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§5.4 复 数
考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的
实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识.3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、
乘、除运算．
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，
其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数⇔ b ＝ 0
复数的分类 a＋bi为虚数⇔ b ≠ 0
a＋bi为纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共
轭⇔ a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．
⇔
(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作 | a ＋ b i |或 | z |，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点 Z ( a ， b ) 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z＝a＋bi，z＝c＋di，a，b，c，d∈R.
1 2
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋
1 2
OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.微思考
1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？
提示 不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．
2．i的乘方具有周期性吗？
提示 in＝(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．
( √ )
题组二 教材改编
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
答案 A
解析 ∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.
3．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应
的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i
答案 D
解析 CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．若复数z满足z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
答案 D
解析 由题意可得z＝＝＝，
所以＝－＋i，故选D.
题组三 易错自纠5．已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b等于( )
A．－1 B．－ C. D．1
答案 D
解析 由＝＝－i，
得a＋bi＝i，由复数相等得a＝0，b＝1，
从而a＋b＝1.
6．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于________．
答案 2
解析 因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m
＝2.
题型一 复数的概念
1．(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于( )
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
答案 D
解析 因为＝＝＝－i，所以z＝i.
2．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于( )
A．0 B．1 C. D．2
答案 D
解析 方法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|z2－2z|＝|－2|＝2.
方法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
3．已知i为虚数单位，则复数z＝的虚部为( )
A．i B．2 C．－1 D．－i
答案 C
解析 因为＝＝＝2－i，所以z的虚部为－1.
4．(2020·郑州质检)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为( )
A．1 B．－1 C. D．－
答案 C
解析 因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得a＝.
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，
只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
题型二 复数的四则运算
例1 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 D
解析 ＝＝＝－i.
(2)(多选)(八省联考)设z，z，z 为复数，z≠0.下列命题中正确的是( )
1 2 3 1
A．若|z|＝|z|，则z＝±z
2 3 2 3
B．若zz＝zz，则z＝z
1 2 1 3 2 3
C．若 ＝z，则|zz|＝|zz|
2 3 1 2 1 3
D．若zz＝|z|2，则z＝z
1 2 1 1 2
答案 BC
解析 由|i|＝|1|，知A错误；
zz＝zz，则z(z－z)＝0，又z≠0，
1 2 1 3 1 2 3 1
所以z＝z，故B正确；
2 3
|zz|＝|z||z|，|zz|＝|z||z|，
1 2 1 2 1 3 1 3
又 ＝z，所以|z|＝||＝|z|，故C正确，
2 3 2 2 3
令z＝i，z＝－i，满足zz＝|z|2，不满足z＝z，故选BC.
1 2 1 2 1 1 2
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
答案 D
解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)(2020·乌鲁木齐模拟)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则等于( )
A．2＋2i B．2－2i
C．2i D．－2i
答案 B
解析 ＝＝＝＝2－2i.
(3)(2020·武汉模拟)＝________.答案 －i
解析 ＝＝＝＝－i.
题型三 复数的几何意义
例2 (1)(2019·全国Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限．
(2)(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案 C
解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，
∴z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
(3)(2020·全国Ⅱ)设复数z，z 满足|z|＝|z|＝2，z＋z＝＋i，则|z－z|＝________.
1 2 1 2 1 2 1 2
答案 2
解析 方法一 设z－z＝a＋bi，a，b∈R，
1 2
因为z＋z＝＋i，
1 2
所以2z＝(＋a)＋(1＋b)i,2z＝(－a)＋(1－b)i.
1 2
因为|z|＝|z|＝2，所以|2z|＝|2z|＝4，
1 2 1 2
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12.
所以|z－z|＝＝2.
1 2
方法二 设复数z，z 在复平面内分别对应向量OA，OB，
1 2
则z＋z 对应向量OA＋OB.
1 2
由题意知|OA|＝|OB|＝|OA＋OB|＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z－z 对应向量BA，且|OA|＝|AC|＝|OC|＝2，
1 2
可得|BA|＝2|OA|sin 60°＝2.
故|z－z|＝|BA|＝2.
1 2
思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几
何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
跟踪训练2 (1)(2020·东北三省三校模拟)设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ＝＝－i，则复数对应的点为，在第四象限，故选D.
(2)如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
答案 D
解析 由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i
＝3＋i.故选D.
如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)．
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．
我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：
已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，z＝r(cos θ＋isin θ)，则
1 1 1 1 2 2 2 2
z·z＝rr[cos(θ＋θ)＋isin(θ＋θ)]．
1 2 1 2 1 2 1 2
＝[cos(θ－θ)＋isin(θ－θ)]．
1 2 1 2例1 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z＝－2(cos θ＋isin θ)；(2)z＝cos θ－isin θ；(3)z＝－sin θ＋icos θ.
1 2 3
解 (1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z＝2(－cos θ－isin θ)．
1
复平面上点Z(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，
1
不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将辐角变换到第三象限．
∴z＝2(－cos θ－isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．
1
(2)由“加号连”知，不是三角形式．
复平面上点Z(cos θ，－sin θ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱
2
导公式“2π－θ”或“－θ”将辐角变换到第四象限．
∵z＝cos θ－isin θ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z＝cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)．
2 2
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．
(3)由“余弦前”知，不是三角形式．
复平面上点Z(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导
3
公式“＋θ”将辐角变换到第二象限．
∴z＝－sin θ＋icos θ＝cos＋isin.
3
例2 (1)已知z∈C，|z|＝1，且z2≠－1，则复数( )
A．必为纯虚数
B．是虚数但不一定是纯虚数
C．必为实数
D．可能是实数也可能是虚数
答案 C
解析 设z＝cos θ＋isin θ，
则＝＝＝∈R.
(2)设π<θ<，则复数的辐角的主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π C．3θ D．3θ－π
答案 B
解析 ＝＝cos 3θ＋isin 3θ.∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<.
(3)复数cos ＋isin 经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于( )
A．3 B．12
C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)
答案 C
解析 由题意，得n＝cos ＋isin ＝cos －isin ，
由复数相等的定义，得解得＝2kπ－(k∈Z)，∴n＝6k－1(k∈Z)．故选C.
课时精练
1．(2020·山东重点中学联考)在复平面内，复数z对应的点与1＋i对应的点关于实轴对称，
则z等于( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
答案 D
解析 1＋i在复平面内对应点为(1,1)，关于实轴对称的点为(1，－1)，∴z＝1－i.故选D.
2．(2019·全国Ⅰ)设z＝，则|z|等于( )
A．2 B. C. D．1
答案 C
解析 方法一 ∵z＝＝＝，
∴|z|＝＝.
方法二 |z|＝＝＝.
3．(2021·江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为( )
A. B.－1
C．1 D.
答案 A
解析 由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，故z的实部为.
4．(2021·成都诊断)设复数z＝1＋i，z＝2＋bi，若为纯虚数，则实数b等于( )
1 2
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 A
解析 由＝＝＝为纯虚数，得2＋b＝0，且2－b≠0，所以b＝－2.
5．(多选)下面是关于复数z＝的四个命题，其中真命题的是( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
答案 BD
解析 ∵z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选BD.
6．(多选)在复平面内，下列命题是真命题的是( )
A．若复数z满足∈R，则z∈RB．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z，z 满足zz∈R，则z＝
1 2 1 2 1 2
D．若复数z∈R，则∈R
答案 AD
解析 对于A，设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝＝－i，若∈R，则b＝0，所以 z＝
a∈R，故A为真命题；
对于B，若复数z＝i，则z2＝－1∈R，但z R，故B为假命题；
对于C，若复数z
1
＝i，z
2
＝2i满足z
1
z
2
＝－2∉ ∈R，但z
1
≠
2
，故C为假命题；
对于D，若复数z＝a＋bi∈R，则b＝0，＝z∈R，故D为真命题．
7．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
答案 －2
解析 (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2.
8．(2020·阜宁调研)若复数z＝i＋i2 020，则＋的模等于________．
答案 6
解析 z＝i＋i2 020＝i＋1，＋＝1－i＋＝6－6i，其模为6.
9．设O是坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量BA对应的复
数是________．
答案 5－5i
解析 ∵向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，
∴OA＝(2，－3)，OB＝(－3,2)，
∴BA＝OA－OB＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.
10．(2020·西安模拟)若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a＝________，b＝________.
答案 －4 3
解析 因为＝＝b－ai(a，b∈R)，(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，所以由题意得b＝3，a＝－4.
11．复数z＝＋(10－a2)i，z＝＋(2a－5)i，若 ＋z 是实数，求实数a的值．
1 2 1 2
解 ＋z＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
1 2
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为 ＋z 是实数，
1 2
所以a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.
因为a＋5≠0，
所以a≠－5，故a＝3.
12．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解 (1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m<－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2)．
13．计算2 021＋2 021等于( )
A．－2i B．0 C．2i D．2
答案 B
解析 ∵＝＝＝i，
∴＝＝－i，
∴2 021＋2 021
＝i2 021＋(－i)2 021
＝i－i＝0.
14．(多选)设z，z 是复数，则下列命题中的真命题是( )
1 2
A．若|z－z|＝0，则 ＝
1 2 1 2
B．若z＝，则 ＝z
1 2 1 2
C．若|z|＝|z|，则z·＝z·
1 2 1 1 2 2
D．若|z|＝|z|，则z＝z
1 2
答案 ABC
解析 对于A，若|z－z|＝0，则z－z＝0，z＝z，
1 2 1 2 1 2
所以 ＝ 为真；
1 2
对于B，若z＝，则z 和z 互为共轭复数，
1 2 1 2
所以 ＝z 为真；
1 2
对于C，设z＝a＋bi，z＝a＋bi，a，b，a，b∈R，
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2若|z|＝|z|，则＝，
1 2
即a＋b＝a＋b，
所以z·＝a＋b＝a＋b＝z·，
1 1 2 2
所以z·＝z· 为真；
1 1 2 2
对于D，若z＝1，z＝i，
1 2
则|z|＝|z|，而z＝1，z＝－1，
1 2
所以z＝z为假．故选ABC.
15．(2020·枣庄模拟)已知复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是
________．
答案
解析 复数z＝x＋yi，且|z－2|＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圆心为(2,0)，半径为1的圆，
则表示圆上的点与原点连线的斜率，
由题意设过点O且与圆相切的直线方程为y＝kx，则
消去y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，
解得k＝－或k＝，
由题意得的取值范围是.
16．(2020·张家口调研)已知复数z满足z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．
(1)求复数z；
(2)设a∈R，且＝2，求实数a的值．
解 (1)设z＝c＋di(c<0，d<0)，
则z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i，
∴解得或(舍去)．
∴z＝－2－i.
(2)∵＝－2＋i，∴＝＝＝＝i，∴2 021＝i2 021＝i2 020＋1＝i505×4＋1＝i，
∴|a＋i|＝＝2，∴a＝±.
