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考点巩固卷 10 平面向量（六大考点）
考点01：共线定理
λ+μ=1
定理1：已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然
平面向量共线定理证明
若点 互不重合， 是 三点所在平面上的任意一点，且满足
⃗PC=x⃗PA+y⃗PB ⇔x+y=1
，则 三点共线 .
x+y=1⇒ x+y=1
证明:(1)由 三点共线.由 得
⃗PC=x⃗PA+y⃗PB=x⃗PA+(1−x) ⃗PB⇒ ⃗PC− ⃗PB=x( ⃗PA− ⃗PB)⇒ ⃗BC=x⃗BA
.
⃗BC ⃗BA
即 ， 共线，故 三点共线.⇒x+y=1
(2)由 三点共线 .
⃗BC ⃗BA
由 三点共线得 ， 共线，即存在实数x使得 .
x+y=1
故 .令 ，则有 .
1．已知 是平面内四个互不相同的点， 为不共线向量， ，
，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】B
【分析】利用向量共线充要条件求出结果．
【详解】 ，
所以 ，所以 三点共线，即B对．
同理，其它各项对应三点均不共线.
故选：B.
2．已知向量 不共线，且 ， ，若 与 同向共线，则实数 的
值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【答案】A
【分析】由共线定理可知存在 使得 ，然后由平面向量基本定理可得.
【详解】因为 与 同向共线，所以存在 使得 ，
试卷第2页，共3页即 ，
又向量 不共线，所以 ，解得 （舍去）或 .
故选：A
3．在 中， 为边 上一点且满足 ，若 为边 上一点，且满足
， ， 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最大值为
C． 的最大值为12 D． 的最小值为4
【答案】BD
【分析】根据 三点公式求得 ，结合基本不等式判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，
又 ， 为正实数，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
4．下列说法中不正确的是（ ）A．若 ，则 ，且 四点构成平行四边形
B．若 为非零实数，且 ，则 与 共线
C．在 中，若有 ，那么点 一定在角A的平分线所在直线上
D．若向量 ，则 与 的方向相同或相反
【答案】AC
【分析】根据四点共线即可判断A，根据共线定理即可求解B，根据单位向量的定义以及
向量加法的运算法则，即可由角平分线求解C，根据零向量即可求解D.
【详解】对于A，线段 上， 为线段 的三等分点，满足 ，且 ，
但 四点不能构成平行四边形，A错误；
对于B，因为 为非零实数，且 ，所以 ，所以 与 共线，B正确；
对于C，因为 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，所以
的方向与 的角平分线重合，又 ，可得向量 所在直线与
的角平分线重合，所以点 一定在角A的平分线所在直线上，C正确；
对于D，若向量 ，则 与 的方向相同或相反，或 与 中至少有一个为零向量，D
错误.
故选：AC
5．如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，过点 的直线与 ， 所在直
线分别交于点M，N，满足 ， ，（ ， ），若 ，则
的值为 ．
试卷第4页，共3页【答案】
【分析】用向量 表示 ，再利用点M，O，N共线列式计算作答.
【详解】因平行四边形 的对角线相交于点 ，则 ，
而 ，于是得 ，
又点M，O，N共线，
因此， ，即 ，又 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
6．如图，已知 ABC为等边三角形，点G是 ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交
△ △
于点D，与线段AC交于点E．设 ， ，且 ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若点G是 ABC的重心，设 ADE的周长为 ， ABC的周长为 ．
△ △ △
（i）求 的值；（ii）设 ，记 ，求 的值域．
【答案】(1) ；(2)（i）3；（ii） ．
【分析】（1）连接AG并延长，交BC于点F，设 ，则 ，
由B，F，C三点共线可求得 ，则有 ，又 ，可求 ， ，
即可得出结果.
（2）（i）由题意得 ， ，又D，G，E三点
共线，所以 ，即可得解；（ii）设△ABC的边长为1，则 ， ，在
△ADE中，由余弦定理得 ，所以 ，结合
化简 ，因为 ，所以 ，结合 的范围
及二次函数的性质求解即可得出 的值域.
【详解】（1）连接AG并延长，交BC于点F，
设 ，则 ，
又B，F，C三点共线，所以 ， ，
试卷第6页，共3页故 ，即 ，
则有 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
（2）（i）连接AG并延长，交BC于点F，
因为G为重心，所以F为BC中点，所以 ，
所以
又D，G，E三点共线，所以 ，则 ．
（ii）设△ABC的边长为1，则 ， ，（ ）
在△ADE中， ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，又 ，则有 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 ， 单调递增，则 ，
所以 ，即 的值域为 ．
7．设 ， 是不共线的两个非零向量.
(1)若 ， ， ，求证： ， ， 三点共线；
(2)若 ， ， ，且 ，求实数 的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）首先求出 ， ，根据平面向量共线定理得到 ，即可得证；
（2）首先求出 ， 的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】（1）因为 ， ， ，
试卷第8页，共3页所以 ，
，
又 ， 是不共线的两个非零向量，所以 ，所以 ，且有公共点 ，
所以 ， ， 三点共线；
（2）因为 ， ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，解得 .
8．如图，在 中，已知 ， ， ， 边上的中点为 ，点
是边 上的动点（不含端点）， ， 相交于点 ．
(1)求 的正弦值；
(2)当点 为 中点时，求 的余弦值．
(3)当 取得最小值时，设 ，求 的值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）解法1、先利用余弦定理求得BC，再根据 与 互补，由
，求得 ，然后在 中，利用余弦定理求解；解法
2、由 ，求得 ，再利用 的面积为 面积的 求解；解
法3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角坐
标系，利用向量的夹角公式 求解；（2）方法1、在 中，利用余弦定理，求得 ，再由 为 重心，得到
， ，然后在 中，利用余弦定理求解；解法2：由
，求得 ，再利用向量的夹角公式
求解；解法3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点
的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，再利用向量的夹角公式 求解；
（3）设 ，由 ，则 即 时，
取最小值，得到 ，再由 ， ，得
到 ，由A， ， 三点共线求解；
【详解】（1）解法1、由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
试卷第10页，共3页因为 与 互补，所以 ，解得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ．
解法2、由题意可得， ，
由 为边 上的中线，则 ，
两边同时平方得， ，
故 ，
因为 为 边中点，则 的面积为 面积的 ，
所以 ，
即 ，
化简得， ．
解法3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角
坐标系
则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
（2））解：方法1、在 中，由余弦定理，
得 ，所以 ，
由 ， 分别为边 ， 上的中线可知 为 重心，
可得 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
又由 ，所以 ．
解法2：因为 为边 上的中线，所以 ，
，
，即 ．
所以 ．
解法3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角
坐标系：
则 ， ， ， ，
所以 ， ．
试卷第12页，共3页所以 ．
（3）设 ， ，
当 即 时， 取最小值 ，
，
， ，
，
， ， 三点共线，
.
9．设 是不共线的两个非零向量．
(1)若 ，求证： 三点共线；
(2)已知 的夹角为 ，问当 为何值时，向量 与 垂直？
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据已知条件结合向量加减法求出 、 ，进而得出 即可得证.
（2）先求出 ，根据向量垂直得 ，再结合向量运算法则计算即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，又 与 有公共点 ，所以A，B，C三点共线.
（2）由 得 ，
因为向量 与 垂直，
所以 ，即 ，
整理得 .
10．如图，在 中，AQ为边BC的中线， ，过点P作直线分别交边AB，
AC于点M，N，且 ， ，其中 ， .
(1)当 时，用 ， 表示 ；
(2)求 的值，并求 最小值.
【答案】(1)
(2) ， 最小值为
【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合 为边 的中线求解即可；
（2）结合（1）可得 ，再根据 ， 求得
，结合 三点共线即可求出 ，再根据基本不等式中“1”
试卷第14页，共3页的整体代换即可得解.
【详解】（1）因为 为边 的中线，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，
即 ；
（2）由（1）可得 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
，
由 三点共线，得 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 最小值为 .
考点02：投影向量的求算
1、投影向量的定义
如图：如果向量 的起点 和终点 在直线 上的投影分别为 和 ，
那么向量 叫做向量 在直线 上的投影向量（简称为：投影）；理解：一个向量 在一个非零向量 的方向的投影，就是向量 在向量 的任意一条所在
直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量 在一个非零向量 的方向的投影
是唯一确定的；
特殊地，如图，若两个向量共起点 ；
即： ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 就是向量 在向量 上的投影向量；
2、投影向量的计算公式
以一点 为起点，；
作： ，把射线 、 的夹角称为向量 、向量 的夹角，记作：
；
；
；
，又称向量 垂直，记作 ；
（1） （2）
试卷第16页，共3页（3）
当 为锐角（如图（1））时， 与 方向相同，
，所以 ；
当 为直角（如图（2））时， ，所以 ；
当 为钝角（如图（3））时， 与方向相反，
所以
所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
综 上 可 知 ， 对 于 任 意 的 ， 都 有
；
3、数量投影的定义与求法
据图：如果令 为向量 的单位向量，那么
向量 在向量 方向上的向量投影为： ；
其中，实数 （*）称为向量 在向量 方向上的数量投影；理解：（1）当 时；实数 （*）大于0；
（2）当 时；实数 （*）等于0；
（3）当 时；实数 （*）小于0；
特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该
投影的模，因此，这个数量投影等于0；
11．向量 与非零向量 的夹角为 ，则 在 上的投影数量为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得.
【详解】依题意， 在 上的投影数量为 .
故选：A
12．若 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 求得 值，根据投影向量的定义公式计算即得.
【详解】由 可得， ，解得 ，则 ，
在 方向上的投影向量为 .
故选：D.
13．若向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标是（ ）
试卷第18页，共3页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算可得 ，再结合投影向量的定义运算求解.
【详解】因为 ， ，则 ，
所以 在 上的投影向量 .
故选：B.
14．已知向量 ，则 在 上的投影向量
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由模长公式可得 ，即可由投影向量的公式求解.
【详解】因为 ，所以 ，又因为 ，所以
，所以 在 上的投影向量为 .
故选:D.
15．空间向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量公式计算即可.
【详解】 ， ，由投影向量的定义和公式可知 在 的投影向量为 ，
故选：C.
16．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若单位向量 ， 夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为
C．若 与 不共线，且 ，则
D．若 且 ，则
【答案】BC
【分析】根据向量的线性运算及数量积的几何意义可判断各选项.
【详解】A：当 时，若 ， ，则 与 不一定平行，A错误；
B：向量 在向量 上的投影向量为 ，B正确；
C：若 与 不共线，且 ，则 ，C正确；
D： ，则 ，又 ，
则 ，显然 不能确定，D错误；
故选：BC.
17．已知向量 ， ，则向量 在 方向上的投影向量的坐标为
．
【答案】
试卷第20页，共3页【分析】利用向量的坐标运算，结合投影向量的定义求解即得.
【详解】由 ， ，得 ，
则 ， ，
所以向量 在 方向上的投影向量 .
故答案为：
18．已知 ， ．
(1)若 且 ，求 在 方向上的投影向量；
(2)若 与 的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据模长的坐标运算求得 ，再结合投影向量的定义分析求解；
（2）根据题意可知 且 与 不共线，结合向量的坐标运算分析求解.
【详解】（1）因为 ， ，则 ，
若 且 ，则 ，解得 ，
则 ， ，可得 ，
所以 在 方向上的投影向量 .
（2）因为 ， ．
若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，则 ，解得 且 ，
所以实数m的取值范围为 .
19．已知向量 ， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 在 上的投影向量（用坐标表示）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）把 代入 中，再根据 的坐标去求模长即可；
（2）根据 ，把坐标代入计算求出 的值，再列式求得 在 上的投影向量.
【详解】（1）当 时， ， ，
∴ .
（2）∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，即 ，
∴ 在 上的投影向量为 .
试卷第22页，共3页20．已知 与 的夹角为 .
(1)求 在 方向上的投影向量；
(2)求 的值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据向量在向量上的投影向量的概念求解；
（2）根据数量积的运算法则求模即可.
【详解】（1） 在 方向上的投影向量为 .
（2） .
考点03：奔驰定理解决三角形面积比问题
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知 的顶点 ， ， ，则△ABC 的重心坐标为
.
注意：（1）在 中，若 为重心，则 ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理： ，则 、 、 的面
积之比等于
奔 驰 定 理 证 明 ： 如 图 ， 令 ， 即 满 足
， ， ，故 .21．点 在 的内部，且满足： ，则 的面积与 的面积之
比是（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】利用向量的平行四边形法则可知点 在的中线 上，且 ，从而可得
，根据 即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，即 ，
取 中点为点 ，
则 ，即 ，
所以 在中线 上，且
过 ，分别作边 上的高，垂足为 ，
试卷第24页，共3页则 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
22．设点O是 所在平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则O为 的重心；
B．若 ，则O为 的垂心；
C．若 ，则 为等边三角形；
D．若 ，则△BOC与△ABC的面积之比为 ．
【答案】B
【分析】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形
垂心定义判断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得△BOC与
△ABC的面积之比判断选项D.
【详解】对于A，如图，取 边中点 ，连接 边上的中线 ，则 ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 为 的重心，故选项A正确；
对于B，如图，取 边中点 ， 边中点 ，连接 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， 分别是 ， 边上的垂直平分线，
∴ ， 为 的外心，故选项B错误；
对于C，作角 的内角平分线 与 边交于点 ，
∵ 为 方向的单位向量， 为 方向的单位向量，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴ ，∴ ，∴ ， 为等腰三角形，
又∵ ，且 ，∴ ，
∴ 为等边三角形，故选项C正确；
试卷第26页，共3页对于D，设 ， ，
由 ，得 ，
则由选项A可知， 为 的重心，设 的面积 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故选项D正确．
故选：B
23．已知 为 所在平面内的一点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．
C． 与 的面积之比为D． 与 的面积之比为
【答案】ABD
【分析】对于A，由条件，求出 ，再开方可得 ，即可判断；对于B，由
，通过向量的线性运算可得 ，即可判断；对于C，由
，可得 ，即可判断；对于D，由 ，
可得 ， ，则得 ，即可
判断.
【详解】若 且 ，则 ，
则 ，
所以 ，故A正确；
因为 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ， ，所以
，故D正确．
故选：ABD．
24． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其外接圆半径为 ，下列结论正确
的有（ ）
A．若 是 的重心，则
试卷第28页，共3页B． 是 所在平面内一点，若 ，则 的面积是 的面
积的2倍
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ， ，则 的外接圆半径
【答案】ABD
【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则判断A；利用向量加法的平行四边形法
则，结合平行关系探讨面积判断B；利用正弦定理、余弦定理计算判断C；利用和差角的
余弦公式、结合正弦定理计算判断D.
【详解】对于A，如图设 为 的中点，点 为 的重心，
则 ，即 ，即 ，A正确；
对于B，令 ，则 ，
由平行四边形法则得 ， ，则 ，同理 ，
所以 的面积是 的面积的2倍，B正确；对于C，由 ，得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，则 是直角三角形，
C错误；
对于D，由 ，得 ，由 ，得
，
即 ，
，
由正弦定理 ，得
，
即 ，解得 ，D正确.
故选：ABD
25． 的内角 的对边分别为 ，其外接圆半径为 ，下列结论正确的有
（ ）
A．若 是 的重心，且 ，则
B． 是 所在平面内一点，若 ，则 的面积是 的面
积的2倍
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 的外接圆半径
试卷第30页，共3页【答案】ABD
【分析】利用三角形重心的向量表示，结合余弦定理计算判断A；利用向量加法的平行四
边形法则，结合平行关系探讨面积判断B；利用正弦定理、余弦定理计算判断C；利用和
差角的余弦公式、结合正弦定理计算判断D.
【详解】对于A，由 是 的重心，得 ，又 ，
则 ，由余弦定理得 ，于是 ，A正确；
对于B，令 ，则 ，由平行四边形法则得 ，
，则 ，同理 ，B正确；
对于C，由 ，得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，则 是直角三角形，
C错误；
对于D，由 ，得 ，由 ，
得 ，即 ，
，
由正弦定理 ，得
，即 ，解得 ，D正确.
故选：ABD
26．下列说法中正确的是（ ）
A．在 中， ， ， ，若 ，则 为锐角三角形
B．已知点 是平面上的一个定点，并且 ， ， 是平面上不共线的三个点，动点
满足 ，则点 的轨迹一定通过 的内心
C．已知 ， ， 与 的夹角为锐角，实数 的取值范围是
D．在 中，若 ，则 与 的面积之比为
【答案】BD
【分析】利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用单位向量的定义与
加法的平行四边形法则判断 与 的角平分线的关系，从而判断C；注意到 与
同向的情况，可否定C；利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到 的
比例，从而利用比例的性质与三角形面积的特点判定D.
【详解】对于A，因为 ，即 ，所以 ，则 为钝角，故A错误；
对于B， 因为 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，
所以 的方向与 的角平分线重合，
又 ，可得 ，
试卷第32页，共3页又 ，所以向量 的方向与 的角平分线重合，
所以点 的轨迹一定通过 的内心，故B正确；
对于C ，因为 ， ，所以 ，
当 时， ，此时 与 同向，夹角不是锐角，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，
延长 交 于 ，如图所示.
因为 共线，所以存在实数 ， ，
因为 共线，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，故D正确.
故选：BD.
27．在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等腰三角形
B．若 ， ，则 为等边三角形
C．若点 是边 上的点，且 ，则 的面积是 面积的
D．若 分别是边 中点，点 是线段 上的动点，且满足 ，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】
由单位向量，向量垂直判断A,由夹角公式及模长判断B,由平面向量基本定理确定M位置
判断C, 由三点共线及平面向量基本定理将 表示为t的二次函数求最大值判断D.
【详解】
对A, 分别表示与 同向的单位向量，
由平面向量加法可知： 为 的平分线表示的向量，
由 ，可得 的平分线 与 垂直，
故 是等腰三角形，故A正确；
对B, 由题意， ,
则 ， ，故 ，
又 ，则 ，即 ，
故 为等边三角形，故B正确；
对C, 若点 是边 上的点，设 ，
则 ，即 ，
结合 ，知 ，则点 是边 上的靠近B的三等分点，
试卷第34页，共3页则 的面积是 面积的 ，故C错误；
对D，如图所示：
因为 在 上，即 ， ， 三点共线，
设 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，则 ， ，
令 ，
时， 取得最大值为 ．故D正确．
故选：ABD.
28．对于 ，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则符合条件的 有两个
C．若点 为 所在平面内的动点，且 ，
则点 的轨迹经过 的垂心
D．已知 是 内一点，若 分别表示的面积，则
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理及比例的性质判断A，根据正弦定理及大边对大角判断B，根据数
量积的运算得垂直判断C，根据向量的运算得出比例关系判断D.
【详解】由正弦定理知 ，
所以 可得 ，由 可得 ，
故A正确；
由正弦定理可知 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 ，故 只有一解，所以三角形一解，故B错误；
因为
，所以 ，所以点 的轨迹经过 的垂心，故C正确；
因为 ，所以 ，
设 的中点分别为 ，如图，
则 ，即 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD
29．若M是 内一点，且满足 ，则 与 的面积之比为
．
试卷第36页，共3页【答案】 /
【分析】设 为 的中点，连接 ，则由题意可得 为 的中点，从而可求得结果.
【详解】设 为 的中点，连接 ，则
，
因为 ，所以 ，
所以 为 的中点，
所以 ，
所以 ,
故答案为：
30．已知在 中，角 所对的边分别为 ，若 的面积 ，
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题意结合面积公式得 ，代入正弦定理把角化成边变形即可.（2）由 可得 ，结合 可得 ，由 ，结合向
量加法法则变形分析得 ，继而可得答案.
【详解】（1） ，得 ，则 ，
，
由正弦定理将角化成边得 ，
移项得 ，两边同时除以 得 ，
又 ， .
（2）因为 ，由（1）知， ，
， ，
， ，
取 中点为 ，连接 ，延长 至点 ，使 ，
， ，即 ，
可得 ，则 .
考点04：平面向量之三角形四心问题
一、四心的概念介绍：
试卷第38页，共3页（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离
相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
二、三角形四心与推论：
（1） 是 的重心： ．
（2） 是 的内心： ．
（3） 是 的外心：
．
（4） 是 的垂心：
．
【方法技巧与总结】
（1）内心：三角形的内心在向量 所在的直线上.
为 的内心.
（2）外心： 为 的外心.
（3）垂心： 为 的垂心.
（4）重心： 为 的重心.
31．已知 为三角形 内一点，且满足 和 ，
则角 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据数量积的运算律得到 为 的垂心， ，
，利用 、 得 ，
，解得 ， 即可求解.
【详解】由题意可得 ，
所以 ，同理可得 ， ，故 为 的垂心，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，同理 .
由 为 的垂心，得 ，即 ，
可知 ，即 ．同理有 ，
即 ，可知 ，
即 ，相乘得 ，所以 （负根舍去），
又 ，所以 .
故选：B
32．已知 ， ， ， 是平面上的4个定点， ， ， 不共线，若点 满足
，其中 ，则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
试卷第40页，共3页【分析】取线段 的中点 ，则 ，依题可得 ，即可得答案.
【详解】取线段 的中点 ，则 .
动点 满足： ， ，
则 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 三点共线，即点 的轨迹是直线 ，
一定通过 的重心.
故选：A.
33．已知 ，向量 ， ， 满足条件 ， ．则
是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形
D．直角三角形
【答案】C
【分析】首先由条件判断点 是 的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状.
【详解】如图，点 是 的中点，所以 ，
因为 ，即 ，即 ，
则点 三点共线，且 ，所以点 是 的重心，
又 ，所以点 是 的外心，则 ，即 ，
所以 ，同理 ，则 ，所以 是等边三角形.
故选：C
34．已知点P在 所在平面内，若 ，则点P
是 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得 平分 ， 平
分 ，结合三角形内心定义判断即得.
【详解】在 中，由 ，得 ，
即 ，由 ，同理得 ，
显然 ，即 与 不重合，否则 ，同理 ，
则 ，即 ， ，
于是 平分 ，同理 平分 ，
所以点P是 的内心.
故选：D
35．已知在 中， 为 的垂心， 是 所在平面内一点，且 ，
则以下正确的是 （ ）
试卷第42页，共3页A．点 为 的内心 B．点 为 的外心
C． D． 为等边三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解.
【详解】在 中，由 为 的垂心，得 ，
由 ，得 ，
则 ，即 ，又 ，
显然 ，同理得 ，因此点 为 的外心，B正确，无判断ACD成
立的条件.
故选：B
36．设点O是 所在平面内任意一点， 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知点O不在 的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是 的重心，则
B．若点O是 的垂心，则
C．若 ，则点O是 的外心
D．若O为 的外心，H为 的垂心，则
【答案】ACD
【分析】根据重心分中线长度为 ，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及
向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判
断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得 垂直两个不共线向量，
即可得解判断D.
【详解】取 中点 ，如图，因为点O是 的重心，所以 ，故A正确；
因为点O是 的垂心，所以 ，
故 ，故B错误；
因为 ，所以 ，
同理可得 ，所以 ，即 为外心，故C正确；
如图，
因为 ，
所以 ，
两式相减可得 ，
同理可得 ，若 ，该平面向量同时垂直
于 ， ，显然不可能，所以 ，
试卷第44页，共3页即 ，故D正确.
故选：ACD
37．在 中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B． 内一点 满足 ，则 是 的重心
C．若 ，则 的形状为等腰三角形
D．若 ，则 必为 的垂心
【答案】BD
【分析】对于A，由 可得角 为锐角，对于B，由向量加法和共线及三角形重
心概念判断，对于C，对 转化为 ，再两边同平方即可
判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断
【详解】对A，由 可得 ，所以 ，由此仅可得 为锐
角，但 可能为钝角三角形，A错；
对B，设 的中点为 ，由 可得 ，
所以 ，所以G是 的重心,B对；
对C，由 可得 ，两边同平方化简得 ，由此可得 的形状为直角三角形，C错；
对D，由 可得 ，即 ，故 ，所以
，
所以点 在边 的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点 为 的垂心，
D对.
故选：BD.
38．下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．在平行四边形 中，
C．在 中，若 ，则 是钝角三角形．
D． 内有一点 ，满足 ，则点 是三角形的重心
【答案】CD
【分析】A选项，举出反例；B选项，利用向量减法法则得到答案；C选项，根据条件得
到 为钝角，C正确；D选项，作出辅助线，利用向量基本定理得到 ，故点
是三角形的重心.
【详解】A选项，若 ，满足 ，但不满足 或 ，A错误；
B选项，在平行四边形 中， ，故B错误；
C选项，在 中，若 ，则 为钝角，故 是钝角三角形，C正确；
D选项，取 的中点 ，连接 ，
则 ，又 ，故 ，
试卷第46页，共3页则点 是三角形的重心，D正确..
故选：CD
39．点O是平面 上一定点，A，B，C是平面 上 的三个顶点， ， 分别是
边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足 ，则 的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足 ，则 的内心一定在满足条件的P点集
合中；
③动点P满足 ，则 的重心一定在满足条件
的P点集合中；
④动点P满足 ，则 的垂心一定在满足条件
的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【分析】根据 的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交
点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误.
【详解】①当动点P满足 时，
则点P是 的重心，所以①不正确；
②显然 在 的角平分线上，而 与 的平分线所在向量共线，所以 的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③ 变形为 ，
而 ， 表示点A到 边的距离，设为 ，
所以 ，而 表示 边的中线向量，
所以 表示 边的中线向量，
因此 的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；
④当 时， 的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不
正确；
故答案为：2.
40． 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是 所在平面内的动点，满足
.射线BP与边AC交于点D.若 ，则
面积的最小值为 .
【答案】
【分析】首先根据向量的几何意义，确定 是 的角平分线，再根据余弦定理，以及
三角形的面积公式和基本不等式，求得 最小值，即可求解.
【详解】 表示与 方向相同的单位向量， 表示与 方向相同的单位向量，
根据向量加法的几何意义可知，点 在 的角平分线上，即 是 的角平分线，
由 ，得 ， ，所以 ，
依题意 ，
根据三角形的面积公式有 ，
试卷第48页，共3页整理得 ，所以 ，即 ，当且仅当
时等号成立，
所以 面积的最小值为 .
故答案为：
考点05：极化恒等式解决向量数量积问题
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则 ，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”
与“差对角线”平方差的 .
②三角形模式： （M为BD的中点）A
B M C
41．在平行四边形ABCD中， ， ， ，点P在CD边上，
，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意结合数量积的几何意义可得点P与点D重合，再利用余弦定理求出 ，
结合勾股定理逆定理可得 ，从而可求得答案.
【详解】由 ，得 在 上的投影向量 的模 ，
因为 ， ，
所以 在 上的投影为 ，
所以如图1，得 ，点P与点D重合，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
试卷第50页，共3页42．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八
边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形
的边长为2，P是正八边形 八条边上的动点，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由投影向量的定义得到当 在 上时， 取得最大值，进而得到答案.
【详解】由投影向量的定义可知，当 在 上时， 取得最大值，
延长 交 的延长线于点 ，
的最大值为 ，
其中正八边形的外角为 ，故 ，
故 ， ，
故 ，
所以 最大值为 .故选：B
43．已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，且
，当 时，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，根据条件得到 ，利用数量积的几何意义，即可求出结果.
【详解】因为 ，
如图，取 中点 ，又 ，所以 ，即 ，
结合平面向量数量积的几何意义 ，又 ，得到
，
故选：B.
44．在 中，已知 ， ，若点 为 的外心，点 满足
试卷第52页，共3页的点，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的
值.
【详解】 ，
,
，
，
，
.
故选：D
45．已知在边长为2的菱形 中， ，点 满足 ，则
.
【答案】
【分析】根据相似比可得 ，即可利用数量积的几何意义求解.
【详解】如图，设 与 交于点 ，过点 作 的平行线交 于点 .因为
，
所以 ，所以 ，
因为四边形 是边长为2的菱形， ，所以 ，且 ，所以 在 上的投影向量为 ，
所以 .
故答案为：
46．已知复数 在复平面内对应的点为 ，且满足 ， 为原点， ，求
的取值范围 ．
【答案】
【分析】分析可知点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆面内（包括边界），注意
到 三点共线，结合数量积的几何意义分析求解.
【详解】由题意可知： 在复平面内对应的点为 ，
因为 ， ，
可知点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆面内（包括边界），
试卷第54页，共3页因为 ，即 ，可知 三点共线，
且 ，
设 在 方向上的投影向量为 ，则 ，
可得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
47．如图，在梯形 中， .点 在阴影区域（含边界）中运动，
则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出 和 ，根据数量积的几何意义，分析 在 上的投影向量即可得
解.
【详解】作 ，垂足为F，记 的中点为E，由 可知，梯形 为等腰梯形， ，
所以 ， ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
由数量积的几何意义可知， 受 在 上的投影影响，
由图可知，当点P在BC上时， 在 上的投影向量为 ，数量积取得最小值，
当点P与点D重合时， 在 上的投影向量为 ，数量积取得最大值.
所以 ，即 .
故答案为：
48．如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点 在以 的中点
为圆心， 为半径的半圆上，则 的最大值为 ．
【答案】9
【分析】 在 上的投影向量是 ，由向量数量积的几何意义， ，
试卷第56页，共3页求 的最大值即可
【详解】如图，过 向 作垂线，垂足为 ，则 在 上的投影向量是 ，
在 上的投影向量 可能与 同向，也可能与 反
向，
在本题中 与 的夹角为锐角，所以是同向的，
由向量数量积的几何意义， ．
由等边三角形 边长为3， ，得 ，即半圆 的直径为2，
过点 作直线 的垂线 ， 与直线 的夹角为 ， ，
则圆心 到直线 的距离为1，所以直线 与圆 相切，
记切点为 ，当点 在半圆上运动到与 重合时， ， 最大，
取最大值，最大值为 ．
故答案为：9.
49．如图，在△ABC中， ， ， ，则
．
【答案】
【分析】由 得 ，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果.
【详解】由 ,可知 ，
,则
故答案为： ．
50．如图，已知网格小正方形的边长为1，点 是阴影区域内的一个动点（包括边界），
O，A在格点上，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由向量数量积的几何意义求解.
【详解】 ，
即 的等于 与 在 方向上的投影的乘积，
，结合图形可知 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
考点06：等和线解决平面向量系数和问题
试卷第58页，共3页题型一： 问题（系数为1）
题型二： 问题（系数不为1）
题型三： 问题
（1）平面向量共线定理
已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线
上或者在平行于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以
及与直线 平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
51．如图，在 中，若 为 上一点，且满足 ，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 将 用 表示，由共线定理推论即可求得.
【详解】因为 所以
由 ,
因 三点共线，由共线定理推论可得， 解得
故选：A.
52．如图，在正方形 中， , 和 相交于点G，且F为 上一点（不
包括端点），若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．15
【答案】B
【分析】先确定 的位置，接着由 进行转化，利用共线定理得 ，
再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】由题可设 ，
则由题意得 ，
试卷第60页，共3页因为 、 、 三点共线，故 ，
所以 ，
所以 ，
又 、 、 三点共线，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .
故选：B.
53．如图，在 中， 是 上的一点，若 ，则实
数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可.
【详解】由题意可知， ，所以 ，
又 ，即 .
因为 三点共线，所以 ，解得 .
故选：D.54． 的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若 ，
（ ），则xy的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得 ，
再利用基本不等式求解即得.
【详解】由O为 的重心，得 延长线必过 的中点 ，
则 ，由 ， ，得 ， ，
即 ，又E，O，F三点共线，因此 ，
即 ，又 ，则 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
则xy的最小值是 .
故选：C
55．在 中，点 是线段 上一点，点 是线段 上一点，且 ，
试卷第62页，共3页，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，再根据平面向量共线定理
的推论得到 ，解得即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
因为点 是线段 上一点，即 、 、 三点共线，
所以 ，解得 .
故选：B
56．已知 是边长为1的正三角形， 是 上一点且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意得 ，由 三点共线求得 ，利用向量数量积运
算求解.【详解】 ， ，且 ，
而 三点共线， ，即 ，
，
所以 .
故选：A.
57．已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不
包括端点B，D），若 ， ，记 的最小值为m，
的最小值为n，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得 及 且
，再通过二次函数求最小值 ；由 及点Q在对角线BD上，得
，再通过基本不等式求最小值 .
试卷第64页，共3页【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以 ，
又点P在对角线AC上（不包括端点A，C），所以 且 ，
则 ，当 时， ．
同理 ，因为点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），
所以 且 ， ，
则 ，
当且仅当 ， 时取得等号，所以 ．
故选：A．
58．如图，在三角形 中，M、N分别是边 、 的中点，点R在直线 上，且
（x， ），则代数式 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据给定条件，结合共线向量定理的推论可得 ，再消元借助二次函数
求出最小值.
【详解】由M、N分别是边 、 的中点，得 ，而
，
于是 ，又点R在直线 上，因此 ，即 ，
则 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：C
59．如图所示， 是 的中点， 是平行四边形 内（含边界）的一点，
且 ，则当 时， 的范围是 .
【答案】
【分析】过 作 ，交 于 ，作 ，交 的延长线于 ，则
，由 ，可得则点 为 中点，点 在 上，结合图象可求 的范围.
【详解】如图，过 作 ，交 于 ，作 ，交 的延长线于 ，
试卷第66页，共3页则： ，
又因为 ， ，则点 为 中点，
又 是 的中点，所以 ，则点 在 上，
由图形看出，当 与 重合时： ，此时 取最小值 ，
当 与 重合时： ，此时 取最大值 ，
所以 的范围是
故答案为：
60．如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，过点 的直线与 ， 所在直
线分别交于点M，N，满足 ， ，（ ， ），若 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】用向量 表示 ，再利用点M，O，N共线列式计算作答.
【详解】因平行四边形 的对角线相交于点 ，则 ，
而 ，于是得 ，
又点M，O，N共线，因此， ，即 ，又 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
试卷第68页，共3页
