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单元提升卷 07 平面向量与复数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1． （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在梯形 中， ， ，设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 与 平行．若 ，
，则BC边上的中线AD为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知两个单位向量 满足 ．则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数 ， 是关于 的方程 的两根，则下列说法中不正确的是
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1A． B．
C． D．若 ，则
6．设 为函数 （ ）图象上一点，点 ， 为坐标原点， ，
的值为（ ）
A．-4 B． C．4 D．1
7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为 ，作用
在行李包上的两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 .给出以下结论：
① 越大越费力， 越小越省力；② 的范围为 ；
③当 时， ；④当 时， .
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．在 中， ， ， .若 ， 分别为边 ， 上的点，且满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29．下列与平面向量相关的结论正确的是（ ）．
A．在四边形 中，若 ，则该四边形为平行四边形
B．对任意一个等边 ， 都成立
C．对于非零向量 ， ， 成立的充要条件是 ， 方向相同
D．对于非零向量 ， ， 成立的充要条件是 ， 方向相同
10．已知复数 ，复数 满足 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数 在复平面内所对应的点为 ，则
11．已知点O为 所在平面内一点，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 不过 边的中点
B．
C．若 ，则
D．
12．如图1，甲同学发现家里的地板是正方形的形状，地板的平面简化图如图2所示，四边形 和四
边形 均为正方形，且 为 的中点，则下列各选项正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3A．
B．
C．向量 在向量 上的投影向量为
D．向量 在向量 上的投影向量为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数 满足 ，则 _____.
14．已知 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为_____．
15．已知对任意平面向量 ，把B绕其起点沿逆时针方向旋转 得到向量
叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 得到点P.已知平面内点 ，
点 ，把点B绕点A沿逆时针 后得到点P，向量 为向量 在向量 上的投影向量，则
_____.
16．在直角梯形 ， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点，
点 在以 为圆心， 为半径的圆弧 上变动（如图所示），若 ，其中 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4则 的取值范围是_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在① ，② 为虚数，③ 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：
.
（1）若_______，求实数 的值；
（2）若复数 的模为 ，求 的值.
18．已知向量： .
(1)求 与 的模长.
(2)求 与 的数量积.
(3)求 与 的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 519．已知关于x的方程 的两个虚数根为 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，求实数a的值．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.
(1)若 ，求λ；
(2)若 ，求 .
21．如图，向量 ， 为单位向量， ，点 在 内部， ， ，
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6(1)当 时，求 ， 的值；
(2)求 的取值范围.
22．已知 ， 是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作 ， ，以O为原
点，分别以射线 、 为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图（1）.我们把这个由基底 ， 确
定的坐标系 称为基底 坐标系 .当向量 ， 不垂直时，坐标系 就是平面斜坐标系，简记
为 .对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对 ，使得
，则称实数对 为点Р在斜坐标系 中的坐标.
今有斜坐标系 （长度单位为米，如图（2）），且 ， ，设
(1)计算 的大小；
(2)质点甲在 上距O点4米的点A处，质点乙在oy上距O点1米的点B处，现在甲沿 的方向，乙沿
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用 ， ，表示 ；
②若 时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
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