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§5.3 平面向量的数量积
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投
影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两
个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的
平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角，向量夹角
的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的
定义
数量积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
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结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
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|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |xx＋yy|≤
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微思考
1．两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？提示 不一定．当夹角为0°(或180°)时，数量积也大于0(或小于0)．
2．平面向量数量积运算常用结论有哪些？
提示 (a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
a与b同向时，a·b＝|a||b|.
a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( × )
(2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量．( √ )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ )
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( × )
题组二 教材改编
2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 cos θ＝＝＝－，
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)等于(
)
A．2 B．－1 C．－6 D．－18
答案 D
解析 由题意知cos〈a，b〉＝sin ＝sin
＝－sin ＝－，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，
所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
4．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案 －2
解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
题组三 易错自纠
5．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的
夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则BA·AC的值为________．
答案 －
解析 在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝.
所以BA·AC＝|BA||AC|cos(π－A)＝－|BA||AC|·cos A＝－3×2×＝－.
题型一 平面向量数量积的简单应用
命题点1 平面向量的模
例1 (2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案
解析 将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝＝
＝＝.
命题点2 平面向量的夹角
例2 (2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于(
)
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝
＝＝.
命题点3 平面向量的垂直
例3 (2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.答案
解析 由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.
因为a，b为单位向量，且夹角为45°，
所以k×12－1×1×＝0，解得k＝.
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝.
②利用|a|＝.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
②坐标法：若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则cos θ＝.
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③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
跟踪训练 1 (1)(2020·唐山模拟)已知 e ，e 是两个单位向量，且|e ＋e|＝，则|e －e|＝
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________.
答案 1
解析 方法一 由|e ＋e|＝，两边平方，得e＋2e·e ＋e＝3.又e ，e 是单位向量，所以
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2e·e＝1，
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所以|e－e|2＝e－2e·e＋e＝1，所以|e－e|＝1.
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方法二 如图，设AB＝e，AD＝e，又e，e 是单位向量，所以|AB|＝|AD|＝1，以AB，AD
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为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以AC＝e ＋e ，DB＝e －e ，因为| e ＋e|
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＝，即|AC|＝，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|DB|＝1，即| e －e|＝1.
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(2)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|
a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.
(3)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数
λ的值为( )
A. B. C．6 D.
答案 A
解析 因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，
所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AB·AC＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝.
题型二 平面向量数量积的综合运算
例4 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB 的
取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)．
设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，且－1
