文档内容
拔高点突破 01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................5
题型一：利用三角向量不等式............................................................................................................5
题型二：定义法....................................................................................................................................6
题型三：基底法....................................................................................................................................7
题型四：几何意义法............................................................................................................................7
题型五：坐标法....................................................................................................................................8
题型六：极化恒等式............................................................................................................................9
题型七：矩形大法..............................................................................................................................10
题型八：等和线、等差线、等商线..................................................................................................10
题型九：平行四边形大法..................................................................................................................12
题型十：向量对角线定理..................................................................................................................14
03 过关测试.........................................................................................................................................14技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则 ，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的 ．
②三角形模式： （M为BD的中点）
A
B M C
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，
证明： ．
【证明】（坐标法）设 ，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则 ，设 ，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行
于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、 为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理题型一：利用三角向量不等式
【典例1-1】已知 ， ，则 的范围是 .
【典例1-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 ，则向量 的范围是 ．
【变式1-1】已知 ， ， 且 ，则 的最大值为（ ）
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
【变式1-2】（2024·高三·浙江金华·开学考试）已知向量 满足 ， ，则 的范围
是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆 和圆 外切于点 ， ， 分别为圆 和圆 上的动点，
已知圆 和圆 的半径都为1，且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式1-4】已知平面向量 满足 ，设 ，若 ，则 的取值范
围为________．
题型二：定义法
【典例2-1】已知向量 、 满足： ， .设 与 的夹角为 ，则 的最大值为
___________.
【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的
上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在
长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的
图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边
长为2，定点A，B所在位置如图所示，则 的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【变式2-1】已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知 是半径为5的圆 上的两条动弦， ，则 最大值是
（ ）
A．7 B．12 C．14 D．16
题型三：基底法
【典例3-1】已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， 为 的中点， 为 的
中点， ，则 的最大值为 .
【典例3-2】在 中， ， ，点D为 的中点，点E为 的中点，若 ，则
的最大值为 .
【变式3-1】在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设，则 可用 表示为 ；若 ，则 的最大值为 ．
【变式3-2】在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点．若 ， 的面积为 ，则
取最小值时，则 （ ）
A．2 B． C．6 D．4
【变式3-3】如图，已知等腰 中， ， ，点P是边 上的动点，则
（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．为变量且有最大值为10 D．为变量且有最小值为6
题型四：几何意义法
【典例4-1】已知 是同一平面上的3个向量，满足 ， ， ，则向量 与 的夹角
为 ，若向量 与 的夹角为 ，则 的最大值为 ．
【典例4-2】已知向量 ， 满足 ，则 的最小值是 ，最大值是 ．
【变式4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知O是 所在平面内一点，且 ， ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知平面向量 ， ， ，且 ， .已知向量 与 所成的角为60°，且 对
任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知 是平面向量，且 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足，则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式4-4】（2024·山东青岛·三模）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． －1 B． C．2 D．1
题型五：坐标法
【典例5-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角 中，斜边 ，点 在以BC为直径的
圆上运动，则 的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．12
【典例5-2】已知 ， ，若动点P，Q与点A，M共面，且满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【变式5-1】在梯形 中， ， ， ， ， ， ， 分别为线段
和线段 上（包括线段端点）的动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式5-2】在 ABC中，BC＝2， ，D为BC中点，在 ABC所在平面内有一动点P满足
△ △
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】在 中， ， ， 是以 为直径的圆上任意一点，则 的最
大值是（ ）A． B． C． D．
题型六：极化恒等式
【典例6-1】已知 中， ，若 所在平面内一点 满足 ，则
的最大值为 .
【典例6-2】在 中， ，点Q满足 ，则 的最大值为 .
【变式6-1】在边长为2的正方形 中，动点P，Q在线段 上，且 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式6-2】点 是边长为1的正六边形 边上的动点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式6-3】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两
个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知
为弧 （含端点）上的一点，则 的范围为 ．
【变式6-4】（2024·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为
10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座， ，点P为摩天轮的座舱，则 的范围为 ．题型七：矩形大法
【典例7-1】已知圆 与 ，定点 ，A、B分别在圆 和圆 上，
满足 ，则线段AB的取值范围是 ．
【典例7-2】在平面内，已知 ， ， ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，且 若
，则 的最小值为______．
【变式7-2】设向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．1
题型八：等和线、等差线、等商线
【典例8-1】如图，在 中， ， 是线段 上一点，若 ，则 的最大值
为 .
【典例8-2】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 满足 ， ，
， .则下列说法正确的是（ ）
A．若点P在直线AB上运动，当 取得最大值时， 的值为
B．若点P在直线AB上运动， 在 上的投影的数量的取值范围是C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上， 取得最大值时， 的值为3
D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上， 的范围是
【变式8-1】如图所示， 是 的中点， 是平行四边形 内（含边界）的一点，且
，则当 时， 的范围是 .
【变式8-2】如图，点 是半径为 的扇形圆弧 上一点，且 ，若 ，则
的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【变式8-3】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若 ，则
的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式8-4】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学
的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边 中， ，以三条边为直径
向外作三个半圆， 是三个半圆弧上的一动点，若 ，则 的最大值为（ ）A． B． C．1 D．
【变式8-5】平行四边形 中， ， ，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且
落在四边形 内部任意一点， ，若 ，则角 的范围为（ ）
A． B． C． D．
题型九：平行四边形大法
【典例9-1】如图，圆 是半径为1的圆， ，设 ， 为圆上的任意2个点，则 的取值范围
是___________.
【典例9-2】如图，C，D在半径为1的 上，线段 是 的直径，则 的取值范围是
_________.【变式9-1】（2024·浙江·模拟预测）已知 为单位向量，平面向量 ， 满足 ， 的取
值范围是____.
【变式9-2】（2024·江西宜春·校联考模拟预测）半径为 的两圆 和圆 外切于点 ，点 是圆 上一点，
点 是圆 上一点，则 的取值范围为_______.
【变式9-3】设圆 ，圆 的半径分别为1，2，且两圆外切于点 ，点 ， 分别是圆 ，圆 上的两
动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十：向量对角线定理
【典例10-1】已知平行四边形 ， ， ， ， 与 交于点 ，若
记 ， ， ，则（ ）
A. B． C． D．
【典例10-2】如图，在圆 中，若弦 ，弦 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】在四边形ABCD中， ， 若， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．1．如图， 的三边长为 ，且点 分别在 轴， 轴正半轴上移动，点 在
线段 的右上方．设 ，记 ，分别考查 的所有可能结
果，则（ ）
A． 有最小值， 有最大值 B． 有最大值， 有最小值
C． 有最大值， 有最大值 D． 有最小值， 有最小值
2．在矩形 中， ， ， 为矩形 所在平面内的动点，且 ，则 的最大
值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知 为单位向量，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．3 C． D．10
4．已知 为单位向量，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．2 C． D．8
5．如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ，点 是线段 上一点，且满足
，动点 在以 为圆心的半径为 的圆上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形 中， ，点 是线段 上一点，且满足.在平面 中，动点 在以 为圆心，1为半径的圆上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·贵州贵阳·三模）已知 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
8．已知非零平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形 中， 与 的交点为 为边 上任意一点（包含端点），则
的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．12
10．如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，若 ，则
的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成
的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形 ，内部圆的圆心为该正六边形的
中心 ，圆 的半径为2，点 在圆 上运动，则 的最小值为（ ）A．-8 B．-4 C．0 D．4
12．已知点 、 在圆 上，且 ， 为圆 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知 是边长为4的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量 的夹角为 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
15．扇形 的半径为1， ，点 在弧 上运动，则 的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．-1
16．（多选题）在 中， ，点 是等边 （点 与 在 的两侧）边
上的一动点，若 ，则有（ ）
A．当 时，点 必在线段 的中点处 B． 的最大值是
C． 的最小值是 D． 的范围是
17．（多选题）已知点A、B、P在 上，则下列命题中正确的是（ ）
A． ，则 的值是
B． ，则 的值是
C． ，则 的范围是
D． ，且 ，则 的范围是
18．（多选题）已知圆 半径为2，弦 ，点 为圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A． B． 的最大值为6
C． D．满足 的点 只有一个
19．（多选题）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦
定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 的半径2，点 是圆 内
的定点，且 ，弦 均过点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值
B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值
D． 的最大值为16
20．（多选题）如图，在梯形 中， 分别在线段
上，且线段 与线段 的长度相等，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为18
C． 的最大值为 D． 的面积的最大值为
21．（多选题）（2024·山东潍坊·二模）已知向量 ， ， 为平面向量， ， ， ，
，则（ ）A． B． 的最大值为
C． D．若 ，则 的最小值为
22．（2024·甘肃·一模）已知单位向量 满足 ，则 的范围是 .
23．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点 满足
，则 的范围为 .
24．在 中， ， ， ，点P是 内一点（含边界），若 ，
则 的最大值为 .
25．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B）， ，
， ， ； 的最大值为 ．
26．如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点P在以 的中点O为圆心、 为
半径的半圆上，若 ，则下列说法正确的是 ．
① ② 的最大值为
③ 最大值为9
④
27．如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点 在以 的中点 为圆心， 为
半径的半圆上，则 的最大值为 ．
