（2024·北京西城·统考二模）给定奇数 ，设 是 的数阵． 表示数阵第 行第 列的数，
且 ．定义变换 为“将数阵中第 行和第 列的数都乘以
”，其中 ．设 ．将 经过 变换得到 ， 经过
变换得到 ， ， 经过 变换得到 ．记数阵 中 的个数为 ．
(1)当 时，设 ， ，写出 ，并求 ；
(2)当 时，对给定的数阵 ，证明： 是 的倍数；
(3)证明：对给定的数阵 ，总存在 ，使得 ．
【解析】（1）由题设 ， ．
所以 ， ．
（2）设数阵 中第 行和第 列中 的个数均为 ， 的个数均为 ．
经过 变换， 的第 行和第 列均有 个 变为 ，有 个 变为 ．
所以 ．
即 是 的倍数．
（3）数阵 经过 变换得到数阵 ，设 第 行和第 列中1的个数均为 ．
由（2）可知， ．设当 时， 取得最小值 ，其中 ．
记 每行中 的个数为 ，则必有 ．
否则，若存在 使得 ，则令 ，有
，与 为最小值矛盾．
在 中，① 若等于 的个数不超过 ，
则 ．
②若等于 的个数大于 ，则必存在 满足 ，且 ．
否则，不妨设 ，则共有 个 满足 ，且 ，
所以 中至多有 个等于 ，矛盾．
故存在 满足 ，且 ．
取 ，因为 ，所以 ．
由 变换为 时， 从 变为 ，故数阵 第 行中 的个数为 ．
故 ，
这与 为最小值矛盾．
综上，对给定的数阵 ，总存在 ，使得 ．
32．（2024·上海宝山·统考一模）若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的 （ ）倍，
则称该数列具有性质 .
（1）已知数列 ， ， 具有性质 ，求实数 的取值范围；
（2）删除数列 ， ， ， ， 中的第3项，第6项， ，第 项， ，余下的项按原来顺序组成一个新数列 ，且数列 的前 项和为 ，若数列 具有性质 ，试求实数 的最大值；
（3）记 （ ），如果 （ ），证明：“ ”的充
要条件是“存在数列 具有性质 ，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列 的各项均为正数，且
互异；（Ⅱ）存在常数 ，使得数列 收敛于 ；（Ⅲ） （ ，
这里 ）”.
【解析】（1）由题意可知， ，得 ；
（2）当 时， ， ，所以
；当 时， ， ，
；当 时， ， ，
，综上， 的最大值为 .
（3）证明：令 ，显然 具有性质 ，且满足条件（Ⅰ），当 ，满足条件
（Ⅱ）， ，即 ，所以，所以 ，即证
.
