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强化训练 5 平面向量中的综合问题
1．(2021·甘肃诊断)已知平面向量a，b满足a＝(1，－2)，b＝(－3，t)，且a⊥(a＋b)，则|b|
等于( )
A．3 B. C．2 D．5
答案 B
解析 a＋b＝(1，－2)＋(－3，t)＝(－2，t－2)，由于a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即
1×(－2)＋(－2)×(t－2)＝0，解得t＝1，所以b＝(－3,1)，|b|＝.
2．(2021·常德模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点，则AE等
于( )
A.AB＋AD B.AB＋AD
C.AB＋AD D.AB＋AD
答案 C
解析 设F为AB的中点，连接DF，如图，
∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴BF∥CD，且BF＝CD，
∴四边形BFDC为平行四边形，
∴FD＝BC，
∴AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋FD
＝AB＋(FA＋AD)
＝AB＋
＝AB＋AD.
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为( )
A．－ B．－1 C. D．1
答案 B解析 因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，所以b在a方
向上的投影为＝＝－1.
4．(2020·河北“五个一”名校联考)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a
＋b与a－b的夹角是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 将|a＋b|＝|a－b|＝2|a|平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2＝4a2，解得cos〈a＋b，a
－b〉＝＝－，所以向量a＋b与a－b的夹角是.
5．(多选)已知在边长为2的等边△ABC中，向量a，b满足AB＝a，BC＝a＋b，则下列式子
正确的是( )
A．|2a＋b|＝2 B．|b|＝2
C．a·(a＋b)＝2 D．a·b＝－6
答案 ABD
解析 AC＝AB＋BC＝2a＋b，则|2a＋b|＝|AC|＝2，A正确；a·(a＋b)＝AB·BC＝－2，C错误；
a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝－2，则a·b＝－6，D正确；又|a＋b|＝2，两边平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝
4，则|b|＝2，B正确．
6．(多选)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为(
)
A.－1 B．1
C. D．2
答案 AB
解析 因为a，b，c均为单位向量，
且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，
所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，
所以c·(a＋b)≥1，
而|a＋b－c|＝＝
＝≤＝1，
所以选项C，D不正确，故选AB.
7．(2020·泰安模拟)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(2m，m＋1)．若
AB∥OC，则实数m的值为________．
答案 －3
解析 因为AB∥OC，AB＝OB－OA＝(3,1)，
所以3×(m＋1)＝2m，所以m＝－3.
8．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________．答案 λ<－且λ≠－3
解析 由题意得，a·b<0且a与b不共线，
即3(2＋λ)＋λ<0且(2＋λ)λ≠3，
解得λ<－且λ≠－3.
9．已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OC＝
mOA＋nOB(m，n∈R)，则的值为________．
答案 3
解析 如图所示，建立直角坐标系．
由已知|OA|＝1，|OB|＝，
则OA＝(1,0)，OB＝(0，)，
∴OC＝mOA＋nOB＝(m，n)，
∴tan 30°＝＝，
∴＝3.
10．已知△ABC的重心为G，AD＝λAB，AE＝μAC，其中λ>0，μ≤1，且D，G，E共线，
则＋＝________.
答案 3
解析 ∵△ABC的重心为G，
∴AG＝(AB＋AC)，
∵D，G，E共线，则存在实数m，使得AG＝mAD＋(1－m)AE，
∴AB＋AC＝mAD＋(1－m)AE
＝λmAB＋μ(1－m)AC，
∴解得m＝＝1－，
∴＋＝3.
11．已知向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)．
(1)若|b|＝2，求b的坐标；
(2)若(a＋b)⊥(a－b)，求|a－2b|的值．
解 (1)设b＝(x，y)，
因为向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)，|b|＝2.
所以cos 〈a，b〉＝cos 60°＝＝＝，解得x＝1，
所以|b|＝2＝＝，解得y＝±，所以b＝(1，±)．
(2)因为(a＋b)⊥(a－b)，
所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，
由于a＝(1,0)，
所以|a|＝|b|＝1，
所以|a－2b|＝＝＝＝.
12.如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD＝λBC，AD·AB＝－.
(1)求实数λ的值；
(2)若M，N是线段BC上的动点，且|MN|＝1，求DM·DN的最小值．
解 (1)∵AD＝λBC，∴AD∥BC，
∵∠B＝60°，∴∠DAB＝120°，
∴AD·AB＝6λ×3×cos 120°＝－，
∴λ＝.
(2)如图，过点A作AO⊥BC，垂足为O，
则OB＝AB＝，OC＝，AO＝，
以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
则D，设M(x,0)，N(x＋1,0)，－≤x≤，
∴DM＝，DN＝，
∴DM·DN＝x2－x＋＝2＋，
∴当x＝时，DM·DN取得最小值.
13．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0，且·＝－，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等腰非等边三角形 D．直角三角形
答案 C
解析 注意到表示与AB同向的单位向量，表示与AC同向的单位向量，所以＋表示以与AB同向的单位向量和与AC同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，因为·BC＝0，所以|AB|
＝|AC|，由·＝－可以得出AB与AC的夹角为120°，所以△ABC为等腰非等边三角形．
14．已知O是正三角形ABC内部的一点，OA＋2OB＋3OC＝0，则△OAC的面积与△OAB
的面积之比是( )
A. B. C．2 D．1
答案 B
解析 如图所示，D，E分别是BC，AC的中点，
由OA＋2OB＋3OC＝0得
OA＋OC＝－2(OB＋OC)，
即OE＝－2OD，所以OE＝2OD，
设正三角形的边长为2a，
则△OAC底边AC上的高为h ＝BE＝a，
AC
△OAB底边AB上的高为h ＝BE＝a，
AB
所以＝＝＝.
15．已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是(
)
A．[－1，＋1] B．[1，]
C．[，] D．[－1,1]
答案 A
解析 因为a·b＝0，
所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，
所以|a＋b|＝，
所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2(a＋b)·c＝3－2(a＋b)·c，
则当c与(a＋b)同向时，(a＋b)·c最大，
|a＋b－c|2最小，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos 0°＝，|a＋b－c|2＝3－2，
所以|a＋b－c| ＝－1；
min
当c与(a＋b)反向时，(a＋b)·c最小，|a＋b－c|2最大，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos π＝－，|a＋
b－c|2＝3＋2，所以|a＋b－c| ＝＋1，
max
所以|a＋b－c|的取值范围为[－1，＋1]．
16．在△ABC中，设BC·CA＝CA·AB.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|BA＋BC|＝2且B∈，求BA·BC的取值范围．
(1)证明 因为BC·CA＝CA·AB，
所以CA·(BC－AB)＝0，
因为AB＋BC＋CA＝0，所以CA＝－(AB＋BC)，
所以－(AB＋BC)·(BC－AB)＝0，
所以AB2－BC2＝0，
所以|AB|＝|BC|，
故△ABC为等腰三角形．
(2)解 因为B∈，所以cos B∈，
设|AB|＝|BC|＝a，
因为|BA＋BC|＝2，所以|BA＋BC|2＝4，
所以a2＋a2＋2a2cos B＝4，所以a2＝，
所以BA·BC＝|BA||BC|cos B＝a2cos B
＝＝2－，
又－≤cos B≤，
所以－2≤2－≤，
即BA·BC∈.
