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单元提升卷 09 空间向量与立体几何
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．水平放置的 的直观图如图，其中 ， ，那么原 是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
2．如图直角梯形 中， ，且 ，以 为轴旋转一周，形成的几何体中截
一正四棱台的最大体积为（ ）
A． B． C．7 D．
3．已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四
棱锥 为阳马， 平面 ，且 ，若 ，则 （ ）A． B．
C． D．
5．如图，在三棱锥 中，异面直线 与 所成的角为60°， ， 分别为棱 ， 的中点，
若 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． 或 D．2或
6．已知 是边长为4的等边三角形，将它沿中线 折起得四面体 ，使得此时 ，则
四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体 中， ， ，若用一个与 ， 都平行的
平面 截该四面体，下列说法中错误的（ ）
A．异面直线 与 所成的角为90°
B．平面 截四面体 所得截面周长不变C．平面 截四面体 所得截面不可能为正方形
D．该四面体的外接球半径为
8．三棱锥 中， 两两垂直且相等，点 分别是线段 和 上移动，且满足
， ，则 和 所成角余弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2的正方形， 与 交于点 ， 面
，且 ，则以下说法正确的是（ ）
A． 平面 B． 与平面 所成角为
C． 面 D．点 到面 的距离为2
10．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为 ， ， 是底面圆周上的两
个不同的动点，给出下列四个结论，其中成立的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．母线与圆锥的高所成角的大小为
C． 可能为等腰直角三角形D． 面积的最大值为
11．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形，其
体积是将上下底面面积、中截面(与上下底面距离相等的截面)面积的4倍都相加再乘以高(上下底面的距离)
的 ，在拟柱体 中，平面A B C D //平面 ， 分别是 的中点，
1 1 1 1
A B C D
1 1 1 1
为四边形 内一点，设四边形 的面积 的面积为 ，面 截得拟柱体的截面
A B C D
1 1 1 1
积为 ，平面 与平面 的距离为 ，下列说法中正确的有（ ）
A．直线 与 是异面直线
B．四边形 的面积是 的面积的4倍
C．挖去四棱锥 与三棱锥 后，拟柱体剩余部分的体积为
D．拟柱体 的体积为
12．如图，在多面体 中， 平面 ，四边形 是正方形，且 ，
， 分别是线段 的中点， 是线段 上的一个动点（含端点 ），则下
列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，直线 与平面 所成的角逐渐增大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面 的法向量 ，点B在 上且 ，则 到 的距离为_____．
14．（ 2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，在直三棱柱 中， ， ，
，O是 的中点，在侧面 上以O为圆心，2为半径作圆，点P是圆O上一点，则
线段BP长的最小值为_____．
15．在三棱锥 中，底面 为正三角形， 平面 ， ，G为 的外心，D为
直线 上的一动点，设直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为_____．
16．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， .在此棱锥表面上，从点
经过棱 上一点到达点 的路径中，最短路径的长度为 ，则该棱锥外接球的表面积为_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在四棱柱 中， ， ．(1)当 时，试用 表示 ；
(2)证明： 四点共面；
18．如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求 及三棱锥 的体积．
19．如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形，且 ，侧面 是边长为 的正方
形，侧面 侧面 ， 为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
20．如图，在四棱锥 中，底面四边形 为菱形， 为棱 的中点， 为边 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若侧面 底面 ，且 ， ；
①求 与平面 所成的角；
②在棱 上是否存在点 ，使点 到直线 的距离为 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理
由.21．图①是直角梯形 ， ， ，四边形 是边长为 的菱形，并且 ，
以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所
成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
22．如图，圆锥的顶点为 ，底面圆心为 为两条互相垂直的直径， 是底面圆周上的动点（异于
），且 在直径 的两侧.已知 .(1)若 ，求证： ；
(2)若在线段 上存在点 （异于 ），使得 平面 ，求 的取值范围.
